资源描述
,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,长春理工大学,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,本章要点：,傅里叶级数和傅里叶级数的性质,傅里叶变换和傅里叶变换的性质,周期信号和非周期信号的频谱分析,周期信号的傅里叶变换,LTI系统的频域分析,取样定理,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析本章要点：,1,信号分解为正交函数与矢量分解为正交矢量类似,一、正交矢量,：,定义：如果两个矢量 和 相互垂直，则称,和 为正交矢量。,设在平面上，两个矢量,和 夹角为,，,在,上的投影为,4.1信号分解为正交函数,信号分解为正交函数与矢量分解为正交矢量类似一、正交矢量：定义,2,其误差矢量为,：,1、要用一个矢量分量去代表原矢量，当分量,是原矢量的垂直投影时，误差矢量最小：,若用 来近似表示 ，则表达式为：,4.1信号分解为正交函数,其误差矢量为：1、要用一个矢量分量去代表原矢量，当分量若用,3,2、若从解析角度考虑c,12,的取值问题，可令误差矢量的平方最小：,C,12,标志着两个矢量相互接近的程度。,4.1信号分解为正交函数,2、若从解析角度考虑c12的取值问题，可令误差矢量的平方最小,4,二、正交函数：,设在时间区间（t,1,，t,2,）内，两函数f,1,(t)，f,2,(t)。,用f,1,(t)在f,2,(t)中的分量c,12,f,2,(t)来表示f,1,(t)。即,：,x,y,这个概念可推广到n维空间,。,平面上任意矢量在直角坐标系中可分解为两个正交矢量的组合。,4.1信号分解为正交函数,二、正交函数： 设在时间区间（t1，t2）内,5,设误差函数为,：,为使f,1,(t)和f,2,(t),达到最佳近似，用均方误差,：,令,可得：,4.1信号分解为正交函数,设误差函数为：为使f1(t)和f2(t)达到最佳近似，用均方,6,4.1信号分解为正交函数,4.1信号分解为正交函数,7,当c,12,为0时，表示两个函数正交。 c,12,为f,1,(t),与f,2,(t)的相关系数。由此，给出正交函数的,定义：,4.1信号分解为正交函数,当c12为0时，表示两个函数正交。 c12为f1(t)4.,8,1、 在t,1,t,2,区间上定义的非零实函数f,1,(t)与f,2,(t)，,若满足条件：,则函数f,1,(t)与f,2,(t)为区间t,1,t,2,上的正交函数,2、 若 f,1,(t)与f,2,(t)是复变函数，则 f,1,(t)与f,2,(t)在t,1,t,2,区 间上正交的条件是：,正交函数的定义：,4.1信号分解为正交函数,1、 在t1,t2区间上定义的非零实函数f1(t)与f2,9,三、正交函数集：,定义：在t,1,t,2,区间上定义的n个非零实函数集,g,1,(t), g,2,(t) ,g,n,(t)，其中任意两个函数g,i,(t)、,g,j,(t)均满足：,其中，k,i,为常数，称此函数集为正交函数集,4.1信号分解为正交函数,三、正交函数集：定义：在t1,t2区间上定义的n个非零实,10,任意一个函数f(t)在区间t,1,t,2,内，可以用这n个正交函数的线性组合来近似表示：,在使近似式的均方误差最小的情况下，可分别求得系数c,1,c,2,c,n,：,4.1信号分解为正交函数,任意一个函数f(t)在区间t1,t2内，可以用这,11,令,则：,4.1信号分解为正交函数,令则：4.1信号分解为正交函数,12,四、完备正交函数集,在区间t,1,t,2,内，用正交函数集g,1,(t),g,2,(t) ,.,g,n,(t)，,来近似表示函数f(t)，其方均误差为 ：,若,则称此函数集为完备正交函数集,。,4.1信号分解为正交函数,四、完备正交函数集 在区间t1,t2内，用正交函数,13,所谓完备，是指对任意函数f(t)，都可以用一无穷级数表示：,此级数收敛于f(t)。上式即f(t)的正交分解。,4.1信号分解为正交函数,所谓完备，是指对任意函数f(t)，都可以用一无穷级数表,14,常用的完备正交函数集:,1、三角函数集：,函数1，cos,t,cos2t, ,cosnt,.,sint, sin2t, ,sinnt,当所取函数有无限多个时，在区间t,0,，t,0,+T,内组成完备正交函数集。其中T=2/,2、复指数函数集：,函数集ejn,t,n=0,1, 2,是一个复变函数集，在区间t0，t0+T内是完备正交函数集。,4.1信号分解为正交函数,常用的完备正交函数集:1、三角函数集：2、复指数函数集：4,15,
展开阅读全文