2n阶行列式性质与展开定理课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,行列式,第二章,n,阶行列式,行列式性质与展开定理,克拉默（,Cramer,）法则,应用举例,8/10/2024,1,行列式第二章 n 阶行列式行列式性质与展开定理 克拉默（Cr,第一节,n,阶行列式,8/10/2024,2,第一节n 阶行列式8/21/20232,行列式,（,Det,erminant,）,是线性代数中的一个最基,本、最常用的,工具,，最早出现于求解线性方程组.它被,广泛地应用于数学、物理、力学以及工程技术等领域.,了解：关于行列式,8/10/2024,3,行列式（Determinant）是线性代数中,设 二元线性方程组,用消元法知：,当 时,，,（1）,方程组(1)有解,且,把由四个数排成两行两列,并定义为数,的式子 ,叫做,二阶行列式,.,数 称为行列式的元素，元素,第一个下标称为行标，表明该元素位于第,i,行；,第二个,下标称为列标，表明该元素位于第,j,列.,+,-,-运算符,主对角线,一、二阶与三阶行列式,1、基本概念,行列式是一个数,8/10/2024,4,设 二元线性方程组用消元法知：当,由二阶行列式的定义，得：,称为,方程组（1）的,系数行列式,Example 2,便于表示、记忆和推广,求解二元线性方程组,由于,Solution,:,（1）,用行列式形式表示方程组的解,8/10/2024,5,由二阶行列式的定义，得：称为Example,类似地，定义三阶行列式,+,-,计算（定义）规则称为对角线规则（或沙流氏规则）.,Example,3,计算三阶行列式,=-5,+12,-2,-5,+8,+3,=11,Solution,:,1、基本概念,8/10/2024,6,类似地，定义三阶行列式+-计算（定义）规则称为对角线规则（或,二、,n,阶行列式,用递归的方法来定义,n,阶行列式,.,由,n,2,个元素,a,ij,(,i,j,=1,2,n,),排成,n,行,n,列，,称为,n,阶行列式,.,数,行数与列数相等,特点？,1、基本概念,在(2)式中，,a,11,a,22,a,nn,所在的对角线称为行列式的主对角线.,8/10/2024,7,二、n 阶行列式 用递归的方法来定义 n 阶行列式,M,11,M,12,M,13,Definition,1,在,n,阶行列式,D,中，将,a,ij,所在的第,i,行第,j,列划去后，余下的元素按原相对位置构成的一,个,n,-1 阶行列式，称为,a,ij,的,余子式,，记作,M,ij,.,称,A,ij,=(-1),i+j,M,ij,，称为元素,a,ij,的,代数余子式,.,二、,n,阶行列式,8/10/2024,8,M11M12M13Definition 1,Definition,2,当,n,=1 时，定义一阶行列式 ,若定义了,n,-1(,n,2,)阶行列式，则定义,n,阶行列式为,D,n,=,a,11,A,11,+,a,12,A,12,+,a,1,n,A,1,n,也称(3)为,n,阶行列式关于第一行的展开式,.,数,a,ij,称为行列式,D,n,的第,i,行第,j,列元素.,Note,:,当 n,4,时,，,对角线法则不再,适用,D,n,的计算,.,如 4 阶行列式：,按对角线法共有 8 项代数和；,4!=24 项,.,但按定,义，共有,n,阶行列式？,二、,n,阶行列式,8/10/2024,9,Definition 2,Example,4,证明,n,阶下三,角行列式(当,i,j,时，,a,ij,=0）,利用,Pro.,1,和,Ex,.4,得,=,a,11,a,22,a,nn,.,Property,2,互换行列式的两行(列)，行列式值变号,.,三,、行列式的性质,8/10/2024,19,Example 7 Solution:,Property,2,的证明,Proof,:,对行列式的阶数用数学归纳法.,阶数为,2，,结,论显然成立,.,假设 阶数为,n,1 时，结论成立,.,当阶数为,n,时,，设,交换第,i,行与第,j,行为,其中,b,i,1,=,a,j,1,，,b,j,1,=,a,i,1,，,b,k,1,=,a,k,1,(,k,=1,2,n,;,k,i,，,j,),三,、行列式的性质,8/10/2024,20,Property 2 的证明Proof:对行列式的阶数用,对,D,*,按第一列展开，得：,其中,B,k,1,为,D,*,的元素,b,k,1,的代数余子式.,对,k,=1,2,n,;,k,i,，,j,，,由归纳假设，,B,k,1,=,-,A,k,1,;,B,i,1,=(-1),i,+1,(-1),(,j,-,i,)-1,M,j,1,由归纳假设,=,-,(-1),j,+1,M,j,1,=,-,A,j,1,同理可得：,B,j,1,=,-,A,i,1,D,*,=,b,11,B,11,+,b,i,1,B,i,1,+,b,j,1,B,j,1,+,b,n,1,B,n,1,=,a,11,(-,A,11,)+,a,j,1,(-,A,j,1,)+,a,i,1,(-,A,i,1,)+,a,n,1,(-,A,n,1,),=,-,(,a,11,A,11,+,a,i,1,A,i,1,+,a,j,1,A,j,1,+,a,n,1,A,n,1,),=,-,D,三,、行列式的性质,8/10/2024,21,对 D*按第一列展开，得：其中 Bk1 为 D*的元素,Corollary 1,如果行列式有两行（列）完全相同，则此,行列式为零,.,只需把这相同的两行（列）互换，得,Corollary 2,行列式某行（列）的元素乘另一行（列）,对应元素的代数余子式之和等于零,.,即,0,k,i,0,k,j,三,、行列式的性质,8/10/2024,22,Corollary 1,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应,元素的代数余子式乘积之和等于零，即,推论,证明：,由前面的定理，行列式等于某一行的元素分别与它们,代数余子式的乘积之和。,在,中，如果令第,i,行的元素等于,另外一行，譬如第,k,行的元素,8/10/2024,23,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应推论证明：由前面,则，,第,i,行,右端的行列式含有两个相同的行，值为,0,。,证毕,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应,元素的代数余子式乘积之和等于零，即,推论,8/10/2024,24,则，第i行右端的行列式含有两个相同的行，值为 0。证毕行列,综上，得公式,注：直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，,因为把一个,n,阶行列式换成,n,个（,n,1）阶行列,式的计算并不减少计算量；,只是在行列式中某一行或某一列含有较多的,零,时，应用展开定理才有意义。,但展开定理在理论上是重要的。,8/10/2024,25,综上，得公式注：直接应用行列式展开公式并不一定简化计,Theorem,1,行列式等于它的某一行（或列）的元素与,其对应的代数余子式的乘积之和，即,或,内容回顾：,一、行列式按行（或列）展开定理,三,、行列式的性质,-回顾,Property,1,行列式与它的转置行列式相等.,Property,2,互换行列式的两行(列)，行列式值变号,.,8/10/2024,26,Theorem 1,Corollary 1,如果行列式有两行（列）完全相同，则此,行列式为零,.,Corollary 2,行列式某行（列）的元素乘另一行（列）,对应元素的代数余子式之和等于零,.,即,0,k,i,0,k,j,三,、行列式的性质,8/10/2024,27,Corollary 1,Property,3,用数,k,乘以行列式，相当于用数 k 乘以行,列式的某一行（列）的所有元素,.,即,第,i,行（列）乘以,k,，记作,Corollary,1,行列式中某一行（列）的所有元素的公,因子，可以提到行列式符号外面.,三,、行列式的性质,8/10/2024,28,Property 3,Corollary,2,如果行列式中一行（列）为零，则该行,列式为零,.,(取,k,=0),Corollary,3,行列式中如果有两行（列）元素成比例,则 此行列式为零,.,(由,Pro,.3,Co,.1 及,Pro,.2,Co.1,),Property,4,由,Th,.1,，按该行（列）展开可得.,该行每个元素为,两个元素之和,三,、行列式的性质,8/10/2024,29,Corollary 2,Property,5,把行列式的某一行（列）的各元素乘以数,k,，然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式,不变,.,即,以数,k,乘第,j,行加到第,i,行，记作,（由,Pro,.4、,Pro,.3 Co.3即得）,注意表示！,三,、行列式的性质,8/10/2024,30,Property 5,Example,8,计算,Solution,:,化行列式为上（下）三角行列式是一重要方法,=,-,45,改为 6，如何？,4阶及以上行列式不能用对角线法,三,、行列式的性质,8/10/2024,31,Example 8 计算Solution:化行列式,Example,9,计算,Solution,:,方法一,D,4,=(,a,+3,b,)(,a,-,b,),3,方法二,D,4,=(,a,+3,b,)(,a,-,b,),3,方法一、方法二,对,n,阶也很适用,三,、行列式的性质,8/10/2024,32,Example 9 计算Solution:方法一D,方法三,将,a,=,b,+(,a,-,b,)则,利用,Pro,.5 进行拆项，几项?,应有 16 项,.,但包含两个或两个以上第一个子列，则为零,.,三,、行列式的性质,8/10/2024,33,方法三将 a=b+(a-b)则利用 Pro.5,Example,10,试证,Proof,：,分析特点:,列之和相等,(实质是计算),确定方法,左边,=右边,三,、行列式的性质,8/10/2024,34,Example 10 试证 Proof：分析特,Example,11,n,阶行列式 ，满足,a,ij,=-a,ji,i，j,=1,n,证明：当,n,为奇数时，,D,=0.,Proof,：,由条件可知：,a,ii,=-,a,ii,i,=1,n,得,a,ii,=0,D=,(,-1),n,D,Pro,.1,Pro,.3,因为,n,为奇,数，,D,=,-,D,所以,D,=0.,三,、行列式的性质,8/10/2024,35,Example 11,Example,12,计算,Solution,:,方法一,将各列加到第一列，得,方法二,D,n,c,j,+c,j,+1,j=n,-1,1,三,、行列式的性质,8/10/2024,36,Example 12 计算Solution:方法一,Example,13,计算,Solution,:,方法一,每行减去第一行，得,方法二,（添加一行一列）,三,、行列式的性质,8/10/2024,37,Example 13 计算Solution:方法一,Example,14,计算,Solution,:,方法一 从第二行起，前行乘以,x,加到后一,行，得,三,、行列式的性质,8/10/2024,38,Example 14 计算Solution:,按最后一行展开，得：,D,n,=,xD,n,-1,+,a,n,-1,D,n,-1,=,xD,n,-2,+,a,n,-2,方法二 (递推法),.,D,2,=,xa,0,+,a,1,D,n,=,xD,n,-1,+,a,n,-1,=,x,2,D,n,-2,+,a,n,-2,x,+,a,n,-1,所以,=x,3,D,n-3,+a,n-3,x,2,+a,n-2,x,+,a,n,-1,=,=,x,n,-2,D,2,+,a,2,x,n,-1,+,a,n-,3,x,2,+a,n-2,x,+,a,n,-1,D,n,-2,=,xD,n,-3,+,a,n,-3,=,a,0,x,n,-1,+,a,1,x,n,-2,+,+a,n-2,x,+,a,n,-1,三,、行列式的性质,8/10/2024,39,按最后一行展开，得：Dn=xDn-1+an-1Dn-1,Example,15,设,证明：,D,=,D,1,D,2,.,对,m,用数学归纳法即可证明（,（B）1(2);2,）,=？,三,、行列式的性质,后m列换到前面；,注,8/10/2024,40,Example 15 设证明：D=D1D2,Example,16,证明 范德蒙德（,Vandermonde,）行列式,Proof,:,用数学归纳法,当,n,=2,结论成立；,假设对于,n,-1 阶,V,-行列式，结论成立；,对于,n,阶,V,-行列式，从第,n,行开始，后行减去前,行的,x,1,倍.,三,、行列式的性质,8/10/2024,41,Example 16 证明 范德蒙德（Vander,D,n,上式右端行列式是,n,-1 阶,V,-行列式，由归纳假设，得,三,、行列式的性质,8/10/2024,42,Dn上式右端行列式是 n-1 阶 V-行列式，由归纳假设，,Example,17,计算,Solution,:,D,4,为 4 阶,V,-行列式,其中,故,三,、行列式的性质,8/10/2024,43,Example 17 计算Solution:D4,第三节,克莱姆（,Cramer,）法则,8/10/2024,44,第三节克莱姆（Cramer）法则8/21/202344,首次讨论线性方程组的求解问题，利用行列式得出,一类特殊方程的求解公式,.,克莱姆法则：,如果线性方程组,(1),其系数行列式,则方程组(1)有唯一解,其中,D,j,是用常数项(自由项),b,1,，,b,2,，,b,n,替,换,D,中第,j,列所成的行列式,.,一,、克莱姆法则,简记为,8/10/2024,45,首次讨论线性方程组的求解问题，利用行列式得出,Proof,:,是解,；,唯一性.,所以，（2）是（1）的解,.,设 是方程组（1）的一个解,.,代入方程 得,用,D,中第,j,列元素的代数余子式,依次乘方程组（3）的,n,个方程，再相加 ，得,左边=右边=,D,j,由,Th.,1.2 可知,Dc,j,=,D,j,一,、克莱姆法则,8/10/2024,46,Proof:是解,Example,18,解方程组,Solution,:,该位置展开一定带正号,D,1,=-2，,D,2,=4，,D,3,=0，,D,4,=-1,所以，,x,1,=1，,x,2,=-2，,x,3,=0，,x,4,=1/2 .,二,、克莱姆法则应用实例,8/10/2024,47,Example 18 解方程组Solution:该位置,克莱姆法则的意义在于它给出了解与系数的关系,在方程理论上很有价值.但用它来求解是很不方便的.,因为，它求解一个,n,个未知量、,n,个方程的线性方程,组，需计算,n,+1 个,n,阶行列式，计算量很大.,Definition,1.8,在方程组（1）中，如果自由项,b,1,，,b,2,，,b,n,不全为零，则称（1）为,非齐次,线性方程组,;,否则，称为,齐次线性方程组,.,Corollary,1,零一定是它的解，,更关心的是非零解,如果齐次线性方程组,的系数行列式,则方程组只有零解,.,Corollary,2,如果齐次线性方程组,有非零解的必要条件是,D,=0,.,第三章将证明,这也是充分的,三,、克莱姆法则应用,8/10/2024,48,克莱姆法则的意义在于它给出了解与系数的关系,Example,19,设方程组,问,a,、,b,、,c,满足什么条件，方程组有非零解,.,Solution,:,由,D,=0,a,、,b,、,c,至少有两个相等,.,不难验证，当,a,、,b,、,c,中至少有两个相等，方程,组有非零解,.,8/10/2024,49,Example 19 设方程组 问 a、b、c 满,小,结,行列式计算、证明的常用方法,定义,性质,降（升）阶,递推,V,-,行列式,数学归纳法,8/10/2024,50,小 结行列式计算、证明的常用方法定义性质降（升）阶递推V-,第,二,章 行列式,完,8/10/2024,51,第 二 章 行列式完8/21/202351,第二章练习,P36，,习题,2,(A)第,7,5，3（5）;(B),8/10/2024,52,第二章练习P36，习题2(A)第7,5，3（5）;(B)8,习题2作业,P36，,习题,2,(A)第,2(1,2);3(3,5);4(3,4);6,，8(1);9;10,8/10/2024,53,习题2作业P36，习题2(A)第2(1,2);3(3,