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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,回顾复习,维修度,M(,),对可修产品在发生故障或失效后，在规定的条件下和规定的时间（,0,）内完成修复的概率。,修复率,(,),修理时间已达到某个时刻但尚未修复的产品，在该时刻后的单位时间内完成修复的概率。,有效度,A(t),可维修产品在某时刻,t,具有或维持其功能的概率。,第三章,可修复系统的可靠性,第三章 可修复系统的可靠性,3.1,马尔可夫过程,3.2,状态转移图,3.3 n,步转移后系统各状态概率,3.4,单部件可修系统,3.5,串联可修系统,3.6,并联可修系统,引言,可修复系统的组成单元发生故障后，经过修理可以使系统恢复至正常工作状态，如下图所示。如果工作时间和修复时间都服从指数分布，就可以借助马尔可夫过程来描述。,3.1,马尔可夫过程,马尔可夫过程定义,马尔可夫过程是一类“后效性”的随机过程。简单地说，在这种过程中,系统将来的状态只与现在的状态有关,，而与过去的状态无关。或者说，若已知系统在,t,0,时刻所处的状态，那么,t t,0,时的状态仅与时刻,t,0,的状态有关,。,3.1,马尔可夫过程,马尔可夫过程的数学描述,设,x(t),t0,是取值在,E=0,1,2,或,E=0,1,2,N,上的一个随机过程。若对任意,n,个时刻点,0t,1,t,2,t,n,均有,: Px(t,n,)=i,n,|x(t,1,)=i,1,x(t,2,)=i,2,x(t,n-1,)=i,n-1,=Px(t,n,)=i,n,|x(t,n-1,)=i,n-1, i,1,i,2,i,n,E,则称,x(t),t0,为离散状态空间,E,上连续时间马尔可夫过程。,3.1,马尔可夫过程,齐次马尔可夫过程,如果对任意,t,u0,均有,Px(t+u)=j|x(u)=i=P,ij,(t) i,jE,与始点,u,无关，则称该马尔可夫过程是齐次的。,3.1,马尔可夫过程,转移矩阵,P,ij,(t),称为从状态,i,到状态,j,的转移函数，由转移函数的全体组成的矩阵称为转移矩阵。如对,n,个状态系统的转移矩阵为,nn,阶方阵，可写为：,3.1,马尔可夫过程,齐次马氏过程的性质,可以证明，对系统寿命以及故障后的修复时间均服从指数分布时，则系统状态变化的随机过程,x(t),t0,是一个齐次马尔可夫过程。,3.1,马尔可夫过程,三条假设,，,为常数,(,即寿命和维修时间服从指数分布,),部件和系统取正常和故障两种状态。,在相当小的,t,内，发生两个或两个以上部件同时进行状态转移的概率是,t,的高阶无穷小，此概率可以忽略不计。,3.1,马尔可夫过程,可修复系统的可靠性特征量,瞬态可用度,A(t),、不可用度,Q(t);,稳态可用度,A,、不可用度,Q,；,MTBF,、,MTTFF(,首次故障前平均时间,),、,MTTR(,平均修复时间,),。,3.2,状态转移图,例,1,如一台机器，运行到某一时刻,t,时，可能的状态为：,e,1,正常；,e,2,故障。如机器处于,e,1,状态的概率,P,11,=4/5,则,e,1,向,e,2,转移的概率,P,12,=1,P,11,=1/5,；反过程，如机器处于,e,2,状态，经过一定时间的修复返回,e,1,状态的概率是,3/5,，,P,21,=3/5(,维修度,M(,);,则修不好仍处于,e,2,状态的概率是,P,22,=1,P,21,=2/5.,3.2,状态转移图,由此可写出系统的转移矩阵为,:,转移矩阵,P,ij,也表示事件,e,i,发生的条件下，事件,e,j,发生的条件概率：,P,ij,=P(e,j,|e,i,),；,矩阵,P:,行是起始状态，由小到大；列是到达状态，由小到大排列，建立,P,时应与转移图联系起来。,3.2,状态转移图,例,2,对于一可修系统，失效率和修复率,、,为常数，试画出状态转移图：,e,1,正常；,e,2,故障。,3.2,状态转移图,由此可写出：,通常令,t=1,则有,由此可知，状态转移图是求解,(,写出,),转移矩阵的基础,。,此时转移矩阵,P,也称为微系数矩阵,3.3 n,步转移后系统各状态概率,设系统初始状态是 的概率 ，由切普曼,柯尔莫哥洛夫方程， 可表示为：,式中,n=k+l,v,E(,状态空间,),此式为由状态,i,经,n,步转移到状态,j,的概率，等于由状态,i,先经,k,步转移到状态,v,，然后由状态,v,经,l,步转移到状态,j,的概率,(,此处,v,也可理解为从,i,到,j,的通道,),。,3.3 n,步转移后系统各状态概率,上式中，若令,k,=1,l,=1,由 可决定 ，即由全部一步转移概率可确定全部两步转移概率。若重复上述方法，就可由全部一步转移概率决定所有的转移概率。,若用矩阵表示,n,步转移概率，即 ，则有：,转移矩阵,3.3 n,步转移后系统各状态概率,一般地，可利用转移概率和系统的初始状态，求出任意转移后系统各状态的概率。公式如下：,式中,P,1,步转移概率；,n,步转移概率；,n,转移步数,(,次数,),；,P,(0),系统初始状态向量，,P,(0)=,P,1,(0),P,2,(0),P,i,(0),初始,t=0,时刻系统处于,i,状态的概率,P,(n),n,步转移后系统所处状态向量，,P,(n)=,P,1,(n),P,2,(n),P,i,(n),n,步转移后系统处于,i,状态的概率,3.3 n,步转移后系统各状态概率,例：如下图，已知,P,(0)=,P,1,(0),P,2,(0)=1, 0,求,n=1,2,等各步,(,次,),转移后系统各状态的概率。,图中,e,1,正常；,e,2,故障。,3.3 n,步转移后系统各状态概率,解：依次求得,n=1,，,n=2,，,n=3,，,n=5,时的状态矩阵,由此可知，随着,n,的递增，,P,1,(n),、,P,2,(n),逐渐趋于稳定。稳定状态概率称为极限概率。,3.3 n,步转移后系统各状态概率,本例,n,时的极限概率为,P,1,(,)=4/9,P,2,(,)=5/9,即,n,时， 将收敛于一个定概率矩阵，即,(,本例为,),：,在实践中常会遇到这样的情况，不管系统的初始状态如何，在经历了一段工作时间后，便会处于相对稳定状态，在数学上称之为各态历经或遍历性。所谓,遍历过程就是系统处于稳定状态的概率与初始状态无关的随机过程,。具有这种性质的状态转移矩阵称为遍历矩阵。,3.3 n,步转移后系统各状态概率,如果转移矩阵,P,经过,n,次相乘后，所得矩阵的全部元素都大于,0,即,(i,j,E),(,注：常以此为判断马尔可夫链是否为各态历经的或是否存在极限概率,),，则这样的转移矩阵都是,遍历矩阵,。遍历矩阵一定存在极限概率,(,或稳定状态,),。,经过,n,步转移后的极限状态，就是过程的平稳状态，既然如此，即使再多转移一步，状态概率也不会有变化，这样可以求出平稳状态。,3.3 n,步转移后系统各状态概率,设平稳状态概率为,P,(n)=,P,1,P,2,P,n,P,为一步转移概率矩阵，则求平稳状态概率，只需求解以下方程：,或写成：,3.3 n,步转移后系统各状态概率,展开后得：,(j=1,2,n),（,n,个方程只有,n-1,个是独立的，因此必须再加另一个独立方程。）,由此即可求出,n,个平稳状态概率。,3.3 n,步转移后系统各状态概率,例：求如图所示系统的平稳状态概率。,3.3 n,步转移后系统各状态概率,解：一步转移矩阵为,:,设,P,(n)=,P,0,P,1,，则,3.4,单部件可修系统,单部件系统是指一个单元组成的系统,(,或把整个系统当作一个单元来研究,),，部件故障，则系统故障；部件正常，则系统正常。,3.4,单部件可修系统,部件的失效率、修复率分别是常数,、,，则：,t,时刻系统处于工作,(,正常工作,),状态，在,tt+t,之间内发生故障的条件概率为,t,(,即为,),t,时刻系统处于故障状态，在,tt+t,之间即,t,时间内修复好的条件概率为,t,(,即为,),3.4,单部件可修系统,单部件可修系统状态转移图,3.4,单部件可修系统,上图中,:,同理,:,条件概率,3.4,单部件可修系统,上图的转移概率矩阵为,:,3.4,单部件可修系统,令,下面研究如何求解 和,首先，利用全概率公式可求出 和,的表达式,3.4,单部件可修系统,此即为 的计算公式,3.4,单部件可修系统,由上式展开、移项、两边除以,若令 取极限有：,(1),3.4,单部件可修系统,同理可得：,(2),(1),、,(2),联立即可求出 和 。,(1),、,(2),的联立方程称为状态方程,3.4,单部件可修系统,下边求解状态方程,对上述,(1),、,(2),两边取拉氏变换：,3.4,单部件可修系统,假设,t=0,时系统为正常状态，即 ，,。代入上式,3.4,单部件可修系统,拉氏反变换：,3.4,单部件可修系统,由此瞬态有效度,(,可用度,),：,稳态有效度：,平均有效度：,(0 , t),3.4,单部件可修系统,由上述可归纳出解可修系统有效度的方法步骤如下：,(1),画出系统的状态转移图,(2),写出转移矩阵,(3),令 ，求出,P(,也称为转移矩阵,),(4),求状态方程系数矩阵,A,A=P-I I,为与,P,同阶的单位矩阵，,A,又称为转移率矩阵,3.4,单部件可修系统,(5),写出状态方程式,式中 为各状态概率向量,为各状态概率导数向量,(6),求解状态方程,通常要给定初始状态 ，且常用拉氏变换及反变换求解法。,3.4,单部件可修系统,如上例：,3.4,单部件可修系统,得状态方程,与前述一致,以下即可用拉氏变换法等求解方程,3.5,串联可修系统,n,个相同单元组成的串联系统,每个单元：,、,为常数,两种状态：,状态,0,：,n,个单元全正常，系统正常状态,状态,1,：任一单元故障，系统故障状态,因为任一单元故障，系统即停止工作,(,不会出现两个及以上单元同时故障的情况,),3.5,串联可修系统,n,个相同单元组成的串联系统状态转移图,3.5,串联可修系统,用前述方法：,3.5,串联可修系统,状态方程：,初始条件：,3.5,串联可修系统,用拉氏变换与反变换可解出：,3.5,串联可修系统,n,个不同单元组成的串联系统,系统有,n+1,个状态：,状态,0,：,n,个单元均正常，系统正常状态,状态,1,：单元,1,故障，其余正常，系统故障,状态,2,：单元,2,故障，其余正常，系统故障, ,状态,n,：单元,n,故障，其余正常，系统故障,3.5,串联可修系统,3.5,串联可修系统,3.5,串联可修系统,A=P-I,3.5,串联可修系统,给定初始条件，,(,用拉氏正、反变换,),解此方程组即可求得：,(,瞬态,),有效度：,稳态有效度：,3.6,并联可修系统,两个相同单元的并联系统,(,一组维修人员,),系统有,3,种状态,(,、,),0,状态,两个单元都正常，系统正常,1,状态,任意一个单元故障，系统正常,2,状态,两个单元都故障，系统故障,3.5,并联可修系统,1,3.6,并联可修系统,3.6,并联可修系统,状态方程为：,3.6,并联可修系统,给定初始条件，解此方程组可得：,3.6,并联可修系统,两个不同单元并联系统,(,一组维修人员,),共,5,个状态：,状态,0,单元,1,、,2,都正常，系统正常,状态,1,单元,1,正常，单元,2,故障，系统正常,状态,2,单元,2,正常，单元,1,故障，系统正常,状态,3,单元,1,修理，单元,2,待修，系统故障,状态,4,单元,2,修理，单元,1,待修，系统故障,3.6,并联可修系统,3.5,并联可修系统,状态方程：,3.6,其他系统,而对于表决可修系统，旁联可修系统方法、步骤完全一样。,
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