一单元集合与常用逻辑用语

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一单元 集合与常用逻辑用语,知识体系,1,1.集合是高考的必考内容.高考对集合问题的考查一般有两种形式：一是考查集合的有关概念、集合之间的关系、集合的运算等，题型以选择题和填空题为主；二是考查考生对集合语言、集合思想的理解与运用，往往与其他知识融为一体，题型可以是选择题、填空题，也可以是解答题.其中，集合的特征性质描述和集合的运算是高考考查的重点，常常会与求函数的定义域和值域、解不等式、求范围等问题联系在一起.,2.常用逻辑用语主要包含三部分内容：命题以及命题的四种形式、充分必要条件、量词.本单元内容在高考试题中每年必考，主要体现在三个方面：一是充分必要条件的推理判断；二是命题的四种形式；三是全称量词与存在量词、全称命题与特称命题.对于充分必要条件的推理判断问题，一般是以其他的数学知识为载体，具有较强的综合性；对于全称命题与特称命题，一般是考查对两个量词的理解，考查两种命题的否定命题的写法，这是考查的热点.,2,通过对本单元近几年高考试题以及命题立意的发展变化趋势，尤其是新课改地区的高考试题的分析，复习时宜采用以下应试对策：,1. 在复习中首先要把握基础知识，深刻理解本单元的基本知识点，基本的数学思想方法，重点掌握集合的概念和运算,掌握充分条件、必要条件和充要条件的判断和应用.,2. 涉及本单元知识点的高考题既有基本的选择题和填空题，也有小型和大型的综合题，因此在复习中既要灵活掌握基本题型，又要对有一定难度的大型综合题进行有针对性的准备.,3. 重视数学思想方法的复习.本单元体现的主要有数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法，而且图示法、反证法等数学方法也得到了广泛应用.,3,第一节 集合,1. 集合的含义与表示,（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.,（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.,2. 集合间的基本关系,（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.,（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义.,4,3. 集合的基本运算,(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.,(2)理解在给定集合中的一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.,(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算.,1. 元素与集合,（1）集合中元素的三个特征: 确定性 、 互异性 、无序性.,（2）集合中元素与集合的关系,5,(4)集合的表示法：列举法 、描述法 、Venn图法.,数集,自然数集,正整数集,整数集,有理数集,实数集,复数集,符号,N,N*或N,+,Z,Q,R,C,(3)常见集合的符号表示,2. 集合间的基本关系表示,6,3.集合的基本算法,7,1. (教材改编题)用适当符号填空.,0 0，1；a,b b,a;0 ;,答案,：,2. （2009福州市高中毕业班单科质量检查）集合A=x|x(x-1)0,B=y|y= ,xR，则AB是（ ）,A. (0,2) B. (1,2) C. (0,1) D. (-,0),解析:,由已知得A=x|0x1，B=y|y0.AB=(0,1),答案：,C,3. （2009福州市高三第二次质检）设集合A=x|1x2,B=x|xa.若AB,则a的范围是（ ）,A. a1 B. a1 C. a2 D. a2,8,4. （2009全国)设集合A=4,5,7,9,B=3,4,7,8,9,全集U=AB,则集合 （AB）中的元素共有( ),A. 3个,B. 4个,C. 5个,D. 6个,解析:,U=AB=3,4,5,7,8,9,又AB=4,7,9, (AB)=3,5,8.,答案:,A,解析:,集合A、B如图所示：，AB,a1.,答案：,B,9,1. 集合中元素的三个基本性质的应用,(1)确定性：任意给定一个对象，都可以判断它是不是给定集合的元素，也就是说，给定集合必须有明确的条件，依此条件，可以明确地判定某一对象是这个集合的元素或不是这个集合的元素，二者必居其一，不会模棱两可.,如：“较大的数”、“著名科学家”等均不能构成集合.,5. 设全集U=1,3,5,7,集合M=1，|a-5|,MU, =5,7,则a的值为（ ）,A. 2或-8 B. -8或-2 C. -2或8 D. 2或8,解析:, M=5,7,M=1,3,|a-5|=3,a=8或a=2.,答案:,D,10,2. 集合中三种语言的互化是解决集合问题的关键,即文字语言、符号语言、图象语言的互化.,4. 进行集合的运算时，应把参与运算的集合化到最简形式，再进行运算，运算时要借助于Venn图、数轴或函数图象等工具.,3. 利用集合间的关系建立不等式求参数范围时，要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.,（3）无序性,.,（2）互异性：即一个集合中的任何两个元素都应该是不相同的，特别是含有字母的问题，解题后需进行检验.,5. 注意分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想在集合运算中的应用.,11,题型一 集合的基本概念,【,例1,】已知集合A=m,m+d,m+2d,B=m,mq,mq,2,其中m0,且A=B,求q的值.,解,由A=B可知，,解（1）得q=1;解（2）得q=1,或,又因为当q=1时，m=mq=mq,2,不满足集合中元素的互异性，应舍去，所以,分析,由A=B可知A,B两个集合中的元素相同，观察A,B两个集合中有一共同元素，则其他两个元素应对应相等，由于情况不确定，需要分类讨论.,学后反思,本题考查集合元素的基本特征确定性、互异性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少.,12,1. 设A=-4,2a-1, ,B=9,a-5,1-a,已知AB=9，求实数a的值.,解析:,AB=9,9A.,(1)若2a-1=9,则a=5,此时A=-4,9,25,B=9,0,-4,AB=9,-4,与已知矛盾，舍去.,（2）若a,2,=9,则a=3.当a=3时，A=-4,5,9,B=-2,-2,9,B中有两个元素均为-2,与集合元素的互异性相矛盾，应舍去;当a=-3时，A=-4,-7,9,B=9,-8,4，符合题意.,综上所述，a=-3.,举一反三,13,解,先化简集合A=-4,0. 由AB=B，则B A，可知集合B可为，或0，或-4，或-4,0.,(1)若B=，则=4(a+1),2,-4(a,2,-1)0，解得a-1；,(2)若0B，代入得a,2,-1=0 a=1或a=-1，,当a=1时，B=A，符合题意；,当a=-1时，B=0A，也符合题意.,(3)若-4B，代入得a,2,-8a+7=0 a=7或a=1，,当a=1时，已经讨论，符合题意；,当a=7时，B=-12，-4，不符合题意.,综上可得，a=1或a-1.,题型二 集合之间的关系,【例2】设集合A =x| +4x=0，B =x| +2(a+1)x+a2-1=0，a,R,，若AB=B，求实数a的取值范围.,分析,根据A、B间的关系，对B进行分类讨论，然后求解并验证.,14,学后反思,解决集合间的关系问题，关键是将集合化简，特别是含有字母参数时，将字母依据问题的实际情况进行合理分类，分别进行求解，最后综合后得出答案.,2. 设集合A=x|x-a|2，集合B=x|4x+1|9,且 求a的取值范围.,解析：,A=x|a-2xa+2,B=x|x2或x, ,AB=A,如图所示.,a+2 或a-22,a 或a4.,举一反三,15,题型三 集合的运算,【,例3,】已知全集I=R,A=x|x,2,4, ,求(C,R,A)(C,R,B).,分析,解决本题的关键：,(1)集合B的化简；,(2) (C,R,A)(C,R,B)=C,R,(AB)(等价转化).,解,A=x|x2或x-2,AB=x|x-2或x-1., (C,R,A)(C,R,B)=C,R,(AB)=x|-2 x -1,16,学后反思,本题是集合的运算与解不等式的综合求解问题.解答这类问题时要注意弄清楚集合中的元素是什么，然后对集合进行化简，并注意将集合之间的关系转化为直接关系或等价关系进行求解，同时一定要善于运用数形结合的思想方法帮助分析和运算.,3. 设集合A=x|x-2|2,xR,B=y|y=-x,2,-1x2,则C,R,(AB)等于( ),A. R B. x|xR,x0,C. 0 D. ,解析：,由已知，A=0,4,B=-4,0,AB=0,C,R,(AB)=x|xR,x0.,答案：,B,举一反三,17,题型四 利用Venn图解决集合问题,【,例4,】设全集U是实数集R,M=x| 4,N=x|1x3,则图中阴影部分所表示的集合是( ),A. x|-2x1,B. x|-2x2,C. x|1x2,D. x|x2,分析,首先用集合符号表示出阴影部分，然后对相应集合化简.,解,依题意，该图形中阴影部分表示的集合应该是N( M),而M=x| 4=x|x2或x-2,于是 M=x|-2x2,因此N( M)=x|1x2.,学后反思,新课标特别指出“能使用Venn图表达集合的关系及运算”，将对Venn图的要求提高到一个更高的层次，因此我们必须注意Venn图在表达集合关系和运算中的重要作用.应结合交集、并集、补集等的定义进行理解.,18,举一反三,4. （2009江西）已知全集U=AB中有m个元素，（ A)( B)中有n个元素.若AB非空，则AB的元素个数为( ),A. mn,B. m+n,C. n-m,D. m-n,解析:,如图，( A)( B)= (AB).而阴影部分就表示集合 (AB),阴影部分有n个元素，,而U=AB中有m个元素，AB中有m-n个元素.,答案:,D,19,题型五 新型集合的概念与运算,【,例5,】(12分)对于集合M,N，定义M-N=x|xM且xN,MN=(M-N)(N-M),设A=y|y=x,2,-3x,xR,B=y|y=- ,xR,求AB.,分析,充分理解“M-N”与“MN”两种运算法则,然后把A,B两个集合化到最简，再代入进行计算.,解,由y=x,2,-3x(xR),即,得,20,y=-2,x,(xR),2,x,0,-2,x,0,y0,B=y|y0,.6,学后反思,新型集合的概念及运算问题是近几年新课标高考的热点问题.在给出新的运算法则的前提下，充分利用已知求解是关键.集合命题中与运算法则相关的问题，是对映射构建下的集合与集合、元素与元素之间的运算相关性及封闭性的研究.,21,举一反三,5. （2008江西）定义集合运算:A*B=z|z=xy,xA,yB.设A=1，2，B=0，2，则集合AB的所有元素之和为( ),A. 0,B. 2,C. 3,D. 6,解析:,依题意，A*B=0,2,4,它的所有元素之和为6.,答案:,D,22,【,例,】已知集合A=x|x,2,-3x-100,B=x|m+1x2m-1,若AB=A,求实数m的取值范围.,错解,由x,2,-3x-100得-2x5.,欲使B A,只需 ,解得-3m3.,m的取值范围是-3m3.,错解分析,因为AB=A,即BA,又A=x|x,2,-3x-100=x|-2x5,考虑到“空集是任何集合的子集”这一性质，因此需对B= 与B两种情况分别讨论，进而确定m的取值范围.,23,正解,AB=A,B A.,又A=x|x,2,-3x-100=x|-2x5,(1)若B=，则m+12m-1,即m2,此时，总有AB=A,故m2.,(2)若B，则m+12m-1,即m2,由B A得 ,解得-3m3,2m3.,综合(1)、(2)可知,m的取值范围是（-,3.,24,1. （2009福建）已知全集U=R，集合A=x| -2x0，则 A等于（ ）,A. x|0x2 B. x|0x2,C. x|x0或x2 D. x|x0或x2,解析：,计算可得A=x|x0或x2，C,u,A=x|0x2.,答案：,A,2. （2009泉州市一级达标中学高三期末联考）已知aR，设集合A=x|x-1|2a- -2，则A的子集个数共有（ ）,A. 0个 B. 1个,C. 2个 D. 无数个,25,解析：,设u=- +2a-2,=4-8=-40，u0,aR，A=x|x-1|0，A=.其子集只有.,答案：,B,3. (2009广东)已知全集U=R，集合M=x|-2x-12和N=x|x=2k-1,k=1,2,的关系的韦恩（Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）,A. 3个,B. 2个,C. 1个,D. 无穷多,解析:,M=x|-1x3，集合N是正奇数集，MN=1,3.,答案:,B,4. 已知集合A=x|y= ,B=y|y= ,x0,R是实数集，则( B)A=（）,A. 0,1 B. 0,1) C. (-,0 D. 以上都不对,26,解析:,集合A=x|y= 表示的是函数的定义域，可得A=0,2; 而集合B=y|y= ,x0表示的是函数的值域，显然函数y= ,x0的值域为（1,+）,所以( B)A=(-,10,2=0,1.,答案:,A,5. 集合P=(x,y)|y=k,xR,Q=(x,y)|y= +1,xR,a0且a1,已知PQ=，那么实数k的取值范围是（）,A. (-,1),B. (-,1,C. (1,+),D. (-,+),解析:,P,Q两个集合都表示点集，画出函数y=k与y= +1的图象，由PQ=知，两函数图象无交点，观察图象可得k1.,答案:,B,27,6. 设A,B为两个非空集合，定义:A+B=a+b|aA,bB，若A=0,2,5,B=1,2,6,则A+B的子集的个数是（ ）,A. B. C. D.,解析:,由题意A+B=1,2,3,4,6,7,8,11,有8个元素,故A+B的子集的个数是 .,答案:,B,7. 已知M=x|x= +2a+4,aR,N=y|y= -4b+7,bR,则M,N之间的关系为 .,解析,:, +2a+4=(a+1)2+33,M=x|x3.,又,-4b+7=(b-2)2+33,N=y|y3.,M=N.,答案,:,M=N,28,8.,已知,A=x| -2x-3,0,B=x|x|,a,若,BA,则实数,a,的取值范围是,.,解析:,B,B为非空集合，即a0,由 -2x-30得-1x3,A=(-1,3).,由,|x|,a,得,-a,x,a.B=(-a,a).,BA, -a-1,a3,即,a1.,故综上得-10； 0；如果x2，那么x就是有理数；如果x0，那么 就有意义.,一定是命题的说法是( ),A. B. C. D. ,解析:,满足命题定义，只有不能判断真假.,答案:,C,35,2. (教材改编题）给出如下的命题：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； =1；如果x+y是整数，那么x,y都是整数； 3.其中真命题的个数是,（ ）,A. 3 B. 2 C. 1 D. 0,解析:,正确的只有.,答案:,C,3. (2010广东汕头）与命题“若aM,则bM”等价的命题是( ),A. 若aM，则bM,B. 若bM,则aM,C. 若aM,则bM,D. 若bM,则aM,36,解析:,原命题与其逆否命题是等价的.,答案:,D,4. (2009浙江)已知a,b是实数，则“a0且b0”是“a+b0且ab0”的( ),A. 充分而不必要条件,B. 必要而不充分条件,C. 充分必要条件,D. 既不充分也不必要条件,解析:,a0,b0时显然有a+b0且ab0，充分性成立；反之，若a+b0且ab0，则a,b同号且同为正，即a0,b0,必要性成立.,答案:,C,37,5. 下列各种说法中，p是q的充要条件的是( ),（1）p:m-2或m6；q:y= +mx+m+3有两个不同的零点；,（2）p: =1;q:y=f(x)是偶函数；,（3）p:cos =cos ;q:tan =tan ；,（4）p:AB=A;q:,A. (1)(2) B. (2)(3),C. (3)(4) D. (1)(4),解析:,（2）中由 =1可得f(-x)=f(x)，但y=f(x)的定义域不一定关于原点对称；（3）中cos =cos 是tan =tan 的既不充分也不必要条件.,答案:,D,38,1. 在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题被定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”.,2. 四种命题真假关系,原命题与它的逆否命题同真同假；原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假.当一个命题不能直接判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假而得到原命题的真假.,3. 判断命题的充要关系有三种方法,(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.,(2)等价法：即利用AB与 B A;BA与 A B;A B与 BA的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.,(3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.,39,4. 以下四种说法所表达的意义相同,(1)命题“若p则q”为真;,(2)pq;,(3)p是q的充分条件;,(4)q是p的必要条件.,40,题型一 四种命题的关系及命题真假的判定,【,例1,】以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.,(1)内接于圆的四边形的对角互补；,(2)已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd.,分析,首先应当把原命题改写成“若p，则q”形式，再设法构造其余的三种 形式命题.,解,(1)原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；,逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；,否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；,逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”.,四种命题都正确.,41,对(2)原命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“ab，cd”是条件，“acbd”是结论.显然原命题是正确的.,否命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab或cd，则acbd”(注意“ab，cd”的否定是“ab或cd”，只需要至少有一个不等即可)；此命题不正确，a=1,c=1,b=1.5,d=0.5,ab或cd,但a+c=b+d.,学后反思,要注意对大前提的处理以及等价命题之间的真假关系. 试一试：写出命题“当c0时，若ab，则acbc”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假.,逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若acbd，则ab，cd”.此命题不正确，如a+c=b+d=2,可有a=c=1,b=0.8,d=1.2,则ab,cd.,逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若acbd则ab或cd”.,逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若acbd,则ab，cd两个等式至少有一个不成立”,由原命题为真得此命题显然正确.,42,举一反三,1. 写出命题“等式两边都乘同一个数，所得结果仍是等式”的逆命题、否命题、逆否命题.,解析：,方法一：选取“两边乘同一个数”为前提,原命题：若一个式子为等式，两边也乘以同一个数，所得的结果仍是等式；,逆命题：若一个式子两边都乘同一个数所得结果是等式，则这个式子是等式；,否命题：若一个式子不是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍不是等式；,逆否命题：若一个式子两边都乘以同一个数所得的结果不是等式，则这个式子不是等式.,方法二：选取“一个式子为等式”为前提,原命题：一个等式，若两边乘以同一个数，则所得结果仍为等式；,逆命题：一个等式,若两边分别乘以一个数， 所得结果仍为等式，则两边乘的是同一个数；,否命题：一个等式,若两边乘以不同的数，则所得结果不是等式；,逆否命题：一个等式，若两边分别乘以一个数，所得结果不是等式，则两边乘的不是同一个数.,43,题型二 两个命题之间充要条件的判定,【,例2,】用“充分条件、必要条件、充要条件”填空:,(1)“a+b0”是,“,a0,且,b1”是,“,d.则“ab”是“a-cb-d”的( ),A. 充分而不必要条件,B. 必要而不充分条件,C. 充要条件,D. 既不充分也不必要条件,解析:,由a-cb-d,cd两个同向不等式相加得ab,但cd,aba-cb-d.例如a=2,b=1,c=-1,d=-3时，a-c0,1-m-2,（等号不同时成立）,1+m10,解得0b ，则ab”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有个.,解析:,由题意可知，原命题正确，逆命题错误，所以否命题错误，而逆否命题正确.,答案:,1,8. 命题“若x,y是奇数，则x+y是偶数”的逆否命题是,;,它是,命题.,解析：,原命题是真命题,所以其逆否命题也是真命题.,答案：,若x+y不是偶数，则x,y不都是奇数 真,解析：,因m,l,1,，若，则有m且l,1,，故的一个必要条件是m且l,1,排除A.因m，n,l1,l2且l,1,与l,2,相交，若ml,1,且nl,2,，因l,1,与l,2,相交，故m与n也相交，；若，则直线m与直线l,1,可能为异面直线，故的一个充分而不必要条件是ml,1,且nl,2,，应选B.,答案：,B,55,9. （2008全国）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：,充要条件：,;,充要条件:,.,（写出你认为正确的两个充要条件）,解析：,本题为开放性填空题，下面给出了四个充要条件，任写两个即可，写出其他正确答案也可.,答案：,两组相对侧面分别平行 一组相对侧面平行且全等 对角线交于一点 底面是平行四边形,10. (x-1)(x+2)0的一个必要不充分条件是,.,解析：,这是一道开放题，答案不唯一，只要满足x-2或x1均可，但不可以是-2x1.,答案：,x-2(或x1),56,11. 写出命题“若m0，则方程 +x-m=0有实数根”的逆否命题，判断其真假，并加以证明.,解析：,原命题的逆否命题是：“若方程 +x-m=0没有实数根，则m0”.它是真命题.,证明：,方程 +x-m=0没有实数根，=1+4m0，,m ，m0成立.(也可以证明原命题正确),12. 已知p: ,q: 0.求p是q的什么条件.,解析：,p:A= ;,q:B= ,由图知A B,故p是q的充分不必要条件.,57,第三节 简单的逻辑结构、全称量词与存在量词,1. 了解逻辑联结词 “或”、“且”、“非”的含义.,2. 理解全称量词与存在量词的意义.,3. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.,1. 命题pq,pq, 的真假判断,58,2. 全称量词,(1)短语“,所有的,”“,任意一个,”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.,（2）含有,全称量词,的命题，叫做全称命题.,（3）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记,为,: xM,p(x),，读作,“对任意x属于M,有p(x)成立”,.,3. 存在量词,（1）短语“,存在一个,”“,至少有一个,”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.,（2）含有,存在量词,的命题，叫做特称命题.,（3）特称命题“存在M中的元素 ,使 成立”可用符号简记为:, ,读作“,存在M中的元素 ”.,4. 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定,命题的否定,命题,59,设集合,M=,x|x,2,P=,x|x,3,那么“,xM,或,xP,”,是“,xMP,”,的 （ ）,A.,必要不充分条件,B.,充分不必要条件,C.,充要条件,D.,既不充分也不必要条件,解析:,“xM或xP”不能推出“xMP”，反之可以.,答案:,A,2. (教材改编题)已知命题p且q为假命题，则可以肯定( ),A. p为真命题,B. q为假命题,C. p,q中至少有一个是假命题,D. p,q都是假命题,解析:,利用真值表判断.,答案:,C,60,3. 下列命题中正确的是（）,A. 对所有正实数t，有 t,B. 不存在实数x，使x4，且 +5x-24=0,C. 存在实数x，使|x+1|1且x20,D. 不存在实数x，使 +x+1=0,解析:,A不正确，如t= ，有 t;B不正确，如x=34,而,x2,+5x-24=0;D不正确.,令f(x)= +x+1,则f(-1)=-10,又因为函数f(x)的定义域为R,所以f(x)= +x+1在(-1,0)上必存在零点，即存在实数x使 +x+1=0.,答案:,C,4. （2009福建省普通高中毕业班单科质量检查）命题：“xR, -x+20”的否定是（ ）,A. xR, -x+20 B. xR, -x+20,C.xR, -x+20 D. xR, -x+20,61,解析：,全称命题的否定是特殊命题.,答案：,C,1. 命题：“pq”,“pq”,“ ”的真假判断方法,（1）“pq”形式复合命题判断真假的方法是：“一假必假”.,(2)“pq”形式复合命题判断真假的方法是:“一真必真”.,(3)“ ”形式复合命题判断真假的方法是:“真假相对”.,5. （2009泉州市一级达标中学高三期末联考）有关命题的说法错误的是（ ）,A. 命题“若 -3x+2=0则x=1”的逆否命题为“若x1， 则 -3x+20”；,B. 命题“sinx1”是一个复合命题，而且是个真命题；,C. 若( p)( q)为真命题，则命题p、q至少有一个为真命题；,D. 对于命题pxR，使得 +x+10.则 pxR，均有 +x+10,解析：,C中若（ p）( q)为真命题，则命题p、q至少有一个为假命题.,答案：,C,62,2. 判断复合命题真假的步骤,（1）首先确定复合命题的结构形式;,（2）判断其中简单命题的真假;,（3）根据其真值表判断复合命题的真假.,3. 含有一个量词的命题的否定（全称命题与特称命题）,常见 的有:,“对所有x成立”的否定是“存在某x不成立”;,“对任意x不成立”的否定是“存在某x成立”;,“至少有一个”的否定是“没有一个”;,“至多有一个”的否定是“至少有两个”;,“至少有n个”的否定是“至多有n-1个”;,“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”.,4. 复合命题的否定,（1）“ p”的否定是“p”.,（2）“p或q”的否定是“ p且 q”.,（3）“p且q”的否定是“ p或 q”.,63,题型一 判断含有逻辑联结词的命题的真假,【,例1,】分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断其真假.,(1)5或7是30的约数;,(2)菱形的对角线互相垂直平分;,(3)8x52无自然数解.,分析,由含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的形式及其真值表直接判断.,64,学后反思,判断含有逻辑联结词的命题的真假的一般步骤:,(1）把复合命题写成两个简单命题，并确定复合命题的构成形式；,（2）判断简单命题的真假；,（3）根据真值表判断复合命题的真假.,解析:,(1)p或q，p：8是30的约数(假)，q：6是30的约数(真).为真命题.,(2)p且q，p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分(真). 为假命题.,(3)非p, p： 2x30有实根(假).为真命题.,举一反三,1. 分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假.,(1)8或6是30的约数；,(2)矩形的对角线互相垂直平分；,(3)方程 -2x30没有实数根.,65,题型二 全称命题、特称命题及其真假判断,【,例2,】判断下列语句是不是命题，如果是，说明其是全称命题还是特称命题,以及真假情况，并用符号“ ”或“ ”来表示.,(1)有一个向量,a,，,a,的方向不能确定;,(2)存在一个函数f(x)，使f(x)既是奇函数又是偶函数;,(3)对任意实数a,b,c,方程 都有解;,(4)在平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗?,分析,根据语句中所含联结词判断其是何命题.,解,(1)(2)都是真命题，(3)是假命题，(4)不是命题.其中(1)(2)是特称命题，(3)是全称命题.,上述命题用符号“ ”或“ ”表示为：,（1）a向量，使a的方向不能确定；,（2）f(x)函数,使f(x)既是奇函数又是偶函数；,（3）a,b,cR,方程 都有解.,66,学后反思,含有“所有的”、“任意一个”、“任意的”、“一切的”、“每一个”、“任给”等全称量词的命题，叫做全称命题.含有“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”、“存在着”等存在量词的命题，叫做特称命题.,要判定全称命题“ xM, p(x) ”是真命题，需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素 ,使得 不成立，那么这个全称命题就是假命题.要判定特称命题 “ xM, p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素 ,使 成立即可;如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则特称命题是假命题.,举一反三,2. 用符号“ ”与“ ”表示含有量词的命题,并判断真假.,（1）实数的平方大于等于0;,（2）存在一对实数，使2x3y30成立.,解析：,（1）xR， 0，真命题;,(2）xR，yR，2x3y30，真命题.,67,题型三 全称命题、特称命题的否定,【,例3,】写出下列命题的否定并判断真假.,（1）p:对任意的正数x， x-1；,（2）q:三角形有且仅有一个外接圆;,（3）r:存在一个三角形，它的内角和大于180;,（4）s:有些质数是奇数.,分析,以上这几个命题中（1）（2）是全称命题，（3）（4）是特称命题，在否定时既要对结论否定，又要对量词否定.,学后反思,含有全称量词（或存在量词）的命题的否定与命题的否定有着一定的区别，含有全称量词（或存在量词）的命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定；而命题的否定，则直接否定结论即可.从命题形式上看，含有全称量词的命题的否定是含有存在量词的命题，含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.,解,（1） :存在正数x，xx-1,真命题.,（2） :存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆，假命题.,（3) :所有三角形的内角和小于或等于180，真命题.,（4） :所有的质数都不是奇数，假命题.,68,举一反三,3. 下列命题的否定表述正确的有,.,p,:面积相等的三角形是全等三角形； ：面积相等的三角形不是全等三角形.,p,：有些质数是奇数； ：所有的质数都不是奇数., 应为：有些面积相等的三角形不是全等三角形； 应为,：,解析：,答案：,69,题型四 对复合命题真假判断的综合应用,【,例4,】(12分)已知命题p：方程 +ax-2=0在-1,1上有解；命题q：只有一个实数 x满足不等式 +2ax+2a0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围.,分析,首先对所给命题进行化简，然后再通过对含逻辑联结词的命题的真假判断的知识给予讨论解决.,解,由 +ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0,2,显然a0,x=- 或x= .4,x-1,1，故 1或 1,|a|1.6,“只有一个实数x满足 +2ax+2a0”，即抛物线y= +2ax+2a与x轴只有一个交点，=4 -8a=0,a=0或2.8,命题“p或q”为真命题时,|a|1或a=0.10,命题“p或q”为假命题,a的取值范围为-1a0或0a1.12,70,学后反思,解决这类问题时，关键在于对所给命题的等价转化.它所涉及的命题往往是方程根的问题或不等式解的问题，所以首先要熟知它们的等价转化，化到最简后，再应用真值表以及数轴或函数图象进行分析.,(3)当q和p都是真命题时，得-3m-2.,综上，m的取值范围是m-1.,解析:,“p或q”为真命题，则p为真命题，或q为真命题，或p和q都是真命题.,(1)当p为真命题时，则 得m-2;,(2)当q为真命题时，则 ,得-3m-1;,举一反三,4. 命题p:方程 +mx+1=0有两个不等的正实数根，命题q:方程,4 +4(m+2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题，求m的取值范围.,71,【,例,】若p: -2x-30;q: 0，则 p是 q的什么条件.,错解,p: -2x-30-1x3.,q: 0-2x0x3, p:-1x3. q: 0x3, q:-2x3. p q,但 q/ p, p是 q成立的充分不必要条件.,72,1. 若命题pq为假，且 为假，则( ),A. p或q为假 B. q假,C. q真 D. p假,答案：,B,解析：,为假，则p为真，而pq为假，得q为假.,73,2. 若条件p:xAB,则 是( ),A. xA且xB B. xA或xB,C. xA且xB D. xAB,答案：,B,解析：,:xAB,x至少不属于A,B中的一个.,3. （2009福州市高中毕业班单科质量检查）下列有关命题的说法正确的