菱形的性质与判定的综合应用

菱 形 的 性 质 黎城三中教师：王小刚 2019.05 AB C DA B C DAD/BCDC/AB A BCD如果从边的角度，将平行四边形特殊化，又会得到什么特殊的四边形呢？ 问 题 ： 在 平 行 四 边 形 中 ,如 果 内 角 大 小 保 持 不 变 ,仅 改 变 边 的 长 度 ,请仔 细 观 察 和 思 考 ： 在 这 变 化 过 程 中 ， 哪 些 关 系 没 变 ？ 哪 些 关 系 变 了 。若 改 变 边 的 长 度 使 两 邻 边 相 等 ,那 平 行 四 边 形 成 为 怎 样 的 四 边 形 ？ 定 义 ： 有 一 组 邻 边 相 等 的 平 行 四 边 形 是 矩 形 。A B CD 在 ABCD中 ， AB=BC 四 边 形 ABCD是 菱 形菱 形 是 特 殊 的 平 行 四 边 形 ， 特 殊 在 有 一 组 邻 边 相 等 哟 ！DAB C 一 把 埋 藏 在 地 下 的 古 剑 ， 出 土 时 依 然寒 气 逼 人 ， 毫 无 锈 蚀 ， 锋 利 无 比 ， 稍 一 用力 ， 便 可 将 多 层 白 纸 划 破 ， 剑 身 上 整 齐 排列 着 黑 色 菱 形 暗 花 纹 越 王 勾 践 剑 。 菱 形 就 在 我 们 身 边 作 为 平 行 四 边 形 特 殊 形 式 的 菱 形 具 有 哪 些 性 质 呢 ？两 组 对 边 分 别 平 行 有 一 个 角 是 直 角四 边 形 平 行 四 边 形 矩 形有 一 组 邻 边 相 等 菱 形 结 论 ： 菱 形 是 特 殊 的 平 行 四 边 形 ， 因 此 平 行 四 边 形 所 具 有 的 一 切 性 质菱 形 都 具 有 。 即 ：（ 1） 菱 形 是 中 心 对 称 图 形 ， 对 称 中 心 是 对 角 线 的 交 点 ；（ 2） 菱 形 对 边 平 行 且 相 等 ；（ 3） 菱 形 的 对 角 相 等 ， 邻 角 互 补 ；（ 4） 菱 形 的 对 角 线 互 相 平 分 。作 为 特 殊 的平 行 四 边 形 ，菱 形 具 有 哪些 特 有 性 质呢 ？A B CD DAB C 问 题 ： 菱 形 是 特 殊 的 平 行 四 边 形 ,因 此 菱 形 除 具 有 平 行 四 边 形 的 性 质 外 ,还 有 它 的 特 殊 性 质 。 你 能 说 出 菱 形 有 哪 些 特 殊 性 质 吗 ?（ 1） 菱 形 是 中 心 对 称 图 形 吗 ？ 若 是 ， 对 称 中 心 是 什 么 ？（ 2） 矩 形 是 轴 对 称 图 形 吗 ？ 若 是 ， 对 称 轴 是 什 么 ？AB C DO【 结 论 】 菱 形 既 是 中 心 对 称 图 形 ， 又 是 轴 对 称 图 形 ， 对 称 中 心 是 对 角 线 的 交 点 ， 对 称 轴 是 对 角 线 所 在 的 直 线 。 问 题 2： 观 察 下 列 图 形 的 变 换 ， 从 中 你 能 得 到 什 么 感 悟 ？（ 1） 平 行 四 边 形 的 边 有 什 么 关 系 ？ 菱 形 的 边 呢 ？（ 2） 平 行 四 边 形 的 对 角 线 有 何 关 系 ？ 菱 形 的 对 角 线 呢 ？（ 3） 通 过 刚 才 的 探 究 ， 你 得 到 什 么 猜 想 ？ 如 何 验 证 ？ 猜 想 1 ： 菱 形 的 四 条 边 都 相 等 。已 知 ： 四 边 形 ABCD是 菱 形 , AB=BC说 明 ： AB=BC=CD=AD菱 形 的 四 条 边 都 相 等 。四 边 形 ABCD是 AB=BCAB=DCAD=BC AB=BC=CD=ADB AC D 猜 想 2 ： 菱 形 的 对 角 线 互 相 垂 直 。已 知 ： 四 边 形 ABCD是 菱 形说 明 ： AC BD菱 形 的 对 角 线 互 相 垂 直 。菱 形 ABCD AB=ADBO=DO AC BD CB A DO 菱 形 作 为 平 行 四 边 形 的 特 殊 性 质 ， 除 了 具 有 平 行 四 边 形 所 具 有的 一 切 性 质 外 ， 还 有 如 下 特 殊 性 质 。菱 形 的 性 质 定 理 1： 菱 形 的 四 条 边 都 相 等 ；菱 形 的 性 质 定 理 2： 菱 形 的 对 角 线 相 等 。 四 边 形 ABCD是 菱 形 AB=BC=CD=AD B AC D 四 边 形 ABCD是 菱 形 AC BD B A DO C 对 称 性 边 角 对 角 线平 行 四 边 形 的一 般 性 性 质菱 形 的特 殊 性 质 对 边 平 行且 相 等四 边 都 相 等中 心 对 称 图 形既 是 中 心 对 称图 形 又 是 轴 对称 图 形 对 角 相 等邻 角 互 补 对 角 线 互 相 平 分对 角 线 互 相 垂 直 问 题 ： 菱 形 是 特 殊 的 平 行 四 边 形 ， 那 么 能 否 利 用 平 行 四 边 形 的面 积 公 式 计 算 菱 形 的 面 积 吗 ？CB A DOE ACDABCABCD SSS 菱 形能 利 用 对 角 线 求 菱 形 的 面 积 吗 ？ 若 能 ， 请 你 计 算 。【 菱 形 的 面 积 公 式 】 S 菱 形 = 底 高 = 对 角 线 乘 积 的 一 半 例 1 如 图 ,已 知 四 边 形 ABCD是 菱 形 ,DE AB于 点 E， DF BC于 点 F.（ 1） 求 证 ： ADE CDF；（ 2） 若 A=60 ， 求 EDF的 度 数 ；A B CDE F（ 3） 在 （ 2） 的 基 础 上 ， 若 AE=1， 求 菱 形 ABCD的 周 长 和 面 积 。【 变 式 】 如 图 ,在 菱 形 ABCD是 菱 形 ,DE AB于 点 E， DF BC于 点 F. AE=BE， 求 EDF的 度 数 。 A B CDE F 数 学 活 动 室 学 以 致 用 1.如 图 ， 菱 形 ABCD中 ， BAD=120 ， 若 ABC的 周 长 为 15，则 菱 形 ABCD的 周 长 是 （ ）A、 25 B、 20 C、 15 D、 102.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 菱 形 OABC的 顶 点 C的 坐 标 是 （ 3，4） ,则 顶 点 A， B的 坐 标 分 别 为 （ ）A、 （ 4， 0） ,（ 7， 4） B、 （ 4， 0） ,（ 8， 4） C、 （ 5， 0） ,（ 7， 4） D、 （ 5， 0） ,（ 8， 4）B DAB C D AO BC xy 例 2 如 图 ， 在 菱 形 ABCD中 ， BAD=2 B.（ 1） 求 B的 度 数 ；（ 2） 试 判 断 ABC的 形 状 ， 并 说 明 理 由 ；（ 3） 若 菱 形 的 周 长 为 40cm， 求 AC、 BD的 长 ；B C DAO【 变 式 】 已 知 菱 形 ABCD的 边 长 为 2cm， BAD=120 。 ， 对 角 线 相 交 于 点 O， 试 求 这 个 菱 形 的 两 条 对 角 线 AC和 BD的 长 。 （ 结 果 保 留 根 号 ）B C DAO 数 学 活 动 室 学 以 致 用 1.菱 形 具 有 而 一 般 平 行 四 边 形 不 具 有 的 性 质 是 （ ）A、 对 边 相 等 B、 对 角 相 等C、 对 角 线 互 相 平 分 D、 对 角 线 互 相 垂 直D2.菱 形 和 矩 形 一 定 都 具 有 的 性 质 是 （ ）A、 对 角 线 相 等 B、 对 角 线 互 相 垂 直C、 对 角 线 互 相 平 分 且 相 等 D、 对 角 线 互 相 平 分D3.如 图 ， 菱 形 ABCD的 对 角 线 AC， BD的 长 分 别 为 6和 8， 则 这 个菱 形 的 周 长 是 （ ）A、 20 B、 24 C、 40 D、 48A 数 学 活 动 室 学 以 致 用 4.如 图 ， 已 知 菱 形 ABCD的 对 角 线 相 交 于 点 O,延 长 AB至 E， 使 得 BE=AB， 连 结 CE.（ 1） 求 证 ： BD=EC；（ 2） 若 E=50。 ， 求 BAO的 度 数 。 A B CDO E 我 的 收 获 是 这 节 课 我 学 到 了 什 么 ？ 我 还 有 的 疑 惑 第 1、 2、 3题 选 做 题（ 1） 求 点 A的 坐 标 ；（ 2） 求 k的 值 。1.如 图 ， 菱 形 OABC的 顶 点 B在 y轴 上 ， 顶 点 C的 坐 标 为 （ -3， 2） ， 若 反比 例 函 数 的 图 象 经 过 点 A.B AC O xy 一 个 人 一 天 也 不 能 没 有 理 想 ， 凭 侥 幸 、怕 吃 苦 、 没 有 真 才 实 学 ， 再 好 的 理 想 也不 能 实 现 不 了 。