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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,欢迎大家!,欢迎大家!,利用向量法求二面角,利用向量法求二面角,一、平面的法向量与二面角的关系,一、平面的法向量与二面角的关系,平面的法向量与二面角的关系,平面的法向量与二面角的关系,利用空间向量法求二面角课件,()若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。,z,x,P,C,B,A,D,y,建系,找量:,点的坐标,向量坐标,解:,如图,以D为坐标原点,,建立空间直角坐标系D-,xyz,,,设,AD=1,,,则,设平面PAB的法向量为 ,则,设平面PBC的法向量为 ,则,二面角A-PB-C的平面角为钝角,,故二面角A-PB-C的余弦值为,计算:,法向量、夹角,作答:,观察图形、定值,1,分,2,分,4,分,1,分,()若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。zxPCB,1,:正方体,ABEF-DCEF,中, M,N,分别为,AC,BF,的中点,(,如图,),求平面,MNA,与平面,MNB,所成角的余弦值,.,三、变式练习,解:设正方体棱长为,1.,以,B,为坐标原点,,BA,,,BE,,,BC,所在直线分别为,x,轴,,y,轴,,z,轴建立空间直角坐标系,B-xyz,,则,A(1,,,0,,,0),,,B(0,,,0,,,0),1:正方体ABEF-DCEF中, M,N分别为AC,BF,设平面,AMN,的法向量,n,1,(x,,,y,,,z),令,x,1,,解得,y,1,,,z,1,,,所以,n,1,(1,,,1,,,1),同理可求得平面,BMN,的一个法向量,n,2,(1,,,1,,,1),所以,cos,n,1,,,n,2,=,故所求两平面所成角的余弦值为,设平面AMN的法向量n1(x,y,z)令x1,解得y,四、例题精讲,:恰当建系,求二面角,O,4,分,四、例题精讲:恰当建系,求二面角O4分,O,x,y,z,建系,找量:,点的坐标,向量坐标,计算:,法向量、夹角,2,分,2,分,1,分,Oxyz建系找量:计算:2分2分1分,计算:,法向量、夹角,作答:,观察图形、定值,2,分,1,分,计算:作答:2分1分,如图所示,四棱锥,P-ABCD,中,底面,ABCD,为正方形,,PD,平面,ABCD,,,PD,AB,2,,,E,,,F,,,G,分别为,PC,,,PD,,,BC,的中点,(1),求证:,PAEF.(2),求二面角,D-FG-E,的余弦值,变式练习,2,如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD,【,解析,】,以,D,为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,D-xyz,D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1), F(0,0,1),G(-2,1,0)(1),证明:由于,(0,,,2,,,2),,,(1,,,0,,,0),,则,10,02,(,2)0,0,,,所以,PAEF.,【解析】以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xy,(2),易知 ,(0,,,0,,,1),, ,(1,,,0,,,0),, ,(,2,,,1,,,1),,设平面,DFG,的法向量,m,(x,1,,,y,1,,,z,1,),,,令,x,1,1,,得,m,(1,,,2,,,0),是平面,DFG,的一个法向量,(2)易知 (0,0,1), (1,0,0),,设平面,EFG,的法向量,n,(x,2,,,y,2,,,z,2,),,,同理可得,n,(0,,,1,,,1),是平面,EFG,的一个法向量,因为,cosm,,,n,设二面角,D-FG-E,的平面角为,,由图可知,m,,,n,,,所以,cos ,所以二面角,D-FG-E,的余弦值为,.,设平面EFG的法向量n(x2,y2,z2),,解(I)连接BD交AC于点O,连结EO。,又E为PD的中点, EOPB。,ABCD为矩形, O为BD的中点。,O,4,分,五,:,(课堂延展),已知二面角,恰当建系解决问题,解(I)连接BD交AC于点O,连结EO。又E为PD的中点,,设面ACE的法向量为,取面DAE的法向量,如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系D-,xyz,,,建系,找量:,点的坐标,向量坐标,计算:,法向量,夹角,1,分,2,分,2,分,设面ACE的法向量为,利用二面角大小,求边长,1,分,2,分,利用二面角大小1分2分,六、课堂小结,1,、向量法求二面角的步骤,建系、找量、计算、作答,数形结合思想,2,、数学思想:,恰当建系,结合向量知识准确标出点的坐标是关键,方程的思想,化归与转化的思想,六、课堂小结1、向量法求二面角的步骤建系、找量、计算、作答数,z,x,y,七、课堂作业,zxy七、课堂作业,
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