高一数学必修课件单调性与最大小值第课时函数的单调性精讲优练课型

高一数学必修高一数学必修课件件单调性与最大小性与最大小值第第课时函数的函数的单调性精性精讲优练课型型【知知识提提炼】1.1.增函数与减函数的相关概念增函数与减函数的相关概念f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2)2.2.函数的函数的单调性及性及单调区区间增函数或减函数增函数或减函数单调性性区区间D D【即即时小小测】1.1.思考下列思考下列问题:(1)(1)所有的函数在定所有的函数在定义域上都具有域上都具有单调性性吗?提示提示:并不是所有函数在定义域上都是单调的并不是所有函数在定义域上都是单调的,如函数如函数f(x)=1,xRf(x)=1,xR在在定义域上就不是单调的定义域上就不是单调的.(2)(2)增、减函数定增、减函数定义中的中的“任意任意x x1 1,x,x2 2DD”可否改可否改为“存在存在x x1 1,x,x2 2DD”?提示提示:不能改不能改,如函数如函数f(x)=xf(x)=x2 2中中,虽然虽然f(-1)f(2),f(-1)f(2),但该函数在定义域但该函数在定义域上不是单调函数上不是单调函数.(3)(3)函数函数f(x)f(x)在在实数集数集R R上是增函数上是增函数,则f(1)f(4)f(1)f(4)成立成立吗?提示提示:成立成立.由于函数在由于函数在R R上是增函数上是增函数,且且14,14,故故f(1)f(4).f(1)A.k B.k-B.k-C.kC.kD.k-D.k-【解析解析】选选C.C.若若y=(2k-1)x+by=(2k-1)x+b是是R R上的减函数上的减函数,则必有则必有2k-10,2k-10,所以所以kkf(b),f(a)f(b),则a a与与b b的大小关系是的大小关系是.【解析解析】因为因为f(x)f(x)在在R R上是增函数上是增函数,所以当所以当f(a)f(b)f(a)f(b)时时,有有ab.ab.答案答案:abab5.5.如如图所示所示为函数函数y=f(x),x-4,7y=f(x),x-4,7的的图象象,则函数函数f(x)f(x)的的单调递增增区区间是是.【解析解析】结合单调递增函数的概念及单调区间的概念可知结合单调递增函数的概念及单调区间的概念可知,此函数的此函数的单调递增区间是单调递增区间是-4,-2,4,7.-4,-2,4,7.答案答案:-4,-2,4,7-4,-2,4,7【知知识探究探究】知知识点点 函数的函数的单调性与性与单调区区间观察察图形形,回答下列回答下列问题:问题1:1:上面四个上面四个图象从左到右的象从左到右的变化化趋势分分别是什么是什么?它它们的的变化化趋势是否相同是否相同?问题2:2:能否能否说f(x)=f(x)=在定在定义域域(-,0)(0,+)(-,0)(0,+)上是减函数上是减函数?【总结提升提升】1.1.对增函数、减函数概念的三点增函数、减函数概念的三点说明明(1)(1)单调性是与性是与“区区间”紧密相关的概念密相关的概念,一个函数在定一个函数在定义域不同区域不同区间内内可以有不同的可以有不同的单调性性,即即单调性是函数的一个性是函数的一个“局部局部”性性质.(2)(2)定定义中的中的x x1 1和和x x2 2有如下三个特征有如下三个特征:任意性任意性:即即“任意取任意取x x1 1和和x x2 2”中中“任意任意”二字不能去掉二字不能去掉,证明明时不能以特不能以特殊代替一般殊代替一般;有大小之分有大小之分;属于同一个属于同一个单调区区间.(3)(3)函数函数单调性性给出了自出了自变量与函数量与函数值之之间的互化关系的互化关系:比如比如f(x)f(x)在定在定义域域I I上是减函数上是减函数,若若x x1 1,x,x2 2I,I,则f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)x x1 1x0(1)y=ax+b,a0时,单调增区增区间为(-,+);a0(-,+);a0(2)y=,a0时,单调减区减区间为(-,0)(-,0)和和(0,+);a0(0,+);a0+n,a0时,单调减区减区间为(-,m,(-,m,单调增区增区间为m,+);a0m,+);a4.4.【解析解析】函数函数f(x)f(x)在在(2,+)(2,+)上是增函数上是增函数,证明如下证明如下:任取任取x x1 1,x,x2 2(2,+),(2,+),且且x x1 1xx2 2,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)=(x=(x1 1-x-x2 2)+=(x)+=(x1 1-x-x2 2)因为因为2x2x1 1xx2 2,所以所以x x1 1-x-x2 20,x4,x4,x1 1x x2 2-40,-40,所以所以f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2).).所以函数所以函数f(x)=x+f(x)=x+在在(2,+)(2,+)上是增函数上是增函数.【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件、改条件、改变问法法)将本例中区将本例中区间“(2,+)(2,+)”改改为“(0,2)(0,2)”,判断函数判断函数f(x)f(x)的的单调性性,并并证明明.【解析解析】函数函数f(x)f(x)在在(0,2)(0,2)上是减函数上是减函数,证明如下证明如下:任取任取x x1 1,x,x2 2(0,2),(0,2),且且x x1 1xx2 2,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)=(x=(x1 1-x-x2 2)+=(x)+=(x1 1-x-x2 2)因为因为0 x0 x1 1xx2 22,2,所以所以x x1 1-x-x2 20,0 x0,0 x1 1x x2 24,x4,x1 1x x2 2-40,-40,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2).).所以函数所以函数f(x)=x+f(x)=x+在在(0,2)(0,2)上是减函数上是减函数.2.(2.(变换条件、改条件、改变问法法)将本例中的函数将本例中的函数“f(x)=x+f(x)=x+”变为“f(x)=f(x)=”,求求证函数函数f(x)f(x)在在(-1,+)(-1,+)上上为减函数减函数.【证明证明】任取任取x x1 1,x,x2 2(-1,+),(-1,+),且且x x1 1xxx1 1-1,-1,所以所以x x2 2-x-x1 10,(x0,(x1 1+1)(x+1)(x2 2+1)0,+1)0,因此因此f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),),所以所以f(x)f(x)在在(-1,+)(-1,+)上为减函数上为减函数.【方法技巧方法技巧】利用定利用定义证明函数明函数单调性的步性的步骤(1)(1)取取值:设x x1 1,x,x2 2是是该区区间内的任意两个内的任意两个值,且且x x1 1x0,0,则必有必有()A.A.函数函数f(x)f(x)先增后减先增后减B.B.函数函数f(x)f(x)先减后增先减后增C.C.函数函数f(x)f(x)是是R R上的增函数上的增函数D.D.函数函数f(x)f(x)是是R R上的减函数上的减函数【解析解析】选选C.C.由由 00知知,当当abab时时,f(a)f(b);,f(a)f(b);当当abab时时,f(a)f(b),f(a)00”变为“(a-b)f(a)-f(b)0(a-b)f(a)-f(b)bab时时,f(a)f(b);,f(a)f(b);当当abaf(b),f(a)f(b),所以函数所以函数f(x)f(x)是是R R上的减函数上的减函数.类型三型三函数函数单调性的性的应用用【典例典例】1.(20151.(2015张家界高一家界高一检测)已知函数已知函数f(x)=f(x)=是是R R上的增函数上的增函数,则a a的取的取值范范围是是.2.(20152.(2015广州高一广州高一检测)已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)是定是定义在在(0,+)(0,+)上的增函上的增函数数,对于任意的于任意的x0,y0,x0,y0,都有都有f(xy)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)+f(y),且且满足足f(2)=1.f(2)=1.(1)(1)求求f(1),f(4)f(1),f(4)的的值.(2)(2)求求满足足f(2)+f(x-3)2f(2)+f(x-3)2的的x x的取的取值范范围.【解解题探探究究】1.1.典典例例1 1中中x1x1时对应的的函函数数值f(x)f(x)与与f(1)f(1)的的大大小小关关系系如如何何?提示提示:f(x)f(x)是是R R上的增函数上的增函数,所以所以x1x1时时f(x)f(1).f(x)f(1).2.2.典例典例2 2中中f(2)=1,f(2)=1,则2 2与与f(2)f(2)什么关系什么关系?提示提示:2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).【解析解析】1.1.因为因为f(x)f(x)在在R R上是单调递增的函数上是单调递增的函数,所以所以f(x)f(x)需满足在需满足在区间区间(-,1(-,1和和(1,+)(1,+)上都是单调递增的上都是单调递增的,并且端点处并且端点处x=1x=1的函数值的函数值-1-12 2-a-5 ,-a-5 ,即即a-3;f(x)=-xa-3;f(x)=-x2 2-ax-5-ax-5的对称轴为直线的对称轴为直线x=-,x=-,且在且在(-,1(-,1上单调递增上单调递增,所以所以-1,-1,即即a-2;f(x)=a-2;f(x)=在在(1,+)(1,+)上单调上单调递增递增,所以所以a0.a0.综上所述综上所述,a,a的取值范围是的取值范围是-3,-2.-3,-2.答案答案:-3,-2-3,-22.(1)2.(1)令令x=y=1,x=y=1,得得f(1)=f(1)+f(1),f(1)=f(1)+f(1),所以所以f(1)=0,f(1)=0,令令x=y=2,x=y=2,得得f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,所以所以f(4)=2.f(4)=2.(2)(2)由由f(2)=1f(2)=1及及f(xy)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)+f(y)可得可得2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).因为因为f(2)+f(x-3)2,f(2)+f(x-3)2,所以所以f(2(x-3)f(4).f(2(x-3)f(4).又函数又函数f(x)f(x)在定义域（在定义域（0,+0,+）上是单调增函数）上是单调增函数,所以所以 解得解得3x5.3f(b)f(a)f(b)ab,ab,单调减函数减函数f(x)f(x)中中f(a)f(b)f(a)f(b)ab,af(3m-4),f(2m+1)f(3m-4),求求m m的取的取值范范围.【解题指南解题指南】由由y=f(x)y=f(x)在在R R上是增函数可知上是增函数可知f(2m+1)f(3m-4)f(2m+1)f(3m-4)2m+13m-4,2m+13m-4,解此不等式即可解此不等式即可.【解析解析】由由y=f(x)y=f(x)在在R R上是增函数且上是增函数且f(2m+1)f(3m-4)f(2m+1)f(3m-4)知知,2m+13m-4,2m+13m-4,解得解得m5,m5,所以所以m m的取值范围是的取值范围是(-,5).(-,5).【补偿训练】(2015(2015杭州高一杭州高一检测)f(x)=)f(x)=是定是定义在在R R上的减函数上的减函数,则a a的取的取值范范围是是.【解题指南解题指南】一次函数在定义域上单调递减一次函数在定义域上单调递减,则一次项系数要小于则一次项系数要小于0.0.【解析解析】因为因为f(x)=f(x)=是是R R上的减函数，上的减函数，答案：答案：规范解答范解答 利用函数利用函数单调性求解参数取性求解参数取值范范围【典例典例】(12(12分分)已知已知y=f(x)y=f(x)在定在定义域域(-1,1)(-1,1)上是减函数上是减函数,且且f(1-a)f(1-a)f(2a-1),f(2a-1),求求a a的取的取值范范围.【审题指导审题指导】不等式不等式f(1-a)f(2a-1)f(1-a)f(2a-1)为抽象不等式为抽象不等式,不能直接解不能直接解.考虑考虑到函数的单调性到函数的单调性,可将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关可将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系系,即转化为具体不等式来求解即转化为具体不等式来求解.【规范解答规范解答】由题意可知由题意可知3 3分分解得解得0a1.0a1.5 5分分因为因为f(x)f(x)在在(-1,1)(-1,1)上是减函数上是减函数,且且f(1-a)f(2a-1),f(1-a)2a-1,1-a2a-1,8 8分分即即a .a .9 9分分由由可知可知,0a ,0a ,1111分分即所求即所求a a的取值范围是的取值范围是 1212分分【题后悟道后悟道】1.1.树立定立定义域域优先的原先的原则研究函数研究函数问题,特特别是研究函数的是研究函数的单调性性时,要先看函数定要先看函数定义域域,树立立定定义域域优先的原先的原则,如本例如本例,若忽若忽视定定义域域则将所求参数范将所求参数范围扩大大.2.2.准确理解增、减函数的意准确理解增、减函数的意义增函数、减函数的定增函数、减函数的定义中中蕴含了在定含了在定义区区间内自内自变量的不等关系与相量的不等关系与相应函数函数值不等关系的相互不等关系的相互转化化,这一点要一点要紧紧依依赖函数的增减性函数的增减性,如本如本例若不注意函数是减函数例若不注意函数是减函数则易将不等式易将不等式转化化错误.谢谢