第1章随机过程的基本概念课件

电子科技大学,第一章 随机过程的基本概念,1.1,基本概念,1.2,有限维分布与柯尔莫哥洛夫定理,1.3,随机过程的数字特征,电子科技大学,第一章 随机过程的基本概念1.1 基本概念1.2 有限维,1.1,基本概念,Ex.1,对某城市的气温进行,n,年的连续观察,记录得,一、实际背景,在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特定时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不断的观察,以观察研究对象随时间推移的演变过程.,电子科技大学,1.1 基本概念 Ex.1 对某城市的气温进行n年的,研究该城市气温有无以年为周期的变化规律?,随机过程的,谱分析问题,Ex.2,从杂乱电讯号的一段观察,Y,(t),0,t T,中,研究是否存在某种随机信号,S,(,t,)?,过程检测,Ex.3,监听器上收到某人的话音记录,Z,(,t,),t,试问他是否确实是追踪对象？,过程识别,电子科技大学,研究该城市气温有无以年为周期的变化规律?随机过程的 Ex,二、随机过程定义,为,(,F,P,),上的一个随机过程.,定义,设,(,F,P,),是概率空间,若对每个,是概率空间,(,F,P,),上的随机变量,则称这族随机变量,注,1)称,T,是,参数集,(或,参数空间,),当,T,=(1,2,，,n,),随机向量,电子科技大学,二、随机过程定义为(F,P)上的一个随机过程.定义 设(,当,T,=(1,2,n,),随机时间序列,随机过程是,n,维随机变量，随机变量序列的,一般化,是随机变量,X,(,t,),的集合.,用,E,表示随机过程 的值域,称,E,为 过程的,状态空间,.,Ex.4,设(,F,P,)是对应于抛均匀硬币的概率空间:,电子科技大学,当T=(1,2,n,),随机时间序列 随机过,做无穷多次抛硬币独立试验,引入随机变量,则 是一随机过程.,其参数集,T,=0,1,2,状态空间,E,=0,1.,随机过程的理解,为集合,T,与,的,积集,.,称,电子科技大学,做无穷多次抛硬币独立试验,引入随机变量 则,随机过程 可看成定义在积集 上的二元函数,1)当固定 是一个随机变量,；,2),当固定 ,作为 的函数，是一个定义在,T,上的普通函数.,T,电子科技大学,随机过程 可看成定义在积集 上的二元函,X(t,1,),X(t,2,),X(t,1,),X(t,2,),X(t,3,),t,1,t,2,t,n,定义,对每一固定 ，称 是随机过程,的一个,样本函数,.,也称轨道,路径,现实.,电子科技大学,X(t1,)X(t2,)X(t,1)X(t,2)X(,Ex.5,利用抛硬币的试验定义一个随机过程，,设出现正反面的概率相同,写出,X,(,t,)的所有样本函数.,解,记 ,1,=出现正面,2,=出现反面,则,X,(,t,)的所有现实为,x,(,1,t,)=cos,t,和,x,(,2,t,)=2,t,.,电子科技大学,Ex.5 利用抛硬币的试验定义一个随机过程，,1、分布函数定义,对任意 ,二维随机变量(,X,(,s,),X,(,t,),)联合分布函数,定义,1,随机过程 ，对,随机变量,X,(,t,),的分布函数,称为过程,X,T,的,一维,分布函数,.,二、,有限维分布与柯尔莫哥洛夫定理,电子科技大学,1、分布函数定义 对任意 ,二维随机变量(,称为,X,T,的,二维分布函数族,.,定义,2,过程 对任给的,随机向量,的联合分布函数,称为过程的,n,维分布函数,.记,电子科技大学,称为XT 的二维分布函数族.定义2 过程,称,F,为,X,T,的,有限维分布函数族.,定义,3,过程 的,n,维特征函数定义为,电子科技大学,称F为XT 的有限维分布函数族.定义3 过程,特征函数和分布函数是相互唯一确定.,称,为,X,T,的有限维特征函数族.,2.随机过程存在定理,随机过程的有限维分布函数族满足以下,两个性质,（1）对称性,电子科技大学,特征函数和分布函数是相互唯一确定.称为XT 的有限维,对,1,2,n,的任一排列,j,1,j,2,j,n,均有,对任意固定的自然数,m,n,均有,（2）相容性,注,联合分布函数能完全确定边缘分布函数.,因事件乘积满足交换律.,注,电子科技大学,对1,2,n 的任一排列j1,j2,类似地,随机过程的有限维特征函数满足:,1),对,1,2,n,的任一排列,j,1,j,2,j,n,有,2),对任意固定的自然数,mn,均有,电子科技大学,类似地,随机过程的有限维特征函数满足:1)对1,2,3、随机过程存在定理,(柯尔莫哥罗夫),如果分布函数族,满足条件,(1),和,(2),则存在一个概率空间上的一个随机过程,其有限维分布函数族恰为,即有,电子科技大学,3、随机过程存在定理(柯尔莫哥罗夫)如果分布函数族 满足条件,在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维,分布函数族,过程的数字特征能反映其局部统计性,质.,1、均值函数、方差函数及相关函数,定义,给定随机过程 ,称,为过程,X,T,的,均值函数,.,需确定各类数字特征随时间的变化规律.,三、随机过程的数字特征,电子科技大学,在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维1、均值函数、,定义,给定随机过程 ,称,为过程,X,T,的,方差函数,.,称 为过程,X,T,的,均方差函数,.,需要描述不同时刻过程状态的关联关系.,定义,给定随机过程 ,称,为过程,X,T,的,协方差函数,.,有,电子科技大学,定义 给定随机过程 ,称为过程X,定义,给定随机过程 ,称,为过程,X,T,的,自相关函数,.,有,特别当 时,X,T,是零均值过程,称,为过程,X,T,的,自相关系数,.,电子科技大学,定义 给定随机过程 ,称为过程X,定义,给定两个随机过程,称,为 和,的互协方差函数。称,为 和,的互相关函数。,电子科技大学,定义 给定两个随机过程 为,Ex.1,设,p,q,是两个随机变量,构成随机过程,均值函数为,自相关函数为,若p,q,相互独立，且均服从分布,N(0,1)，则,电子科技大学,Ex.1 设p,q是两个随机变量,构成随机过程 均值函数,Ex.2,设随机过程,其中是正常数,随机变量,A,与相互独立,A,N,(0,1),U,(0,2).试求过程的均值函数和相关,函数.,解,电子科技大学,Ex.2 设随机过程 其中是正常数,随机变量A,随机变量函数的数学期望公式,电子科技大学,随机变量函数的数学期望公式电子科技大学,2、复随机过程,定义,设 和 是两个实随机过程，称,为,复随机过程.,复随机过程 的,均值函数,为,方差函数,为,电子科技大学,2、复随机过程 定义 设 和,自相关函数,为,自协方差函数,为,定义,设 和 是两个复随机过程,它们的,互相关函数,定义为,互协方差,函数为,电子科技大学,自相关函数为自协方差函数为 定义 设,四、随机过程的分类,1,.按状态空间和参数集进行分类,1),T,E,均为可列集;,2),T,是,可列集,E,不可列;,3),T,不可列,E,为可列集;,4),T,E,均不可列.,电子科技大学,四、随机过程的分类1.按状态空间和参数集进行分类1)T,当,T,为可列集,称为,离散参数随机过程,随机,序列,时间序列,.,当,E,为可列(或有限)集,称为,离散状态随机过,程.,2.,按概率结构进行分类,1),二阶矩过程,若过程 对每一个 ,的,二阶矩都存在.,电子科技大学,当T为可列集,称为离散参数随机过程,随机 当E 为,2),平稳过程,宽平稳过程（或协方差平稳过程）,若,仅依赖,称为宽平稳过程。,严平稳过程,有相同的联合分布，则称该过程为严平稳过程。,若,电子科技大学,2)平稳过程宽平稳过程（或协方差平稳过程）若仅依赖称为宽,定义：设 为一平稳过程（或平稳序列），若,或,则称X的均值具有遍历性。此处极限为均方意义，即,平稳过程的,遍历性,电子科技大学,定义：设 为一平稳过程（或平稳,若,或,则称X的协方差具有遍历性。,若一个随机过程的均值和协方差函数都具有遍历性，则称随机过程具有遍历性。,电子科技大学,若或则称X的协方差具有遍历性。若一个随机过程的均值和协方差函,定理,（,均值遍历性定理,）,（1）设X=X,n,n=0,1,2,是平稳序列，其协方差函数为 ，则X有遍历性的充要条件是,（2）设X=X,t,-t+是平稳过程，则X有遍历性的充要条件是,电子科技大学,定理（均值遍历性定理）（2）设X=Xt,-t+,给出连续型的证明：,电子科技大学,给出连续型的证明：电子科技大学,做变换,则Jacobi行列式的值为,积分区域变为,电子科技大学,做变换则Jacobi行列式的值为积分区域变为电子科技大学,所以有,电子科技大学,所以有电子科技大学,推论1：若,则均值遍历性定理成立。,证明：因为，当 时，有,电子科技大学,推论1：若则均值遍历性定理成立。证明：因为，当,推论2：对于平稳序列而言，若,则均值遍历性定理成立。,证：给出离散型情形，由Stoltz定理,令,电子科技大学,推论2：对于平稳序列而言，若则均值遍历性定理成立。证：给出离,定理,（,协方差函数遍历性定理,）,设X=X,t,-t+是平稳过程，其均值函数为零，则协方差函数有遍历性的充要条件是,其中,电子科技大学,定理（协方差函数遍历性定理）设X=Xt,-t+,例 设 ，则 的均值有遍历性。,证明 其均值为,其协方差函数为,电子科技大学,例 设,所以，是平稳过程。又,电子科技大学,所以，是平稳过程。,所以，的均值有遍历性。,电子科技大学,所以，的均值有遍历,3),平稳增量过程,对任意实数,h,及任意,t,1,t,2,有,4),独立增量过程,对任一正整数,n,及任意 随,机变量,相互独立.,过程,增量,重要子类有泊松过程，维纳过程,.,电子科技大学,3)平稳增量过程 对任意实数 h及任意t1,t2有4,5),马尔科夫过程,.,6),正态过程,7),鞅过程,电子科技大学,5)马尔科夫过程.6)正态过程 7)鞅过程 电,