数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,广义,多项式,6,函数逼近,/*Approximation of Function*/,一、,函数逼近问题的提法,假设 是定义在某区间 上的函数，现寻求另一个,构造简单,、,计算量小,的函数 来近似地代替：,为区间 上的一个,线性无关,函数系,为一组实常数。,就是我们前面讨论的,多项式逼近,若,线性无关,函数系取,广义多项式6 函数逼近/*Approximation,1,常用的,函数系,：,幂,函数系：,三角,函数系：,指数,函数系：,函数逼近构造,思想,：,要求构造函数在,整个区间,上,与已知函数的误差尽可能,小,常用的函数系：幂 函数系：三角函数系：指数函数系,2,误差,度量,标准：,其中 为,权,函数,（2）,（1）,对于给定的函数系 ，寻求一组系数,使得函数 满足,（1）,（2）,一致,逼近,逼近,误差度量标准：其中 为权函数（2）（1）对,3,二、,最佳,平方,逼近,/*,Best Approximation in Quadratic Norm*/,假设 ，是,a,b,上的一个线性无,关函数系,且 ,为,a,b,上的一个权函数,如果存在一组系数,使得,广义,多项式,满足,称函数 为 在,a,b,上关于权函数 的,最佳,平方,逼近或,最小二乘,逼近；,特别，,若 ，则称,是 在,a,b,上的,最佳平方,逼近.,二、最佳平方逼近/*Best Approximation i,4,由定义可以看出，最佳,平方,逼近问题实际上是个多元,极值,问题,记,由极值的,必要,条件,即：,由定义可以看出，最佳平方逼近问题实际上是个多元极值问题记由极,5,记,将 代入前式：,记将 代入前式：,6,令,称矩阵 是关于函数系 的,Gram,(格拉姆)矩阵,易证,Gram,矩阵为实对称,正定,矩阵：,上述方程组存在,唯一,解,令称矩阵 是关于函数系 的Gram(格,7,设由上述方程组的,解,确定的,广义,多项式为：,对于,任意,广义多项式,下面证明,即,设由上述方程组的解确定的广义多项式为：对于任意广义多项式下面,8,记,记,9,设给定函数 ，则其最佳平方逼近,唯一存在,，且可以由前述,Gram,组成的,方程组求解构造。,注：,前述,Gram,组成的,方程组通常称为,法方程组,最佳平方逼近可以通过求解,法方程组,而得到,Gram,矩阵是实对称,正定,矩阵,设给定函数 ，则其最佳平方逼,10,例1：,求函数 在 上的最佳平方逼近：,解：,本题的函数系和权函数为：,首先计算,Gram,矩阵：,例1：求函数,11,求解下列,法方程组,：,所求最佳,平方,逼近为：,求解下列法方程组：所求最佳平方逼近为：,12,数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件,13,注：例1,中的,法方程组,推广到一般情况,即函数系和权函数取为：,法方程组,的系数矩阵为：,n+1,阶的,Hilbert,矩阵,病态,矩阵,注：例1中的法方程组推广到一般情况即函数系和权函数取为：法方,14,函数系的,选择,方法,如果,（正交函数系）,/*Orthogonal System of Function*/,则称,为区间 上关于权函数,的正交（,直交,）函数系。,特别，若,称之为标准（,规范,）正交函数系,/*Orthonormal System of Function*/,函数系的选择方法如果（正交函数系）/*Orthogonal,15,如果取正交函数系：,则,法方程组,的系数矩阵变为,对角,矩阵。,所以方程组的解为：,如果取正交函数系：则法方程组的系数矩阵变为对角矩阵。所以方程,16,常用的几种,正交,函数系,1、,三角（,Trigonometric,）函数,系,：,（,或,）,正交,性质,常用的几种正交函数系1、三角（Trigonometric,17,2、,勒让德（,Legendre,）,多项式系,：,性质,1,（,递推,公式）,2、勒让德（Legendre）多项式系：性质1（递推公式）,18,性质,2,（,正交,性质）,性质,3,（,最佳逼近,性质）,或者,说明:在区间,-1,1,上，,n,次首,1,的,Legendre,多项式,是,零函数,的最佳平方逼近多项式,性质2（正交性质）性质3（最佳逼近性质）或者说明:在区间-,19,3、,切比雪夫（,Chebyshev,）,多项式系,：,性质,1,（,递推,公式）,例如：,3、切比雪夫（Chebyshev）多项式系：性质1（递推公式,20,性质,3,（,正交,性质）,性质,2,（,零点,与,最值点,）,在,（-1,1）,内的,n,个,零点和,n+1,个,最值点为：,性质3（正交性质）性质2（零点与最值点）在（-1,1）内的n,21,性质,4,（,最佳逼近,性质）,在区间,-1,1,上，,n,次首,1,的,Chebyshev,多项式,是,零函数,的最佳,一致,逼近,证明：,反证法,如果存在 满足：,则函数 在点集,上的函数值,符号交错出现!,多项式 至少有,n,个零点,矛盾！,性质4（最佳逼近性质）在区间-1,1上，n次首1的Ch,22,有限区间的,转化,问题,有限区间 经过下列,变换,可变为区间,从而可以利用勒让德（,Legendre,）,多项式系,或切比雪夫（,Chebyshev,）,多项式系,来构造最佳平方逼近。,有限区间的转化问题有限区间 经过下列变换,23,三、,正交,多项式应用举例,例2：,利用,Legendre,多项式系，求函数 在,上的,三次,最佳平方逼近多项式。,解：,三、正交多项式应用举例例2：利用Legendre多项式系，求,24,数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件,25,数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件,26,数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件,27,关于切比雪夫（,Chebyshev,）,多项式系的应用：,设,Chebyshev,级数,（）,关于切比雪夫（Chebyshev）多项式系的应用：设Che,28,例3：,利用,Chebyshev,多项式系，求函数,在 上的,五次,最佳平方逼近多项式。,解：,例3：利用Chebyshev多项式系，求函数,29,所求的,五次,最佳平方逼近多项式为,化为一般多项式的形式：,所求的五次最佳平方逼近多项式为化为一般多项式的形式：,30,数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件,31,例4：,解：,例4：解：,32,数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件,33,例5：,解：,例5：解：,34,方法2：作变量代换,方法2：作变量代换,35,