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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/12/20 Sunday,0,“,线段最值问题,”,漫谈,2020.08.23,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),“线段最值问题”漫谈2020.08.232020年重庆中考复,1,目,录,命题地位,1,基本类型,2,3,解决策略,4,核心知识,问题关键,5,分类例析,6,7,考题赏析,目命题地位1基本类型23解决策略4核心知识问题关键5分类例析,2,“,线段最值,”,问题是重庆中考的热点问题(每年必考),题型多样,变化灵活,综合性强,考查的知识点众多,涉及多种数学思想、方法和技能技巧,对学生的各种能力要求较高,一般都是各题型的,压轴题,拉分题。,深刻理解把握这一问题的基本原理、解决策略,利于我们把握中考方向,在教学实践中才能做到有的放矢,提高教学的针对性、有效性。,命题地位,“线段最值”问题是重庆中考的热点问题(每年必考),3,基本类型,基本类型,4,所有线段最值问题核心知识的老祖宗只有两个:,两点之间,线段最短;,点线之间,垂线段最短。,基本图形,AB,最短,PA+PB,AB,核心知识,所有线段最值问题核心知识的老祖宗只有两个:基本图形AB最短P,5,由此派生:,三角形两边之和大于第三边,基本图形,结论,PA+PB,AB,由此派生:基本图形结论,6,平行线之间,垂线段最短,基本图形,结论,AB,最短,平行线之间,垂线段最短基本图形结论,7,点圆之间,点心线截距最短(长),基本图形,结论,PA,最短,PB,最长,点圆之间,点心线截距最短(长)基本图形结论,8,线圆之间,心垂线截距最短,基本图形,结论,PA,最,长,PB,最,短,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),线圆之间,心垂线截距最短基本图形结论2020年重庆中考复习,9,圆圆之间,连心线截距最短(长),基本图形,结论,AB,最,长,CD,最,短,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),圆圆之间,连心线截距最短(长)基本图形结论2020年重庆中,10,复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变式得到的,在解决这一类问题的时候,常常需要通过几何变换进行转化,逐渐转化为,“,基本图形,”,,再运用,“,基本图形,”,的知识解决。常运用的典型几何变换有:,(,1,)平移,-“,架桥选址,”,(,2,)翻折,-“,将军饮马,“,(,3,)旋转,-,“,费马点问题,“,(,4,)相似,-,“,阿氏圆问题,“,(,5,)三角,-“,胡不归问题,“,(,6,)多,变换综合运用,解决策略,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变,11,复杂的几何最值问题的关键,-,明确动点运动的路径(轨迹),【例,1,】,在,O,中,圆的半径为,6,,点,A,在,O,上,,AC,是,O,的切线,,B,是,O,上以动点,且,B=30,,则,CD,的最小值是,.,E,问题关键,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),复杂的几何最值问题的关键-明确动点运,12,【例,2,】,(,2020,滕州市一模改编),在矩形ABC,D,中,AB=,4,,BC=6,,P,是矩形,ABCD,内一动点,,且,S,P,AB,=2S,PCD,.,则线段,PC+PD,最小值为,.,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),【例2】(2020滕州市一模改编)在矩形ABCD 中,AB=,13,动点轨迹之,-,瓜豆原理,瓜豆原理,:,若两动点到某定点的距离之比是定值,夹角是定角,则两动点的运动路径相同。,瓜豆原理是主从联动问题,主动点叫做瓜,从动点叫做豆,瓜在直线上运动,豆的运动轨迹也是直线;瓜,在圆周上运动,豆的运动轨迹也是圆。,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),动点轨迹之-瓜豆原理瓜豆原理:若两动点到某定点的距,14,【,例,3,】,如图,直角,ABC中,C=90,D是AC边上一动点,以BD为边,在BD上方作等腰直角,BDE,使得BDE=90,连接AE.若BC=4,AC=5,则AE的最小值是,.,动点轨迹之,-,瓜豆原理,(,核心方法:构相似),法一:,特殊位置定轨迹,4,5,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),【例3】如图,直角ABC中,C=90,D是AC边上一动,15,【,例,3,】,如图,直角,ABC中,C=90,D是AC边上一动点,以BD为边,在BD上方作等腰直角,BDE,使得BDE=90,连接AE.若BC=4,AC=5,则AE的最小值是,.,动点轨迹之,-,瓜豆原理,(,核心方法:构相似),解题顺口溜,“,两动两定,取新点,”,“,相同操作,连新从,”,“,手拉手型,得相似,”,“,相似定值,得轨迹,”,法二:,构造法定轨迹,E,1,4,5,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),【例3】如图,直角ABC中,C=90,D是AC边上一动,16,【,例,4,】,如图,在平面直角坐标系中,,A,(,2,,,3,),,A的半径为,2,,点,P,为,A上一动点,.以,OP,为边做等腰直角三角形,OPQ,,,当点,P,在,A,上运动时,,AQ,的长度的最小值为,.,最大值为,.,M,解题顺口溜,“,两动两定,取新点,”,“,相同操作,连新从,”,“,手拉手型,得相似,”,“,相似定值,得轨迹,”,Q,1,Q,2,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),【例4】如图,在平面直角坐标系中,A(2,3),A的半径为,17,【,例,5,】,如图,在Rt,ABC中,ABC=90,,AB=4,BC=3,点D是半径为2的,A上一动点,点M是CD的中点,则BM的最大值是,.,解题顺口溜,“,连接心动,取新点,”,“,相同操作,连新从,”,“,A,型相似,得定值,”,“,根据定值,得轨迹,”,N,M,1,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),【例5】如图,在RtABC中,ABC=90,AB=4,,18,动点轨迹之,-,隐圆问题,【,模型,1,】,共端点,等线段模型,【,模型,2,】,定弦定角模型,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),动点轨迹之-隐圆问题【模型1】 共端点,等线段模型【模,19,【例,6,】,如图,菱形ABCD边长为4,A=60,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将,AMN沿MN所在的直线翻折得到,AMN,连接AC,则AC的最小值是,.,A,1,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),【例6】如图,菱形ABCD边长为4,A=60,M是AD边,20,【例,7,】,如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是矩形内部的一个动点,且AEBE,则线段CE的最小值为,.,E,O,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),【例7】如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是矩形,21,【例,8,】,如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足,AE=DF,。连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H,.,若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是,.,O,H,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),【例8】如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足,22,垂线段最短类,【,例,9,】,(,2020,营口,)如图,,ABC,为等边三角形,边长为,6,,,ADBC,,垂足为点,D,,点,E,和点,F,分别是线段,AD,和,AB,上的两个动点,连接,CE,,,EF,,则,CE+EF,的最小值为,F,F,1,基本思想,同,侧化,异,侧、,折,线化,直,线,分类例析,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),垂线段最短类【例9】(2020营口)如图,ABC为等边三,23,【,例,10,】,(,2020,内江,),如图,在矩形,ABCD,中,,BC,10,,,ABD,30,,若点,M,、,N,分别是线段,DB,、,AB,上的两个动点,则,AM,+,MN,的最小值为,M,1,N,1,N,2,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),【例10】(2020内江)如图,在矩形ABCD中,BC1,24,【,例,11,】,(,2020,铁岭,),如图,已知平行四边形,ABCD,的顶点,A,的坐标为(,0,,,4,),顶点,B,、,D,分别在,x,轴和直线,y,3,上,则对角线,AC,的最小值是,N,y=-1.5,M,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),【例11】(2020铁岭)如图,已知平行四边形ABCD的顶,25,将军饮马类,基本思想,-,同,侧化,异,侧、,折,线化,直,线,基本方法,-,N,个动点,N,条河,,N,次,对称,跑不脱,解题关键,-,-,根据,结论,抓,点、线,分类例析,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),将军饮马类基本思想 - 同侧化异侧、折线化直线基本,26,将军饮马类,【例,12,】,(一动两定型),如图,,ABC中,ACB90,AC4,BC6,CD平分ACB交AB于点D,点E是AC的中点,点P是CD上一动点,则PA+PE的最小值是为,.,河边,E,1,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(,56,张,PPT,),将军饮马类【例12】(一动两定型)如图,ABC中,ACB,27,【例,13,】,(两动两定型),如图,已知A(6,2),B(2,4),点M是y轴正半轴上一点,点N是x轴负半轴上一点,连接AB,BM,MN,NA则四边形ABMN周长的最小值为,.,将军饮马类,河边,河边,A,1,N,1,M,1,B,1,【例13】(两动两定型)如图,已知A(6,2),B(2,,28,【例,14,】,(两动一定型),如图,AOB45,点P是AOB内的定点且OP ,若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点,则,PMN周长的最小值是,河边,河边,P,1,P,2,将军饮马类,N,1,M,1,【例14】(两动一定型)如图,AOB45,点P是AO,29,将军饮马类,【例,15,】,(三动点型),如图,点,A,是,O,2,上一动点,点,B,是,O,1,上一动点,,,点P是直线,L,上动点,且,O,1,的半径为,3,,,O,2,的半径为,5,,,O,1,O,2,=18,,则,PA+PB,的,最小值是,将军饮马类【例15】(三动点型)如图,点A是O2上一动点,,30,【例,16,】,(三动点型),如图,在,ABC中,AC=1,BAC=60,且 ACBC,弧BC所对的圆心角为 60,.,若点 P 在弧BC上运动, E、F 分别在 AB、AC 上,则PE+PF+EF 的最小值为,.,将军饮马类,O,P,1,P,2,P,3,【例16】(三动点型)如图,在ABC中, AC=1,B,31,将军饮马类,【例,17,】,(知识综合型),如图,正方形ABCD的边长是4,点E是AD边上一动点,连接BE,过点A作AFBE于点F,点P是AD边上另一动点,则PC+PF的最小值为,.,C,1,O,将军饮马类【例17】(知识综合型)如图,正方形ABCD的边长,32,架桥选址类,【例,18,】,已知A(1,1)、B(4,2),CD为轴上一条动线段,D在C点右边且CD1,求:AC+,CD,+DB的最小值和此时C点的坐标;,解题要点:,将,定点,沿,定长方向,平移,定长距离,将军饮马,A,1,B,1,B,1,A,1,架桥选址类【例18】已知A(1,1)、B(4,2),CD为轴,33,【例,1,9,】,如图,菱形 ABCD 中,AB=4,BAD=60,M、N 是 AC 上两动点,且 MN=2,则BM+BN的最小值为_,.,架桥选址类,解题要点:,将,定点,沿,定长方向,平移,定长距离,将军饮马,B,1,B,1,【例19】如图,菱形 ABCD 中,AB=4,BAD=60,34,架桥选址类,【例,20,】,如图,在矩形ABCD中,AB ,BC1,将,A,BD沿射线DB平移得到,ABD,连接BC,DC,则BC+DC的最小值是,C,1,C,2,架桥选址类【例20】如图,在矩形ABCD中,AB,35,【,古老传说,】,说的是一个身在他乡的小伙子,得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。,(如下图),点,A,是出发地,,B,是目的地;,AC,是一条驿道,而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家,小伙子选择了直线路程,AB,。但是,他忽略了在驿道上行走要比在砂地,上,行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线(尽管这条路线长一些,但是速度可以加快),是可以提前抵达家门的。然而,当他气喘吁吁地来到父亲的面前时,老人刚刚咽气了。人们告诉他,在弥留之际,老人在不断喃喃地叨念:“胡不归?胡不归?”,这个古老的传说,引起了人们的思索,:,小伙子能否提前到,家?倘若可以,他应该,选择一条怎样的路线呢?这就是风靡千百,年的“,胡不归,”问题。,“,胡不归,”,问题,【古老传说】说的是一个身在他乡的小伙子,得知父亲病危的消息后,36,【,数学问题,】,根据两种路面的状况和在其上行走的速度值,可以在,AC,上选定一点,P,,小伙子从,A,走到,P,,然后,从,P,折往,B,,可望,最早,到达,B,。,问题:,若在驿道上行走的速度为,v,1,=8,km/h,,在沙地上行走的速度为,v,2,=4,km/h.,(,1,),小伙子,回家需要的时间可表示为,;,(,2,),点,P,选择在何处他回家的时间最短?,【数学问题】,37,【,问题解决,】,点,P,1,即为最佳选择点,,BD,即为 的最小值,.,作图步骤(,四部曲,),1.,找带分数的线段,PA,2.,线段,PA,的定端点,P,3.,过定端点,P,作射线,PN,PN,需满足:,(,1,),MPN,满足,sinP=,(,2,),“,”,异,“,”,同的原则,4.,过,B,作射线,PN,的垂线,BD,即可,.,30,C,D,P,1,N,【问题解决】点P1即为最佳选择点,BD即为,38,【例,21,】,如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,4),B(1,0),在y轴上有一动点G,则BG + AG的最小值为,.,驿道,G,C,M,点,G,为最值点,,BC,为所求线段,【例21】如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,4),B(,39,【例,22,】,已知B(-1,0),P(1,- 4),在x轴上找点,M,,在y轴上找点,H,使 最小,并求最小值,.,M,H,P,1,C,D,1,M,1,D,点,M,1,为最值点,,P,1,D,1,为所求线段,【例22】已知B(-1,0),P(1,- 4),在x轴上找点,40,“,阿氏圆,”,问题,【,问题背景,】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆,已知平面上两点 A、B,则所有满足,PA/PB=k,(k1)的点 P 的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称,“阿波罗尼斯圆”简称,“阿氏圆”,.,如下图所示,其中,PA:PBOP:OBOA:OP,k,.,“阿氏圆”问题【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆,已知平面上,41,【,例,23,】,如图,已知AC=6,BC=8,AB=10,以点C为圆心,4为半径作圆,点D是,C上的一个动点,连接AD、BD,.,则,(1),AD+ BD的最小值_,.,(2) AD+BD,的最小值为,=,.,解题步骤(,五部曲,),1.,连:,连接圆心与动点,CD,2.,构:,构,“,母子,”,型,柳腰,相似,-,缩小型内构;扩大型外构,-,半径,CD,为公共边,3.,算:第三边,CE,的长度,4.,连:,连接,AE,5.,求:求,AE,的长,6,8,10,4,E,2,【例23】如图,已知AC=6,BC=8,AB=10,以点C为,42,【,例,24,】,已知扇形COD中,COD=90,,,OC=6,OA=3,OB=5,点P是弧CD上一点,求:2PA+PB的最小值,.,3,5,6,E,BE,为所求线段,12,【例24】已知扇形COD中,COD=90,OC=6,OA,43,【,例,25,】,如图,P 是正方形 ABCD 内一动点,AD=6,CP=4, 求: 3PA+2PD 的最小值,6,4,6,E,AE,为所求线段,【例25】如图,P 是正方形 ABCD 内一动点,AD=6,,44,“,费马点,”,问题,如图,如果,ABC,的内角均小于,120 ,,在,ABC,内作,点,P,,使,PA+PB+PC,值,最小,.,【,数学问题,】,【,作法,】,如图,以,AB,、,AC,为边,在,ABC,的外部作等边,ABD,和等边,ACE,,,CD,与,BE,交于,点,P,,此时,PA+PB+PC,值最小,.,点,P,即为,ABC,的费马点,.,“费马点”问题如图,如果ABC的内角均小于120 ,在,45,【,费马点性质,】,1,、,PA+PB+PC,值最小,2,、,最小值,=,CD,=,BE,=PA+PB+PC,3,、,APB=,APC=,BPC=120,【,解决思路,-,外旋,60,】,如图,把,APC,绕,A,点逆时针旋转,60,得到,AP,1,C,1,,连接,PP,1,则,APP,1,为等边三角形,,AP,=,PP,1,,,P,1,C,1,=,PC,,所以,PA+PB+PC,=,PP,1,+,PB,+,P,1,C,1,BC,1,为定长 ,所以当,B,、,P,、,P,1,、,C,1,四点在同一直线上时,,,PA+PB+PC,的值最小,.,【费马点性质】1、PA+PB+PC值最小【解决思路-外,46,【,例,26,】,如图,,在,ABC中,ACB=30,BC=6, AC=5, 在,ABC内部有点P,连接PA、PB、PC,求:PA+PB+PC的最小值.,D,6,5,【例26】如图,在ABC中,ACB=30,BC=6,47,【,例,27,】,如图,在矩形ABCD中,,AB=4,,,BC=6,,点P是矩形内部一动点,过点P作PEAD于点E,连接PB,PC,则,PE+PB+PC,的最小值为,.,6,4,F,G,FG,为所求线段,【例27】如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点P是,48,“,其它,类型,”,的,线段最值,【,例,28,】,如图,在矩形 ABCD 中,AB=,3, BC=,2,,顶点 A、B 分别在 x、y 轴上滑动,点 C 在 第一象限,连接 OC,则OC 的最大值为,.,M,“其它类型”的线段最值【例28】如图,在矩形 ABCD 中,,49,【,例,29,】,(,2020,常州),如图,,AB,是,O,的弦,点,C,是优弧,AB,上的动点(,C,不与,A,、,B,重合),,CHAB,,垂足为,H,,点,M,是,BC,的中点若,O,的半径是,3,,则,MH,长的最大值是()A3 B4 C5 D6,C,1,【例29】(2020常州)如图,AB是O的弦,点C是优弧,50,【,例,30,】,(,2020,常州),如图,在,ABC,中,,AB,2,,,ABC,60,,,ACB,45,,,D,是,BC,的中点,直线,l,经过点,D,,,AE,l,,,BF,l,,垂足分别为,E,,,F,,则,AE,+,BF,的最大值为,C,1,G,G,1,【例30】(2020常州)如图,在ABC中,AB2,,51,“,重庆中考试题,”,赏析,【,2020,重庆,B,卷,26,题,】,ABC,为等边三角形,,AB,8,,,AD,BC,于点,D,,,E,为线段,AD,上一点,,AE,2,,,以,AE,为边在直线,AD,右侧构造等边三角形,AEF,,连接,CE,,,N,为,CE,的中点,(,3,),连接,BN,,在,AEF,绕点,A,逆时针旋转过程中,当线段,BN,最大时,请直接写出,ADN,的面积,8,G,N,1,考查要点,1.,隐圆问题,2.,瓜豆原理,3.,点圆最值,“重庆中考试题”赏析【2020重庆B卷26题】ABC为等边,52,【,2020,重庆,A,卷,26,题,】,如图,在,Rt,ABC,中,,BAC,90,,,AB,AC,,点,D,是,BC,边上一动点,连接,AD,,把,AD,绕点,A,逆时针旋转,90,,得到,AE,,连接,CE,,,DE,点,F,是,DE,的中点,连接,CF,(,3,),在点,D,运动的过程中,在线段,AD,上存在一点,P,,使,PA,+,PB,+,PC,的值最小,当,PA,+,PB,+,PC,的值取得最小值时,,AP,的长为,m,,请直接用含,m,的式子表示,CE,的长,P,M,P,1,D,1,考查要点,1.,费马点问题,2.,瓜豆原理,【2020重庆A卷26题】如图,在RtABC中,BAC,53,【,2019,重庆,A,卷,26,题,】,如图,在平面直角坐标系中,抛物线,y,x,2,2,x,3,与,x,轴交于点,A,,,B,(点,A,在点,B,的左侧),交,y,轴于点,C,,点,D,为抛物线的顶点,对称轴与,x,轴交于点,E,(,1,)连结,BD,,点,M,是线段,BD,上一动点(点,M,不与端点,B,,,D,重合),过点,M,作,MN,BD,,交抛物线于点,N,(点,N,在对称轴的右侧),过点,N,作,NH,x,轴,垂足为,H,,交,BD,于点,F,,点,P,是线段,OC,上一动点,当,MN,取得最大值时,,求:,HF,+,FP,+,PC,的最小值;,M,N,H,F,P,G,P,1,驿道,考查要点,1.,胡不归,问题,【2019重庆A卷26题】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y,54,用习惯和智慧创造奇迹,,用理想和信心换取动力,!,祝您成功!,用习惯和智慧创造奇迹,,55,谢谢聆听!,谢谢聆听!,56,
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