隐函数的求导法则

0),(.1 yxF隐 函 数 存 在 定 理 1 设 函 数 ),( yxF 在 点 ),( 00 yxP 的 某 一 邻 域 内 具 有 连 续 的 偏 导 数 ， 且 0),( 00 yxF ，0),( 00 yxFy ， 则 方 程 0),( yxF 在 点 ),( 00 yxP 的 某 一 邻 域 内 恒 能 唯 一 确 定 一 个 单 值 连 续 且 具 有 连 续导 数 的 函 数 )(xfy ， 它 满 足 条 件 )( 00 xfy ， 并 有 yxFFdxdy . 隐 函 数 的 求 导 法 则一 、 一 个 方 程 的 情 形 例 验 证 方 程 0122 yx 在 点 )1,0( 的 某 邻域 内 能 唯 一 确 定 一 个 单 值 可 导 、 且 0 x 时 1y 的 隐 函 数 )(xfy ， 并 求 这 函 数 的 一 阶 和 二 阶 导数 在 0 x 的 值 .解 令 1),( 22 yxyxF则 ,2xFx ,2yFy ,0)1,0( F ,02)1,0( yF 依 定 理 知 方 程 0122 yx 在 点 )1,0( 的 某 邻 域内 能 唯 一 确 定 一 个 单 值 可 导 、 且 0 x 时 1y 的 函 数 )(xfy 函 数 的 一 阶 和 二 阶 导 数 为 yxFFdxdy ,yx ,00 xdxdy222 y yxydxyd 2y yxxy ,13y.1022 xdxyd 例 2 已 知 xyyx arctanln 22 ， 求 dxdy.解 令 ,arctanln),( 22 xyyxyxF 则 ,),( 22 yx yxyxFx ,),( 22 yx xyyxFy yxFFdxdy .xy yx 0),(.2 zyxF 隐 函 数 存 在 定 理 2 设 函 数 ),( zyxF 在 点 ,( 0 xP), 00 zy 的 某 一 邻 域 内 有 连 续 的 偏 导 数 ， 且 ,( 0 xF0), 00 zy ， 0),( 000 zyxFz ， 则 方 程 ,( yxF0)z 在 点 ),( 000 zyxP 的 某 一 邻 域 内 恒 能 唯 一 确 定 一 个 单 值 连 续 且 具 有 连 续 偏 导 数 的 函 数),( yxfz ， 它 满 足 条 件 ),( 000 yxfz ， 并 有 zxFFxz ， zyFFyz . )(,),( xysxrsrFu u rs x),(),( yxzzzyxFu u xyz xy 例 3 设 04222 zzyx ， 求 22xz .解 令 ,4),( 222 zzyxzyxF 则 ,2xFx ,42 zFz ,2 zxFFxz zx 22xz 2)2( )2( z xzxz 2)2( 2)2( z zxxz .)2( )2( 3 22z xz 例 4 设 ),( xyzzyxfz ， 求 xz ， yx ， zy .思 路 ： 把 z看 成 yx, 的 函 数 对 x求 偏 导 数 得 xz ， 把 x看 成 yz, 的 函 数 对 y求 偏 导 数 得 yx ， 把 y看 成 zx, 的 函 数 对 z求 偏 导 数 得 zy . 解 令 ,zyxu ,xyzv 则 ),( vufz 把 z看 成 yx, 的 函 数 对 x 求 偏 导 数 得xz )1( xzfu ),( xzxyyzfv 整 理 得 xz ,1 vu vu xyff yzff 把 x看 成 yz, 的 函 数 对 y求 偏 导 数 得 把 y看 成 zx, 的 函 数 对 z求 偏 导 数 得)1(1 zyfu ),( zyxzxyfv 整 理 得 zy .1 vu vu xzff xyff )1(0 yxfu ),( yxyzxzfv 整 理 得 yx ,vu vu yzff xzff 二 、 方 程 组 的 情 形1、 对 于 方 程 组 0),( 0),( zyxF zyx怎 样 求 偏 导 数首 先 应 明 确 这 个 方 程 组 确 定 了 几 个 几 元 隐 函 数当 x 给 定 以 后 相 当 于 解 含 关 于 y , z 的 方 程 组如 果 有 解 且 唯 一 则 对 于 不 同 的 x 就 完 全 确 定 了 y , z 故 方 程 组 确 定 了 两 个 一 元 隐 函 数 y=y(x),z=z(x) 若 0 zy zy FFJ 则,1 zx zx FFJdxdy xy xy FFJdxdz 1怎 样 求 dxdzdxdy, 0),( zyxF 两 边 对 x 求 导 注 意 左 边 是 复 合 函 数 （ 三 个 中 间 变 量 ） ，0 dxdzFdxdyFF zyx 同 理0 dxdzdxdy zyx 2、 0),( 0),( vuyxG vuyxF 隐 函 数 存 在 定 理 3 设 ),( vuyxF 、 ),( vuyxG 在点 ),( 0000 vuyxP 的 某 一 邻 域 内 有 对 各 个 变 量 的 连 续 偏 导 数 ， 且 0),( 0000 vuyxF , ),( 0000 vuyxG0 ， 且 偏 导 数 所 组 成 的 函 数 行 列 式 （ 或 称 雅 可 比 式 ） vGuG vFuFvu GFJ ),( ),( 在 点 ),( 0000 vuyxP 不 等 于 零 ， 则 方 程 组 0),( vuyxF 、 0),( vuyxG 在 点 ),( 0000 vuyxP 的 某 一 邻 域 内 恒 能 唯 一 确 定 一组 单 值 连 续 且 具 有 连 续 偏 导 数 的 函 数 ),( yxuu ，),( yxvv ， 它 们 满 足 条 件 ),( 000 yxuu , vv 0),( 00 yx ， 并 有 vu vuxu xu GG FFGG FFxu GFJxv ),( ),(1 ,),( ),(1 vu vu vx vx GG FF GG FFvx GFJxu ,),( ),(1 vu vuvy vy GG FFGG FFvy GFJyu .),( ),(1 vu vuyu yu GG FFGG FFyu GFJyv 例 5 设 0 yvxu ， 1 xvyu ， 求 xu ， yu ， xv 和 yv .解 1 直 接 代 入 公 式 ；解 2 运 用 公 式 推 导 的 方 法 ，将 所 给 方 程 的 两 边 对 求 导 并 移 项x , vxvxxuy uxvyxux xy yxJ ,22 yx 在 0J 的 条 件 下 ，xy yx xv yuxu ,22 yx yvxu xy yx vy uxxv ,22 yx xvyu 将 所 给 方 程 的 两 边 对 y 求 导 ， 用 同 样 方 法 得,22 yx yuxvyu .22 yx yvxuyv 注 这 组 公 式 不 太 好 记 ， 具 体 做 题 时 应用 的 是 其 基 本 思 想 关 于 隐 函 数 求 二 阶 偏 导 数以 0),( zyxF 为 例 ， 主 要 有 三 种 方 法 ： 公 式 法 ,zxFFxz 222 )()( z zxzx F FxFFFxz 21 223 xzzzxxzzxxz FFFFFFFF 类 似 地 可 求 得 222 , yzyx z 直 接 法 方 程 两 边 连 续 求 导 两 次 0 xzFF zx 0)(2 222 xzFxzFxzFF zzzxzxx解 得 ： 2 2 x z 21 223 xzzzxxzzxxz FFFFFFFF 两 种 方 法 相 比 ， 法 二 较 简 便 ， 因 为 可 避 免商 的 求 导 运 算 ， 尤 其 是 在 求 指 定 点 的 二 阶 偏 导 数时 ， 毋 须 解 出 一 阶 偏 导 数 而 是 将 其 具 体 数 值 代 入即 可 求 得 二 阶 偏 导 数 ， 使 运 算 大 为 简 化 。 BdyAdxdz yzBxzA ,则这 样 一 次 就 可 求 得 全 部 的 一 阶 偏 导 数 。 全 微 分 法利 用 全 微 分 形 式 不 变 性 ， 在 所 给 的 方 程 两 边 直 接求 全 微 分 三 、 小 结隐 函 数 的 求 导 法 则 （ 分 以 下 几 种 情 况 ）0),()1( yxF 0),()2( zyxF 0),( 0),()4( vuyxG vuyxF 0),( 0),()3( zyx zyxF 思 考 题 已 知 )(zyzx ， 其 中 为 可 微 函 数 ， 求 ? yzyxzx 思 考 题 解 答 记 )(),( zyzxzyxF ,1)( zzyFy ,)()( 22 zyzyzxFz ,)(zyyx zFFxz zx ,)()( zyyx zyzFFyz zy 于 是 zyzyxzx . 练 习 题一 、 填 空 题 : 1、 设 xyyx arctanln 22 ,则 dxdy _. 2、 设 zx yz ,则 xz _, yz _.二 、 设 ,32)32sin(2 zyxzyx 证 明 ： .1 yzxz 三 、 如 果 函 数 ),( zyxf 对 任 何 t 恒 满 足 关 系 式),(),( zyxfttztytxf k ,则 称 函 数 ),( zyxf 为 k次 齐 次 函 数 ,试 证 :k次 齐 次 函 数 满 足 方 程 ),( zyxkfzfzyfyxfx . 四 、 设 .,3 233 yx zaxyzz 求五 、 求 由 下 列 方 程 组 所 确 定 的 函 数 的 导 数 或 偏 导 数 : 1、 设 2032 222 22 zyx yxz ,求 .,dxdzdxdy 2、 设 ),( ),( 2 yvxugv yvuxfu ， 求 ., xvxu （ 其 中 gf , 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ） 六 、 设 函 数 )(xu 由 方 程 组 0),( 0),( ),(zxh zyxg yxfu 所 确 定 , 且 .,0,0 dxduzhyg 求 ( hgf , 均 可 微 )七 、 设 ),( txfy 而 t 是 由 方 程 0),( tyxF 所 确 定 的yx, 的 函 数 ,求 .dxdy 八 、 设 ),( yxzz 由 方 程 ),( xzyyxxF =0所 确 定 , 证 明 : xyzyzyxzx . 练 习 题 答 案 一 、 1、 yx yx ； 2、 yyxz zz zx x lnln1 ； 3、 yyxz zy zx z ln1 1 . 四 、 32 22242 )( )2( xyz yxxyzzzyx z . 五 、 1、 13,)13(2 )16( zxdxdzzy zxdxdy ； 2、 1221 1221 )12)(1( )12( gfgyvfx gfgyvfuxu , 1221 111 )12)(1( )1( gfgyvfx fufxgxv . 六 、 zy xzyy xxx hg hgfg gffdxdu zy xzyzxxzyx hg hgfhgfhgf . 七 、 tyt txxt fFF fFfFdxdy .