阻尼振动受迫振动共振课件

阻尼振动受迫振动共振15-1 机械机械振动的一般概念振动的一般概念F机械振动：机械振动：物物体在一定位置的体在一定位置的附近作来回往复附近作来回往复的运动的运动(周期性周期性或非周期性或非周期性)F成因成因：物体的物体的惯性惯性和所受的和所受的回复力回复力 F简谐振动简谐振动:物体距平衡物体距平衡位置的位移位置的位移(或角位移或角位移)随随时间按余弦时间按余弦(或正弦或正弦)函数函数变化变化15-2 简谐简谐振动振动一一.简谐振动的特征简谐振动的特征1.动力学特征动力学特征F胡克定律胡克定律:物体物体所受弹性力与物体所受弹性力与物体的位移成正比而反的位移成正比而反向向即即-简谐振动的动力学特简谐振动的动力学特征征2.运动学特征运动学特征令令速度速度位移位移-简谐振动表达简谐振动表达式式加速度加速度即有即有-简谐振动的运动学特简谐振动的运动学特征征说明：说明：-简谐振动的振幅，为物体离简谐振动的振幅，为物体离开平衡位置最大位移的开平衡位置最大位移的绝对值绝对值-简谐振动的初相位简谐振动的初相位-简谐振动的相位简谐振动的相位-圆频率圆频率(2 秒内的振动次数秒内的振动次数)讨论：讨论：由初始条件可确定由初始条件可确定A和和 ：设设 t=0 时时，可得可得固有频率和固有周期：固有频率和固有周期：-周期和频率由振动系统本身周期和频率由振动系统本身的性质所决定，与的性质所决定，与A和和 无关无关 二二.谐振动的旋转矢量表示法谐振动的旋转矢量表示法t=0：t 时刻时刻参考圆参考圆振幅矢量振幅矢量逆时针旋转逆时针旋转O例例1用旋转矢量法讨论质点初始时用旋转矢量法讨论质点初始时刻位移为以下情况时谐振动的初相位：刻位移为以下情况时谐振动的初相位：A；-A；0，且向负方向运动；且向负方向运动；-A/2，且向正方向运动且向正方向运动解：解：或或 三三.相位差和相位的超前与落后相位差和相位的超前与落后设设相位差相位差同频率时同频率时-初相差与初相差与t 无关无关讨论：讨论：即即-同同相相 即即-反反相相 即即-第二个谐振动超第二个谐振动超前第一个谐振动前第一个谐振动例例2如图的谐振动如图的谐振动x-t 曲线，试求其曲线，试求其振动表达式振动表达式解：由图知解：由图知设振动表达式为设振动表达式为t=0时时：即即又又即即旋转矢量法旋转矢量法例例3质质量量为为0.01kg物物体体作作周周期期为为4s、振振幅幅为为0.24m的的简简谐谐振振动动。t=0时时,位位移移x=0.24m。求求(1)谐谐振振动动表表达达式式；(2)t=0.5s时时,物物体体的的位位置置和和所所受受的的力力；(3)物物体体从从初初始始位位置置运运动动至至x=-0.12m处所需的最短时间处所需的最短时间解解：(1)设振动表达式为设振动表达式为其中其中由由旋转矢量法得旋转矢量法得(2)t=0.5s:或或(3)例例4一一弹弹性性系系数数为为k的的轻轻弹弹簧簧,下下挂挂一一质质量量为为m的的砝砝码码。开开始始时时用用手手托托住住砝砝码码,使使弹弹簧簧为为原原长长,放放手手后后砝砝码码开开始始振振动动。证证明明砝砝码码作作谐谐振动振动,并写出振动表达式并写出振动表达式解：建立如图坐标系，原点为解：建立如图坐标系，原点为物体静平衡时位置，它距弹簧物体静平衡时位置，它距弹簧原长位置为原长位置为 y0在在y处时处时设设则则-得得证证设振动表达式为设振动表达式为由旋转矢量法得由旋转矢量法得t=0时时例例5如如图图系系统统，已已知知物物体体质质量量为为m，光光滑滑斜斜面面倾倾角角为为,自自由由转转动动的的定定滑滑轮轮半半径径为为R,转转动动惯惯量量为为J,弹弹簧簧弹弹性性系系数数为为k。开开始始时时物物体体静静止止,弹弹簧簧为为原原长长,重重物物下下滑滑后后开开始始振振动动。(1)证证明明重重物物作作谐谐振振动动,并并写写出出振振动动表表达达式式；(2)求求重重物物下下滑滑的的最最大大距距离离,并并用用机机械械能能守恒定律验证守恒定律验证设系统处于静平衡时弹簧伸长设系统处于静平衡时弹簧伸长 x0取物体静平衡取物体静平衡位置为坐标原位置为坐标原点，沿斜面向点，沿斜面向下建立坐标系下建立坐标系解：解：(1)物体振动时物体振动时可得可得-谐振谐振动动其解为其解为其中其中由旋转矢量法得由旋转矢量法得而而(2)物体下滑的最大距离为物体下滑的最大距离为由机械能守恒定律由机械能守恒定律三三.角谐振动角谐振动-单摆和复摆单摆和复摆1.单摆单摆由转动定律有由转动定律有很小时有很小时有可得角谐振动表达式可得角谐振动表达式其中其中2.复摆复摆为角振幅为角振幅由转动定律有由转动定律有很小时有很小时有角频率角频率周期周期讨论讨论：F单摆和复摆谐振动的频率由系统本单摆和复摆谐振动的频率由系统本身的性质决定身的性质决定 四四.谐振动的能量谐振动的能量 以弹簧振子为例以弹簧振子为例:讨论讨论:弹弹簧簧振振子子的的动动能能和和势势能能是是随随时时间间(或位移或位移)而变化的而变化的总总的的机机械械能能保保持持不不变变，即即动动能能和和势势能相互转化能相互转化谐谐振振动动系系统统的的总总能能量量与与振振幅幅的的平平方方成正比成正比例例6一水平放置的弹簧振子，质量一水平放置的弹簧振子，质量为为m，弹性系数为弹性系数为k，当它振动时，当它振动时，在什么位置动能和势能相等？它从该在什么位置动能和势能相等？它从该位置到达平衡位置所需的最短时间为位置到达平衡位置所需的最短时间为多少？多少？解解：(1)即即因此因此(2)一一.同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成1.代数法代数法设有两个谐振动设有两个谐振动15-4 同方向谐振动的合成同方向谐振动的合成由由2.旋转矢量法旋转矢量法 讨论讨论:合合振振动动仍仍然然是是简简谐谐振振动动，其其频频率率与与分振动相同分振动相同合合振振动动振振幅幅不不但但与与两两分分振振动动的的振振幅幅有关有关，而且与相位差有关而且与相位差有关F 时时(同相同相)F 时时(反相反相)例例7已知两谐振动的曲线已知两谐振动的曲线(如图如图),它它们是同频率的谐振动们是同频率的谐振动,求它们的合振求它们的合振动方程动方程解：由图知解：由图知1振动在振动在t=0时：时：2振动在振动在t=0时：时：由旋转矢量法由旋转矢量法 二二.同方向不同频率谐振动的合成同方向不同频率谐振动的合成 拍拍设设讨论讨论A1=A2=A的情况的情况 时合振幅时合振幅 随时间周期性缓慢地变化随时间周期性缓慢地变化而而 作角频率近于作角频率近于 或或 的谐振动的谐振动讨论：讨论：振动出现时强振动出现时强时弱的拍现象时弱的拍现象合振幅最大处合振幅最大处即两相邻振幅极大之间的相位差为即两相邻振幅极大之间的相位差为 :振幅变化周振幅变化周期期拍频拍频 A1追上追上A2 一一.相互垂直的同频率谐振动的合成相互垂直的同频率谐振动的合成设设15-5 相互垂直谐振动的合成相互垂直谐振动的合成两式平方后相加得两式平方后相加得-椭圆方椭圆方程程 讨论：讨论：2-1=0：同相同相-直直线线F t 时刻质点离开平衡位置的距离时刻质点离开平衡位置的距离为为-振幅为振幅为 的谐振的谐振动动2-1=：反相反相-直直线线2-1=/2：-正椭正椭圆圆设某一时刻设某一时刻则则 t后后-质点在椭圆上顺时针旋转质点在椭圆上顺时针旋转2-1=-/2：-正椭正椭圆圆质点在椭圆上逆时针旋转质点在椭圆上逆时针旋转F A1=A2时椭圆变为圆时椭圆变为圆二二.相互垂直的不同频率谐振动合成相互垂直的不同频率谐振动合成李萨如图形李萨如图形