曲线与方程课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1,曲线与方程,2.1.1,曲线与方程,第一课时,2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程第一课时,复习回顾,:,我们研究了直线和圆的方程,.,1.,经过点,P(0,b),和斜率为,k,的直线,L,的方程,为,_,2.,在直角坐标系中,平分第一、三象限的,直线方程是,_,3.,圆心为,C(a,b),半径为,r,的圆,C,的方程,为,_.,x-y=0,复习回顾:我们研究了直线和圆的方程.x-y=0,点的横坐标与纵坐标相等,x=y,（或,x-y=,0,）,第一、三象限角平分线,含有关系,：,x-y,=0,x,y,0,（,1,）,上点的坐标都是方程,x-y,=0,的解,（,2,）,以方程,x-y,=0,的解为坐标的点都在 上,直,线,条件,方程,坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是,x-y=0,思考,?,M,(x,y),直线,L,上的点坐标与方程,x-y,=0,的解,一一对应,点的横坐标与纵坐标相等x=y（或x-y=0）第一、三象限角平,圆心为,C(a,b),半径为,r,的圆,C,的方程为,:,思考,?,x,y,.,C,（,1,）圆,C,上的点的坐标都是方程 的解,;,（,2,）方程 的解为坐标的点都在圆,C,上。,M,(x,y),圆,C,上的点的坐标与方程 的解,一一对应,曲线上点的坐标与方程的解一一对应,.,圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为:思考?xy.C,(1),曲线上点的坐标都是这个方程的解,;,(2),以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,.,那么,这个方程叫做,曲线的方程,;,这条曲线叫做,方程的曲线,.,定义,:,2,.,曲线的方程,反映的是图形所满足的,数量关系,;,方程的曲线,反映的是数量关系所表示的,图形,.,f,(,x,y,)=0,0,x,y,一般地,在直角坐标系中,如果,某曲线,C(,看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹,),上的点与一个二元方程,f(x,y)=0,的实数解建立了如下的关系,:,说明,:,M,(x,y),1.,曲线上点的坐标与方程的解,一一对应,.,(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;定义:2.曲线的方程,2.“,曲线上的点的坐标都是这个方程 的解,”,（纯粹性）,.,3.“,以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,”,（完备性）,.,由曲线的方程的定义可知,:,如果曲线,C,的方程是,f(x,y)=0,，那么点,P,0,(x,0,y,0,),在曲线,C,上的,充要条件,是,f(x,0,y,0,)=0,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外,.,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏,.,2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解”（纯粹性）.3.,判断点是否在曲线上？,由曲线方程的定义可知，如果曲线,C,的方程是,f(x,y)=0,，那么点,P,0,(x,0,y,0,),在曲线,C,上充分必要条件是,f(x,0,y,0,)=0,练习,1,判断点,P(3,-4),，,Q(-2,1),是否在曲线,上,解：,把点,P(3,-4),代入曲线方程，得,故点,P(3,-4),在曲线上；,把点,Q(-21),代入曲线方程，得,故点,Q(-21),不在曲线上,判断点是否在曲线上？,判断方程是否曲线的方程？,纯粹性判断：曲线上的点的坐标都是这个方程的解；,完备性判断：以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是,A(0,3),，,B(-2,0),，,C(2,0),中线,AO(O,为原点,),的方程是,x,=0,吗？,练习,2,解：,纯粹性判断：中线,AO,在,y,轴上，,所以中线,AO,上的 点都是方程,x,=0,的解；,完备性判断：方程,x,=0,的解,为坐标的点,不全在,中线,AO,上，,如点,(0,-1),或,(0,4),等,故,中线,AO,的方程不是,x,=0,A,B,C,O,应为,中线,AO,的方程,x=0(0y3).,判断方程是否曲线的方程？纯粹性判断：曲线上的点的坐标都是这个,例,1,:,判断下列命题是否正确,解,:,(1),不正确，不具备,(2),完备性，应为,x=3,(2),不正确,不具备,(1),纯粹性，应为,y=1.,(3),正确,.,(4),不正确,不具备,(2),完备性,应为,x=0(-3y0).,(1),过点,A,（,3,，,0,）且垂直于,x,轴的直线的方程为,x,=3,(2),到,x,轴距离等于,1,的点组成的直线方程为,y=1,(3),到两坐标轴的距离之积等于,1,的点的轨迹方程为,xy,=1 (4)ABC,的顶点,A(0,-3),，,B(1,0),，,C(-1,0),，,D,为,BC,中点，则中线,AD,的方程,x=0,例1:判断下列命题是否正确解:(1)不正确，不具备(2)完,例 画出下列方程表示的曲线：,（,1,）；（,2,）,x,|y|,0,；,（,3,）,x,2,2x,y,0(y,0).,x,y,O,(1),x,y,O,(2),x,y,O,2,1,(3),例 画出下列方程表示的曲线：xyO(1)xyO(2)xyO,例,2:,证明与两条坐标轴的距离的积是常数,k,(,k,0),的点的轨迹方程是,xy,=,k,证明：,(1),如图，设,M,(x,0,y,0,),是轨迹上的任意一点，则,|x,0,|,|y,0,|,|x,0,|y,0,|=k,故,(x,0,y,0,),是方程,xy,=,k,的解,(2),设,M,的坐标,(x,0,y,0,),是方程,xy,=,k,的解,，则,x,0,y,0,=,k,即,x,0,y,0,=,k,即,|x,0,|y,0,|=k,故,M,(x,0,y,0,),是轨迹上的任意一点,由,(1),、,(2),可知,xy,=,k,是与两条坐标轴的距离的积是常数,k,(,k,0),的点的轨迹方程,M,(x,0,y,0,),例2:证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹,练习,1,已知方程的曲线经过点,A(0,5/3),和,B(1,1),，求,a,，,b,的值,解：因为,A,B,两点在曲线 上，,所以,A,B,两点的坐标满足方程,即,故,a=16,，,b=9,练习1已知方程的曲线经过点A(0,5/3)和B(1,练习,2:,若命题“曲线,C,上的点的坐标满足方程,f(x,y)=0”,是正确的,则下列命题中正确的是,(),A.,方程,f(x,y)=0,所表示的曲线是,C,B.,坐标满足,f(x,y)=0,的点都在曲线,C,上,C.,方程,f(x,y)=0,的曲线是曲线,C,的一部分或是曲线,C,D.,曲线,C,是方程,f(x,y)=0,的曲线的一部分或是全部,D,例,:,y,|x|,练习2:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”,C,练习,3:,设圆,M,的方程为,直线,l,的方程为,x,+,y,-3=0,点,P,的坐标为,(2,1),那么,(),A.,点,P,在直线上，但不在圆上,B.,点,P,在圆上，但不在直线上；,C.,点,P,既在圆上，也在直线上,D.,点,P,既不在圆上，也不在直线上,练习,4:,已知方程 的曲线经过点,则,m,=_,n,=_.,C练习3:设圆M的方程为,C,C,2.1.2,求曲线的方程（,1,）,第二课时,2.1,曲线与方程,2.1.2求曲线的方程（1）第二课时2.1 曲线与方程,f,(,x,y,)=0,0,x,y,“,数形结合”数学思想的基础,M,(x,y),f(x,y)=00 xy“数形结合”数学思想的基础M(x,y,新课探究,新课探究,我们的目标就是要找,x,与,y,的关系式,先找曲线上的点满足的几何条件,我们的目标就是要找x与y的关系式先找曲线上的点满足的几何条件,即点,M,1,在线段,AB,的垂直平分线上,.,由,(1),、,(2),可知方程,是线段,AB,的垂直平分线的方程,.,点,M,1,到,A,、,B,的距离分别是,（,2,）设点,M,1,的坐标（,x,1,y,1,）是方程,的解，即,:,x,+2,y,1,7=0,x,1,=7,2,y,1,即点M1在线段AB的垂直平分线上.点M1到A、B的距离分别是,由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：,说明：,一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（,5,）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明,.,另外，根据情况，也可以省略步骤（,2,），直接列出曲线方程,.,(1),建系设点：,建立适当的坐标系,用有序实数对（,x,y,）表示曲线上任意一点,M,的坐标；,(2),列式,:,写出适合条件,p,的点,M,集合,P=M|p(M),(3),代换,:,用坐标表示条件,p(M),列出方程,f(x,y)=0;,(4),化简,:,化方程,f,(,x,y,)=0,为最简形式；,(5),审查,:,说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上,.,由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步,方法小结,直接法,是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得到,方法小结直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,例,2.,已知一条直线,l,和它上方的一个点,A,，点,A,到,l,的距离是,2,一条曲线也在,l,的上方，它上面的每一点到,A,的距离减去到,l,的距离的差都是,2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程,.,取直线,l,为,x,轴,过点,A,且垂直于直线,l,的直线为,y,轴,建立坐标系,xOy,解：,2),列式,3,）代换,4),化简,5,）审查,1,）建系设点,因为曲线在,x,轴的上方，所以,y,0,所以曲线的方程是,设点,M(x,y),是曲线上任意一点，,MBx,轴，垂足是,B,，,M,(x,y),例2.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l的距离是2,通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确,建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等式，是求曲线方程的,重要环节,，,在这里常用到一些基本公式，如,两点间距离公式,，,点到直线的距离公式,，,直线的斜率公式,，,中点公式,等,，因此先要了解上述知识，必要时作适当复习,.,通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标,判断方程是否曲线的方程？,纯粹性判断：曲线上的点的坐标都是这个方程的解；,完备性判断：以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是,A(0,3),，,B(-2,0),，,C(2,0),中线,AO(O,为原点,),的方程是,x,=0,吗？,练习,2,解：,纯粹性判断：中线,AO,在,y,轴上，,所以中线,AO,上的 点都是方程,x,=0,的解；,完备性判断：方程,x,=0,的解,为坐标的点,不全在,中线,AO,上，,如点,(0,-1),或,(0,4),等,故,中线,AO,的方程不是,x,=0,A,B,C,O,应为,中线,AO,的方程,x=0(0y3).,判断方程是否曲线的方程？纯粹性判断：曲线上的点的坐标都是这个,练习,1,已知方程的曲线经过点,A(0,5/3),和,B(1,1),，求,a,，,b,的值,解：因为,A,B,两点在曲线 上，,所以,A,B,两点的坐标满足方程,即,故,a=16,，,b=9,练习1已知方程的曲线经过点A(0,5/3)和B(1,1.,在三角形,ABC,中，若,|BC|=4,，,BC,边上的中线,AD,的长为,3,，求点,A,的轨迹方程,.,设,A(x,，,y),，又,D(0,，,0),，所以,化简得,:,x,2,+y,2,=9 (y0),这就是所求的轨迹方程,.,解,:,取,B,、,C,所在直线为,x,轴，线段,BC,的中垂线为,y,轴，建立直角坐标系,.,1.在三角形ABC中，若|BC|=4，BC边上的中线,1.,直接法,:,求轨迹方程最基本的方法,直接通过建立,x,y,之间的关系,构成,F(x,y)=0,即可,.,直接法,定义法,代入法,参数法,求轨迹方程的常见方法,:,2.,定义法,：,（,待定系数法）,利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法这种方法要求题设中有,定点,与,定直线,及,两定点距离之和或差为定值,的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件（下一节重点讲）,1.直接法:求轨迹方程最基本的方法,直接通过建立x,3.,代入法,:,这个方法又叫相关点法或坐标代换法,.,即利用动点,P(x,y),是定曲线,F(x,y)=0,上的动点,另一动点,P(x,，,y),依赖于,P(x,y),，那么可寻求关系式,x=f(x,y),y=g(x,y),后代入方程,F(x,y)=0,中，得到动点,P,的轨迹方程,.,3.代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法.即利用动点P,例、已知,ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点,C,在曲线,y=3x,2,-1,上移动,求,ABC,的重心的轨迹方程,.,例、已知ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点,1.,求曲线的方程的一般步骤：,设（,建系设点,）,找（,找等量关系,）,列（,列方程,）,化（,化简方程,）,验（,以方程的解为坐标的点都是曲线上的点,）,-M(x,y),-P=M|M,满足的条件,课堂小结,1.求曲线的方程的一般步骤：-M(x,y)-P=,曲线与方程课件,我们已建立了曲线的方程、方程的曲线的概念。,利用这两个概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成是满足某种条件的点的轨迹或集合，用曲线上点的坐标,(x,y),所满足的方程,F(x,y)=0,表示曲线。,在数学中，建立曲线方程，然后用方程研究曲线,的方法，叫做,解析法（或坐标法）。,解析几何的两大基本问题,（,1,）据已知条件，求表示平面曲线的方程,。（由曲线求方程）,（,2,）通过方程，研究平面曲线的性质,。（由方程来研究曲线）,我们已建立了曲线的方程、方程的曲线的概念。在数学中，,复习,2,坐标法和解析几何的本质、基本问题,解析几何的本质,坐标法,对于一个几何问题，在建立直角坐标系的,基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过,研究,方程的性质间接地来研究曲线的性质,，这一研究几何,问题的方法称为坐标法,用代数的方法来研究几何问题。,复习2坐标法和解析几何的本质、基本问题解析几何的本质,如果某条曲线,C,是由动点,M,运动产生的，我们就称曲线,C,是点,M,的轨迹，曲线,C,的方程称为,M,的轨迹方程。,注意：“轨迹”、“方程”要区分：,知识链接,(2),若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出,方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）。,(1),求,轨迹方程,，求得方程就可以了；,轨迹和轨迹方程,：,如果某条曲线C是由动点M运动产生的，我们就称曲线C是点M的轨,f,(,x,y,)=0,0,x,y,f(x,y)=00 xy,新课探究,新课探究,我们的目标就是要找,x,与,y,的关系式,先找曲线上的点满足的几何条件,我们的目标就是要找x与y的关系式先找曲线上的点满足的几何条件,曲线与方程课件,方法小结,直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得到,方法小结直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,总结：,总结：,练习,2:,下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？,(1),曲线,C,为过点,A(1,，,1),，,B(-1,，,1),的折线,(,如图,(1),其方程为,(x-y)(x+y)=0;,(2),曲线,C,是顶点在原点的抛物线其方程为,x+=0;,(3),曲线,C,是,象限内到,x,轴，,y,轴的距离乘积为,1,的点集其方程为,y,=,。,1,0,x,y,-1,1,0,x,y,-1,1,-2,2,1,0,x,y,-1,1,-2,2,1,练习2:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为,上一节，我们已经建立了曲线的方程,.,方程的曲线的概念,.,利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（,x,y,）所满足的方程,f,(,x,y,)=0,表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质,.,这一节，我们就来学习这一方法,.,“,数形结合”数学思想的基础,上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这,1,解析几何与坐标法：,我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做,坐标法,.,在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫,解析几何,的学科,.,因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科,.,2,平面解析几何研究的主要问题,：,（,1,）根据已知条件，,求,出表示平面,曲线的方程,；（,2,）通过方程，,研究,平面,曲线的性质,.,说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤,.,1解析几何与坐标法：2平面解析几何研究的主要问题：,.,由两点间的距离公式，点,M,所适合条件可表示为：,将上式两边平方，整理得：,x,+2,y,7=0 ,我们证明方程,是线段,AB,的垂直平分线的方程,.,（,1,）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程,解；,（,2,）设点,M,1,的坐标（,x,1,y,1,）是方程,的解，即,:,x,+2,y,1,7=0,x,1,=7,2,y,1,解,:,设,M(x,y),是线段,AB,的垂直平分线上任意一点,也就是点,M,属于集合,例,1.,设,A,、,B,两点的坐标是,(,1,1),，,(3,7),，求线段,AB,的垂直平分线的方程,.,.将上式两边平方，整理得：解:设M(x,y)是线段AB的垂直,即点,M,1,在线段,AB,的垂直平分线上,.,由,(1),、,(2),可知方程,是线段,AB,的垂直平分线的方程,.,点,M,1,到,A,、,B,的距离分别是,即点M1在线段AB的垂直平分线上.点M1到A、B的距离分别是,由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：,说明：,一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（,5,）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明,.,另外，根据情况，也可以省略步骤（,2,），直接列出曲线方程,.,(1),建系设点：,建立适当的坐标系,用有序实数对（,x,y,）表示曲线上任意一点,M,的坐标；,(2),列式,:,写出适合条件,p,的点,M,集合,P=M|p(M),(3),代换,:,用坐标表示条件,p(M),列出方程,f(x,y)=0;,(4),化简,:,化方程,f,(,x,y,)=0,为最简形式；,(5),审查,:,说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上,.,由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步,