物体的弹性骨的力学性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八章物体的弹性骨的力学性质,在研究刚体的运动时，我们忽略了在外,力作用下物体形状和大小的变化，从而引,入了刚体这一理想模型。实际上任何物体在外力,作用下其形状和大小都会发生变化，即产生一定,的形变。若形变不超过一定限度，当除去外力后，,物体能完全恢复原状，这种形变称为弹性形变；,若形变超过一定限度，当除去外力后，物体不能,再恢复原状，这种形变称为塑性形变。研究物体,在力的作用下所产生的形变，不仅在工程上，而,且在生物医学上也有着重要意义。这一章主要讨,论物体的弹性形变及骨的力学性质。,第一节应力和应变,1.1,应力,设一粗细均匀、截面积为,S,的棒，在棒的两端施加,大小相等、方向相反的拉力,F,，如图所示。在棒上,任取一截面,BC,，由于棒处于平衡状态，根据牛顿,第三定律，则被,BC,分开的两部分存在有相互作用，,这种相互作用称为张力。对整个棒来说，张力是内,力，对被分开的部分来说，它又是外力，而且是作,用在整个横截面上的，其大小与所施加的拉力,F,相,等,在横截面上均匀分布。,我们将横截面上的力与横,截面积的比称为应力，用,表示，即,=F/S,S,F,F,C,B,当棒处于拉伸状态时，这一应力称为张应,力；当棒处于压缩状态时，这一应力称为,压应力。张应力和压应力都是垂直于横截,面的，因此又称正应力。应力的单位是,N.m,-2,。,设有一长方形物体，底面固定，现在上表面施加一与表面相切的作用力,F,，如图所示。由于 物体,是处于平衡状态，所以底面也受到一与,F,大小相等、方向相反的切向力作用。任取一与底面平行的横截面，显然横截面上下两部分也受到与横截,F,F,x,l,0,面相切的且与,F,大小相,等的力的相互作用，这,种力是沿切向的内力。,这种情况下单位截面上,的内力称为切应力，用,表示。若横截面,积为,S,，则切应力,当一固定体放在静止的液体或气体中时，固体要,受到流体静压强的作用。不论固体表面的形状如,何，流体静压强总是垂直于固体表面的。这种压,强不仅作用于表面上，在固体内任一平面，都有,垂直于该面的压强作用。这种压强也是一种应力，,是由于物体受到均匀压强作用而产生的。同样，,当液体或气体的表面受到与其表面垂直的压强作,用时，其内部任一想象平面上都有垂直该面的应,力作用。,总之，应力是作用在物体内单位截面积上,的内力。应力反应了发生形变的物体内部,的紧张程度。,对腱,例,1,、人骨骼上的二头肌臂上部肌肉可以对相连的,骨骼施加约,600N,的力，设二头肌横截面积为,50cm,2,。,腱将肌肉下端联到肘关节下面的骨骼上，设腱的截,面积约,0.5cm,2,。试求二头肌和腱的张应力。,解：张应力是作用在单位面积上的内力，对二头,肌有：,1.2,应 变,物体受到应力作用时，其长度、形状和,体积都要发生变化，这种变化与物体原来的,长度，形状或体积的比称为应变。上面所讨论的每种应力都有与之相对应的应变。,当棒受到压应力作用时，上式仍然成立，此时的,（,1,）张应变与压应变,有一原长为,l,0,的棒的两端受到大小相等，方向相反,的作用力时，棒伸长到,l,，则棒的绝对伸长,l=l,l,0,。,棒的绝对伸长与原来的比称为张应变，用,表示，,即：,应变称为压应变。压应变是棒缩短的长度,与棒原长之比。,我们可以用,角来表示由切应力引起的形变，称,为切应变，也叫做剪应变。在弹性限度内，,角很,小，因此有,tg,则切应变为：,（,2,）切应变,一长方体在切应力的作用下形状发生变化，变为,斜的平行六面体。所有与底面平行的截面在切应,力作用下都要发生相对位移。设上下两面间的距,离为,OA=l,0,两表面的相对位移为,x,=AA,，则有：,（,3,）体应变,对应于流体静压强的应变，称为体应变。体应变,定义为物体的体积变化,V,与物体原来体积,V,0,的比，,用,表示，即：,第二节弹性模量,2.1,弹性与塑性,产生一定的变形所需要的应力决定了某种材料,在受力状态下的性质，因此常需要通过测定材料的,D,O,C,B,A,应力,应变,O,应力与应变曲线来研究材料的性质。不同,材料的应力,应变曲线不同。如图是某金,属材料进行拉伸实验得到的应力,应变曲,线。应力是张应力，应变是张应变。曲线的第一,阶段由,O,点到,A,点为一直线。这一阶段应力不大，,相应的应变也不大，应力与,应变成正比。,A,点称为比例,极限，在比例极限内应力与,应变成正比，这一规律称为,胡克定律，不同的材料其比,例系数不同。由,A,点到,B,点，,随着应力的增大，相应的应变有比较大的增加，这,时应力与应变不再成正比。但是由,O,点至,B,点之间,将引起形变的外力除去后，材料可沿原曲,线返回，即恢复原来的长度，形变消失。,这表明，在,OB,范围内材料具有弹性，所以,将,B,点称为弹性极限。当应力超过,B,点后，就是曲,线的第二阶段，如到达,C,点，这时除去外力后，应,变不会变为零，材料不会沿实线返回，而是沿虚线,返回，存在剩余形变,OO,。超过,C,点后，再增大外,力，应变随着有较大的增加，直到,D,点时材料发生,断裂。由,B,点到,D,点材料发生的不再是弹性形变，,而是塑性形变。材料断裂时的应力称为抗张强度或,极限强度。若对材料进行的是压缩实验，则断裂点,的应力称为材料的抗压强度。,如果材料的断裂点,D,离弹性极限,B,较远，即材,料能产生较大的塑性形变，则说这种材料,具有塑性（或延性）；如果断裂点,D,离弹,性极限点,B,很远，则说这种材料具有脆性。,2.2,弹性模量,根据胡克定律，在弹性限度内，应力与应变,是成正比的。,当材料受到正应力（张应力或正应力）作用,时，胡克定律的形式为：,式中比例系数,Y,称为该材料的杨氏弹性模量或杨,氏模量。有些材料，比如人的骨骼，其在张应力,和压应力下对应的杨氏模量不相等。,当材料受到切应力作用时，胡克定律的形,式为：,式中比例系数,G,称为材料的切变弹性模量或刚性,模量。大多数材料的切变模量约是杨氏模量的,1/2,到,1/3,。,当物体的体积发生变化时，胡克定律的形式为：,式中比例系数,B,成为材料的体积弹性模量。由于,体变时压强增加，材料的体积缩小，,V,为定值，,式中的负号保证了等式两边均为正值。体积弹性,模量的倒数称为压缩率，用,K,表示,即,式中,F/S,应是压强的变化量，用,P,表示，则上式可,表示成：,例,2,、一横截面积为,1.5cm,2,的圆柱形的骨样品，在,其上端加上一质量为,10kg,的重物，则其长度缩小,了,0.0065%,。求骨样品的杨氏模量。,解：,压应力为,根据胡克定律，即,Y,，则有杨氏模量为,第三节形变势能,在弹性限度内，物体在外力的作用下,发生了弹性形变。在这一过程中，外力对,弹性物体做了功，外力所做的功以弹性势能的形式储存在弹性物体中，也就是说外力所做的功转变为弹性物体的形变势能。,我们来讨论一长为,l,0,、横截面积为,S,的均匀直棒在产生拉伸形变时的形变势能。,设施加在棒上的拉力为,F,，棒被拉伸到,l,（拉伸形变时横截面,S,的变化很小，可将其忽略），则棒的绝对伸长为,l,l,0.,。根据胡克定律，有,外力,F,将棒拉伸,dl,时作用的元功用,dA,表示，则,所以：,外力,F,将棒由,l,0,拉长到,l,时作的总功应为上式的积,分：,对一定的材料来说，,Y,、,l,0,、,S,均为常数，,令,k,称为弹性物体的力常数或劲度系数，则：,外力所作的功全部转变为棒的形变势能，用,E,P,表,示形变势能，则有,A,E,P,，所以,或,式中，为应变，,Sl,0,为棒的体积。显然，,是单位体积内的形变势能，称为形变,势能密度，用,P,表示，即,同理，可以求出在切变或体变情况下的形变势能,密度，分别用,G,和,B,表示，则可得,根据上面的讨论可以看出，物体发生,弹性形变时，其形变势能密度为弹性模量,与应变平方的积的二分之一。对不同类型,的弹性形变，应该用该形变所对应的弹性模量。,第四节 骨的力学性质,骨在人的生命活动中起着非常重要的作用，它的,主要功能是支持、运动及对各种器官的保护作用,等。,人体具有,206,块骨，形态各异，但基本上可以分为,长骨、短骨、扁骨和不规则骨四种类型。骨的形,态及骨在人体上的分布是与功能相适应的，长骨,分布在四肢，比如股骨，肌肉通过肌腱和韧带附,着在骨上，骨系统加上肌肉支持着人体，在肌肉,力的作用下人体通过骨关节产生运动；短,骨一般分布在负重、受压或运动复杂的部,位，如手的腕骨和脚的跗骨；扁骨呈板状，,如肩胛骨和颅骨，颅骨围成的颅骨腔起保护大脑,和神经的作用，不同形态的骨，其力学性质是不,同的。,骨是人体内最主要的承载组织，骨骼的变形、,损伤或破坏与受力的方式有关。人体骨骼所受的,力虽然有多种形式，但可以分为四种基本形式，,即拉伸与压缩、剪切、弯曲、扭转这四种形式称,为基本载荷。若骨骼同时受到两种或两种以上的,基本载荷作用，这种情况下骨骼受的力称为复合,4.1,骨的受力,载荷。复合载荷可视为两种或两种以上的,基本载荷复合而成。,1,、拉伸与压缩,拉伸与压缩载荷是施加于骨表面大小相等、,方向相反的载荷，例如人在作悬垂运动或举重时,四肢长骨就是受到这种载荷的作用。如图是人的,润湿长骨的轴向拉伸与压缩实验曲线，即应力与,应变曲线。拉伸曲线和压缩曲线形状相近，都有,O,拉伸,压缩,较长的直线段，在这一阶段应,力与应变成正比，服从胡克定,律，所以可以认骨骼具有弹性。,但是拉伸和压缩时杨氏弹性模,量不同。此外，与一般金属材,料不同的是骨骼在不同的方向上会表现,出不同的力学特性，这种性质称为各向,异性。,2,、剪切,在与骨骼横截面平行的方向施加载荷，这种,载荷就是剪切，这时骨的横截面上的应力就是切,应力。人的骨骼所能承受的剪切载荷比拉伸和压,缩载荷低得多。,3,、扭转,当骨骼的两端受到与其轴线相垂直的一对大,小相等、方向相反的力偶作用时，会使骨骼沿轴,线形成受扭转状态。这一对力偶产生的力矩，称,为扭矩，用,M,表示。扭矩,M,就是扭转载荷。骨骼,受到扭转载荷作用时，横截面承受切应力,作用，其分布如图。切应力的大小除与扭,矩,M,成正比外，还与点到轴线的距离成正,比，在轴线处切应力为零，越靠近边缘切应力越,M,M,A,A,A,A,大，在边缘处的切应力最大。,人的四肢长骨是中空的，这种,截面对抗扭来说合理截面，中,空处切应力为零，而在外缘切,应力较大处相应的载面尺寸较,大，增强了抗扭能力。,4,、弯曲,当骨骼受到使其轴线发生弯曲的载荷作用时，,骨骼会发生弯曲形变。这种载荷可以是垂,直轴线的横向力，也可以是包括骨骼轴线,在内的平面中的一对大小相等、方向相反,的力偶矩的作用。骨骼产生弯曲形变时，在轴线,处有一层骨没有产生应力和应变，称为中性层。,见图，图中的轴线,OO,表示中性层。图也给出了,骨骼受弯曲载荷作用时的应力分布，横截面上的应,M,P,M,O,O,A,A,A,A,力为正应力，应力的大小,与至中性层的距离成正比。,在凸侧骨骼受拉伸作用，,在凹侧骨骼受压缩作用。,由于成人骨骼的抗拉伸能,力低于抗压缩能力，因此,在发生弯曲破坏时，断裂是从凸面开始，,然后凹面才开始断裂。成人股骨受弯曲,载荷时的极限强度比拉伸和压缩时的极,限强度都大得多，所以骨骼有较好的抗弯性能。,5,、复合载荷,上面讨论的都是骨骼受单一载荷作用的情况。,实际生活中骨骼只受一种载荷的情况很少，大多,是同时受到两种或两种以上载荷的作用，这种载,荷称复合载荷。左图表示了髋关节,受复合载荷作用的情况，股骨头往,往受到斜向压力的作用，用,P,表示,斜向压力。图中虚线是股骨头的轴,线，将,P,分解为与轴线平行和垂直,P,P,P,的两个分量,P,/,和,P,。,P,/,是压缩载荷，,P,对股骨头施加一个力矩，使股骨头发生,弯曲，因此,P,是弯曲载荷。显然股骨头,所受的载荷是压缩和弯曲两种复合而成,的载荷。,4.2,骨的力学特性,1,、骨的力学特性与骨的结构有关,骨主要由骨质构成，骨质分为两种。一种构成,骨的表层，致密而坚硬，称为密质骨；另一种是,分布在骨的内部呈蜂窝状的疏松体，称为松质骨，,松质骨具有一定的韧性，能承受较大的弹性形变。,密质骨和松质骨的分布因骨的种类不同有所不同。,长骨的密质骨在中部骨干部分很厚，向两端逐渐,变薄，松质骨主要分布在长骨的两端；短,骨表面有一层较薄的密质骨，内部充满松,质骨；扁骨是由密质骨构成内外两层骨板，,中间夹有一层松质骨。骨的成分中有骨胶原和骨矿,物质。骨胶原是存在于筋腱和韧带中的一种纤维蛋,白，胶原纤维能拉长到大于本身线度的,20%,，,骨的抗拉强度很大，约为,90MN/m,2,，骨胶原使骨质,有较大的抗拉强度和韧性；骨矿物质有很大的抗压,强度，使骨具有较大的抗压强度。因此骨的构成类,似于钢筋混凝土，既有一定的强度和硬度，又有一,定的弹性和韧性。,2,长骨的力学性质,长骨是人体骨骼的主要受力部分，长骨的中间,部位是骨干，两端是骨骺，而内部是中空的骨髓腔,骨干松质骨少，密质骨厚，有较大的强度,和硬度，抗压强度较高，是松质骨的,4,5,倍。所以骨干的力学改制接近脆性材料。,骨骺密质骨较薄，松质骨发达且粗大，因此承载面,积较大，受力比较均匀，可以承受较大的载荷，能,产生较大的弹性变形而不损伤，抗拉性能较好，高,于骨干，但抗压强度较低，只是骨干的,22%,，骨骺,的力学性质接近塑性材料。由于长骨有塑性材料的,弹性和韧性，又具有脆性材料的强度和硬度，所以,钢,骨,花岗岩,红松,密度,(kg/m,3,),7.8,10,3,1.92,10,3,2.6,10,3,0.63,10,3,抗拉强度,(10,6,N/m,2,),4.24,93-120,5,6.5,抗压强度,(10,6,N/m,2,),4.24,121-210,135,42.4,长骨既抗又抗压。下表给出了人的胫骨与,其他常用材料强度的比较，由表中可以看,出，长骨的抗压能力与花岗岩相近，而抗,拉强度却比花岗岩大,20,倍。长骨除受拉伸与压缩的,载荷作用外，更多的是受扭转或弯曲的载荷作用。,受扭转时，横截面上主要是切应力的作用，在截,面中心部位切应力最小，在边缘处切应力最大；受,弯曲时，横截面上主要是正应力的作用，在中性层,正应力最小，在边缘处正应力最大。长骨的横截面,可以近似的视为空心圆截面，与实心截面相比，在,截面积相等的情况下，相当于将实,心圆中心部位受应力很小的部分挖,去填在截面的外缘，增大了边缘的,尺寸，相应的增加了外缘对应力的承受能,力。因此空心圆截面对抗扭和抗弯来说是,合理截面。人体长骨中部为骨骼腔，不仅具有生理,作用，而且从力学角度来说也是完全合理的结构。,3,、骨的应刺激,1,）一定范围的应力刺激，会影响骨的组织、结构,和形态，从而影响骨的力学性质。,骨是活性物质，在不断的生长发育。应力刺激,对骨细胞的生长和吸收起着调节作用。一定范围内,经常性的、间歇式的压应刺激，能助长骨的生长，,使骨的形态变粗增厚，密度加大，改善骨的力学性,质。骨的应力刺激减少，会使骨吸收大于骨生长，,结果是骨骼萎缩，骨质疏松。四肢瘫痪的病人，骨,骼所受的应力明显减少，除受地心引力外，,没有由于肌肉收缩引起的应力作用，发生,明显的骨吸收，在大量高钙尿排出体外，,骨骼萎缩，产生骨质疏松症，使骨在形态、组织结,构和功能上变得异常，力学性能明显降低。宇航员,在太空中生活，由于是在失生状态下，所以骨骼受,的应力刺激大大减小，尿的含钙量与在地面相比增,加,60%,以上，同样会引起骨质疏松。因此，要促进,骨的生长，必须有经常性的应力刺激，尤其是压应,力刺激。压应力刺激是应力刺激的主要因素，对骨,组织的影响最大，美国学者拉什指出：固定不变的,压应力刺激会引起骨萎缩，而间歇性的压应力刺激,才能促使骨的生长。所以，体育锻炼是这种应力刺,激的好形式，不公刺激和影响肌肉组织，,而且刺激骨组织的生长。,2,）应力刺激对骨损伤的修复、愈合,和再长起重要作用,骨组织是能再生和修复的组织，修复和再生后,其化学成分和物理性质与原来的骨完全相同。应力,刺激会使受伤后的骨组织进行再生，骨痂可以不断,的形成和增殖。所以，必须在骨损伤或骨折的断端,施加应力，使其发生形变，骨组织在形变的情况下,产生骨痂。一般也，应力越大，骨痂越丰富，且增,殖迅速，能够促进骨的愈合和再生，最终成为与受,伤前完全相同的骨组织。,习题：,1,、一匀质的铅丝竖直悬挂，铅丝的密度,为,，,11.3,10,3,kg/m,3,，长度为,L,0,。求：（,1,）由,于铅丝自身的重量所产生的应在距悬点,L/4,处的值,是距悬点,3L/4,处值的多少倍？（,2,）已知铅丝内某,处的应力达,2kg/mm,2,时，铅丝在该点被抗断。问铅,丝长度,L,为何值时，它将在自身所受重力的作用下,被抗断？断点在何处？（,3,倍；,177m,）,2,、松弛的二头肌，伸长,5cm,时，需要,25N,的力，而,该肌肉处于紧张状态时，产生相同伸长量需要力,500N,。若将肌肉看作一长为,0.2m,，横截面积为,50cm,2,的圆柱体。求该肌肉组织在以上两种情况下,的杨氏模量。（,210,4,N/m,2,;410,5,N/m,2,),