轴心受压构件的弯曲失稳方喻飞课件

长长长长江江江江大大大大学学学学结结结结构构构构稳稳稳稳定定定定理理理理论论论论张系斌张系斌张系斌张系斌长江大学土木工程学院长江大学土木工程学院长江大学土木工程学院长江大学土木工程学院结构稳定理论结构稳定理论1长长长长江江江江大大大大学学学学第二章第二章 轴心受压构件失稳轴心受压构件失稳 轴心受力构件在钢结构中应用广泛，如桁架、网架中的杆件，工业厂房及高层钢结构的支撑，操作平台和其它结构的支柱等。对轴心受压构件同样应按承载能力极限状态和正常使用极限状态设计。就第一类极限状态而言，除了一些较短的轴心受力构件因局部有孔洞削弱，需要验算净截面强度，一般情况，轴心受力构件的承载力是由稳定条件决定的，即应满足整体稳定和局部稳定要求。本章着重讨论轴心受力构件的整体稳定问题。2长长长长江江江江大大大大学学学学2.1 轴心受压构件的失稳类型轴心受压构件的失稳类型 （a）弯曲失稳 （b）扭转失稳 （c）弯扭失稳3长长长长江江江江大大大大学学学学2.2 轴心受压构件的弯曲失稳轴心受压构件的弯曲失稳 轴心受压构件最简单的失稳形式是弯曲失稳，为了避免发生弯曲失稳，首先必须确定轴心受压构件的临界荷载值，然而求临界荷载并不简单，主要体现在：理想轴心受压构件在实际结构中并不存在，因此在理想条件下求出的临界荷载值并不能直接用于轴心受压构件的稳定设计。轴心受压构件的弹性分析与弹塑性分析差别很大。4长长长长江江江江大大大大学学学学2.2.1 理想轴心受压构件的理想轴心受压构件的 弹性弯曲失稳弹性弯曲失稳 钢结构及构件稳定计算的主要目的在于确定临界荷载值。确定理想轴心受压构件的临界荷载的方法主要有“静力法”和“能量法”。5长长长长江江江江大大大大学学学学静力法 静力法即静力平衡法，即根据已发生了微小变形后结构的受力条件建立平衡微分方程，然后解出临界荷载。在建立理想轴心受压构件弯曲平衡方程时有如下基本假定：构件是等截面直杆；压力始终沿构件原来轴线作用；材料符合虎克定律，即应力与应变成线性关系；构件符合平截面假定，即构件变形前的平截面在变形 后仍为平面；构件的弯曲变形是微小的，曲率可以近似地用挠度函 数的二阶导数表示。6长长长长江江江江大大大大学学学学例题2.1 确定图中所示轴心受压构件的临界荷载Pcr。例题2.1图 无限自由度轴心压杆 7长长长长江江江江大大大大学学学学解 由于ac、ab两段杆的受力不同，因此需要分别列出平衡微分方程。cb段：令，且将代入式，则上式变为（0 xl）（lx2l）ac段：通解分别为8长长长长江江江江大大大大学学学学引入边界条件，则有由第二式得代入第三式，则可得到以A2、B2和为未知量联立方程组9长长长长江江江江大大大大学学学学得稳定方程展开后得到则最小根为：（n）经过试算，得方程的最小根比较式（n）和式（p），临界荷载为（p）10长长长长江江江江大大大大学学学学能量法 能量法是求解稳定承载力的一种近似方法。用能量法求解临界荷载的途径主要有能量守恒原理和势能驻值原理。能量守恒原理即：保守体系处在平衡状态时，贮存在结构体系中的应变能等于外力所做的功。计算临界力的基本方程11长长长长江江江江大大大大学学学学（a）稳定平衡 （b）随遇平衡 （c）不稳定平衡在压杆上任取一微段dx，变形后与轴x的夹角为，微段dx弯曲前后在轴x上投影的长度差为12长长长长江江江江大大大大学学学学在压杆上任取一微段dx，变形后与轴x的夹角为，微段dx弯曲前后在轴x上投影的长度差为13长长长长江江江江大大大大学学学学用静力法确定图2.2所示单自由度体系的临界荷载Pcr。假定杆ab和bc的抗弯刚度EI=14长长长长江江江江大大大大学学学学解 此题中体系应变能的增量为弹簧应变能的增量轴向力作用下产生的竖向位移取余弦函数的泰勒级数展式前两项，式变为则15长长长长江江江江大大大大学学学学 势能能驻值原理求解原理求解临界荷界荷载势能驻值原理指：受外力作用的结构，当位移有微小变化而总势能不变，即总势能有驻值时，结构处于平衡状态。其表达式势能驻值原理与平衡方程是等价的，用该原理可以解决复杂结构的弹性稳定问题。如很多结构很难直接建立平衡方程，则可以先写出结构总势能，即可得到平衡方程。还可以先假定构件挠曲线形状，给出挠曲线方程，将其代入总势能解出临界荷载。若给出的挠曲线方程满足几何边界条件，称求解临界荷载的方法为里兹（Ritz）法；若给出的挠曲线方程不仅满足几何边界条件，而且满足自然边界条件，则称其为迦辽金（Galerkin）方法。16长长长长江江江江大大大大学学学学例题 用里兹法求解例题2.1轴心受压构件的临界荷载Pcr。例题2.1图 无限自由度轴心压杆17长长长长江江江江大大大大学学学学假设压杆失稳时的变形曲线为其满足边界条件，即由于则18长长长长江江江江大大大大学学学学因a10，得用能量法计算的结果比静力法（精确法）的大26.2%(1.7141.358)/1.358=26.2%。说明假定的变形曲线与实际曲线尚有较大差别，采用改进的曲线方程就可以得到较精确的解。19长长长长江江江江大大大大学学学学20长长长长江江江江大大大大学学学学21长长长长江江江江大大大大学学学学 当杆件的变形曲线采用表中的级数形式前若干项时，一般求解临界力可采用下面的步骤：设满足位移边界条件的变形曲线方程 式中ai是任意参数。令22长长长长江江江江大大大大学学学学令求P的极小值 由于 23长长长长江江江江大大大大学学学学则（i=1,2,3,n）令则上面的式子可改写为（i=1,2,3,n）n个根中的最小根即为所求的临界力。此法也称为铁摩辛柯里兹法（Timoshenko-Ritz Method），所得的近似解是精确解的一个上限。因为假设的变形曲线式减少了结构的自由度（从无限自由度有限自由度），相当于对体系增加了某些约束，所以按此法求得的临界力比实际的大。24长长长长江江江江大大大大学学学学例题2.3用能量法求解图中竖直杆在自重作用下的临界荷载。例题2.3图 自重作用下的竖直杆 25长长长长江江江江大大大大学学学学 变形曲线取三角级数的前两项则先求体系的应变能26长长长长江江江江大大大大学学学学微段dx以上部分的重量 27长长长长江江江江大大大大学学学学结构总势能 令，得28长长长长江江江江大大大大学学学学则有稳定方程 得临界荷载 将其与用静力法得出的精确解 相比较，误差仅有0.0128%.29长长长长江江江江大大大大学学学学轴心受压构件的计算长度轴心受压构件的计算长度 端部约束条 件两端铰支一端铰支、另端嵌固两端嵌固悬壁柱一端铰支，另端不能转动只能平移一端嵌固，另端不能转动只能平移理论值1.00.70.52.02.01.0设计值1.00.80.652.12.01.230长长长长江江江江大大大大学学学学2.2.2 理想轴心受压构件的理想轴心受压构件的 非弹性弯曲失稳非弹性弯曲失稳 弹性屈曲与非弹性屈曲 31长长长长江江江江大大大大学学学学 对弹塑性稳定问题的分析，较成熟的理论有：双模量理论（double modulus theory）香利理论（Shanleys theory）切线模量理论（tangent modulus theory）32长长长长江江江江大大大大学学学学切线模量理论（tangent modulus theory）1889年恩格塞尔（Engesser F.）提出了切线模量理论，建议用变化的变形模量Et代替欧拉公式中的弹性模量E，从而得到弹塑性临界力。切线模量理论采用如下假定：杆件是挺直的；杆件两端铰接，荷载沿杆轴线作用；杆件产生微小的弯曲变形（小变形假定）；弯曲前的平截面弯曲变形后仍为平面；弯曲变形时全截面没有出现反号应变。33长长长长江江江江大大大大学学学学从上述假定中可以看出，杆件从挺直到微弯位置过渡期间，轴向荷载仍可以增加，且增加的平均压应力 大于因弯曲引起杆件凸侧纤维的拉应力 即 且该阶段的应力应变关系均由切线模量Et控制。因 可以忽略则根据图b建立平衡方程(a)(b)(c)34长长长长江江江江大大大大学学学学(a)(b)(c)解出切线模量理论临界荷载为写成临界应力形式可画出某种钢材轴心压杆的 曲线，供直接查用。35长长长长江江江江大大大大学学学学双模量理论（double modulus theory）双模量的概念是康西德尔（Considere A.）于1891年提出的，该理论采用的基本假定除第5条外，其它均与切线模量理论的相同。对于图2.7a所示轴心受压构件，认为构件从挺直位置到微弯位置时作用于两端的轴向荷载保持常量Pr；且构件微弯时凹面为正号应变，凸面为反号应变（图2.7b），即存在着凹面的加载区和凸面的卸载区；由于弯曲应力较轴向应力小得多，可以认为加载区（凹面）的变形模量均为Et，卸载区（凸面）的变形模量为弹性模量E（图2.7c、d）,因为Et E，弯曲时截面11的弯曲中性轴与截面形心轴不再重合而向卸载区偏移（图2.7b）。36长长长长江江江江大大大大学学学学（a）轴压构件（b）截面11（c）应力应变关系 （d）变形模量 对于图2.7a所示轴心受压构件，认为构件从挺直位置到微弯位置时作用于两端的轴向荷载保持常量Pr；且构件微弯时凹面为正号应变，凸面为反号应变（图2.7b），即存在着凹面的加载区和凸面的卸载区；由于弯曲应力较轴向应力小得多，可以认为加载区（凹面）的变形模量均为Et，卸载区（凸面）的变形模量为弹性模量E（图2.7c、d）,因为Et E，弯曲时截面11的弯曲中性轴与截面形心轴不再重合而向卸载区偏移（图2.7b）。37长长长长江江江江大大大大学学学学38长长长长江江江江大大大大学学学学对任取的11截面，由应力形成的内力弯矩与外力弯矩Py保持平衡，即39长长长长江江江江大大大大学学学学解上式得临界荷载和临界应力由于Pr与两个变形模量有关，故称为双模量屈曲荷载或称为折算模量屈曲荷载。一般情况，可按双模量理论做出柱子曲线（如曲线），这样可根据已知的得到任一具体轴心受压构件的临界值。40长长长长江江江江大大大大学学学学香利理论（Shanleys theory）香利于1946年提出了一个由三部分构成的力学模型：41长长长长江江江江大大大大学学学学 香利于1946年提出了一个由三部分构成的力学模型，如图a所示。在两根长度各为l/2的刚性杆之间用弹塑性铰连接起来，铰由两个长度为h、面积均为A/2的很短的肢件组成，两肢件间的距离也为h，见图b，铰的弹性模量为E，切线模量为Et，在很短的肢件上集中了压杆的全部弹塑性性质。材料的应力应变关系采用双直线，见图c。(b)42长长长长江江江江大大大大学学学学经分析后，得d为挠度43长长长长江江江江大大大大学学学学44长长长长江江江江大大大大学学学学试验研究表明，试件的试验结果更接近Pt值，从实用角度似可以将Pt作为弹塑性屈曲荷载。但是应用Pt公式要求构件内部任何一点纤维都遵循相同的应力应变关系，只有铝合金构件才满足要求，对于实际的钢构件由于有各种初始缺陷（如初偏心、初弯曲和残余应力等），在纵向各根纤维的应力应变关系并不相同，这样就不能直接根据钢材在弹塑性阶段的应力应变关系确定轴心受压构件的切线模量屈曲荷载，而必须考虑初始缺陷的影响。目前规范只考虑了初始弯曲和残余应力两个因素，并按小偏心受压构件用“压溃理论”近似确定承载力。45长长长长江江江江大大大大学学学学2.2.3 初始缺陷对轴心受压构初始缺陷对轴心受压构件稳定性的影响件稳定性的影响 理想轴心受压构件在实际结构中并不存在，实际结构都存在不同程度的缺陷，一般指几何缺陷和力学缺陷。试验和理论分析均表明，缺陷的存在降低了构件的稳定承载力，因此不能直接用理想条件所得到的临界力作为设计标准，而应考虑缺陷的影响。46长长长长江江江江大大大大学学学学1、初弯曲的影响：经实测得到的型钢和焊接组合截面钢构件的初弯曲形状如图中实线所示 47长长长长江江江江大大大大学学学学 钢构件的初始弯曲形式多样，分析中通常假设杆轴线的初始弯曲挠度曲线为正弦曲线（如图中虚线所示），这样能简化分析而不影响结果的普遍性。图示的两端铰接轴心受压构件的荷载是理想对中的，但构件的轴线有初始弯曲，yo为任一点的初始挠度。外力弯矩为 任一截面内力弯矩为 48长长长长江江江江大大大大学学学学将yo表达式代入，令 则左式为 其通解为边界条件 有：49长长长长江江江江大大大大学学学学当有初弯曲时 则 方程的解为 从上述求解过程可以看出，利用边界条件并不能得到稳定方程解出临界力。下面分析荷载挠度曲线，从中找出临界力。在P作用下，杆件任一点的总挠度为当x=l/2时，杆件中点的总挠度为50长长长长江江江江大大大大学学学学图中实线表示构件是完全弹性的，当P=PE时的水平线为其渐近线.时，P才逼近临界荷载PE，与初始挠度值无关。实际材料不是无限弹性的，对于有初始弯曲的实际轴心受压构件，当截面承受较大弯矩时就开始屈服而进入弹塑性状态，荷载挠度曲线如图中虚线所示，从图中可知，有初始弯曲的轴心受压柱实际上是极值点失稳问题，其极限荷载并不是PE，而是Pu。51长长长长江江江江大大大大学学学学2、初偏心的影响：当作用于两端的轴向力P与构件轴线有很小的偏心时，如图所示，偏心距为e，此时的受压构件已不是轴心受压状态，而转变为偏心受压构件或称为压弯构件。52长长长长江江江江大大大大学学学学偏心距为e，内力弯矩为 外力矩为 令 平衡方程为 53长长长长江江江江大大大大学学学学方程的全解为引入边界条件 得 方程的解 有初始偏心的轴心受压构件的稳定问题是第二类稳定问题，即极值点失稳。对此类问题需要求出荷载挠度曲线，从而得出临界荷载以及分析偏心对极限荷载的影响。54长长长长江江江江大大大大学学学学构件的最大挠度 三角级数展开式 得可近似表达 可以画出有初始偏心的轴心受压构件的荷载P与杆件中点挠度 曲线，如图所示。55长长长长江江江江大大大大学学学学可以得到如下结论：当构件为完全弹性杆时，荷载挠度曲线以 P=PE为渐近线；实际上由于初始偏心产生的弯矩使构件常处于弹塑性状态，因此荷载挠度曲线呈现图中虚线所示极值点失稳形态，其极限荷载为 Pu 当为某个有限值时，偏心距e越大则柱所能承担的荷载P比理想条件下的欧拉荷载PE降低越多。由于初弯曲、初偏心对受压构件的影响均导致出现极值点失稳现象，都使构件的承载力有所降低，两种影响并无本质区别，因此在确定实际构件的承载力时，通常将两者的影响一并考虑。56长长长长江江江江大大大大学学学学3、残余应力的影响：型钢轧制、组合截面钢构件制作过程中的焊接及火焰切割等，都可以在构件中产生自相平衡的应力，即残余应力。残余应力虽然不影响结构的静力强度，但对疲劳强度、钢材的低温冷脆性能、结构的刚度和稳定性能均有不利影响。（1）残余应力降低构件的刚度）残余应力降低构件的刚度（2）残余应力降低构件的临界力）残余应力降低构件的临界力 57长长长长江江江江大大大大学学学学（1）残余应力降低构件的刚度）残余应力降低构件的刚度图2.15 有残余应力的工字型轴心受压短柱对无屈曲问题的短柱做轴心受压试验以得到应力应变曲线。图2.15b所示为短柱翼缘残余应力分布，边缘处残余应力 加载时截面中应力为平均应力 P/A与残余应力 u之和，当 P/A=0.7 s时，翼缘端部达到屈服极限s见图2.15c，对应于应力应变曲线上=p=0.7s的点称为有效比例极限，见图2.16。图2.1658长长长长江江江江大大大大学学学学假定材料为理想弹塑性体，则当p时，构件处于弹塑性状态，截面的应力分布见图2.15d，应力应变为非线性关系，变形模量为切线模量Et。从图2.15d、图2.16中 可以看到，当平均应力高于有效比例极限时(p)，构件截面只有弹性部分能继续承载，导致构件刚度降低。图2.16如果不是短柱而是一般的中长柱，由于有残余应力使构件截面提前屈服、弹性部分减小，当构件开始屈曲而变为微弯过程中，构件截面只有弹性部分起抗弯作用，构件截面弹性部分减小导致刚度不断降低。59长长长长江江江江大大大大学学学学（2）残余应力降低构件的临界力）残余应力降低构件的临界力以两端铰接的挺直轴心受压轧制宽翼缘工字钢构件为例，由于有残余应力，对存在弹塑性屈曲问题的中长柱，发生屈曲时构件截面只有弹性部分起抗弯作用，则构件的临界力为 式中，Ie为构件截面弹性区的惯性矩。从上式中可以看出，残余应力使构件的抗弯刚度由EI降至 EIe，降低了构件的临界力。比值Ie/I称为临界力折减系数。相应的临界应力为60长长长长江江江江大大大大学学学学对应图2.16所示应力应变曲线，在非弹性阶段可用切线模量理论计算临界应力，即图2.16当绕强轴（图中x轴）弯曲时，若忽略腹板的影响，有则61长长长长江江江江大大大大学学学学当绕弱轴（y轴）弯曲时，有则 式中 为弹性区系数。对截面残余应力分布简单的轴心受压构件可以用解析法求出临界荷载，一般情况都用数值法求解。求解步骤参见文献:陈骥.钢结构稳定理论与设计.北京:科学出版社,200162长长长长江江江江大大大大学学学学剪力对临界力的影响剪力对临界力的影响EIEIGAGAlP P设弯矩和剪力影响所产生的挠度分别为设弯矩和剪力影响所产生的挠度分别为 和和 同时考虑弯矩和剪力对变形的影响时同时考虑弯矩和剪力对变形的影响时的挠曲微分方程的建立的挠曲微分方程的建立:二者共同影响产生的挠度为二者共同影响产生的挠度为近似的曲率为近似的曲率为弯矩引起的曲率为弯矩引起的曲率为截面形状系数截面形状系数矩形截面为矩形截面为1.2圆形截面为圆形截面为1.11挠曲微分方程为挠曲微分方程为63长长长长江江江江大大大大学学学学EIEIGAGAlP P挠曲微分方程为挠曲微分方程为对于图示两端铰支的等截面杆对于图示两端铰支的等截面杆,有有令令方程的通解方程的通解边界条件边界条件64长长长长江江江江大大大大学学学学EIEIGAGAlP P对于图示两端铰支的等截面杆对于图示两端铰支的等截面杆,有有令令方程的通解方程的通解边界条件边界条件稳定方程稳定方程65长长长长江江江江大大大大学学学学EIEIGAGAlP P稳定方程稳定方程不计剪变的欧拉临界力不计剪变的欧拉临界力修正系数修正系数欧拉临界应力欧拉临界应力对于三号钢对于三号钢,比例极限为比例极限为200MPa.若取若取结论结论:实体实体杆件中杆件中,剪力对临界荷剪力对临界荷 载的影响很小载的影响很小,可略去不计可略去不计.不计剪力对临界荷不计剪力对临界荷 载的影响载的影响所得到的临界荷载是大还是小所得到的临界荷载是大还是小?66