二阶微分方程应用习题课课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,高阶微分方程,应用习题课,第七章 微分方程,二、二阶微分方程的实际应用,一、两类高阶微分方程的解法,1.可降阶微分方程的解法,2.二阶线性微分方程的解法,高阶微分方程应用习题课第七章 微分方程二、二阶微分方程的实,1,一、两类高阶微分方程的解法,1.可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,一、两类高阶微分方程的解法 1.可降阶微分方程的解法,2,2.二阶线性微分方程的解法,常系数齐次情形,代数法,特征方程:,实根,特 征 根,通 解,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,2.二阶线性微分方程的解法 常系数齐次情形 代数法特,3,2.二阶线性微分方程的解法,常系数非齐次情形,代数法,为常数,其中,为实数,为,m,次多项式.,1）,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,当,是特征方程的,k,重根,时,可设,特解,将此式代入原方程比较系数即可确定该特解,.,2.二阶线性微分方程的解法 常系数非齐次情形 代数法,4,2.二阶线性微分方程的解法,常系数非齐次情形,代数法,为常数,2）,型,则可设特解:,其中,为特征方程的,k,重根(,k,=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,将此式代入原方程比较系数即可确定该特解,.,2.二阶线性微分方程的解法 常系数非齐次情形 代数法,5,的解.,例1,设函数,内具有连续二阶导,1)试将,x,x,(,y,)所满足的微分方程,变换为,y,y,(,x,)所满足的微分方程;,2)求变换后的微分方程满足初始条件,数,且,解,上式两端对,x,求导,得,1),由反函数的导数公式知,(2003,考研,),的解.例1设函数内具有连续二阶导1)试将 xx(y),6,代入原微分方程得,2),方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得,A,0,从而得的通解:,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,代入原微分方程得 2)方程的对应齐次方程的通解为 设,7,二、微分方程的应用,1.建立数学模型 列微分方程问题,建立微分方程(共性),利用物理规律,利用几何关系,确定定解条件(个性),初始条件,边界条件,可能还有衔接条件,2.解微分方程问题,3.分析解所包含的实际意义,二、微分方程的应用 1.建立数学模型 列微分方程问题,8,例2,解,欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引,力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.,设人造地球卫星质量为,m,地球质量为,M,卫星,的质心到地心的距离为,h,由牛顿第二定律得:,(,G,为引力系数),则有初值问题:,又设卫星的初速度,例2解 欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引力,初,9,代入原方程,得,两边积分得,利用初始条件,得,因此,注意到,代入原方程,得两边积分得利用初始条件,得因此注意,10,为使,因为当,h,=,R,(在地面上)时,引力=重力,即,代入,即得,这说明第二宇宙速度为,为使因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,11,练习题,从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测,要求,需确定仪器的下沉深度,y,与下沉速度,v,之间的函数关,系.,设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在,下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为,m,体积为,B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成,正比,比例系数为,k,(,k,0),试建立,y,与,v,所满足的,微分方程,并求出函数关系式,y=y,(,v,).,(1995考研),提示:,建立坐标系如图.,质量,m,体积,B,由牛顿第二定律,重力,浮力,阻力,练习题从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪,12,初始条件为,用分离变量法解上述初值问题得,得,质量,m,体积,B,注意:,初始条件为用分离变量法解上述初值问题得得质量 m注意:,13,在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0.,例3,有一电路如图所示,电阻,R,和电,解,列方程.,已知经过电阻,R,的电压降为,R i,;,经过,L,的电压降为,因此有,即,初始条件:,由回路电压定律:,其中电源,求电流强度,感,L,都是常量,在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0.例3 有一电路,14,解方程:,由初始条件:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得,15,暂态电流,稳态电流,因此所求电流函数为,解的意义:,暂态电流稳态电流因此所求电流函数为解的意义:,16,求电容器两两极板间电压,练习题,联组成的电路,其中,R,L,C,为常数,所满足的微分方程.,解,设电路中电流为,i,(,t,),的电量为,q,(,t,),自感电动势为,由电学知,根据回路电压定律:,设有一个电阻,R,自感,L,电容,C,和电源,E,串,极板上,在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0,求电容器两两极板间电压 练习题 联组成的电路,其中R,17,串联电路的振荡方程:,化为关于,的方程:,故有,如果电容器充电后撤去电源(,E,=0),则得,串联电路的振荡方程:化为关于的方程:故有 如果电容器,18,当重力与弹性力抵消时,物体处于 平衡状态,例4,质量为,m,的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力与阻力作用下作往复运动,解,阻力的大小与运动速度,向下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手,物体在弹性,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻,t,物位移为,x,(,t,).,自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比,方向相反.,1）建立位移满足的微分方程.,当重力与弹性力抵消时,物体处于 平衡状态,例4 质量为,19,据牛顿第二定律得,则得有阻尼,自由振动方程:,阻力,强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外,则得,强迫振动方程:,力,据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力 强迫振动情况,20,2）,解,在无外力作用下做自由运动,求物体的运动规律,为 初始,设,t,=0 时物体的位置,的定解问题为,由1）知,位移满足,方程:,特征方程:,特征根:,方程通解:,无阻尼自由振动情况 (,n,=0),利用初始条件得:,2）解在无外力作用下做自由运动,求物体的运动规律 为,21,故所求特解:,简谐振动,A,:振幅,:初相,周期:,固有频率,(,仅由系统特性确定),解的特征:,故所求特解:简谐振动 A:振幅,:初相,周期:固,22,方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼:,n,k,临界阻尼:,n,=,k,解的特征,解的特征,解的特征,方程:特征方程:特征根:小阻尼:n,k,),1)无振荡现象;,此图参数:,2)对任何初始条件,即随时间,t,的增大物体总趋于平衡位置.,大阻尼解的特征:(n k)1)无振荡现象;此,25,临界阻尼解的特征:,(,n,=,k,),任意常数由初始条件定,最多只与,t,轴交于一点;,即随时间,t,的增大物体总趋于平衡位置.,2)无振荡现象;,此图参数:,临界阻尼解的特征:(n=k)任意常数由初始条件定,26,3）,的作用，求物体的运动规律.,解,问题归结为求解无阻尼强迫振动方程,当,p,k,时,齐次通解:,非齐次特解形式:,因此原方程之解为,若设物体只受弹性恢复力,f,和铅直干扰力,代入可得:,3）的作用，求物体的运动规律.解 问题归结为求解无阻尼强,27,当干扰力的角频率,p,固有频率,k,时,自由振动,强迫振动,当,p,=,k,时,非齐次特解形式:,代入可得:,方程的解为,当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时,自由振动强迫振动,28,若要利用共振现象,应使,p,与,k,尽量靠近,或使,随着,t,的增大,强迫振动的振幅,这时产生共振现象.,可无限增大,若要避免共振现象,应使,p,远离固有频率,k,;,p,=,k,.,自由振动,强迫振动,对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起,有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.,若要利用共振现象,应使p 与k 尽量靠近,或使 随着 t,29,练习,1,容器内溶液的含糖量问题,一容器内有糖水100L，含糖量为100克，现以5L/min的速度注入浓度为10克,/L,的糖水，同时将均匀混合的糖水以5L/min的速度排出.求含糖量对时间变化的函数？,分析:,在时间微量,dt,内容器含糖量的改变量,解得,该时间内排出盐水的含盐量,该时间内注入盐水的含盐量,微量平衡原理,练习1 容器内溶液的含糖量问题 一容器内有糖水10,30,练习,2,污水治理问题,某湖泊水量为,V,每年均匀排入含污染物,A,的污水量,V,/6,流入不含污物,A,的水量也是,V,/6,同时每年以匀速将,V,/,3,的水量排出湖泊.经测,m,(0)=5,m,0,为治理执行限排标准.排入湖泊中的污染物含,A,浓度不得超过每年,m,0,/,V,.假定湖中含,A,总是均匀的,问几年后,A,含量不超过,m,0,？,湖中A的改变量流入,A,的量排出,A,的量,解得,练习2 污水治理问题 某湖泊水量为V,每年均匀,31,君子之学，不为则已，为则必要其成，故常百倍其功.,宋朱熹,希望同学们抓紧时间、克服困难，认真复习，祝大家在考试中取得更好的成绩！,最后，预祝各位同学及你们的家人过一个祥和、温馨的春节！,谢谢大家，再见！,对各作业组组长的出色工作表示感谢！,君子之学，不为则已，为则必要其成，故常百倍其功.,32,