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13.4 13.4 最短路径问题最短路径问题13.4 最短路径问题如图所示，从如图所示，从A A地到地到B B地有三条路可供选择地有三条路可供选择,你会选走哪条路最近？你的理由是什么？你会选走哪条路最近？你的理由是什么？两点之间两点之间,线段最短线段最短引入新知引入新知如图所示，从A地到B地有三条路可供选择,两点之间,线段()()两点在一条直线两点在一条直线异侧异侧 已知：如图，已知：如图，A，B在直线在直线l的异侧，在的异侧，在l上上 求一点求一点P，使得，使得PA+PB最小。最小。A.A.B.BP思考思考:为什么这样就能为什么这样就能 得到最短距离呢？得到最短距离呢？两点之间线段最短两点之间线段最短.l()两点在一条直线异侧 已知：如图，A，B在直线l的问题问题1 1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，饮马，然后到然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？路线全程最短？探索新知探索新知BAl问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者 你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？lBAl 将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为抽象为一条直线一条直线 探索新知探索新知 你能将这个问题抽象为数学问题吗？lBAl 将思考思考1：如何将点如何将点B“移移”到到l 的另一侧的另一侧B1 1处，满处，满足直线足直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持，都保持CB 与与CB1 1的的长度相等？长度相等？已知：如图已知：如图,A,A、B B在直线在直线l的同一侧，在的同一侧，在l 上求一点上求一点C C，使得，使得C CA+A+C CB B最小最小.BlA()()两点在一条直线两点在一条直线同侧同侧利用轴对称的有关知识利用轴对称的有关知识思考1：如何将点B“移”到l 的另一侧B1处，满足直线l 上ABl B1C 点点P P的位置即为所求的位置即为所求.作法：作法：作点作点B B关于直线关于直线l的对称点的对称点B B1 1.连接连接ABAB1 1,交直线交直线l于点于点C.C.已知：如图已知：如图,A,A、B B在直线在直线l的同一侧，在的同一侧，在l 上求一点上求一点C C，使得使得PA+PBPA+PB最小最小.探索新知探索新知ABl B1C 点P的位置即为所求.作法：作思考思考2：你能用所学的知识你能用所学的知识证明证明AC+BC最短吗？最短吗？BlAB1 1C探索新知探索新知思考2：你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？BlAB证明：如图，证明：如图，在直线在直线l 上任取一点上任取一点C1 1（与点（与点C 不重不重合），连接合），连接AC1 1，BC1 1，B1 1C1 1 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知，BC=B1 1C，BC1 1=B1 1C1 1 AC+BC=AC+B1C=AB1，AC1+BC1 =AC1+B1C1BlAB1 1CC1 1在在AB1C1中中，AB1AC1+B1C1，AC+BCAC1+BC1即即AC+BC 最短最短证明：如图，在直线l 上任取一点C1（与点C 不重合），连接运用新知运用新知变式变式1 1：如图，：如图，P P，Q Q为为ABC边AB，AC上的两点，在BC上求作一点M，使MPQ周长最短。两点一线型两点一线型做一次轴对称：做一次轴对称：运用新知变式1：如图，P，Q为ABC边AB，AC上的两点，变式变式2：已知，如图，：已知，如图，A是锐角是锐角MON内部任意内部任意一点，在一点，在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小，组成三角形，使三角形周长最小.分析：当分析：当ABAB、BCBC和和ACAC三条边的长度恰好能够体三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小。现在一条直线上时，三角形的周长最小。做二次轴对称：做二次轴对称：一点两线型一点两线型变式2：已知，如图，A是锐角MON内部任意一点，在MON作法：作法：1、分别作点、分别作点A关于关于OM，ON的对称点的对称点A1，A2；2、连接、连接A1，A2，分别交，分别交OM，ON于点于点B、点、点C；则点则点B、点、点C即为所求。即为所求。变式变式2 2：已知，如图，：已知，如图，A A是锐角是锐角MONMON内部任意一内部任意一点，在点，在MONMON的两边的两边OMOM，ONON上各取一点上各取一点B B，C C，组成三角形，使三角形周长最小组成三角形，使三角形周长最小.作法：变式2：已知，如图，A是锐角MON内部任意一点，在变式变式3 3：如图，将军某一天要从：如图，将军某一天要从A A出发，先到草地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B B，请你确定最短路线。请你确定最短路线。做二次轴对称：做二次轴对称：两点两线型两点两线型变式3：如图，将军某一天要从A出发，先到草地边某一处牧马，再通过通过轴对称变换轴对称变换将直线同侧的问题转化为将直线同侧的问题转化为在直线的两侧，化折线为直线，进而可利在直线的两侧，化折线为直线，进而可利用用“两点之间线段最短两点之间线段最短”加以解决。加以解决。最短路线问题的实质最短路线问题的实质通过轴对称变换将直线同侧的问题转化为 最短路线问题的实质问题问题2 2（造桥选址问题造桥选址问题）如图，如图，A A和和B B两地在一条河的两岸，现要在两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥河上造一座桥MNMN，桥造在何处可使从，桥造在何处可使从A A到到B B的路径的路径AMNBAMNB最短？（假定河的两岸是平行最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）的直线，桥要与河垂直）ABMNab问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现归纳小结归纳小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？）轴对称在所研究问题中起什么作用？归纳小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？课后提升：如图，四边形如图，四边形ABCDABCD中，中，BAD=120BAD=120，B=B=D=90,D=90,在在BCBC，CDCD上分别找一点上分别找一点M M、N N，当当AMNAMN周长最小时，周长最小时，AMN+AMN+ANMANM的度数为多的度数为多少？少？ABDCA1A2NM课后提升：如图，四边形ABCD中，BAD=120，B=布置作业布置作业全效学习全效学习P62-63P62-63 布置作业全效学习P62-63
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