《利用空间向量法求二面角》课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,欢迎大家！,欢迎大家！,利用向量法求二面角,利用向量法求二面角,一、平面的法向量与二面角的关系,一、平面的法向量与二面角的关系,平面的法向量与二面角的关系,平面的法向量与二面角的关系,利用空间向量法求二面角课件,()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。,z,x,P,C,B,A,D,y,建系,找量：,点的坐标,向量坐标,解：,如图，以D为坐标原点，,建立空间直角坐标系D-,xyz,，,设,AD=1,，,则,设平面PAB的法向量为 ，则,设平面PBC的法向量为 ，则,二面角A-PB-C的平面角为钝角，,故二面角A-PB-C的余弦值为,计算：,法向量、夹角,作答：,观察图形、定值,1,分,2,分,4,分,1,分,()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。zxPCB,1,：正方体,ABEF-DCEF,中, M,N,分别为,AC,BF,的中点,(,如图,),求平面,MNA,与平面,MNB,所成角的余弦值,.,三、变式练习,解：设正方体棱长为,1.,以,B,为坐标原点，,BA,，,BE,，,BC,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系,B-xyz,，则,A(1,，,0,，,0),，,B(0,，,0,，,0),1：正方体ABEF-DCEF中, M,N分别为AC,BF,设平面,AMN,的法向量,n,1,(x,，,y,，,z),令,x,1,，解得,y,1,，,z,1,，,所以,n,1,(1,，,1,，,1),同理可求得平面,BMN,的一个法向量,n,2,(1,，,1,，,1),所以,cos,n,1,，,n,2,=,故所求两平面所成角的余弦值为,设平面AMN的法向量n1(x，y，z)令x1，解得y,四、例题精讲,：恰当建系，求二面角,O,4,分,四、例题精讲：恰当建系，求二面角O4分,O,x,y,z,建系,找量：,点的坐标,向量坐标,计算：,法向量、夹角,2,分,2,分,1,分,Oxyz建系找量：计算：2分2分1分,计算：,法向量、夹角,作答：,观察图形、定值,2,分,1,分,计算：作答：2分1分,如图所示，四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,为正方形，,PD,平面,ABCD,，,PD,AB,2,，,E,，,F,，,G,分别为,PC,，,PD,，,BC,的中点,(1),求证：,PAEF.(2),求二面角,D-FG-E,的余弦值,变式练习,2,如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD,【,解析,】,以,D,为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,D-xyz,D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1), F(0,0,1),G(-2,1,0)(1),证明：由于,(0,，,2,，,2),，,(1,，,0,，,0),，则,10,02,(,2)0,0,，,所以,PAEF.,【解析】以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xy,(2),易知 ,(0,，,0,，,1),， ,(1,，,0,，,0),， ,(,2,，,1,，,1),，设平面,DFG,的法向量,m,(x,1,，,y,1,，,z,1,),，,令,x,1,1,，得,m,(1,，,2,，,0),是平面,DFG,的一个法向量,(2)易知 (0，0，1)， (1，0，0)，,设平面,EFG,的法向量,n,(x,2,，,y,2,，,z,2,),，,同理可得,n,(0,，,1,，,1),是平面,EFG,的一个法向量,因为,cosm,，,n,设二面角,D-FG-E,的平面角为,，由图可知,m,，,n,，,所以,cos ,所以二面角,D-FG-E,的余弦值为,.,设平面EFG的法向量n(x2，y2，z2)，,解（I）连接BD交AC于点O,连结EO。,又E为PD的中点， EOPB。,ABCD为矩形， O为BD的中点。,O,4,分,五,：,（课堂延展）,已知二面角，恰当建系解决问题,解（I）连接BD交AC于点O,连结EO。又E为PD的中点，,设面ACE的法向量为,取面DAE的法向量,如图，以A为坐标原点,建立空间直角坐标系D-,xyz,，,建系,找量：,点的坐标,向量坐标,计算：,法向量,夹角,1,分,2,分,2,分,设面ACE的法向量为,利用二面角大小,求边长,1,分,2,分,利用二面角大小1分2分,六、课堂小结,1,、向量法求二面角的步骤,建系、找量、计算、作答,数形结合思想,2,、数学思想：,恰当建系，结合向量知识准确标出点的坐标是关键,方程的思想,化归与转化的思想,六、课堂小结1、向量法求二面角的步骤建系、找量、计算、作答数,z,x,y,七、课堂作业,zxy七、课堂作业,