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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,对称矩阵,二次型,第8节 Hermite变矩阵、Hermite二次齐式,对称矩阵,二次型第8节 Hermite变矩阵、Hermit,1,矩阵分析-ppt课件-第四章-矩阵分解,2,定理8.1:,若A是n阶复矩阵,则,,(1),A,是Hermite矩阵的充要条件是对任意 ,是实数。,(2),A,是Hermite矩阵的充要条件是对任意 ,是Hermite矩阵。,定理8.1:若A是n阶复矩阵,则,(1)A是Hermite,3,定理8.3:,若,A,是,n,阶复矩阵,则,A,是,n,阶Hermite矩阵的充要条件是存在酉矩阵,U,,使得,,定理8.2:,若,A,是,n,阶实矩阵,则,A,是,n,阶实对称矩阵的充要条件是存在正交矩阵,Q,,使得,,定理8.3:若A是n阶复矩阵,则A是n阶Hermite矩阵,4,Hermite二次齐式,实二次齐式(二次型),Hermite二次齐式的标准型:定理8.5,8.6,对角矩阵,Hermite二次齐式,实二次齐式(二次型)Hermite二,5,第9节 正定Hermite二次齐式、正定Hermite矩阵,第9节 正定Hermite二次齐式、正定Hermite矩,6,Hermite二次齐式,实二次齐式(二次型),正定的,矩阵,A,正定的,正定的,矩阵,A,半正定的,负定的,矩阵,A,负定的,负半定的,矩阵,A,负半定的,非奇异线性变换不改变二次齐式的正定性,也就是相似矩阵具有相同的正定性,Hermite二次齐式,实二次齐式(二次型)正定的矩阵A正定,7,与正定的实二次形一样,关于正定的Hermite二次形我们有,定理9.1:对于给定的Hermite二次形,下列叙述是等价的,(1)是正定的.,(2)对于任何,n,阶可逆矩阵,P,都有 为正定矩阵.,(3),A,的,n,个特征值都大于零.,(4)存在,n,阶可逆矩阵,P,使得,(5)存在,n,阶可逆矩阵,Q,使得,(6)存在正线上三角矩阵,R,使得 ,且此分解是唯一的.,与正定的实二次形一样,关于正定的Hermite二次形我们,8,定理9.3:对于给定的Hermite二次形,下列叙述是等价的:,(1)是半正定的,(2)对于任何,n,阶可逆矩阵 都有 为半正定矩阵,(3)A的,n,个特征值全是非负的,存在,n,阶可逆矩阵 使得,(5)存在秩为,r,的,n,阶矩阵,Q,使得,定理9.3:对于给定的Hermite二次形(2),9,矩阵分析-ppt课件-第四章-矩阵分解,10,第四章 矩阵分解,第四章 矩阵分解,11,矩阵分解,矩阵的满秩分解,正交三角分解,奇异值分解,极分解,谱分解,矩阵分解矩阵的满秩分解,12,4.1 矩阵的满秩分解,4.1 矩阵的满秩分解,13,定理1.1:设 ,则存在 ,使得,证明:,(1)因为,A,的秩是,r,,所以有,r,个线性无关的列,可以设,A,的前,r,列向量是线性无关的。,行初等变换,定理1.1:设 ,则存在,14,定理1.1:设 ,则存在 ,使得,证明:,(2)若,A,的前,r,列向量是线性相关的,那么可以做相应的列初等变换使其前,r,个列向量线性无关。,定理1.1:设 ,则存在,15,例题1.1,1.2,例题1.1,1.2,16,矩阵的满秩分解是不唯一的,但是它们之间满足:,定理1.2:若 均为,A,的满秩分解,那么,矩阵的满秩分解是不唯一的,但是它们之间满足:定理1.2:若,17,4.2 矩阵的正交分解(UR、QR分解),4.2 矩阵的正交分解(UR、QR分解),18,定理2.1:设 ,则,A,可以唯一的分解为,主对角线元素为正的,证明:,正交化,单位化,定理2.1:设 ,则 A,19,单位化,单位化,20,酉矩阵,正线上矩阵,单位矩阵,酉矩阵正线上矩阵单位矩阵,21,定理2.2:设 ,则,A,可以唯一的分解为,推论2.2:设 ,则,A,可以唯一的分解为,推论2.3:设 ,则,A,可以分解为,定理2.2:设 ,则 A,22,例题2.1,例题2.1,23,4.3 矩阵的奇异值分解,4.3 矩阵的奇异值分解,24,引理3.1:对任一矩阵,A,,均有,同解方程,证明:,引理3.1:对任一矩阵A,均有同解方程证明:,25,引理3.2:对任一矩阵,A,,,均是半正定Hermite矩阵,引理3.2:对任一矩阵A,,26,定理3.1:对任一矩阵 ,则,证明:,定理3.1:对任一矩阵 ,则,27,定义3.1:对任一矩阵 ,称,为矩阵A的正奇异值,简称奇异值。,例3.1,定义3.1:对任一矩阵 ,称,28,定理3.2:若矩阵,A,是正规矩阵,则,A,的奇异值是,A,的非零特征值的模。,定理3.2:若矩阵A是正规矩阵,则A的奇异值是A的非零特征,29,定理3.3:对任一矩阵 ,是A的,r,个正奇异值,则存在,m,阶酉矩阵,U,和,n,阶酉矩阵,V,,满足,证明:,定理3.3:对任一矩阵 ,,30,矩阵分析-ppt课件-第四章-矩阵分解,31,
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