同济高数第九章9-8(总)

第 九 章9-8总 习 题 2 21. , 4 .f x y x y x y 求 函 数 的 极 大 值 或 极 小 值解 ： 4 2 0 2 24 2 0 xyf xf y 由 ， 得 驻 点 ， ， 2, 2 2, 2, 2 0, 2, 2 2xx xy yyA f B f C f 2 40, 20, 2 22, 2 8AC B Af 因 所 以 ， 为 极 大 值 点 ，极 大 值 为 ：2. 1 .z x y x y 求 函 数 在 约 束 条 件 下 的 极 大 值解 ： , 1 ,L x y x y x y 令 1 02 1 021 0 xyL xL yx y 1 12 2 得 驻 点 ， ， 1 1, 22 2z 极 大 值 为 3. .k要 造 一 容 积 等 于 的 长 方 体 无 盖 水 池 ， 应 如 何 选 择 水 池 的 尺 寸 ，方 可 使 它 的 表 面 积 最 小 1解 ： 2 , ,S xy xz yz xyz k 目 标 函 数 条 件 限 制 ： L , , 2x y z xy xz yz xyz k 令 2 02 02 00 x yzL y z yzL x z xzL x y xyxyz k 33 3 22 , 2 , 2kk k 得 驻 点 ： 2x y z 所 以 33 3 22 , 2 2. kk k由 题 意 最 小 值 存 在 ， 所 以 当 长 ， 宽 分 别 为 高 为 时 ，表 面 积 最 小 2解 ： 1 12S xy k y x 化 为 无 条 件 极 值 问 题222 0,2 0 xy kS y xkS x y 33 22 , 2kx y k z 得 33 3 22 , 2 2. kk k由 题 意 最 小 值 存 在 ， 所 以 当 长 ， 宽 分 别 为 高 为 时 ，表 面 积 最 小4. 0, 0 2 16 0.xoy x y x y 在 平 面 上 求 一 点 ， 使 它 到 直 线 及 的距 离 平 方 之 和 为 最 小 解 ： 22 2 2 16L ,5x yx y 令 22 2 16 0542 2 16 05xyL x x yL y x y 8 165 5 得 所 求 点 ， 2 25. 1z x y x y z 抛 物 面 被 平 面 截 成 一 椭 圆 ， 求 原 点 与 该椭 圆 上 点 的 距 离 的 最 大 值 与 最 小 值 .解 ： 2 2 2 22 2 , 1,d x y zz x y x y z 距 离 平 方 函 数 :条 件 限 制 : 2 2 2 2 2L , , 1x y z x y z z x y x y z 令 2 22 2 02 2 02 001 0 xyzL x xL y yL zz x yx y z 22 , 2 ,2 2 1 0y x z xx x 得 1 3 1 3 2 32 2 驻 点 ， ， 2 2max 1 32 2 3 9 5 32d 最 大 值 为 2 2min 1 32 2 3 9 5 32d 最 小 值 为 6. , , , , , . m n pa x y z f x y z x y zm n p 将 正 数 分 成 三 个 正 数 之 和 ， 并 使 为 最 大 ，其 中 为 已 知 正 数解 ： L , , m n px y z x y z x y z a 令 1 1 1 0000m n px m n py m n pzL mx y zL nx y zL px y zx y z a max m n pnay m n ppaz m n p 得 ： 9总 习 题 2. ln 1 011xzxy z y e 问 方 程 在 点 ， ， 的 某 领 域 内 必 定存 在 哪 个 隐 函 数 ？解 ： , , ln 1,xzF x y z xy z y e 设 , , ln ,xz xz x y zzF y ze F x F y xey 0,1,1 2 0, 0,1,1 1 0, 0,1,1 0,y zF F F , ; ,x x y z y y x z 所 以 可 确 定 隐 函 数 ： 2 222 21 14. ,2 2 0y axy axz y ax y ax t dtaz zax y 设 其 中 ， 都 具 有连 续 的 二 阶 偏 导 数 ， 求 证解 ： 1 12 2z a y ax a y ax a y ax a y axx a 2 2 2 2 1 12 2z a y ax a y ax a y ax a y axx 1 12 2z y ax y ax y ax y axy a 2 2 1 12 2z y ax y ax y ax y axy a 2 222 2 0z zax y 所 以 2 25. cos ,sin , , 111 2 3 .le f x y x xy yl 设 求 函 数 在 点 ，沿 方 向 的 方 向 导 数 ， 并 分 别 确 定 ， 使 这 导 数 有 ：最 大 值 ； 最 小 值 ； 等 于 零解 ： grad 1,1 1,1 cos ,sin cos sin2sin 4lf f el 2 , 2 ,x yf x y f y x 1 452 43 73 .4 4 当 时 ， 方 向 导 数 最 大 ；当 时 ， 方 向 导 数 最 小 ；当 或 时 ， 方 向 导 数 等 于 零 2 2 22 2 26. 1x y za b c 在 第 一 象 限 内 作 椭 球 面 的 切 平 面 ， 使 得 该 切 平 面与 三 坐 标 面 所 围 成 的 四 面 体 的 体 积 最 小 ， 试 求 这 切 平 面 的 切 点 ，并 求 此 最 小 体 积 .解 ： 2 2 22 2 2, , 1, , ,x y zF x y z x y za b c 设 切 点 为 2 2 22 2 2, , , ,x y z x y zn F F F a b c 2 2 2 0 x y zX x Y y Z za b c 切 平 面 方 程 ： 2 2 2X , , ,a b cY Zx y z 得 截 距 为 ： 2 2 2 2 2 2 2 2 2, 16a b c x y zV xyz a b c 所 以 目 标 函 数 ： 条 件 限 制 ： 2 2 22 2 2L , , 1x y zx y z xyz a b c 令 22 22 2 22 2 22 02 02 01 0 xyz xL yz a yL xz b zL xy cx y za b c , , ,3 3 3a b c 得 驻 点 即 所 求 切 点 min 32V abc 2 22 28. D , 75 , 75 .xoyx y x y xyh f x y x y xy 设 有 一 小 山 ， 取 它 的 底 面 所 在 平 面 为 坐 标 面 ，其 底 部 所 占 的 闭 区 域 为小 山 的 高 度 函 数 为 0 0 0 00 01 M , , , , , ;x y D f x y x yg x y设 问 在 该 点 沿 平 面 上 什 么 方 向 的的 方 向 导 数 最 大 ， 若 记 此 方 向 导 数 的 最 大 值 为 g试 写 出 2 现 欲 利 用 此 小 山 开 展 攀 岩 活 动 ， 为 此 需 在 山 脚 找 一 山 坡 度最 大 的 点 作 为 起 点 ， 试 确 定 攀 岩 起 点 的 位 置 .解 ： 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 , , , , 2 , 2x yf x y f x y f x y y x x y 沿方 向 导 数 最 大 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, , 2 2 5 8 5g x y f x y y x x y x x y y 2 22 , , 75,g x y x y xy 目 标 函 数 条 件 限 制 2 2 2 2L , 5 8 5 75x y x xy y x y xy 令 2 210 8 2 0 110 8 2 0 275 0 3xyL x y x yL y x y xx y xy 1 2 2 0 x y 由 得 2 1 , 3 5 3, 3 5, 5,y x y xy x x y 若 ， 由 得 代 入 得若 代 入 得 1 2 3 4M 5,-5 ,M -5,5 ,M 5 3,5 3 ,M -5 3,-5 3驻 点 为 1 2 3 4450, 150g M g M g M g M 1 2M 5,5 M -5,-5 .故 可 选 点 或 作 为 攀 岩 的 起 点