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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,对称矩阵，二次型,第8节 Hermite变矩阵、Hermite二次齐式,对称矩阵，二次型第8节 Hermite变矩阵、Hermit,1,矩阵分析-ppt课件-第四章-矩阵分解,2,定理8.1：,若A是n阶复矩阵，则，,（1）,A,是Hermite矩阵的充要条件是对任意 ，是实数。,（2）,A,是Hermite矩阵的充要条件是对任意 ，是Hermite矩阵。,定理8.1：若A是n阶复矩阵，则，（1）A是Hermite,3,定理8.3：,若,A,是,n,阶复矩阵，则,A,是,n,阶Hermite矩阵的充要条件是存在酉矩阵,U,，使得，,定理8.2：,若,A,是,n,阶实矩阵，则,A,是,n,阶实对称矩阵的充要条件是存在正交矩阵,Q,，使得，,定理8.3：若A是n阶复矩阵，则A是n阶Hermite矩阵,4,Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型）,Hermite二次齐式的标准型：定理8.5,8.6,对角矩阵,Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型）Hermite二,5,第9节 正定Hermite二次齐式、正定Hermite矩阵,第9节 正定Hermite二次齐式、正定Hermite矩,6,Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型）,正定的,矩阵,A,正定的,正定的,矩阵,A,半正定的,负定的,矩阵,A,负定的,负半定的,矩阵,A,负半定的,非奇异线性变换不改变二次齐式的正定性，也就是相似矩阵具有相同的正定性,Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型）正定的矩阵A正定,7,与正定的实二次形一样,关于正定的Hermite二次形我们有,定理9.1:对于给定的Hermite二次形,下列叙述是等价的,(1)是正定的.,(2)对于任何,n,阶可逆矩阵,P,都有 为正定矩阵.,(3),A,的,n,个特征值都大于零.,(4)存在,n,阶可逆矩阵,P,使得,(5)存在,n,阶可逆矩阵,Q,使得,(6)存在正线上三角矩阵,R,使得 ,且此分解是唯一的.,与正定的实二次形一样,关于正定的Hermite二次形我们,8,定理9.3:对于给定的Hermite二次形,下列叙述是等价的:,(1)是半正定的,(2)对于任何,n,阶可逆矩阵 都有 为半正定矩阵,(3)A的,n,个特征值全是非负的,存在,n,阶可逆矩阵 使得,(5)存在秩为,r,的,n,阶矩阵,Q,使得,定理9.3:对于给定的Hermite二次形(2),9,矩阵分析-ppt课件-第四章-矩阵分解,10,第四章 矩阵分解,第四章 矩阵分解,11,矩阵分解,矩阵的满秩分解,正交三角分解,奇异值分解,极分解,谱分解,矩阵分解矩阵的满秩分解,12,4.1 矩阵的满秩分解,4.1 矩阵的满秩分解,13,定理1.1：设 ，则存在 ，使得,证明：,（1）因为,A,的秩是,r,，所以有,r,个线性无关的列，可以设,A,的前,r,列向量是线性无关的。,行初等变换,定理1.1：设 ，则存在,14,定理1.1：设 ，则存在 ，使得,证明：,（2)若,A,的前,r,列向量是线性相关的，那么可以做相应的列初等变换使其前,r,个列向量线性无关。,定理1.1：设 ，则存在,15,例题1.1,1.2,例题1.1,1.2,16,矩阵的满秩分解是不唯一的，但是它们之间满足：,定理1.2：若 均为,A,的满秩分解，那么,矩阵的满秩分解是不唯一的，但是它们之间满足：定理1.2：若,17,4.2 矩阵的正交分解（UR、QR分解）,4.2 矩阵的正交分解（UR、QR分解）,18,定理2.1：设 ，则,A,可以唯一的分解为,主对角线元素为正的,证明：,正交化,单位化,定理2.1：设 ，则 A,19,单位化,单位化,20,酉矩阵,正线上矩阵,单位矩阵,酉矩阵正线上矩阵单位矩阵,21,定理2.2：设 ，则,A,可以唯一的分解为,推论2.2：设 ，则,A,可以唯一的分解为,推论2.3：设 ，则,A,可以分解为,定理2.2：设 ，则 A,22,例题2.1,例题2.1,23,4.3 矩阵的奇异值分解,4.3 矩阵的奇异值分解,24,引理3.1：对任一矩阵,A，,均有,同解方程,证明：,引理3.1：对任一矩阵A，均有同解方程证明：,25,引理3.2：对任一矩阵,A,，,均是半正定Hermite矩阵,引理3.2：对任一矩阵A，,26,定理3.1：对任一矩阵 ，则,证明：,定理3.1：对任一矩阵 ，则,27,定义3.1：对任一矩阵 ，称,为矩阵A的正奇异值，简称奇异值。,例3.1,定义3.1：对任一矩阵 ，称,28,定理3.2:若矩阵,A,是正规矩阵，则,A,的奇异值是,A,的非零特征值的模。,定理3.2:若矩阵A是正规矩阵，则A的奇异值是A的非零特征,29,定理3.3：对任一矩阵 ，是A的,r,个正奇异值，则存在,m,阶酉矩阵,U,和,n,阶酉矩阵,V,，满足,证明：,定理3.3：对任一矩阵 ，,30,矩阵分析-ppt课件-第四章-矩阵分解,31,
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