资源描述
Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,4/25/2010,#,第,2,章,逻辑函数及其化简,武汉理工大学,吴友宇,教授,第2章 逻辑函数及其化简武汉理工大学 吴友宇 教授,1,逻辑函数与逻辑代数概述,逻辑函数与逻辑代数概述,2,逻辑代数概述,逻辑函数定义,电路的输入量,A,、,B,、,C,和输出量,Y,之间的关系,是一个因果关系，可以用一个逻辑表达式描述,Y,F,(,A,B,C,),逻辑函数,逻辑变量,逻辑代数概述逻辑函数逻辑变量,3,逻辑代数概述,逻辑代数,是分析和设计逻辑电路的数学基础,逻辑代数,=,布尔代数,=,开关代数,逻辑代数概述逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础逻辑代数=,4,逻辑代数概述,逻辑代数的特点,1,用字母表示变量,2,取值简单,0,和,1,3,0,和,1,表示对立的逻辑状态（,“开”和“关”,“是”和“非”等）。,称为逻辑,0,状态和逻辑,1,状态。,逻辑代数概述逻辑代数的特点1 用字母表示变量2 取值简单,5,逻辑代数的基本运算,逻辑代数的基本运算,6,逻辑代数的基本运算,与运算,AND,三种基本逻辑运算,复合逻辑运算,或运算,OR,非运算,NOT,与非运算,NAND,或非运算,NOR,异或运算,XOR,同或运算,XNOR,逻辑代数的基本运算三种基本逻辑运算或运算 OR,7,A,B,Y,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,逻辑代数的基本运算,与运算（逻辑乘,AND,）,Y,当决定某件事（,Y,）的所有条件（,A,，,B,，,C,）都成立，,这件事（,Y,）才发生，否则这件事（,Y,）将不发生,真值表,V,设：开关,A,、,B,闭合为,1,，否则为,0,；灯,Y,亮为,1,，否则为,0,；,A,与运算实例,真值表是一种包括逻辑函数所有情况的表格。,表格有,2,2,项，指数,2,是逻辑变量的个数，即对一个,n,变量的逻辑,函数，其真值表有,2,n,项,B,ABY000010100111逻辑代数的基本运算Y当决,8,A,B,Y,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,Y,V,A,与运算实例,B,运算法则：,全,1,出,1,，有,0,出,0,。,逻辑符号,逻辑表达式,Y,A,g,B,逻辑代数的基本运算,与运算（逻辑乘,AND,）,真值表,设：开关,A,、,B,闭合为,1,，否则为,0,；灯,Y,亮为,1,，否则为,0,；,Y=AB,A,B,A,B,Y=AB,与门,AND,gate,ABY000010100111YVA与运算实例B运算法则：全,9,A,B,Y,0,0,0,0,1,1,1,0,1,1,1,1,真值表,设：开关,A,、,B,闭合为,1,，否则为,0,；灯,Y,亮为,1,，否则为,0,；,V,A,B,Y,或运算实例,逻辑代数的基本运算,或运算（逻辑加,OR,）,当决定某件事（,Y,）的所有条件（,A,，,B,，,C,）之一以上成立，,这件事（,Y,）就发生，否则这件事（,Y,）将不发生,ABY000011101111真值表A逻辑代数的基本运,10,A,B,Y,0,0,0,0,1,1,1,0,1,1,1,1,运算法则：,有,1,出,1,，全,0,出,0,。,逻辑符号,逻辑表达式,1,A,B,Y=A+B,Y,V,B,逻辑代数的基本运算,真值表,设：开关,A,、,B,闭合为,1,，否则为,0,；灯,Y,亮为,1,，否则为,0,；,A,Y=A+B,A,B,或门,OR,gate,Y,AB,AB,AB,A,B,与,或运算实例,或,ABY000011101111运算法则：有1出1，全0出0。,11,A,Y,0,1,1,0,真值表,设：开关,A,闭合为,1,，否则为,0,；灯,Y,亮为,1,，否则为,0,；,V,A,NC,Y,非运算实例,逻辑代数的基本运算,非运算（逻辑非,NOT,）,当决定某件事（,Y,）的条件（,A,）成立，这件事（,Y,）将不发生，,否则这件事（,Y,）将发生,AY0110真值表A逻辑代数的基本运算,12,A,Y,0,1,1,0,真值表,设：开关,A,闭合为,1,，否则为,0,；灯,Y,亮为,1,，否则为,0,；,逻辑表达式,Y,A,逻辑代数的基本运算,非运算（逻辑非）,逻辑符号,A,运算法则：,1,出,0,，,0,出,1,Y,A,1,A,Y,A,Y,V,非运算实例,NC,A,非门,NOT,gate,AY0110真值表逻辑表达式Y A逻辑代数的基本运算逻,13,三种基本运算,逻辑代数的基本运算,小结,与运算,AND,或运算,OR,非运算,NOT,三种基本运算逻辑代数的基本运算或运算 OR,14,第,2,章,逻辑函数及其化简,武汉理工大学,吴友宇,教授,第2章 逻辑函数及其化简武汉理工大学 吴友宇 教授,15,逻辑代数基本定律,逻辑代数基本定律,16,X,1,1,X,1,X,逻辑代数的基本定律,X,Y,Y,X,X,Y,Y,X,(,X,Y,),Z,X,(,Y,Z,),(,X,Y,),Z,X,(,Y,Z,),1,交换律,2,结合律,3,分配律,X,(,Y,Z,),X,Y,X,Z,X,Y,Z,(,X,Y,),(,X,Z,),4,0-1,律,5,互补律,6,重叠律,7,否定律,X,0,0,X,X,0,X,X,X,X,0,X,X,X,1,X,X,X,X,X,8,反演律,（摩根定律）,X,Y,X,Y,X,Y,X,Y,X 11X 1 X逻辑代数的基本定律X Y,17,逻辑代数的基本定律,9,吸收律,X,X,Y,X,X,X,Y,X,Y,XY,XZ,YZ,XY,XZ,XY,XZ,YZK,XY,XZ,逻辑代数的基本定律X X Y XX X Y,18,X,Y,X,Y,X,Y,X,Y,X,Y,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,0,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,逻辑代数的九条基本定律,基本定律的证明,真值表法,X,Y,X,Y,X,Y,X,Y,得证,例1,试证明两变量的摩根定理,X,Y,X,Y,证明：,列真值表,X,Y,X,Y,XYXYXYXYXY0000100100,19,逻辑代数的九条基本定律,例,2,试证明吸收律,XY,XZ,YZK,XY,XZ,X,YZK,证明：,XY,XZ,YZK,XY,XZ,X,XY,1,ZK,XZ,1,YK,XY,XZ,吸收律得证,XY,XZ,YZK,XY,XZ,逻辑代数的九条基本定律例2 试证明吸收律XY XZ Y,20,逻辑代数的九条基本定律,X,1,Y,XY,X,X,X,Y,X,Y,得证,X,XY,X,Y,例,3,：试证明吸收律,X,XY,X,Y,证明：,X,XY,逻辑代数的九条基本定律 X 1Y XY X,21,逻辑代数的三条基本规则,逻辑代数的三条基本规则,22,逻辑代数的三条规则,1,代入规则,在包含,变量,X,逻辑等式中，如果,用另一个函数式代,入,式中所有,X,，则等式仍然成立。,例：,已知等式,X,Y,X,Y,用函数,L=YZ,代替等式中的,Y,，得到新的等式：,X,YZ,X,YZ,X,Y,Z,代入规则扩展了摩根定律,逻辑代数的三条规则例：已知等式X Y X Y用函,23,逻辑代数的三大规则,2,反演规则,对于任意一个逻辑表达式,Y,，若将其中,“,”“”,互换,“,0,”“,1,”,互换,“,A,”“,A,”,互换,则得到的是原函数的反函数。,逻辑代数的三大规则2 反演规则对于任意一个逻辑表达式Y，若将,24,原式得证,X,XY,X,Y,X,X,Y,X,X,X,Y,0,X,Y,X,Y,逻辑代数的三大规则,2,反演规则,例：试证明吸收律,X,XY,X,Y,可通过证明其反演式，获得原式的求证,证明：,X,XY,X,Y,反演式为,X,X,Y,X,Y,原式得证 X XY X YX ,25,逻辑代数的三大规则,2,反演规则,注意以下两点：,例如,:,Y,AB,C,D,C,Y,(,A,B,),C,D,C,),（,1,）保持原式的优先顺序不变,(,先括号，再与，最后或,),（,2,）非变量（一个变量以上）的公共非号保持不变。,逻辑代数的三大规则2 反演规则注意以下两点：例如:Y A,26,逻辑代数的三大规则,3,对偶规则,对于任意一个逻辑表达式,Y,，若将其中,“,”“”,互换,“,0,”“,1,”,互换,可得到原函数的对偶函数。,若一个恒等式成立，则该恒等式的对偶式也成立。,逻辑代数的三大规则3 对偶规则对于任意一个逻辑表达式Y，若将,27,逻辑代数的三大规则,3,对偶规则,X,XY,X,Y,原式得证,X,XY,X,Y,可通过证明其对偶式，获得原式的求证,证明：,原式对偶式为,X,X,Y,X,Y,X,X,Y,0,X,Y,X,Y,例：试证明吸收律,逻辑代数的三大规则X XY X Y原式得证X,28,九条基本定律,三条基本规则,逻辑代数,逻辑代数的小结,三种基本运算,九条基本定律逻辑代数逻辑代数的小结,29,逻辑函数的代数化简法,华剑,逻辑函数的代数化简法华剑,30,逻辑函数的代数变换,同一个逻辑函数可以有多种表达形式，比如：,与或,式,或与,式,与非-与非,式,或非-或非,式,与-或-非,式,Y,AC,CD,(,A,C,)(,C,D,),AC,CD,A,C,C,D,AC,C,D,逻辑函数的代数变换与或式Y A,31,逻辑函数的代数化简法,最简与或式,特点,：,-与项的个数最少。（“+”越少越好）,-每个与项中变量的个数最少。,逻辑函数的代数化简法最简与或式特点：-与项的个数最少。（“+,32,逻辑函数的代数化简法,逻辑函数的代数化简法,-,并项,法,-,吸收,法,-,消去,法,-,配项,法,逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法-并项法,33,逻辑函数的代数化简法,并项法,提取公因子,例1：将下列逻辑函数化简为最简与或式。,Y,1,A,BC,A,B,C,A,B,(,C,C,),A,B,Y,2,A,(,BC,B,C,),A,(,BC,BC,),A,(,BC,B,C,BC,BC,),A,(,B,(,C,C,),B,(,C,C,),A,(,B,B,),A,逻辑函数的代数化简法并项法提取公因子例1：将下列逻辑函数化简,34,逻辑函数的代数化简法,并项法,提取公因子,AB,AC,.,A,(,B,C,),.,逻辑函数的代数化简法并项法提取公因子,35,逻辑函数的代数化简法,吸收法,利用,X,XY,X,例2：将下列逻辑函数化简为最简与或式。,Y,AB,ABCD,(,E,F,),AB,逻辑函数的代数化简法吸收法利用 X XY X例2：将,36,逻辑函数的代数化简法,消去法,利用,X,XY,X,Y,例3：将下列逻辑函数化简为最简与或式。,Y,AB,AC,BC,AB,(,A,B,),C,AB,ABC,AB,C,逻辑函数的代数化简法消去法利用 X XY X Y,37,逻辑函数的代数化简法,配项法,利用,X,X,1,X,X,0,例4：将下列逻辑函数化简为最简与或式。,Y,AB,A,C,BC,AB,A,C,(,A,A,),BC,AB,A,C,ABC,ABC,AB,A,C,逻辑函数的代数化简法配项法利用 X X 1,X,38,逻辑函数的代数化简法,配项法,利用,X,X,1,X,X,0,例4：将下列逻辑函数化简为最简与或式。,Y,AB,A,C,BC,AB,(,C,C,),A,C,BC,ABC,ABC,A,C,BC,B,(,AC,C,),(,AB,A,),C,B,(,A,C,),(,B,A,),C,AB,BC,BC,A,C,AB,BC,A,C,逻辑函数的代数化简法配项法利用 X X 1,X,39,逻辑函数的代数化简法,例5：将下列逻辑函数化简为最简与或式。,Y,AB,AC,BC,BC,BD,BD,ADE,(,F,G,),A,(,B,C,),BC,BC,BD,BD,ADE,(,F,G,),ABC,BC,BC,BD,BD,ADE,(,F,G,),A,BC,BC,BD,BD,ADE,(,F,G,),A,BC,BC,BD,BD,(,BCD,D,),逻辑函数的代数化简法例5：将下列逻辑函数化简为最简与或式。Y,40,逻辑函数的代数化简法,例5：将下列逻辑函数化简为最简与或式。,Y,A,BC,BC,BD,BD,A,BC,BC,(,D,D,),BD,B,(,C,C,),D,A,BC,BCD,BC D,BD,BCD,BC,D,A,BC,BC,D,BCD,BD,BCD,BCD,A,BC,BD,CD,逻辑函数的代数化简法例5：将下列逻辑函数化简为最简与或式。Y,41,卡诺图的结构及填图方法,华剑,卡诺图的结构及填图方法华剑,42,卡诺图的结构及填图方法,函数名,卡诺图的结构,第二变量的位置,第一变量的位置,第三变量的位置,卡诺图的结构及填图方法函数名卡诺图的结构第二变量的位置第一变,43,卡诺图的结构,卡诺图的结构及填图方法,C,B,ABC,ABC,ABC,ABC,A,ABC,ABC,ABC,ABC,卡诺图的结构卡诺图的结构及填图方法CBABC ABC,44,卡诺图的结构及填图方法,卡诺图的结构,卡诺图的结构及填图方法卡诺图的结构,45,卡诺图的结构及填图方法,卡诺图的结构,ABCD,ABCD,BCD,ABCD,ABCD,ABCD,ABCD,ABC,ABC,BC,卡诺图的结构及填图方法卡诺图的结构ABCD ABCD,46,卡诺图的结构及填图方法,卡诺图的结构,A,B,C,D,ABC,D,ABC,D,AB,C,D,A,BCD,ABCD,ABCD,ABCD,A,C,D,AC,D,AC,D,AC,D,C,D,C,D,D,卡诺图的结构及填图方法卡诺图的结构ABCD ABC,47,卡诺图的结构及填图方法,卡诺图的结构,A,BCD,AB,C,D,B,(,ACD,AC,D,),A,B,CD,ABC,D,A,C,(,BD,BD,),卡诺图的结构及填图方法卡诺图的结构A BCD AB,48,卡诺图的结构及填图方法,卡诺图的填图方法,-根据真值表填卡诺图。,-根据逻辑函数表达式填卡诺图。,卡诺图的结构及填图方法卡诺图的填图方法-根据真值表填卡诺图。,49,卡诺图的结构及填图方法,根据真值表填卡诺图,例1：已知某逻辑函数的真值表如下，填其卡诺图,0,0,0,1,0,1,1,1,卡诺图的结构及填图方法0001,50,卡诺图的结构及填图方法,根据逻辑函数表达式填卡诺图,-根据最小项表达式填卡诺图,L,(,A,B,C,),(,A,C,)(,A,B,C,)(,A,B,C,),m,(,1,3,4,7),1,1,0,1,1,0,0,0,卡诺图的结构及填图方法1010,51,卡诺图的结构及填图方法,根据逻辑函数表达式填卡诺图,-根据与或表达式填卡诺图,每一个与项表示单个变量作用范围的公共部分，在公共的方,格内填1即可，不要重复填。,(1),Y,(,A,B,C,),A,0,1,0,1,0,1,0,1,卡诺图的结构及填图方法(1)Y(A,B,C)A0,52,卡诺图的结构及填图方法,根据逻辑函数表达式填卡诺图,-根据与或表达式填卡诺图,每一个与项表示单个变量作用范围的公共部分，在公共的方,格内填1即可，不要重复填。,1,1,0,1,1,0,0,0,(2),Y,(,A,B,C,),AB,A,C,卡诺图的结构及填图方法1010(2)Y(A,B,C),53,卡诺图的结构及填图方法,根据逻辑函数表达式填卡诺图,-根据与或表达式填卡诺图,每一个与项表示单个变量作用范围的公共部分，在公共的方,格内填1即可，不要重复填。,1,1,(3),Y,(,A,B,C,),BC,AC,0,1,0,0,0,0,卡诺图的结构及填图方法1(3)Y(A,B,C)B,54,卡诺图的结构及填图方法,根据逻辑函数表达式填卡诺图,-根据与或表达式填卡诺图,每一个与项表示单个变量作用范,0,1,1,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1,围的公共部分，在公共的方格内填,1即可，不要重复填。,(4),Y,(,A,B,C,D,),AB,BC,D,ABD,ABCD,卡诺图的结构及填图方法0000围的公共部分，在公共,55,无关项,华剑,无关项华剑,56,无关项,无关项的概念,当逻辑函数的输入变量的某些组合不可能出现，,或者当这些组合对电路的输出没有任何影响时，我们,把它们称为无关项（或约束项、任意项）。,无关项无关项的概念当逻辑函数的输入变量的某些组合不可能出现,57,A,B,C,无关项,约束项,水位探测器被水淹没时为1，无水时为0,ABC,101,水位高于A、低于B而高于C，这种情形不可,能出现，这种变量取值是约束项。,A无关项ABC 101,58,任意项,无关项,无论,A,、,B,取何值，都不影响输出的值，,A,、,B,的任意组,合在这里都是任意项。,Y,1,AB,1,任意项无关项无论A、B取何值，都不影响输出的值，A、B的任意,59,无关项,无关项的表示,-填写真值表或卡诺图时无关项用X或表示,1,0,1,0,1,1,0,0,无关项1 0 1 1 1 0,60,1,1,1,无关项,无关项的表示,-在最小项表达式中用d或,表示。,Y,(,A,B,C,D,),m,(0,2,3,7,8,11,14),d,(5,10,15),1,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1无关项110,61,Y,C,D,（,AB,AB,）,ABC,A,CD,ABC,D,ABC,D,ABC,A,CD,1,1,1,无关项,无关项的表示,-在表达式中用约束方程的形式表示。,Y,(,A,B,C,D,),CD,(,A,B,),ABC,A,CD,AB,CD,0,0,0,1,0,1,0,Y C D（AB AB）ABC A C,62,无关项,无关项的化简,无关项化简时，既可以当0用，也可以当1用。,但是，原则只有一个，一定要能够简化表达式。,能作出更大的圈时，看作1；,能少作圈时，看作0。,无关项无关项的化简无关项化简时，既可以当0用，也可以当1用。,63,Y,(,A,B,C,D,),CD,AC,B,D,无关项,Y,(,A,B,C,D,),m,(0,2,3,7,8,11,14),d,(5,10,15),0,0,0,0,0,0,Y(A,B,C,D)CD AC B,64,无关项,化简,Y,(,A,B,C,D,),CD,(,A,B,),ABC,A,CD,AB,CD,0,0,0,Y,(,A,B,C,D,),B,AD,AC,0,0,无关项化简Y(A,B,C,D)CD(A B)A,65,1,1,1,1,Y,(,A,B,C,D,),D,BC,BC,无关项,化简,Y,(,A,B,C,D,),m,(0,2,3,4,5,6,11,12),d,(8,9,10,13,14,15),0,1,1,0,1,1,1111 Y(A,B,C,D)D B,66,
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