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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.4,最大公因式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,4,最大公因式,5,因式分解,6,重因式,10,多元多项式,11,对称多项式,3,整除的概念,2,一元多项式,1,数域,7,多项式函数,9,有理系数多项式,8,复、实系数多项式,的因式分解,第一章 多项式,1,4 最大公因式5 因式分解6 重因式10 多元,一、公因式 最大公式,二、最大公因式的存在性与求法,1.4,最大公因式,三、互素,四、多个多项式的最大公因式,2,一、公因式 最大公式 二、最大公因式的存在性与求法1.4,i),1,公因式,:,若,满足,:,且,2,最大公因式,:,若,满足：,ii),若 ，且 ，则,则称 为 的,最大公因式,则称 为 的,公因式,一、公因式 最大公因式,3,i)1公因式:若满足:且2最大公因式:若满足：ii),的首项系数为,1,的最大公因式记作,:,注：,，,是 与零多项式,0,的最,大公因式,两个零多项式的最大公因式为,0,最大公因式不是唯一的，但首项系数为,1,的最大,公因式是唯一的,.,若,为,的最大公因式，则,，,c,为非零常数,若 不全为零，则,4,的首项系数为1的最大公因式记作:注：,二、最大公因式的存在性与求法,若等式 成立，则,与,有相同的公因式,从而,引理：,5,二、最大公因式的存在性与求法 若等式,定理,2,对,，,在 中存在,一个最大公因式,，且,可表成,的一个组合，即,，,使,6,定理2对 ，在 中存,若 有一为,0,，如,，,则,就是一个最大公因式且,考虑一般情形：,用 除 得：,其中 或 .,若 ，用 除 ，得：,证：,7,若 有一为0，如 ，则,若 ，用 除 ，得,如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，,因此，有限次后，必然有余式为,0,设,其中 或 ,即,于是我们有一串等式,8,若 ，用 除 ，得 如此辗转,9,9,从而有,再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去,再并项就得到,10,从而有再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去再并项就得,说明:,定理中用来求最大公因式的方法，通常称为,辗转相除法,定理中最大公因式,中的 不唯一.,对于,，,使 ,但是,未必是,的最大公因式.,11,说明:定理中用来求最大公因式的方法，通常称为辗转相除,如:,，则,取,，有,取,，也有,取,也有,成立,事实上,若 则对,，,12,如:，则,若,，,且,则 为 的最公因式,设 为 的任一公因式，则,证：,从而,即,为 的最大公因式,13,若 ，且则,例,1,求,，,并求 使,14,例1求 ，并求 使,解,:,且由,得,15,解:且由 得 15,例,2,.,设,求,，,并求 使,16,例2.设 求 ，并求,因式，即,就可以)，这是因为,和,具有完全相同的,若仅求,，,为了避免辗转相除时出现,注:,分数运算，可用一个数乘以除式或被除式(从一开始,为非零常数,17,因式，即就可以)，这是因为 和,则称 为,互素的,(或互质的),1定义,:,三、互素,若,互素,除去零次多项式外无,说明:,由定义，,其它公因式,18,则称 为互素的(或互质,定理,3,互素,，使,2,互素的判定与性质,证：,显然,设为 的任一公因式，则,从而,又,故,19,定理3,定理,4,若,，且 ，,则,证：,使,于是有,又,20,定理4若 ，且,推论,若,，且,又,，则,证:,，使,于是 ，使,而,由定理4有,从而,21,推论 若,若 满足,:,定义,i),则称 为 的,最大公因式,ii),若,则,四、多个多项式的最大公因式,22,若 满足:定义i)则称 为,注：,表示首1最大公因式,，使,的最大公因式一定存在,互素 使,23,注：表示首1最大公因式 ，使,附:,最小公倍式,设 ，若,i),ii),对 的任一公倍式 ，都有,则称,为,的,最小公倍式,注,:,的首项系数为,1,的最小公倍式记作,:,24,附:最小公倍式设,
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