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1.1 因式分解1.1 因式分解1.1.整式乘法有几种形式整式乘法有几种形式?(1)(1)单项式乘以单项式单项式乘以单项式(2)(2)单项式乘以多项式单项式乘以多项式(3)(3)多项式乘以多项式多项式乘以多项式回顾回顾&思考思考a(m+n)=.(a+b)(m+n)=.am+anam+an+bm+bn1.整式乘法有几种形式?(1)单项式乘以单项式回顾&思考(a+b)(a-b)=.(ab)2=.2.2.乘法公式有哪些乘法公式有哪些?(1)(1)平方差公式平方差公式 (2)(2)完全平方公式完全平方公式回顾回顾&思考思考(a+b)(a-b)=数学中的游戏数学中的游戏数学中的游戏数学中的游戏游戏规则：游戏规则：游戏规则：游戏规则：1.1.1.1.大家说出一个大家说出一个大家说出一个大家说出一个大于大于大于大于1 1 1 1的正整数的正整数的正整数的正整数.2.2.2.2.写出它的立方减它本身的式子写出它的立方减它本身的式子写出它的立方减它本身的式子写出它的立方减它本身的式子.如：如：如：如：3.3.3.3.不通过计算，说出这个式子能被哪些正整不通过计算，说出这个式子能被哪些正整不通过计算，说出这个式子能被哪些正整不通过计算，说出这个式子能被哪些正整数整除数整除数整除数整除.数学中的游戏游戏规则：1.大家说出一个大于1的正整数.2.写小明是这样想的小明是这样想的:99993 3-99-99能被能被100100整除吗整除吗?你是怎样想的你是怎样想的?你知道每一步的根据吗你知道每一步的根据吗?993-99还能被哪些整数整还能被哪些整数整除除?小明是这样想的:993-99能被100整除吗?你是怎样想的做一做做一做计算下列各式计算下列各式:(1)3x(x-1)=;(2)m(a+b+c)=;(3)(m+4)(m-4)=;(4)(y-3)2=.(5)a(a+1)(a-1)=.根据左面的算式填空根据左面的算式填空:3x2-3x=()()ma+mb+mc=()()m2-16=()()y2-6y+9=()2a3-a=()()()3x2-3xm2-16y2-6y+9ma+mb+mca3-ama+b+c3xx-1y-3m+4m-4aa+1a-1做一做计算下列各式:根据左面的算式填空:3x2-3xm2-1由由a(a+1)(a-1)得到得到a3-a的变形是什么运算的变形是什么运算?由由a3-a得到得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同的变形与它有什么不同?答答:由由a(a+1)(a-1)得到得到a3-a的变形是整式乘的变形是整式乘法，由法，由a3-a得到得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式多项式化成几个整式的积的形式.议议一一议议你还能再举一些类似的例子加以说明吗你还能再举一些类似的例子加以说明吗?由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运因式分解的定义因式分解的定义:把一个多项式化成把一个多项式化成几个整式的积几个整式的积的的形式形式,这种变形叫做这种变形叫做因式分解因式分解.因式分解因式分解也可称为分解因式也可称为分解因式.想一想想一想:因式分解与整式乘法有什么联系因式分解与整式乘法有什么联系?理解定义理解定义因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式善于辨析：善于辨析：因式分解与整式乘法有因式分解与整式乘法有什么什么联系联系?二者是互逆的恒等变形二者是互逆的恒等变形 因式分解因式分解善于辨析：因式分解与整式乘法有什么联系?二者是互逆的恒等变形判断下列各式哪些是整式乘法判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解哪些是因式分解?(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)(2)2x(x-3y)=2x2-6xy(3)(5a-1)2=25a2-10a+1(4)x2+4x+4=(x+2)2(5)(a-3)(a+3)=a2-9因式分解因式分解整式乘法整式乘法整式乘法整式乘法因式分解因式分解整式乘法整式乘法巩固概念巩固概念判断下列各式哪些是整式乘法?因式分解整式乘法整式乘法因式分解否否是是否否否否是是否否 下列式子从左到右的变形是否为下列式子从左到右的变形是否为因式分解？为什么因式分解？为什么?巩固概念巩固概念否是否否是否 下列式子从左到右的变形是否为因式分解？为（1 1）因式分解与整式的乘法是一种互逆关系；）因式分解与整式的乘法是一种互逆关系；（2 2）因式分解的对象必须是多项式，结果要以积的）因式分解的对象必须是多项式，结果要以积的形式表示；形式表示；（3 3）分解后的每个因式必须是整式，次数都低于原）分解后的每个因式必须是整式，次数都低于原来的多项式的次数；来的多项式的次数；归纳归纳（4 4）必须分解到每个因式不能再分解为止）必须分解到每个因式不能再分解为止.（1）因式分解与整式的乘法是一种互逆关系；（2）因式分解的对x2-y2(3-5x)(3+5x)(x+1)2xy-y2x2+2x+1y(x-y)9-25x2(x-y)(x+y)随堂练习随堂练习 把左右两边对应的式子连起来，并说明哪把左右两边对应的式子连起来，并说明哪些变形是因式分解，哪些是整式乘法些变形是因式分解，哪些是整式乘法.x2-y2(3-5x)(3+5x)(x+1)2xy-y2x21.1.计算计算:765:7652 217172352352 2 17 17 解解:765:7652 217172352352 2 17 17 =17(765 =17(7652 2 2352352)2)=17(765+235)(765 =17(765+235)(765 235)235)=171000530 =171000530 =9010000 =9010000拓展应用拓展应用1.计算:7652172352 17拓展应用2.20042+2004能被能被2005整除吗整除吗?解解:20042+2004=2004(2004+1)=2004200520042+2004能被能被2005整除整除拓展应用拓展应用 2.20042+2004能被2005整除 假如用一根比地球赤道长假如用一根比地球赤道长1010米的铁丝将地球赤道围起来米的铁丝将地球赤道围起来,那么铁丝与赤道之间均匀的间那么铁丝与赤道之间均匀的间隙能有多大隙能有多大(赤道看成圆形，设赤道看成圆形，设地球的半径为地球的半径为r r，铁丝围成圆形，铁丝围成圆形的半径为的半径为R)?R)?拓展应用拓展应用 假如用一根比地球赤道长10米的铁丝将地球赤道围起来,Rr 所以，铁丝与赤道之间均匀的间隙为所以，铁丝与赤道之间均匀的间隙为 米米.解：根据题意可得，解：根据题意可得，Rr 所以，铁丝与赤道之间均匀的间隙为 米.解：根据本节小结本节小结2.分解因式与整式乘法是分解因式与整式乘法是互逆互逆过程过程;1.把一个把一个多项式多项式化成化成几个整式乘积几个整式乘积的形式的形式,这种这种变形叫做把这个多项式变形叫做把这个多项式分解因式分解因式;3.分解因式的结果要以积的形式表示；分解因式的结果要以积的形式表示；4.分解后的每个因式必须是整式，次数都低于原分解后的每个因式必须是整式，次数都低于原来的多项式的次数；来的多项式的次数；5.必须分解到每个多项式不能再分解为止必须分解到每个多项式不能再分解为止.6.分解因式在分解因式在实际问题实际问题中的应用中的应用.本节小结2.分解因式与整式乘法是互逆过程;1.把一个多项1.2 提公因式法1.2 提公因式法讨 论问题1：630能被哪些数整除？说说你是怎样想的？问题2：a=101,b=99时，求a2b2的值。讨 论问题1：630能被哪些数整除？说说问题2：a=101,多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。相同因式m这个多项式有什么特点？多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。例:找3x26xy的公因式。系数：最大公约数。3字母：相同的字母x所以，公因式是3x。指数：相同字母的最低次幂1例:找 3 x 2 6 xy 的公因式。系数：最大正确找出多项式各项公因式的关键是：1、定系数：公因式的系数是多项式各项系数 的最大公约数。2、定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。3、定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂 你知道吗？正确找出多项式各项公因式的关键是：1、定系数：公因式的系数是找一找:下列各多项式的公因式是什么？（3）（a）（a2）（2(m+n)）（3mn）（-2xy）(1)3x+6y(2)ab-2ac(3)a2-a3(4)4(m+n)2+2(m+n)(5)9m2n-6mn(6)-6x2y-8xy2找一找:下列各多项式的公因式是什么？（3）（a）（a如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。(a+b+c)ma+mb+mcm=如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这(1)8a3b2+12ab3c例1:把下列各式分解因式分析：提公因式法步骤（分两步）第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积。(2)2a(b+c)-3(b+c)注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。(1)8a3b2+12ab3c例1:把下列各式分针对性练习：把下列各式分解因式：(1)12x2y+18xy2(2)3x2-6xy+x(3)x2+xy-xz(4)2a(y-x)-3b(x-y)针对性练习：(1)12 x2y+18xy2小明解的有误吗？小明解的有误吗？把12x2y+18xy2分解因式解：原式=3xy(4x+6y)错误公因式没有提尽，还可以提出公因式2注意：公因式要提尽。正确解：原式=6xy(2x+3y)小明解的有误吗？把12x2y+18xy2分解因式解：原式=小亮解的有误吗？小亮解的有误吗？当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。错误注意：某项提出莫漏1。解：原式=x(3x-6y)把3x2-6xy+x分解因式正确解：原式=3x.x-6y.x+1.x =x(3x-6y+1)小亮解的有误吗？当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩小华解的有误吗？小华解的有误吗？提出负号时括号里的项没变号错误把-x2+xy-xz分解因式解：原式=-x(x+y-z)注意：首项有负常提负。正确解：原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z)小华解的有误吗？提出负号时括号里的项没变号错误把-x2+例2 用简便方法计算：0.8412+120.6-0.4412解：0.8412+120.60.4412=12（0.84+0.60.44）=121=12教师活动：引导学生观察分析怎样计算更为简便？例2 用简便方法计算：0.8412+120.6-0.4(1)13.80.125+86.21/8(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.解：原式=13.80.125+86.20.125=0.125(13.8+86.2)=0.125100=12.5解:a2b+ab2=ab(a+b)=35=15针对性练习(1)13.80.125+86.21/8(2)已知a+2、确定公因式的方法：小小结结3、提公因式法分解因式步骤(分两步)：1、什么叫因式分解？(1)定系数 (2)定字母 (3)定指数第一步，找出公因式；第二步，提取公因式.4、提公因式法分解因式应注意的问题：（1）公因式要提尽；（2）某想提出莫漏1;（3）提出负号时,要注意变号.2、确定公因式的方法：小 结3、提公因式法分解因式步1、下列变形中是因式分解的是（）A、x(x+1)=x2+xB、x2+2x+1=(x+1)2C、x2+xy-3=x(x+y)-3D、x2+6x+4=(x+3)2-52、分解因式（1）14a3b-21a2b2c(2)2m(m+n)+6n(m+n)3、已知x-y=3,x+y=7，求x(x-y)-y(y-x)的值目标检测1、下列变形中是因式分解的是（）目标检测1.3 公式法(1)1.3 公式法(1)温温 故故 知知 新新1）2）3）观察以上式子是满足什么乘法公式运算？观察以上式子是满足什么乘法公式运算？以上式子的右边的多项式有什么共同点？以上式子的右边的多项式有什么共同点？（整式乘法）（整式乘法）（分解因式）（分解因式）温故知新1）2）3）观察以上式子是满足什么乘法公式运算？（整整式乘法整式乘法单项式乘以单项式单项式乘以多项式多项式乘以多项式与分解因式无关(a+b)(a-b)=a2-b2与分解因式有关乘法公式平方差公式完全平方公式a2-b2=(a+b)(a-b)x2-25=x2-52=(x+5)(x-5)9x2-y2=(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y)整式乘法单项式乘以单项式单项式乘以多项式多项式乘以多项式与分判断下列各式能否用平方差公式分解因式：(1)a2+4b2()(2)-x2-4y2()(3)x-4y2()(4)-4+0.09m2()判断下列各式能否用平方差公式分解因式：(1)具备什么特征的多项式是平方差式具备什么特征的多项式是平方差式?答答：一一个个多多项项式式如如果果是是由由两两项项组组成成，两两部部分分是是两两个个式式子子(或或数数)的的平平方方，并并且且这这两两项项的符号为异号的符号为异号.运用运用a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)公式时公式时,如何区分如何区分a a、b?b?答答:平方前符号为正，平方下的式子（数）为平方前符号为正，平方下的式子（数）为 平平方方前前符符号号为为负负，平平方方下下的的式式子子（数数）为为具备什么特征的多项式是平方差式?答：一个多项式如果是由两项组(1)(1)多项式多项式 和和 他们有什么共同特征他们有什么共同特征?(2)(2)尝试将它们分别写成两个因式尝试将它们分别写成两个因式的乘积的乘积,并与同伴交流并与同伴交流.观察与思考(1)多项式 和 例例1:1:把下列各式分解因式把下列各式分解因式例1:把下列各式分解因式=(4+5x)(4-5x)第一步，将两项第一步，将两项写成平方的形式；写成平方的形式；找出找出a、b第二步，利用第二步，利用a2-b2=(a-b)(a+b)分解因式分解因式=(4+5x)(4-5x)第一步，将两项写成平方的形式；找出第一步，将两项第一步，将两项写成平方的形式；写成平方的形式；找出找出a、b第二步，利用第二步，利用a2-b2=(a-b)(a+b)分解因式分解因式第一步，将两项写成平方的形式；找出a、b当首项前有负号时当首项前有负号时.第一步，连同符号第一步，连同符号交换位置交换位置.第二步，将两项写第二步，将两项写成平方的形式；找成平方的形式；找出出a、b第三步，利用第三步，利用 a2-b2=(a-b)(a+b)分分解因式解因式当首项前有负号时.例2:把下列各式分解因式把下列各式分解因式(3)a4-b4例2:把下列各式分解因式(3)a4-b4=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n)=(3m+n)(m+3n)=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n)=(3m+n)通过做第通过做第(2)小题你总结出什么经验小题你总结出什么经验来了吗来了吗?分解因式时分解因式时,通常先考虑是否能提公因式通常先考虑是否能提公因式,然后再考虑能否进一步分解因式然后再考虑能否进一步分解因式.通过做第(2)小题你总结出什么经验来了吗?分解因式时,通常先 通过做第通过做第(2)(2)小题你总结出什小题你总结出什么经验来了吗么经验来了吗?当多项式的当多项式的各项各项含有含有公因式公因式时时,通常先提出这个公因式通常先提出这个公因式,然后再进然后再进一步分解因式一步分解因式.通过做第(2)小题你总结出什么经验来了吗?(3)解:a4-b4=(a2-b2)(a2+b2)=(a+b)(a-b)(a2+b2)通过做第通过做第(3)(3)小题你总结出什么吗小题你总结出什么吗?分解因式一直到不能分解为止分解因式一直到不能分解为止.所以分解后一定检查括号内是否能继续所以分解后一定检查括号内是否能继续分解分解.(3)解:a4-b4=(a2-b2)(a2+b2)=(a+b练习练习:把下列各式分解因式把下列各式分解因式:(3)4(x-y)2-1;(4)9(m+n)2-4(m-n)2.(5)2x3-8x;练习:把下列各式分解因式:(3)4(x-y)2-1;(5解：（4）9(m+n)2(m-n)29(m+n)2(m-n)23(m+n)2(m-n)23(m+n)+(m-n)3(m+n)-(m-n)(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)(4m+2n)(2m+4n)4(2m+n)(m+2n)解：（4）9(m+n)2(m-n)2 9(m+n小小结结1.1.具备什么特征的多项式是平方差式具备什么特征的多项式是平方差式?一一个个多多项项式式如如果果是是由由两两项项组组成成，两两部部分分是是两两个个式子式子(或数或数)的平方，并且这两项的符号为异的平方，并且这两项的符号为异.2.2.运用运用a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)公式时公式时,如何区分如何区分a a、b?b?平方前符号为正，平方下的式子（数）为平方前符号为正，平方下的式子（数）为平方前符号为负，平方下的式子（数）为平方前符号为负，平方下的式子（数）为3.3.分解因式时分解因式时,通常先考虑是否能提公因式通常先考虑是否能提公因式,然后然后再考虑能否进一步分解因式再考虑能否进一步分解因式.4.4.分解因式一直到不能分解为止分解因式一直到不能分解为止.所以分解后一所以分解后一定检查括号内是否能继续分解定检查括号内是否能继续分解.小 结1.具备什么特征的多项式是平方差式?一个多项式如果思考:把下列各式分解因式(1)a2(m-n)-b2(n-m);(2)625x4(a-1)-a+1.思考:把下列各式分解因式(1)a2(m-n)-b2(n-m 反反 思思 总总结结1 1、今天主要学习了利用平、今天主要学习了利用平方差公式进行因式分解方差公式进行因式分解2 2、当多项式的各项有公因、当多项式的各项有公因式时式时,通常先提出这个公因通常先提出这个公因式式,然后进行因式分解然后进行因式分解 反思总结1、今天主要学习了利用平方差公式进行因式分解2、在多项式在多项式x x+y+y,x,x-y-y,-,-x x+y+y,-x,-x-y-y中中,能利用平方能利用平方差公式分解的有差公式分解的有()A1个个B2个个C3个个D4个个B B在多项式x+y,x-y,-x+y,-x(1)x(1)x+y+y=(x+y)(x+y)()=(x+y)(x+y)()(2)x(2)x-y-y=(x+y)(x-y)()=(x+y)(x-y)()(3)-x(3)-x+y+y=(-x+y)(-x-y)(=(-x+y)(-x-y)()(4)-x(4)-x-y-y=-(x+y)(x-y)(=-(x+y)(x-y)()判判 断断 正正 误误(1)x+y=(x+y)(x+y)()判断正误1616-x x分解因式分解因式()()A.(2-x)A.(2-x)B.(4+x B.(4+x)(4-x)(4-x)C.(4+x C.(4+x)(2+x)(2-x)(2+x)(2-x)D.(2+x)D.(2+x)(2-x)(2-x)C 16-x分解因式()A.(2-x)拓展拓展 练习练习如果如果，并且，并且x x，y y都自然数，求都自然数，求x x，y y的值。的值。拓展 练习如果 例例1下列分解因式是否正确？为什么？如果不正下列分解因式是否正确？为什么？如果不正确，请给出正确的结果。确，请给出正确的结果。例例2分解因式：分解因式：若若求求的值的值例1 下列分解因式是否正确？为什么？如果不正确，请给出正做一做做一做2、如图，在一块边长、如图，在一块边长为为acm的正方形的四的正方形的四角，各剪去一个边长为角，各剪去一个边长为bcm的正方形，求剩余的正方形，求剩余部分的面积。如果部分的面积。如果a=3.6，b=0.8呢呢?ab做一做2、如图，在一块边长为 acm 的正方形的四角，各剪去3.运用公式法分解因式运用公式法分解因式:(1)-9x2+4y2(2)64x2-y2z2(3)a2(a+2b)2-4(x+y)2(4)(a+bx)2-1(5)(x-y+z)2-(2x-3y+4z)2试一试试一试3.运用公式法分解因式:(1)-9x2+4y2 创新与应用创新与应用已知已知,x+y=7,x-y=5,求代数求代数式式x2-y2-2y+2x的值的值.创新与应用已知,x+y=7,x-y=5,求代数式1.3 公式法(2)1.3 公式法(2)回顾思考1、分解因式学了哪些方法？提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)2除了平方差公式外，还学过了哪些公式？回顾思考1、分解因式学了哪些方法？提取公因式法：ma+mb+温故知新因式分解整式乘法完全平方公式温故知新因式分解整式乘法完全平方公式完全平方公式（1）公式：（2）特点:公式展示从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.从符号看：平方项符号相同（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项）完全平方公式（1）公式：（2）特点:公式展示从每一项看做一做填空：（1）a2+b2=(a+b)2（2）a2-2ab+=(a-b)2（3）m2+2m+=()2（4）n2-2n+=()2（5）x2-x+0.25=()2（6）4x2+4xy+()2=()22abb21m+11n-1x-0.5y2x+y做一做填空：（1）a2+例题演示例1、把下列各式分解因式：(1)x214x49解：(2)解：例题演示例1、把下列各式分解因式：(1)x214x49 例题演示例2、把下列各式分解因式：(1)3ax26axy3ay2解：(2)解：-x2-4y24xy例题演示例2、把下列各式分解因式：(1)3ax26axy随堂练习把下列各式分解因式：(1)25x210 x1(3)-a2-10a-25(2)49a2b214ab随堂练习把下列各式分解因式：(1)25x210 x1 课堂小结1:整式乘法的完全平方公式是：2:利用完全平方公式分解因式的公式形式是：3:完全平方公式特点：含有三项；两平方项的符号同号；首尾2倍中间项课堂小结 1:整式乘法的完全平方公式是：含有三项；第二章 分式与分式方程2.1 认识分式（1）第二章 分式与分式方程 面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林2400hm2，实际每月固沙造林的面积比原计划多30hm2，结果提前完成原计划的任务如果设原计划每月固沙造林x hm2，那么 （1）原计划完成造林任务需要多少个月？（2）实际完成造林任务用了多少个月？面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙（1）2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某一时段内的统计结果显示，前a天日均参观人数35万人，后b天日均参观人数45万人，这（a+b）天日均参观人数为多少万人？（2）文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册 a 元，现每册降价 x 元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为 b 元降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是多少?（1）2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某一时段内上面问题中出现了代数式 它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？这些式子都可写成 的形式，分子、分母都是整式，分母中都含字母，而单项式和多项式统称整式，整式分母中不含字母。上面问题中出现了代数式 它们有什么共同特征？它们与整式有什么一个概念：分式的概念分子分母都是整式分母中含有字母分母不能为零分式定义：整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有字母，那么称 为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.一个概念：分式的概念分子分母都是整式分母中含有字母分母例1、下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？为什么（2)（4）不是分式？判断的关键是什么？解:属于整式的有（2）、（4）属于分式的有（1）、（3）分母含有字母是分式，分母不含字母是整式.例1、下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？为什么（2)（二个应用一、列分式例2：把甲、乙两种饮料按质量比x：y混合在一起，可以调制成一种混合饮料。调制1千克这种混合饮料需多少甲种饮料？答案：千克现学现用二个应用一、列分式答案：千克现学现用现学现用二、分式的求值例题3：（1）当 a=1，2时，分别求分式 的值；解：（1）当 a=1时 当 a=2时(2)当a取何值时，分式 有意义?解：当分母的值为零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义。由分母2a=0，得a=0，所以,当a取零以外的任何数时，分式 都有意义.现学现用二、分式的求值(2)当a取何值时，分式 有意1.当x取什么值时，下列分式无意义？2.当x取什么值时，下列分式的值为零？随堂练习11.当x取什么值时，下列分式无意义？2.当x取什么值时，下列2、从“1,2,a,b,c”中选取若干个数或字母，组成两个代数式，其中一个是代数式，一个是分式3、当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（A）（B）(C)（D）随堂练习22、从“1,2,a,b,c”中选取若干个数或字母，组成两个代一个概念分母等于零分母不等于零分子等于零且分母不等于零两个应用列分式求分式的值三个条件分式有意义的条件分式无意义的条件分式的值为零的条件分式的概念分子分母都是整式分母中含有字母分母不能为零。课堂小结一个概念分母等于零分母不等于零分子等于零两个应用列分式求分式2.1 认识分式（2）2.1 认识分式（2）(1)的依据是什么?解:依据是分数的基本性质,分数的分子与分母都乘以或除以同一个不为零的数,分数的值不变(2)你认为分式 相等吗?呢?(1)的依据是什么?解:依据是分类比分数可以得到分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变.用式子表示类比理由:因为字母可以表示任何数.强调:性质中是同时乘以或除以同一个不为零的整式;同乘以时要交代条件；同除以的时候有时原题已经隐含了不等于零的条件，可以不用重复交代.类比分数可以得到分式的基本性质:温故知新例1下列等式的右边是怎样从左边得到的?(1)(2)解：(1)因为y0，所以 (2)因为x0，所以例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的?例2 化简下列分式:解:注:在(1)中相当于分子、分母同时约去了整式ab;在(2)中相当于分子、分母同时约去了整式(x-1)；把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分同除以的ab、(x-1)在原分式中充当了分母的因式，所以默认是不等于0的，否则原分式无意义.这就不再交代ab、(x-1)不等于0.例题演示 例2 化简下列分式:同除以的ab、(x-1)在原分 约分的基本步骤：(1)若分子分母都是单项式，则约简系数，并约去相同字母的最低次幂；(2)若分子分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子分母所有的公因式注意：约分过程中，有时还需运用分式的符号法则使最后结果形式简捷；约分的依据是分式的基本性质.约分的基本步骤：注意：约分过程中，有时还需运用分式的符号法下面对同一分式的化简哪个更合适？(2)式中分子分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式辨一辨辨一辨下面对同一分式的化简哪个更合适？(2)式中分子分母已没有公因分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.（化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式）（化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式）归纳：最简分式：分子和分母没有公因式的分式叫最简 分式.分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为一、化简下列分式随堂练习一、化简下列分式随堂练习二.填空随堂练习二.填空随堂练习巩固练习巩固练习课堂小结1、分式的基本性质:分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式,分式的值不变.用式子表示2、分式基本性质的应用3、分式化简:通常要使结果成为最简分式或者整式.课堂小结1、分式的基本性质:分式的分子与分母都乘（或除以）同2.2 分式的乘除法2.2 分式的乘除法观察下列运算猜想观察下列运算猜想 分式的乘除法的法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.分式的乘除法的法则:例1 计算分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.例1 计算分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.做一做 通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多,因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西瓜的皮厚都是d,已知球的体积公式为 (其中R为球的半径),那么(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少?(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少?(3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算?与同伴交流.做一做 例计算 例计算 课堂练习 课堂练习小 结分式的乘除法的法则分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.3.学会类比的数学方法小 结5 5.3 3 分式的加减法分式的加减法（1 1）5.3 分式的加减法（1）马航失联事件引起世界各国的关注，各国迅速组织搜救队进行马航失联事件引起世界各国的关注，各国迅速组织搜救队进行搜救，下面是我方搜救队与澳大利亚搜救队某次的搜寻示意图。搜救，下面是我方搜救队与澳大利亚搜救队某次的搜寻示意图。假设两方按长方形区域进行搜寻，且区域的宽都是假设两方按长方形区域进行搜寻，且区域的宽都是 千米。我千米。我方搜寻的区域面积为方搜寻的区域面积为200平方千米，澳方搜寻的区域面积为平方千米，澳方搜寻的区域面积为150平方千米。平方千米。（1）两方搜寻的区域总长度是多少？）两方搜寻的区域总长度是多少？（2）我方搜寻的区域长度比澳方长多少？）我方搜寻的区域长度比澳方长多少？我方我方200澳方澳方150马航失联事件引起世界各国的关注，各国迅速组织搜救队进行搜救，运算法运算法则：同分母同分母的分数相加减，的分数相加减，分母不分母不变，把，把分子相加减分子相加减你能说说上面式子的特点吗？并思考做法理由？你能说说上面式子的特点吗？并思考做法理由？运算法则：同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减你能说类比类比做一做猜一猜 类比运算法则：运算法则：同分母的分式相加减，分母不变，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减把分子相加减 用式子表示为：用式子表示为：运算法则：用式子表示为：马航失联事件引起世界各国的关注，各国迅速组织搜救队进行马航失联事件引起世界各国的关注，各国迅速组织搜救队进行搜救，下面是我方搜救队与澳大利亚搜救队某次的搜寻示意图。搜救，下面是我方搜救队与澳大利亚搜救队某次的搜寻示意图。假设两方按长方形区域进行搜寻，且区域的宽都是假设两方按长方形区域进行搜寻，且区域的宽都是 千米。我千米。我方搜寻的区域面积为方搜寻的区域面积为200平方千米，澳方搜寻的区域面积为平方千米，澳方搜寻的区域面积为150平方千米。平方千米。（1）两方搜寻的区域总长度是多少？）两方搜寻的区域总长度是多少？（2）我方搜寻的区域长度比澳方长多少？）我方搜寻的区域长度比澳方长多少？我方我方200澳方澳方150马航失联事件引起世界各国的关注，各国迅速组织搜救队进行搜救，解解:原式原式解解:原式原式注意：注意：结果要化成最果要化成最简分式！分式！例题精讲解:原式解:原式注意：结果要化成最简分式！解解:原式原式解解:原式原式记得给多项式的分记得给多项式的分子添括号，所得结子添括号，所得结果要化简！果要化简！解:原式解:原式记得给多项式的分子添括号，所得结果要化简！下列运算正确吗？错误的，说明为什么？下列运算正确吗？错误的，说明为什么？（）（）（）（）下列运算正确吗？错误的，说明为什么？（）（练习：计算练习：计算练习：计算练习练习2：计算：计算（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）练习2：计算（1）（2）（3）（4）例例2 2 计算：计算：解：原式解：原式解：原式解：原式分母互为相反式时，分母互为相反式时，改变一下运算符号即改变一下运算符号即可变为同分母！可变为同分母！分母相反数分母相反数转化转化同分母同分母例2 计算：解：原式解：原式分母互为相反式时，改变一下运算符（2）（3）（4）计算计算（1）=（2）（3）（4）计算（1）=尝试练习今天，你有哪些收获？今天，你有哪些收获？同分母分式的加减法法则：同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。分母不变，把分子相加减。收获知识 方法、思想类比的方法转化的思想分数的加减法法则分数的加减法法则分式的加减法法则分式的加减法法则分母是相反数的分式加减法分母是相反数的分式加减法同分母的分式加减法同分母的分式加减法式子：式子：今天，你有哪些收获？同分母分式的加减法法则：收获知识1、同分母分式加减法同分母分式加减法则：同分母的分式相加同分母的分式相加减。分母不变，把分子相加减。减。分母不变，把分子相加减。2、学会用转化的思想将分母互为相反式的分式、学会用转化的思想将分母互为相反式的分式加减运算转化成同分母分式的加减法。加减运算转化成同分母分式的加减法。3、分子是多项式分子是多项式时，一定记得添括号后再进行时，一定记得添括号后再进行加减运算。加减运算。4、学会用类比方法分析和解决问题。、学会用类比方法分析和解决问题。1、同分母分式加减法则：同分母的分式相加 同分母分式加减的基本步骤：同分母分式加减的基本步骤：同分母分式加减的基本步骤：2.3 分式的加减法（2）2.3 分式的加减法（2）问题1：同分母分式是怎样进行加减运算的？问题2：还记得异分母的分数如何加减吗？同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减 异分母分数相加减，先通分，化为同分母分数后，再加减你认为异分母的分式应该如何加减你认为异分母的分式应该如何加减?比如比如应该怎样计算？问题1：同分母分式是怎样进行加减运算的？问题2：还记得异分议一议小明认为小明认为,只要把异分母的分式化成同分母的分式只要把异分母的分式化成同分母的分式,异分母的分式的异分母的分式的问题就变成了同分母分式的加减问题问题就变成了同分母分式的加减问题.小亮同意小明的这种看法小亮同意小明的这种看法,但但他俩的具体做法不同：他俩的具体做法不同：你对这两种做法有何评论？与同伴交流。议一议小明认为,只要把异分母的分式化成同分母的分式,异分根据分式的基本性质。异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。为了计算简便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母。根据分式的基本性质。异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过（1）（2）（3）做一做：找最简公分母（1）（2）（3）做一做：找最简公分母将下列各组分式通分：最简公分母的确定：各分母所有因式的最高次幂的积；当各分母系数都是整数时，取这些系数的最小公倍数作为最简公分母的系数。将下列各组分式通分：最简公分母的确定：各分母所有因式的最高次与异分母的分数加减法法则类似，异分母的分式加减法法则是：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。这一法则可以用式子表示为这一法则可以用式子表示为：与异分母的分数加减法法则类似，异分母的分式加减法法则是：异分例3：计算解：（1）（3）原式（2）例3：计算解：（1）（3）原式（2）例4小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中小丽走的是平路，骑车速度2vkm/h小刚需要走1km的上坡路、2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h那么（1）小刚从家到学校需要多长时间？（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？解：（1）小刚从家到学校需要例4 小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中小丽走的是例4小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中小丽走的是平路，骑车速度2vkm/h小刚需要走1km的上坡路、2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h那么（1）小刚从家到学校需要多长时间？（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？例4 小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中小丽走的是计算：计算：计算计算阅读下面题目的计算过程。阅读下面题目的计算过程。=(1)(1)上述计算过程上述计算过程,从哪一步开始错误从哪一步开始错误,请写上该步的代号请写上该步的代号(2)(2)错误原因错误原因(3)(3)本题的正确结论为本题的正确结论为阅读下面题目的计算过程。选择：1.计算 的结果是（）、2.若 则 的值等于（）c选择：1.计算 的结果计算（3）计算（3）用两种方法计算：解：法一（按运算顺序）原式法二(利用乘法分配律)原式 用两种方法计算：解：法一（按运算顺序）法二(利用乘化简化简 某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a字/时，那么他录入3000字文稿比手抄少用多少时间？某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度 甲、乙两位采购员同去一家饲料公司甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料。两次饲料的价格有变化，购买两次饲料。两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买甲每次购买1000千克，乙每次用去千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料。设两次购买元，而不管购买多少饲料。设两次购买的饲料单价分别为的饲料单价分别为m元元/千克和千克和n元元/千克千克（m,n是正数，且是正数，且mn），那么甲、乙），那么甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？哪所购饲料的平均单价各是多少？哪 一一个较低？个较低？甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料。两次饲1、异分母分式相加减的法则：2、通分的关键就是找最简公分母，对于分母是多项式且能够进行分解因式的要先分解后再类比最小公倍数找最简公分母。3、通分前是单项式的分子通分后就可能是多项式了，运算时记得添括号。4、运算结果要约分，有一些运算律仍然适用。小结小结1、异分母分式相加减的法则：小结2.3 分式的加减法（3）2.3 分式的加减法（3）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算答案：答案：复习引入同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减 异分母例例6解：原式解：原式解：原式解：原式记得通分后分记得通分后分子添括号哦！子添括号哦！学习新知例6 解：原式 解：原式 记得通分后分子添括号哦！学习新知1.计算：计算：练习巩固计算：例例6已知已知的的值.解解;原式原式因为因为即即所以，原式所以，原式还有其它还有其它接法吗？接法吗？再探分式的运用例6 已知的值.解;原式因为即所以，原式还先化简，再求值：先化简，再求值：（1 1）已知已知,求求的的值.，求，求的的值.（2）已知）已知答案：答案：答案：答案：学以致用先化简，再求值：（1）已知,求的值.，求的值.（2）（2）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天?（1）原计划修建这条盲道需少天）原计划修建这条盲道需少天?实际修建这条盲道用了实际修建这条盲道用了多少天？多少天？解解:(1):(1)原计划修建需原计划修建需天天,实际修建需实际修建需天天;(2)(2)实比原计划缩短了实比原计划缩短了天天.根据规划设计，某工程队准备修建一条长根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120m的盲的盲道由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比道由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加原计划增加10m，从而缩短了工期，从而缩短了工期.假设原计划每天修建假设原计划每天修建盲道盲道x m，那么，那么（2）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天?（1）原计划某蓄水池装有某蓄水池装有A，B两个进水管，每小时可两个进水管，每小时可分别进水分别进水a t，bt若单独开放若单独开放A进水管，进水管，ph可将该水池注满如果可将该水池注满如果A，B两根水管同时开放，两根水管同时开放，那么能提前多长时间将该蓄水池注满？那么能提前多长时间将该蓄水池注满？答案：答案：h.巩固提高某蓄水池装有 A，B 两个进水管，每小时可答案：1、异分母分式相加减的法则及通分的注意事项。、异分母分式相加减的法则及通分的注意事项。2、分式的化简求值及变形。、分式的化简求值及变形。3、实际问题中能正确把握分式所表示的意义将、实际问题中能正确把握分式所表示的意义将更有助于解题。更有助于解题。课堂小结1、异分母分式相加减的法则及通分的注意事项。1、计算、计算2、甲，乙两地相距、甲，乙两地相距360km，新修的高速公路开通后，在，新修的高速公路开通后，在甲，乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了甲，乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了50%而而从甲地到乙地的时间缩短了从甲地到乙地的时间缩短了2h，试确定原来的平均车速。，试确定原来的平均车速。3、八年级（、八年级（1）班学生周末坐车到风景区游览，风景区）班学生周末坐车到风景区游览，风景区距学校距学校100公里。一部分学生坐慢车先行，出发公里。一部分学生坐慢车先行，出发1小后，小后，另一部分学生坐快车前往，结果快车比慢车还早到另一部分学生坐快车前往，结果快车比慢车还早到1小时。小时。已知快车的速度是慢车速度的已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度。倍，求慢车的速度。课堂随练1、计算2、甲，乙两地相距360km，新修的高速公路2.4 分式方程（1）2.4 分式方程（1）甲、乙两地相距甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的度是特快列车的2.8倍倍（1 1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？甲、乙两地相距 1400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特等量关系包括：乘高铁列车所用的时间=乘特快列车所用的时间-9h,高铁列车的平均速度=2.8特快列车平均速度，等量关系包括：乘高铁列车所用的时间=乘特快列车所用的时间-9（2 2）如果设特快列车的平均行驶速度为）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/hxkm/h，那，那么么x x满足怎样的方程？满足怎样的方程？甲、乙两地相距甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的度是特快列车的2.8倍倍（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎（2 2）如果设特快列车的平均行驶速度为）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/hxkm/h，那么那么x x满足怎样的方程？满足怎样的方程？（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎（3 3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yhyh，那么那么y y满足怎样的方程？满足怎样的方程？甲、乙两地相距甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的度是特快列车的2.8倍倍（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh，那么y满足怎样（3 3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yhyh，那么那么 y y 满足怎样的方程？满足怎样的方程？（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh，那么 y 满足只要人人都献出一点爱做一做做一做为了帮助遭受自然灾害地区重建家园，某学校号召同学自愿捐款已知七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等如果设七年级捐款人数为x 人，那么x 满足怎样的方程？（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？只要人人都献出一点爱做一做为了帮助遭受自然灾害地区重建家园，等量关系包括：八年级捐款人数八年级捐款人数=七年级捐款人数七年级捐款人数+20人，人，七年级捐款总额七年级捐款总额=七年级捐款人数七年级捐款人数七年级人均捐款额，七年级人均捐款额，八年级捐款总额八年级捐款总额=八年级捐款人数八年级捐款人数八年级人均捐款额，八年级人均捐款额，七年级人均捐款额七年级人均捐款额=八年级人均捐款额。八年级人均捐款额。等量关系包括：八年级捐款人数=七年级捐款人数+20人，七年级只要人人都献出一点爱做一做做一做为了帮助遭受自然灾害地区重建家园，某学校号召同学自愿捐款已知七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等如果设七年级捐款人数为x 人，那么x 满足怎样的方程？只要人人都献出一点爱做一做为了帮助遭受自然灾害地区重建家园，议一议议一议由上面的问题，你得到了哪些方程？由上面的问题，你得到了哪些方程？下列方程有什么共同特点？下列方程有什么共同特点？分母中都含有未知数分母中都含有未知数.分母中含有未知数分母中含有未知数的方程叫做分式方程。的方程叫做分式方程。议一议由上面的问题，你得到了哪些方程？下列方程有什么共同特点1.找找看，下列方程哪些是分式方程：（）（）（）（）否否是是是是否否2.2.“退耕退耕还林林还草草”是在我国西部地区是在我国西部地区实施的一施的一项重要生重要生态工程某地工程某地规划退耕面划退耕面积共共69000，退耕，退耕还林与退耕还草的面积还林与退耕还草的面积比为比为5353，设退耕还林的面，设退耕还林的面积为积为x ，那么，那么x 满足怎样的分式方程？满足怎样的分式方程？练习练习1.判断下列方程是不是分式方程。判断下列方程是不是分式方程。1.找找看，下列方程哪些是分式方程：（）（）3.3.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300300元。元。后因人数增加到原定人数的后因人数增加到原定人数的2 2倍，费用享受了优惠，倍，费用享受了优惠，一共只需要一共只需要480480元，参加活动的每个同学平均分摊的元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少费用比原计划少4 4元，原定的人数是多少？如果设原元，原定的人数是多少？如果设原定是定是x x人，那么人，那么 x x 满足怎样的分式方程满足怎样的分式方程?等量关系等量关系：实际参加活参加活动的人数的人数=原定人数原定人数22原计划平均分摊的费用原计划平均分摊的费用=实际平均分摊的费用实际平均分摊的费用+4+4元。元。3.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培4.4.面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林24002400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多3030公顷，结果提前公顷，结果提前4 4个月完成计划任务。原计划每月个月完成计划任务。原计划每月固沙造林多少公顷？固沙造林多少公顷？等量关系：等量关系：实际每月固沙造林的面积实际每月固沙造林的面积=计划每月固沙造林的面积计划每月固沙造林的面积+30公顷公顷原计划完成的时间原计划完成的时间实际完成的时间实际完成的时间=4个月个月解：设原计划每月固沙造林解：设原计划每月固沙造林x公顷，根据题意，得公顷，根据题意，得4.面对日益严重的土地沙化问
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