重庆中考复习数学“线段最值问题”漫谈教学ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/12/20 Sunday,0,“,线段最值问题,”,漫谈,2020.08.23,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,“线段最值问题”漫谈2020.08.232020年重庆中考复,1,目,录,命题地位,1,基本类型,2,3,解决策略,4,核心知识,问题关键,5,分类例析,6,7,考题赏析,目命题地位1基本类型23解决策略4核心知识问题关键5分类例析,2,“,线段最值,”,问题是重庆中考的热点问题（每年必考），题型多样，变化灵活，综合性强，考查的知识点众多，涉及多种数学思想、方法和技能技巧，对学生的各种能力要求较高，一般都是各题型的,压轴题，拉分题。,深刻理解把握这一问题的基本原理、解决策略，利于我们把握中考方向，在教学实践中才能做到有的放矢，提高教学的针对性、有效性。,命题地位,“线段最值”问题是重庆中考的热点问题（每年必考）,3,基本类型,基本类型,4,所有线段最值问题核心知识的老祖宗只有两个：,两点之间，线段最短；,点线之间，垂线段最短。,基本图形,AB,最短,PA+PB,AB,核心知识,所有线段最值问题核心知识的老祖宗只有两个：基本图形AB最短P,5,由此派生：,三角形两边之和大于第三边,基本图形,结论,PA+PB,AB,由此派生：基本图形结论,6,平行线之间，垂线段最短,基本图形,结论,AB,最短,平行线之间，垂线段最短基本图形结论,7,点圆之间，点心线截距最短（长）,基本图形,结论,PA,最短,PB,最长,点圆之间，点心线截距最短（长）基本图形结论,8,线圆之间，心垂线截距最短,基本图形,结论,PA,最,长,PB,最,短,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,线圆之间，心垂线截距最短基本图形结论2020年重庆中考复习,9,圆圆之间，连心线截距最短（长）,基本图形,结论,AB,最,长,CD,最,短,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,圆圆之间，连心线截距最短（长）基本图形结论2020年重庆中,10,复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变式得到的，在解决这一类问题的时候，常常需要通过几何变换进行转化，逐渐转化为,“,基本图形,”,，再运用,“,基本图形,”,的知识解决。常运用的典型几何变换有：,（,1,）平移,-“,架桥选址,”,（,2,）翻折,-“,将军饮马,“,（,3,）旋转,-,“,费马点问题,“,（,4,）相似,-,“,阿氏圆问题,“,（,5,）三角,-“,胡不归问题,“,（,6,）多,变换综合运用,解决策略,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变,11,复杂的几何最值问题的关键,-,明确动点运动的路径（轨迹）,【例,1,】,在,O,中，圆的半径为,6,，点,A,在,O,上，,AC,是,O,的切线，,B,是,O,上以动点，且,B=30,，则,CD,的最小值是,.,E,问题关键,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,复杂的几何最值问题的关键-明确动点运,12,【例,2,】,（,2020,滕州市一模改编）,在矩形ABC,D,中，AB=,4,，BC=6，,P,是矩形,ABCD,内一动点,，且,S,P,AB,=2S,PCD,.,则线段,PC+PD,最小值为,.,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,【例2】（2020滕州市一模改编）在矩形ABCD 中，AB=,13,动点轨迹之,-,瓜豆原理,瓜豆原理,：,若两动点到某定点的距离之比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。,瓜豆原理是主从联动问题，主动点叫做瓜，从动点叫做豆，瓜在直线上运动，豆的运动轨迹也是直线；瓜,在圆周上运动，豆的运动轨迹也是圆。,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,动点轨迹之-瓜豆原理瓜豆原理：若两动点到某定点的距,14,【,例,3,】,如图,直角,ABC中,C=90,D是AC边上一动点,以BD为边,在BD上方作等腰直角,BDE,使得BDE=90，连接AE.若BC=4，AC=5，则AE的最小值是,.,动点轨迹之,-,瓜豆原理,（,核心方法：构相似）,法一：,特殊位置定轨迹,4,5,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,【例3】如图,直角ABC中,C=90,D是AC边上一动,15,【,例,3,】,如图,直角,ABC中,C=90,D是AC边上一动点,以BD为边,在BD上方作等腰直角,BDE,使得BDE=90，连接AE.若BC=4，AC=5，则AE的最小值是,.,动点轨迹之,-,瓜豆原理,（,核心方法：构相似）,解题顺口溜,“,两动两定,取新点,”,“,相同操作,连新从,”,“,手拉手型,得相似,”,“,相似定值,得轨迹,”,法二：,构造法定轨迹,E,1,4,5,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,【例3】如图,直角ABC中,C=90,D是AC边上一动,16,【,例,4,】,如图，在平面直角坐标系中，,A,（,2,，,3,），,A的半径为,2,，点,P,为,A上一动点,.以,OP,为边做等腰直角三角形,OPQ,，,当点,P,在,A,上运动时，,AQ,的长度的最小值为,.,最大值为,.,M,解题顺口溜,“,两动两定,取新点,”,“,相同操作,连新从,”,“,手拉手型,得相似,”,“,相似定值,得轨迹,”,Q,1,Q,2,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,【例4】如图，在平面直角坐标系中，A（2，3），A的半径为,17,【,例,5,】,如图,在Rt,ABC中,ABC=90,，AB=4，BC=3，点D是半径为2的,A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是,.,解题顺口溜,“,连接心动,取新点,”,“,相同操作,连新从,”,“,A,型相似,得定值,”,“,根据定值,得轨迹,”,N,M,1,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,【例5】如图,在RtABC中,ABC=90，AB=4，,18,动点轨迹之,-,隐圆问题,【,模型,1,】,共端点，等线段模型,【,模型,2,】,定弦定角模型,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,动点轨迹之-隐圆问题【模型1】 共端点，等线段模型【模,19,【例,6,】,如图,菱形ABCD边长为4,A=60,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将,AMN沿MN所在的直线翻折得到,AMN,连接AC,则AC的最小值是,.,A,1,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,【例6】如图,菱形ABCD边长为4,A=60,M是AD边,20,【例,7,】,如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AEBE，则线段CE的最小值为,.,E,O,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,【例7】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形,21,【例,8,】,如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足,AE=DF,。连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H,.,若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是,.,O,H,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,【例8】如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足,22,垂线段最短类,【,例,9,】,（,2020,营口,）如图，,ABC,为等边三角形，边长为,6,，,ADBC,，垂足为点,D,，点,E,和点,F,分别是线段,AD,和,AB,上的两个动点，连接,CE,，,EF,，则,CE+EF,的最小值为,F,F,1,基本思想,同,侧化,异,侧、,折,线化,直,线,分类例析,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,垂线段最短类【例9】（2020营口）如图，ABC为等边三,23,【,例,10,】,（,2020,内江,）,如图，在矩形,ABCD,中，,BC,10,，,ABD,30,，若点,M,、,N,分别是线段,DB,、,AB,上的两个动点，则,AM,+,MN,的最小值为,M,1,N,1,N,2,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,【例10】（2020内江）如图，在矩形ABCD中，BC1,24,【,例,11,】,（,2020,铁岭,）,如图，已知平行四边形,ABCD,的顶点,A,的坐标为（,0,，,4,），顶点,B,、,D,分别在,x,轴和直线,y,3,上，则对角线,AC,的最小值是,N,y=-1.5,M,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,【例11】（2020铁岭）如图，已知平行四边形ABCD的顶,25,将军饮马类,基本思想,-,同,侧化,异,侧、,折,线化,直,线,基本方法,-,N,个动点,N,条河，,N,次,对称,跑不脱,解题关键,-,-,根据,结论,抓,点、线,分类例析,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,将军饮马类基本思想 - 同侧化异侧、折线化直线基本,26,将军饮马类,【例,12,】,（一动两定型）,如图，,ABC中，ACB90，AC4，BC6，CD平分ACB交AB于点D，点E是AC的中点，点P是CD上一动点，则PA+PE的最小值是为,.,河边,E,1,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,2020,年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈（,56,张,PPT,）,将军饮马类【例12】（一动两定型）如图，ABC中，ACB,27,【例,13,】,（两动两定型）,如图，已知A（6，2），B（2，4），点M是y轴正半轴上一点，点N是x轴负半轴上一点，连接AB，BM，MN，NA则四边形ABMN周长的最小值为,.,将军饮马类,河边,河边,A,1,N,1,M,1,B,1,【例13】（两动两定型）如图，已知A（6，2），B（2，,28,【例,14,】,（两动一定型）,如图，AOB45，点P是AOB内的定点且OP ，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则,PMN周长的最小值是,河边,河边,P,1,P,2,将军饮马类,N,1,M,1,【例14】（两动一定型）如图，AOB45，点P是AO,29,将军饮马类,【例,15,】,（三动点型）,如图，点,A,是,O,2,上一动点，点,B,是,O,1,上一动点,，,点P是直线,L,上动点，且,O,1,的半径为,3,，,O,2,的半径为,5,，,O,1,O,2,=18,，则,PA+PB,的,最小值是,将军饮马类【例15】（三动点型）如图，点A是O2上一动点，,30,【例,16,】,（三动点型）,如图，在,ABC中,AC=1，BAC=60，且 ACBC，弧BC所对的圆心角为 60,.,若点 P 在弧BC上运动， E、F 分别在 AB、AC 上，则PE+PF+EF 的最小值为,.,将军饮马类,O,P,1,P,2,P,3,【例16】（三动点型）如图，在ABC中, AC=1，B,31,将军饮马类,【例,17,】,（知识综合型）,如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AFBE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为,.,C,1,O,将军饮马类【例17】（知识综合型）如图，正方形ABCD的边长,32,架桥选址类,【例,18,】,已知A（1，1）、B（4，2）,CD为轴上一条动线段，D在C点右边且CD1，求：AC+,CD,+DB的最小值和此时C点的坐标；,解题要点：,将,定点,沿,定长方向,平移,定长距离,将军饮马,A,1,B,1,B,1,A,1,架桥选址类【例18】已知A（1，1）、B（4，2）,CD为轴,33,【例,1,9,】,如图，菱形 ABCD 中，AB=4，BAD=60，M、N 是 AC 上两动点，且 MN=2，则BM+BN的最小值为_,.,架桥选址类,解题要点：,将,定点,沿,定长方向,平移,定长距离,将军饮马,B,1,B,1,【例19】如图，菱形 ABCD 中，AB=4，BAD=60,34,架桥选址类,【例,20,】,如图，在矩形ABCD中，AB ，BC1，将,A,BD沿射线DB平移得到,ABD，连接BC，DC，则BC+DC的最小值是,C,1,C,2,架桥选址类【例20】如图，在矩形ABCD中，AB,35,【,古老传说,】,说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。,（如下图）,点,A,是出发地，,B,是目的地；,AC,是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程,AB,。但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂地,上,行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”,这个古老的传说，引起了人们的思索,：,小伙子能否提前到,家？倘若可以，他应该,选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百,年的“,胡不归,”问题。,“,胡不归,”,问题,【古老传说】说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后,36,【,数学问题,】,根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在,AC,上选定一点,P,，小伙子从,A,走到,P,，然后,从,P,折往,B,，可望,最早,到达,B,。,问题：,若在驿道上行走的速度为,v,1,=8,km/h,，在沙地上行走的速度为,v,2,=4,km/h.,（,1,）,小伙子,回家需要的时间可表示为,;,（,2,）,点,P,选择在何处他回家的时间最短？,【数学问题】,37,【,问题解决,】,点,P,1,即为最佳选择点，,BD,即为 的最小值,.,作图步骤（,四部曲,）,1.,找带分数的线段,PA,2.,线段,PA,的定端点,P,3.,过定端点,P,作射线,PN,PN,需满足：,（,1,）,MPN,满足,sinP=,（,2,）,“,”,异,“,”,同的原则,4.,过,B,作射线,PN,的垂线,BD,即可,.,30,C,D,P,1,N,【问题解决】点P1即为最佳选择点，BD即为,38,【例,21,】,如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（1，0），在y轴上有一动点G，则BG + AG的最小值为,.,驿道,G,C,M,点,G,为最值点，,BC,为所求线段,【例21】如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（,39,【例,22,】,已知B（-1，0），P（1，- 4），在x轴上找点,M,，在y轴上找点,H,使 最小，并求最小值,.,M,H,P,1,C,D,1,M,1,D,点,M,1,为最值点，,P,1,D,1,为所求线段,【例22】已知B（-1，0），P（1，- 4），在x轴上找点,40,“,阿氏圆,”,问题,【,问题背景,】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B，则所有满足,PA/PB=k,（k1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称,“阿波罗尼斯圆”简称,“阿氏圆”,.,如下图所示，其中,PA：PBOP：OBOA：OP,k,.,“阿氏圆”问题【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上,41,【,例,23,】,如图，已知AC=6，BC=8，AB=10，以点C为圆心，4为半径作圆,点D是,C上的一个动点，连接AD、BD,.,则,(1),AD+ BD的最小值_,.,(2) AD+BD,的最小值为,=,.,解题步骤（,五部曲,）,1.,连：,连接圆心与动点,CD,2.,构：,构,“,母子,”,型,柳腰,相似,-,缩小型内构；扩大型外构,-,半径,CD,为公共边,3.,算：第三边,CE,的长度,4.,连：,连接,AE,5.,求：求,AE,的长,6,8,10,4,E,2,【例23】如图，已知AC=6，BC=8，AB=10，以点C为,42,【,例,24,】,已知扇形COD中,COD=90,，,OC=6，OA=3，OB=5,点P是弧CD上一点，求：2PA+PB的最小值,.,3,5,6,E,BE,为所求线段,12,【例24】已知扇形COD中,COD=90，OC=6，OA,43,【,例,25,】,如图，P 是正方形 ABCD 内一动点，AD=6，CP=4， 求： 3PA+2PD 的最小值,6,4,6,E,AE,为所求线段,【例25】如图，P 是正方形 ABCD 内一动点，AD=6，,44,“,费马点,”,问题,如图，如果,ABC,的内角均小于,120 ,，在,ABC,内作,点,P,，使,PA+PB+PC,值,最小,.,【,数学问题,】,【,作法,】,如图，以,AB,、,AC,为边，在,ABC,的外部作等边,ABD,和等边,ACE,，,CD,与,BE,交于,点,P,，此时,PA+PB+PC,值最小,.,点,P,即为,ABC,的费马点,.,“费马点”问题如图，如果ABC的内角均小于120 ，在,45,【,费马点性质,】,1,、,PA+PB+PC,值最小,2,、,最小值,=,CD,=,BE,=PA+PB+PC,3,、,APB=,APC=,BPC=120,【,解决思路,-,外旋,60,】,如图，把,APC,绕,A,点逆时针旋转,60,得到,AP,1,C,1,，连接,PP,1,则,APP,1,为等边三角形，,AP,=,PP,1,，,P,1,C,1,=,PC,，所以,PA+PB+PC,=,PP,1,+,PB,+,P,1,C,1,BC,1,为定长 ，所以当,B,、,P,、,P,1,、,C,1,四点在同一直线上时,，,PA+PB+PC,的值最小,.,【费马点性质】1、PA+PB+PC值最小【解决思路-外,46,【,例,26,】,如图，,在,ABC中，ACB=30，BC=6, AC=5, 在,ABC内部有点P，连接PA、PB、PC，求：PA+PB+PC的最小值.,D,6,5,【例26】如图，在ABC中，ACB=30，BC=6,47,【,例,27,】,如图，在矩形ABCD中，,AB=4,，,BC=6,，点P是矩形内部一动点，过点P作PEAD于点E，连接PB,PC，则,PE+PB+PC,的最小值为,.,6,4,F,G,FG,为所求线段,【例27】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点P是,48,“,其它,类型,”,的,线段最值,【,例,28,】,如图，在矩形 ABCD 中，AB=,3, BC=,2,，顶点 A、B 分别在 x、y 轴上滑动，点 C 在 第一象限，连接 OC，则OC 的最大值为,.,M,“其它类型”的线段最值【例28】如图，在矩形 ABCD 中，,49,【,例,29,】,（,2020,常州）,如图，,AB,是,O,的弦，点,C,是优弧,AB,上的动点（,C,不与,A,、,B,重合），,CHAB,，垂足为,H,，点,M,是,BC,的中点若,O,的半径是,3,，则,MH,长的最大值是（）A3 B4 C5 D6,C,1,【例29】（2020常州）如图，AB是O的弦，点C是优弧,50,【,例,30,】,（,2020,常州）,如图，在,ABC,中，,AB,2,，,ABC,60,，,ACB,45,，,D,是,BC,的中点，直线,l,经过点,D,，,AE,l,，,BF,l,，垂足分别为,E,，,F,，则,AE,+,BF,的最大值为,C,1,G,G,1,【例30】（2020常州）如图，在ABC中，AB2，,51,“,重庆中考试题,”,赏析,【,2020,重庆,B,卷,26,题,】,ABC,为等边三角形，,AB,8,，,AD,BC,于点,D,，,E,为线段,AD,上一点，,AE,2,，,以,AE,为边在直线,AD,右侧构造等边三角形,AEF,，连接,CE,，,N,为,CE,的中点,（,3,）,连接,BN,，在,AEF,绕点,A,逆时针旋转过程中，当线段,BN,最大时，请直接写出,ADN,的面积,8,G,N,1,考查要点,1.,隐圆问题,2.,瓜豆原理,3.,点圆最值,“重庆中考试题”赏析【2020重庆B卷26题】ABC为等边,52,【,2020,重庆,A,卷,26,题,】,如图，在,Rt,ABC,中，,BAC,90,，,AB,AC,，点,D,是,BC,边上一动点，连接,AD,，把,AD,绕点,A,逆时针旋转,90,，得到,AE,，连接,CE,，,DE,点,F,是,DE,的中点，连接,CF,（,3,）,在点,D,运动的过程中，在线段,AD,上存在一点,P,，使,PA,+,PB,+,PC,的值最小,当,PA,+,PB,+,PC,的值取得最小值时，,AP,的长为,m,，请直接用含,m,的式子表示,CE,的长,P,M,P,1,D,1,考查要点,1.,费马点问题,2.,瓜豆原理,【2020重庆A卷26题】如图，在RtABC中，BAC,53,【,2019,重庆,A,卷,26,题,】,如图，在平面直角坐标系中，抛物线,y,x,2,2,x,3,与,x,轴交于点,A,，,B,（点,A,在点,B,的左侧），交,y,轴于点,C,，点,D,为抛物线的顶点，对称轴与,x,轴交于点,E,（,1,）连结,BD,，点,M,是线段,BD,上一动点（点,M,不与端点,B,，,D,重合），过点,M,作,MN,BD,，交抛物线于点,N,（点,N,在对称轴的右侧），过点,N,作,NH,x,轴，垂足为,H,，交,BD,于点,F,，点,P,是线段,OC,上一动点，当,MN,取得最大值时，,求：,HF,+,FP,+,PC,的最小值；,M,N,H,F,P,G,P,1,驿道,考查要点,1.,胡不归,问题,【2019重庆A卷26题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y,54,用习惯和智慧创造奇迹，,用理想和信心换取动力,!,祝您成功！,用习惯和智慧创造奇迹，,55,谢谢聆听！,谢谢聆听！,56,