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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,广义,多项式,6,函数逼近,/*Approximation of Function*/,一、,函数逼近问题的提法,假设 是定义在某区间 上的函数,现寻求另一个,构造简单,、,计算量小,的函数 来近似地代替:,为区间 上的一个,线性无关,函数系,为一组实常数。,就是我们前面讨论的,多项式逼近,若,线性无关,函数系取,广义多项式6 函数逼近/*Approximation,1,常用的,函数系,:,幂,函数系:,三角,函数系:,指数,函数系:,函数逼近构造,思想,:,要求构造函数在,整个区间,上,与已知函数的误差尽可能,小,常用的函数系:幂 函数系:三角函数系:指数函数系,2,误差,度量,标准:,其中 为,权,函数,(2),(1),对于给定的函数系 ,寻求一组系数,使得函数 满足,(1),(2),一致,逼近,逼近,误差度量标准:其中 为权函数(2)(1)对,3,二、,最佳,平方,逼近,/*,Best Approximation in Quadratic Norm*/,假设 ,是,a,b,上的一个线性无,关函数系,且 ,为,a,b,上的一个权函数,如果存在一组系数,使得,广义,多项式,满足,称函数 为 在,a,b,上关于权函数 的,最佳,平方,逼近或,最小二乘,逼近;,特别,,若 ,则称,是 在,a,b,上的,最佳平方,逼近.,二、最佳平方逼近/*Best Approximation i,4,由定义可以看出,最佳,平方,逼近问题实际上是个多元,极值,问题,记,由极值的,必要,条件,即:,由定义可以看出,最佳平方逼近问题实际上是个多元极值问题记由极,5,记,将 代入前式:,记将 代入前式:,6,令,称矩阵 是关于函数系 的,Gram,(格拉姆)矩阵,易证,Gram,矩阵为实对称,正定,矩阵:,上述方程组存在,唯一,解,令称矩阵 是关于函数系 的Gram(格,7,设由上述方程组的,解,确定的,广义,多项式为:,对于,任意,广义多项式,下面证明,即,设由上述方程组的解确定的广义多项式为:对于任意广义多项式下面,8,记,记,9,设给定函数 ,则其最佳平方逼近,唯一存在,,且可以由前述,Gram,组成的,方程组求解构造。,注:,前述,Gram,组成的,方程组通常称为,法方程组,最佳平方逼近可以通过求解,法方程组,而得到,Gram,矩阵是实对称,正定,矩阵,设给定函数 ,则其最佳平方逼,10,例1:,求函数 在 上的最佳平方逼近:,解:,本题的函数系和权函数为:,首先计算,Gram,矩阵:,例1:求函数,11,求解下列,法方程组,:,所求最佳,平方,逼近为:,求解下列法方程组:所求最佳平方逼近为:,12,数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件,13,注:例1,中的,法方程组,推广到一般情况,即函数系和权函数取为:,法方程组,的系数矩阵为:,n+1,阶的,Hilbert,矩阵,病态,矩阵,注:例1中的法方程组推广到一般情况即函数系和权函数取为:法方,14,函数系的,选择,方法,如果,(正交函数系),/*Orthogonal System of Function*/,则称,为区间 上关于权函数,的正交(,直交,)函数系。,特别,若,称之为标准(,规范,)正交函数系,/*Orthonormal System of Function*/,函数系的选择方法如果(正交函数系)/*Orthogonal,15,如果取正交函数系:,则,法方程组,的系数矩阵变为,对角,矩阵。,所以方程组的解为:,如果取正交函数系:则法方程组的系数矩阵变为对角矩阵。所以方程,16,常用的几种,正交,函数系,1、,三角(,Trigonometric,)函数,系,:,(,或,),正交,性质,常用的几种正交函数系1、三角(Trigonometric,17,2、,勒让德(,Legendre,),多项式系,:,性质,1,(,递推,公式),2、勒让德(Legendre)多项式系:性质1(递推公式),18,性质,2,(,正交,性质),性质,3,(,最佳逼近,性质),或者,说明:在区间,-1,1,上,,n,次首,1,的,Legendre,多项式,是,零函数,的最佳平方逼近多项式,性质2(正交性质)性质3(最佳逼近性质)或者说明:在区间-,19,3、,切比雪夫(,Chebyshev,),多项式系,:,性质,1,(,递推,公式),例如:,3、切比雪夫(Chebyshev)多项式系:性质1(递推公式,20,性质,3,(,正交,性质),性质,2,(,零点,与,最值点,),在,(-1,1),内的,n,个,零点和,n+1,个,最值点为:,性质3(正交性质)性质2(零点与最值点)在(-1,1)内的n,21,性质,4,(,最佳逼近,性质),在区间,-1,1,上,,n,次首,1,的,Chebyshev,多项式,是,零函数,的最佳,一致,逼近,证明:,反证法,如果存在 满足:,则函数 在点集,上的函数值,符号交错出现!,多项式 至少有,n,个零点,矛盾!,性质4(最佳逼近性质)在区间-1,1上,n次首1的Ch,22,有限区间的,转化,问题,有限区间 经过下列,变换,可变为区间,从而可以利用勒让德(,Legendre,),多项式系,或切比雪夫(,Chebyshev,),多项式系,来构造最佳平方逼近。,有限区间的转化问题有限区间 经过下列变换,23,三、,正交,多项式应用举例,例2:,利用,Legendre,多项式系,求函数 在,上的,三次,最佳平方逼近多项式。,解:,三、正交多项式应用举例例2:利用Legendre多项式系,求,24,数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件,25,数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件,26,数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件,27,关于切比雪夫(,Chebyshev,),多项式系的应用:,设,Chebyshev,级数,(),关于切比雪夫(Chebyshev)多项式系的应用:设Che,28,例3:,利用,Chebyshev,多项式系,求函数,在 上的,五次,最佳平方逼近多项式。,解:,例3:利用Chebyshev多项式系,求函数,29,所求的,五次,最佳平方逼近多项式为,化为一般多项式的形式:,所求的五次最佳平方逼近多项式为化为一般多项式的形式:,30,数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件,31,例4:,解:,例4:解:,32,数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件,33,例5:,解:,例5:解:,34,方法2:作变量代换,方法2:作变量代换,35,
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