模糊数学教学完整课件

2024年年7月月27日日1模糊数学绪论模糊数学绪论用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画；性靠经典数学去刻画；2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如模糊现象：如 “今天天气很热今天天气很热”，“小伙子很高小伙子很高”，等等等。等。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。2023年年8月月17日日1模糊数学绪论用数学的眼光看世界，可把我模糊数学绪论用数学的眼光看世界，可把我2024年年7月月27日日2年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。共同特点：共同特点：模糊概念的外延不清楚。模糊概念的外延不清楚。模糊概念导致模糊现象模糊概念导致模糊现象模糊数学模糊数学研究和揭示模糊现象的研究和揭示模糊现象的定量处理方法。定量处理方法。模糊数学绪论模糊数学绪论2023年年8月月17日日2年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、2024年年7月月27日日3产生产生1965年，年，L.A.Zadeh（扎德）（扎德）发表了文章发表了文章模糊集模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control,8,338-353)基本思想基本思想用属于程度代替属于或不属于。用属于程度代替属于或不属于。某个人属于高个子的程度为某个人属于高个子的程度为0.8,另一个人属于另一个人属于高个子的程度为高个子的程度为0.3等等.模糊数学绪论模糊数学绪论2023年年8月月17日日3产生产生1965年，年，L.A.Zadeh（2024年年7月月27日日4模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 涉及学科涉及学科分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；模糊产品模糊产品洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐农业、气象、信息、经济、文学、音乐模糊数学绪论模糊数学绪论2023年年8月月17日日4模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析2024年年7月月27日日5模糊数学绪论模糊数学绪论 课堂主要内容课堂主要内容一、基本概念一、基本概念二、主要应用二、主要应用1.模糊聚类分析模糊聚类分析对所研究的事物按一定标准进行分类对所研究的事物按一定标准进行分类模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以及有机质含量，及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性值，颜色，厚薄等不同的性状，对土壤进行分类。状，对土壤进行分类。2023年年8月月17日日5模糊数学绪论模糊数学绪论 课堂主要内容一、基本概念课堂主要内容一、基本概念2024年年7月月27日日62.模糊模式识别模糊模式识别已知某类事物的若干标准模型，已知某类事物的若干标准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪给出一个具体的对象，确定把它归于哪 一类模型。一类模型。模糊数学绪论模糊数学绪论例如：苹果分级问题例如：苹果分级问题苹果，有苹果，有I级，级，II级，级，III级，级，IV级级四个等级。四个等级。现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。2023年年8月月17日日62.模糊模式识别模糊模式识别已知某类事物的若干已知某类事物的若干2024年年7月月27日日73.模糊综合评判模糊综合评判从某一事物的多个方面进行综合评价从某一事物的多个方面进行综合评价模糊数学绪论模糊数学绪论例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价从从清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰四方面四方面给出给出很好，较好，一般，不好很好，较好，一般，不好四层次的评价四层次的评价最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。4.模糊线性规划模糊线性规划将线性规划的约束条件或目标函数模糊将线性规划的约束条件或目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优解称为原问题的模糊最优解解称为原问题的模糊最优解2023年年8月月17日日73.模糊综合评判模糊综合评判从某一事物的多个方从某一事物的多个方2024年年7月月27日日8模糊数学模糊数学一一模糊集合及其运算模糊集合及其运算二二二二模糊聚类分析模糊聚类分析三三模糊模式识别模糊模式识别四四模糊综合评判模糊综合评判五五模糊线性规划模糊线性规划2023年年8月月17日日8模糊数学一模糊集合及其运算二模糊聚类分模糊数学一模糊集合及其运算二模糊聚类分2024年年7月月27日日9一、经典集合与特征函数一、经典集合与特征函数 集合：集合：具有某种特定属性的对象集体。具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母通常用大写字母A、B、C等表示。等表示。论域：论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。通常用大写字母通常用大写字母U、V、X、Y等表示。等表示。论域论域U中的每个对象中的每个对象u称为称为U的的元素元素。模糊集合及其运算模糊集合及其运算2023年年8月月17日日9一、经典集合与特征函数一、经典集合与特征函数 集合：具有某集合：具有某2024年年7月月27日日10.uAA.u模糊集合及其运算模糊集合及其运算2023年年8月月17日日10.uAA.u模糊集合及其运算模糊集合及其运算2024年年7月月27日日11在论域在论域U中任意给定一个元素中任意给定一个元素u及任意给定一个及任意给定一个经典集合经典集合A，则必有，则必有 或者或者 ，用函数表示为：，用函数表示为：其中其中函数函数 称为集合称为集合A的特征函数。的特征函数。模糊集合及其运算模糊集合及其运算非此即彼非此即彼2023年年8月月17日日11在论域在论域U中任意给定一个元素中任意给定一个元素u及任意给及任意给2024年年7月月27日日12模糊集合及其运算模糊集合及其运算亦此亦彼亦此亦彼UA模糊集合模糊集合 ,元素元素 x若若 x 位于位于 A 的内部，的内部，则用则用1来记录，来记录，若若 x 位于位于 A 的外部，的外部，则用则用0来记录，来记录，若若 x 一部分位于一部分位于 A 的内部，一部分位于的内部，一部分位于 A 的外部，的外部，则用则用 x 位于位于 A 内部的长度来表示内部的长度来表示 x 对于对于 A 的隶属程度。的隶属程度。2023年年8月月17日日12模糊集合及其运算亦此亦彼模糊集合及其运算亦此亦彼UA模糊集合模糊集合2024年年7月月27日日13 0,1 0,1 特征函数特征函数隶属函数隶属函数二、模糊子集二、模糊子集定义：定义：设设U是论域，称映射是论域，称映射确定了一个确定了一个U上的上的模糊子集模糊子集 。映射。映射 称为称为 的的隶属函隶属函数数，称为称为 对对 的隶属程度，简称的隶属程度，简称隶属度隶属度。2023年年8月月17日日13 0,1 0,1 特征特征2024年年7月月27日日14模糊子集模糊子集 由隶属函数由隶属函数 唯一确定，故认为二者唯一确定，故认为二者是等同的。为简单见，通常用是等同的。为简单见，通常用A来表示来表示 和和 。模糊集合及其运算模糊集合及其运算越接近于越接近于0,表示表示 x 隶属于隶属于A 的程度越小；的程度越小；越接近于越接近于1,表示表示 x 隶属于隶属于A 的程度越大；的程度越大；0.5,最具有模糊性，过渡点最具有模糊性，过渡点2023年年8月月17日日14模糊子集模糊子集 由隶属函数由隶属函数 2024年年7月月27日日15模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法表示法这里这里 表示表示 对模糊集对模糊集A的隶属度是的隶属度是 。如如“将一将一1,2,3,4组成一个小数的集合组成一个小数的集合”可表示为可表示为可省略可省略模糊集合及其运算模糊集合及其运算2023年年8月月17日日15模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有2024年年7月月27日日16表示方法表示方法1的说明的说明v不是分式求和，只是一个符号不是分式求和，只是一个符号v“分母分母”是论域是论域X的元素的元素v“分子分子”是相应元素的隶属度是相应元素的隶属度v当隶属度为当隶属度为0时，该项可以不写入时，该项可以不写入2023年年8月月17日日16表示方法表示方法1的说明不是分式求和，只是一的说明不是分式求和，只是一2024年年7月月27日日17（3）向量表示法）向量表示法（2）序偶表示法）序偶表示法若论域若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：为无限集，其上的模糊集表示为：模糊集合及其运算模糊集合及其运算2023年年8月月17日日17（3）向量表示法（）向量表示法（2）序偶表示法若论）序偶表示法若论2024年年7月月27日日18例例1.有有100名消费者，对名消费者，对5种商品种商品 评价，评价，结果为：结果为：81人认为人认为x1 质量好，质量好，53人认为人认为x2 质量好，质量好，所有人认为所有人认为x3 质量好，没有人认为质量好，没有人认为x4 质量好，质量好，24人人认为认为x5 质量好质量好则模糊集则模糊集A（质量好）（质量好）2023年年8月月17日日18例例1.有有100名消费者，对名消费者，对5种商品种商品2024年年7月月27日日19 例例2：考虑年龄集：考虑年龄集U=0,100，O=“年老年老”，O也是一个年龄集，也是一个年龄集，u=20 O，40 呢？呢？札德给出了札德给出了 “年老年老”集函数刻画集函数刻画:10U501002023年年8月月17日日19 例例2：考虑年龄集：考虑年龄集U=0,1002024年年7月月27日日20再如，再如，Y=“年轻年轻”也是也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：102550UB（u）2023年年8月月17日日20再如，再如，Y=“年轻年轻”也是也是U的一个子集的一个子集2024年年7月月27日日21则模糊集则模糊集O（年老）（年老）模糊集模糊集Y（年轻）（年轻）2023年年8月月17日日21则模糊集则模糊集O（年老）模糊集（年老）模糊集Y（年轻）（年轻）2024年年7月月27日日222、模糊集的运算、模糊集的运算定义：定义：设设A，B是论域是论域U的两个模糊子集，定义的两个模糊子集，定义相等：相等：包含：包含：并：并：交：交：余：余：表示取大；表示取大；表示取小。表示取小。模糊集合及其运算模糊集合及其运算2023年年8月月17日日222、模糊集的运算定义：设、模糊集的运算定义：设A，B是论域是论域2024年年7月月27日日24模糊集合及其运算模糊集合及其运算并交余计算的性质并交余计算的性质1.幂等律幂等律2.交换律交换律3.结合律结合律4.吸收律吸收律2023年年8月月17日日24模糊集合及其运算并交余计算的性质模糊集合及其运算并交余计算的性质1.2024年年7月月27日日25模糊集合及其运算模糊集合及其运算6.0-1律律7.还原律还原律8.对偶律对偶律5.分配律分配律2023年年8月月17日日25模糊集合及其运算模糊集合及其运算6.0-1律律7.2024年年7月月27日日26几个常用的算子：几个常用的算子：（1）Zadeh算子算子（2）取大、乘积算子）取大、乘积算子（3）环和、乘积算子）环和、乘积算子模糊集合及其运算模糊集合及其运算2023年年8月月17日日26几个常用的算子：（几个常用的算子：（1）Zadeh算子算子2024年年7月月27日日27（4）有界和、取小算子）有界和、取小算子（5）有界和、乘积算子）有界和、乘积算子（6）Einstain算子算子模糊集合及其运算模糊集合及其运算2023年年8月月17日日27（4）有界和、取小算子（）有界和、取小算子（5）有界和、）有界和、2024年年7月月27日日28三、隶属函数的确定三、隶属函数的确定1、模糊统计法、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：模糊统计试验的四个要素：（1）论域）论域U；（2）U中的一个固定元素中的一个固定元素（3）U中的一个随机运动集合中的一个随机运动集合（4）U中的一个以中的一个以 作为弹性边界的模糊子集作为弹性边界的模糊子集A，制约着制约着 的运动。的运动。可以覆盖可以覆盖 也可以不覆盖也可以不覆盖致使致使 对对A的隶属关系是不确定的。的隶属关系是不确定的。模糊集合及其运算模糊集合及其运算2023年年8月月17日日28三、隶属函数的确定三、隶属函数的确定1、模糊统计法模糊、模糊统计法模糊2024年年7月月27日日29特点：在各次试验中，特点：在各次试验中，是固定的，而是固定的，而 在随机变动。在随机变动。模糊统计试验过程：模糊统计试验过程：（1）做）做n次试验，计算出次试验，计算出（2）随着）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为对对A的隶属度：的隶属度：模糊集合及其运算模糊集合及其运算2023年年8月月17日日29特点：在各次试验中，特点：在各次试验中，是固定的，而是固定的，而2024年年7月月27日日30模糊集合及其运算模糊集合及其运算对对129人进行调查人进行调查,让他们给出让他们给出“青年人青年人”的年龄区间，的年龄区间，18-25 17-30 17-28 18-25 16-3514-25 18-30 18-35 18-35 16-2515-30 18-35 17-30 18-25 18-3515-30 18-30 17-25 18-29 18-28问年龄问年龄 27属于模糊集属于模糊集A（青年人）的隶属度。（青年人）的隶属度。2023年年8月月17日日30模糊集合及其运算对模糊集合及其运算对129人进行调查人进行调查,2024年年7月月27日日31对年龄对年龄27作出如下的统计处理：作出如下的统计处理：A(27)=0.78(变动的圈是否盖住不动的点变动的圈是否盖住不动的点)n10203040506070隶属次数6142331394753隶属频率0.600.700.770.780.780.780.76n8090100110120129隶属次数6268768595101 隶属频率0.780.760.760.750.790.78 2023年年8月月17日日31对年龄对年龄27作出如下的统计处理：作出如下的统计处理：A(22024年年7月月27日日322、指派方法、指派方法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。模糊集合及其运算模糊集合及其运算 一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型。中间型。例如：例如：在论域在论域 中，确定中，确定A=“靠近靠近5的的数数”的隶属函数的隶属函数中间型中间型2023年年8月月17日日322、指派方法这是一种主观的方法，但也、指派方法这是一种主观的方法，但也2024年年7月月27日日33模糊集合及其运算模糊集合及其运算可以选取柯西分布中间类型的隶属函数可以选取柯西分布中间类型的隶属函数先确定一个简单的，比如先确定一个简单的，比如此时有此时有不太合理，故改变不太合理，故改变2023年年8月月17日日33模糊集合及其运算可以选取柯西分布中间模糊集合及其运算可以选取柯西分布中间2024年年7月月27日日34模糊集合及其运算模糊集合及其运算取取此时有此时有有所改善。有所改善。2023年年8月月17日日34模糊集合及其运算取此时有有所改善。模糊集合及其运算取此时有有所改善。2024年年7月月27日日353、其它方法、其它方法德尔菲法：专家评分法；德尔菲法：专家评分法；二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：相对比较法、择优比较法和对比平均法等。相对比较法、择优比较法和对比平均法等。模糊集合及其运算模糊集合及其运算2023年年8月月17日日353、其它方法德尔菲法：专家评分法；二、其它方法德尔菲法：专家评分法；二2024年年7月月27日日36模糊集合及其运算模糊集合及其运算四、模糊矩阵四、模糊矩阵定义：定义：设设 称称R为为模糊矩阵模糊矩阵。当当 只取只取0或或1时，称时，称R为为布尔（布尔（Boole）矩阵）矩阵。当模糊方阵当模糊方阵 的对角线上的元素的对角线上的元素 都为都为1时，时，称称R为为模糊单位矩阵模糊单位矩阵。例如：例如：2023年年8月月17日日36模糊集合及其运算四、模糊矩阵定义：设模糊集合及其运算四、模糊矩阵定义：设2024年年7月月27日日37（1）模糊矩阵间的关系及运算）模糊矩阵间的关系及运算定义定义：设：设 都是模糊矩阵，定义都是模糊矩阵，定义相等：相等：包含：包含：模糊集合及其运算模糊集合及其运算并：并：交：交：余：余：2023年年8月月17日日37（1）模糊矩阵间的关系及运算定义：设）模糊矩阵间的关系及运算定义：设2024年年7月月27日日39（2）模糊矩阵的合成）模糊矩阵的合成定义：定义：设设 称模糊矩阵称模糊矩阵为为A与与B的的合成合成，其中，其中 。模糊集合及其运算模糊集合及其运算即：即：定义：定义：设设A为为 阶，则模糊方阵的幂定义为阶，则模糊方阵的幂定义为2023年年8月月17日日39（2）模糊矩阵的合成定义：设）模糊矩阵的合成定义：设 2024年年7月月27日日40例例5：模糊集合及其运算模糊集合及其运算2023年年8月月17日日40例例5：模糊集合及其运算：模糊集合及其运算2024年年7月月27日日41（3）模糊矩阵的转置）模糊矩阵的转置定义：定义：设设 称称 为为A的的转置矩阵，其中转置矩阵，其中 。模糊集合及其运算模糊集合及其运算性质：性质：2023年年8月月17日日41（3）模糊矩阵的转置定义：设）模糊矩阵的转置定义：设 2024年年7月月27日日42（4）模糊矩阵的）模糊矩阵的 截矩阵截矩阵定义：定义：设设 对任意的对任意的 称称为模糊矩阵为模糊矩阵A的的 截矩阵，其中截矩阵，其中显然，截矩阵为显然，截矩阵为Boole矩阵。矩阵。模糊集合及其运算模糊集合及其运算2023年年8月月17日日42（4）模糊矩阵的）模糊矩阵的 截矩阵截矩阵2024年年7月月27日日43例例6：模糊集合及其运算模糊集合及其运算2023年年8月月17日日43例例6：模糊集合及其运算：模糊集合及其运算2024年年7月月27日日44截矩阵的性质：截矩阵的性质：性质性质1.性质性质2.性质性质3.性质性质4.模糊集合及其运算模糊集合及其运算2023年年8月月17日日44截矩阵的性质：性质截矩阵的性质：性质1.性质性质2.性质性质32024年年7月月27日日45（5）特殊的模糊矩阵）特殊的模糊矩阵定义：定义：若模糊方阵满足若模糊方阵满足则称则称A为为自反矩阵自反矩阵。例如例如是模糊自反矩阵。是模糊自反矩阵。定义：定义：若模糊方阵满足若模糊方阵满足则称则称A为为对称矩阵对称矩阵。例如例如是模糊对称矩阵。是模糊对称矩阵。模糊集合及其运算模糊集合及其运算2023年年8月月17日日45（5）特殊的模糊矩阵定义：若模糊方阵）特殊的模糊矩阵定义：若模糊方阵2024年年7月月27日日46模糊集合及其运算模糊集合及其运算定义：定义：若模糊方阵满足若模糊方阵满足则称则称A为模糊为模糊传递矩阵传递矩阵。例如例如是模糊传递矩阵。是模糊传递矩阵。2023年年8月月17日日46模糊集合及其运算定义：若模糊方阵满足模糊集合及其运算定义：若模糊方阵满足2024年年7月月27日日47模糊集合及其运算模糊集合及其运算定义：定义：若模糊方阵若模糊方阵Q，S，A满足满足则称则称 S 为为 A 的的传递闭包，传递闭包，记为记为 t(A)。2023年年8月月17日日47模糊集合及其运算定义：若模糊方阵模糊集合及其运算定义：若模糊方阵Q，2024年年7月月27日日48模糊聚类分析模糊聚类分析一、基本概念及定理一、基本概念及定理2023年年8月月17日日48模糊聚类分析一、基本概念及定理模糊聚类分析一、基本概念及定理2024年年7月月27日日49模糊聚类分析模糊聚类分析定理：定理：R是是n阶模糊等价矩阵阶模糊等价矩阵是等是等价的价的Boole矩阵。矩阵。意义：将模糊等价矩阵转化为等价的意义：将模糊等价矩阵转化为等价的Boole矩阵，矩阵，可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关系是可以分类的。因此，当系是可以分类的。因此，当在在0,1上变动时，上变动时，由由 得到不同的分类。得到不同的分类。2023年年8月月17日日49模糊聚类分析定理：模糊聚类分析定理：R是是n阶模糊等价矩阶模糊等价矩2024年年7月月27日日50模糊聚类分析模糊聚类分析2023年年8月月17日日50模糊聚类分析模糊聚类分析2024年年7月月27日日51例例6：设对于模糊等价矩阵设对于模糊等价矩阵模糊聚类分析模糊聚类分析2023年年8月月17日日51例例6：设对于模糊：设对于模糊2024年年7月月27日日52模糊聚类分析模糊聚类分析画出动态聚类图如下：画出动态聚类图如下：0.80.60.50.412023年年8月月17日日52模糊聚类分析画出动态聚类图如下：模糊聚类分析画出动态聚类图如下：0.2024年年7月月27日日53模糊聚类分析模糊聚类分析2023年年8月月17日日53模糊聚类分析模糊聚类分析2024年年7月月27日日54例例7：设有模糊相似矩阵：设有模糊相似矩阵模糊聚类分析模糊聚类分析2023年年8月月17日日54例例7：设有模糊相似矩阵模糊聚类分析：设有模糊相似矩阵模糊聚类分析2024年年7月月27日日55二、模糊聚类的一般步骤二、模糊聚类的一般步骤、建立数据矩阵、建立数据矩阵模糊聚类分析模糊聚类分析2023年年8月月17日日55二、模糊聚类的一般步骤、建立数据矩二、模糊聚类的一般步骤、建立数据矩2024年年7月月27日日56（1）标准差标准化）标准差标准化模糊聚类分析模糊聚类分析2023年年8月月17日日56（1）标准差标准化模糊聚类分析）标准差标准化模糊聚类分析2024年年7月月27日日57（2）极差正规化）极差正规化（3）极差标准化）极差标准化（4）最大值规格化）最大值规格化其中：其中：模糊聚类分析模糊聚类分析2023年年8月月17日日57（2）极差正规化（）极差正规化（3）极差标准化（）极差标准化（42024年年7月月27日日58、建立模糊相似矩阵（标定）、建立模糊相似矩阵（标定）（1）相似系数法）相似系数法夹角余弦法夹角余弦法相关系数法相关系数法模糊聚类分析模糊聚类分析2023年年8月月17日日58、建立模糊相似矩阵（标定）（、建立模糊相似矩阵（标定）（1）相）相2024年年7月月27日日59（2）距离法）距离法Hamming距离距离Euclid距离距离Chebyshev距离距离模糊聚类分析模糊聚类分析2023年年8月月17日日59（2）距离法）距离法Hamming距离距离E2024年年7月月27日日60（3）贴近度法）贴近度法最大最小法最大最小法算术平均最小法算术平均最小法几何平均最小法几何平均最小法模糊聚类分析模糊聚类分析2023年年8月月17日日60（3）贴近度法）贴近度法最大最小法最大最小法算术平均算术平均2024年年7月月27日日613 3、聚类并画出动态聚类图、聚类并画出动态聚类图（1）模糊传递闭包法）模糊传递闭包法步骤：步骤：模糊聚类分析模糊聚类分析（2）boole矩阵法（略）矩阵法（略）2023年年8月月17日日613、聚类并画出动态聚类图（、聚类并画出动态聚类图（1）模糊传）模糊传2024年年7月月27日日62（3）直接聚类法）直接聚类法模糊聚类分析模糊聚类分析取取作相似类作相似类当不同相似类出现公共元素时，将公共元素所在类合并。当不同相似类出现公共元素时，将公共元素所在类合并。取取找出找出的元素对的元素对将对应于将对应于 的等价分类中的等价分类中 所在类与所在类与 所在类合并，所在类合并，所有情况合并后得到相应于所有情况合并后得到相应于 的等价分类。的等价分类。依次类推，直到合并到依次类推，直到合并到U U成为一类为止。成为一类为止。（4）最大树法）最大树法（5）编网法）编网法2023年年8月月17日日62（3）直接聚类法模糊聚类分析）直接聚类法模糊聚类分析取作相取作相2024年年7月月27日日63模糊聚类分析模糊聚类分析2023年年8月月17日日63模糊聚类分析模糊聚类分析2024年年7月月27日日64解：解：由题设知特性指标矩阵为由题设知特性指标矩阵为采用最大值规格化法将数据规格化为采用最大值规格化法将数据规格化为模糊聚类分析模糊聚类分析2023年年8月月17日日64解：由题设知特性指标矩阵为采用最大值解：由题设知特性指标矩阵为采用最大值2024年年7月月27日日65用最大最小法构造用最大最小法构造模糊相似矩阵得到模糊相似矩阵得到模糊聚类分析模糊聚类分析2023年年8月月17日日65用最大最小法构造模糊聚类分析用最大最小法构造模糊聚类分析2024年年7月月27日日66用平方法合用平方法合成传递闭包成传递闭包2023年年8月月17日日66用平方法合用平方法合2024年年7月月27日日67取取 ，得，得模糊聚类分析模糊聚类分析2023年年8月月17日日67取取 ，得模糊聚类分析，得模糊聚类分析2024年年7月月27日日68取取 ，得，得取取 ，得，得模糊聚类分析模糊聚类分析2023年年8月月17日日68取取 ，得取，得取 2024年年7月月27日日69取取 ，得，得取取 ，得，得模糊聚类分析模糊聚类分析2023年年8月月17日日69取取 ，得取，得取 2024年年7月月27日日70画出动态聚类图如下：画出动态聚类图如下：0.70.630.620.531模糊聚类分析模糊聚类分析2023年年8月月17日日70画出动态聚类图如下：画出动态聚类图如下：0.70.6302024年年7月月27日日71若利用直接聚类法若利用直接聚类法模糊相似矩阵模糊相似矩阵取取1,此时此时 为单位矩阵，故分类自然为为单位矩阵，故分类自然为 x1，x2，x3，x4，x5。取取0.70,此时此时2023年年8月月17日日71若利用直接聚类法模糊相似矩阵取若利用直接聚类法模糊相似矩阵取12024年年7月月27日日72故分类应为故分类应为x1，x3，x2,x4，x5。x2,x4为相似类为相似类取取0.63,此时此时x2,x4，x1,x4为相似类，为相似类，有公共元素有公共元素x4的相似类为的相似类为 x1,x2,x4故分类应为故分类应为x1,x2,x4，x3，x5。2023年年8月月17日日72故分类应为故分类应为x1，x3，2024年年7月月27日日73取取0.62,此时此时x2,x4,x1,x4,x1,x3为相似类，为相似类，有公共元素有公共元素x4的相似类为的相似类为 x1,x2,x3,x4故分类应为故分类应为x1,x2,x3,x4，x5。2023年年8月月17日日73取取0.62,此时此时x2,x42024年年7月月27日日74取取0.53,此时此时故分类应为故分类应为x1,x2,x3,x4,x5。2023年年8月月17日日74取取0.53,此时故分类应为此时故分类应为x2024年年7月月27日日75模糊聚类分析的简要流程模糊聚类分析的简要流程:YN2023年年8月月17日日75模糊聚类分析的简要流程模糊聚类分析的简要流程:YN2024年年7月月27日日764 4、最佳阈值的确定、最佳阈值的确定模糊聚类分析模糊聚类分析（1）按实际需要，调整按实际需要，调整 的值，或者是专家给值。的值，或者是专家给值。（2）用用 F -统计量统计量确定最佳确定最佳值值。针对原始矩阵针对原始矩阵 X，得到，得到其中，其中，设对应于设对应于 的分类数为的分类数为 r,第第 j 类的样本数为类的样本数为 nj,第第 j 类的样本记为：类的样本记为：2023年年8月月17日日764、最佳阈值的确定模糊聚类分析（、最佳阈值的确定模糊聚类分析（1）2024年年7月月27日日77则第则第j类的聚类中心为向量：类的聚类中心为向量：其中，其中，为第为第k个特征的平均值个特征的平均值作作F -统计量统计量模糊聚类分析模糊聚类分析2023年年8月月17日日77则第则第j类的聚类中心为向量：其中，类的聚类中心为向量：其中，2024年年7月月27日日78模糊聚类分析模糊聚类分析若是若是则由数理统计理论知道类与类之间的差异显著则由数理统计理论知道类与类之间的差异显著若满足不等式的若满足不等式的 F 值不止一个，则可进一步考察值不止一个，则可进一步考察差值差值 的大小，从较大者中选择一个即可。的大小，从较大者中选择一个即可。其中其中2023年年8月月17日日78模糊聚类分析若是则由数理统计理论知道模糊聚类分析若是则由数理统计理论知道2024年年7月月27日日79模糊模式识别模糊模式识别模式识别的本质特征：一是事先已知若干标准模式，模式识别的本质特征：一是事先已知若干标准模式，称为标准模式库；二是有待识别的对象。称为标准模式库；二是有待识别的对象。所谓模糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模所谓模糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模糊的，或说标准模式库中提供的模式是模糊的。糊的，或说标准模式库中提供的模式是模糊的。2023年年8月月17日日79模糊模式识别模式识别的本质特征：一是模糊模式识别模式识别的本质特征：一是2024年年7月月27日日80 模式识别是科学、工程、经济、社会以至模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中经常遇到并要处理的基本问题。这一问题生活中经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式就是在已知各种标准类型的数学模式就是在已知各种标准类型(数学形式化数学形式化了的类型了的类型)的前提下，判断识别对象属于哪个类型的前提下，判断识别对象属于哪个类型？对象也要数学形式化，有时数学形式化不能做？对象也要数学形式化，有时数学形式化不能做到完整，或者形式化带有模糊性质，此时识别就到完整，或者形式化带有模糊性质，此时识别就要运用模糊数学方法。要运用模糊数学方法。模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日80 模式识别是科学、工程模式识别是科学、工程2024年年7月月27日日81 在在科科学学分分析析与与决决策策中中，我我们们往往往往需需要要将将搜搜集集到到的的历历史史资资料料归归纳纳整整理理，分分成成若若干干类类型型，以以便便使使用用管管理理。当当我我们们取取到到一一个个新新的的样样本本时时，把把它它归归于于哪哪一一类类呢呢？或或者者它它是是不不是是一一个个新新的的类类型型呢呢？这这就就是是所所谓谓的的模模式式识识别别问问题题。在在经经济济分分析析，预预测测与与决决策策中中，在知识工程与人工智能领域中，也常常遇到这类问题。在知识工程与人工智能领域中，也常常遇到这类问题。本本节节介介绍绍两两类类模模式式识识别别的的模模糊糊方方法法。一一类类是是元元素素对对标标准准模模糊糊集集的的识识别别问问题题 点点对对集集；另另一一类类是是模模糊糊集集对对标标准准模模糊糊集集的识别问题的识别问题 集对集集对集。模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日81 在科学分析与决策中，我们往往在科学分析与决策中，我们往往2024年年7月月27日日82例例1.苹果的分级问题苹果的分级问题 设论域设论域 X=若干苹果若干苹果。苹果被摘下来后要分级。一。苹果被摘下来后要分级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来分级。于是可以般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来分级。于是可以将苹果分级的标准模型库规定为将苹果分级的标准模型库规定为=级，级，级，级，级，级，级级，显然，模型，显然，模型级，级，级，级，级，级，级是模糊的。当果农拿级是模糊的。当果农拿到一个苹果到一个苹果 x0 后，到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是后，到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是一个元素（点）对标准模糊集的识别问题。一个元素（点）对标准模糊集的识别问题。模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日82例例1.苹果的分级问题模糊模式识别苹果的分级问题模糊模式识别2024年年7月月27日日83例例2.医医生生给给病病人人的的诊诊断断过过程程实实际际上上是是模模糊糊模模型型识识别别过过程程。设设论论域域 X=各各种种疾疾病病的的症症候候(称称为为症症候候群群空空间间)。各各种种疾疾病病都都有有典典型型的的症症状状，由由长长期期临临床床积积累累的的经经验验可可得得标标准准模模型型库库=心心脏脏病病，胃胃溃溃疡疡，感感冒冒，显显然然，这这些些模模型型(疾疾病病)都都是是模模糊糊的的。病病人人向向医医生生诉诉说说症症状状(也也是是模模糊糊的的)，由由医医生生将将病病人人的的症症状状与与标标准准模模型型库库的的模模型型作作比比较较后后下下诊诊断断。这这是是一一个个模模糊糊识识别别过过程程，也也 是是 一一 个个 模模 糊糊 集集 对对 标标 准准 模模 糊糊 集集 的的 识识 别别 问问 题题。模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日83例例2.医生给病人的诊断过程实际上医生给病人的诊断过程实际上2024年年7月月27日日84点对集点对集1.问题的数学模型问题的数学模型 (1)第一类模型：第一类模型：设在论域设在论域 X 上有若干模糊集：上有若干模糊集：A1，A2，An F(X)，将这些模糊集视为将这些模糊集视为 n 个标准模式，个标准模式，x0 X 是待识别是待识别的对象，问的对象，问 x0 应属于哪个标准模式应属于哪个标准模式 Ai(i=1，2，n)?(2)第二类模型：第二类模型：设设 A F(X)为标准模式，为标准模式，x1,x2,xn X 为为 n 个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个 xi (i=1，2，n)?模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日84点对集点对集1.问题的数学模型问题的数学模型 2024年年7月月27日日85一一最最大大隶隶属属原原则则最大隶属原则最大隶属原则：最大隶属原则最大隶属原则：模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日85一最大隶属原则最大隶属原则一最大隶属原则最大隶属原则：最大隶：最大隶2024年年7月月27日日86按最大隶属原则，按最大隶属原则，该人属于老年。该人属于老年。解：解：模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日86按最大隶属原则，解：模糊模式识别按最大隶属原则，解：模糊模式识别2024年年7月月27日日87例例 选择优秀考生。设考试的科目有六门选择优秀考生。设考试的科目有六门x1：政治：政治 x2：语文：语文 x3：数学：数学x4：理、化：理、化 x5：史、地：史、地 x6：外语：外语考生为考生为 y1，y2，yn，组成问题的论域，组成问题的论域 Y=y1,y2,yn。设。设 A=“优秀优秀”，是，是 Y 上的模糊集，上的模糊集，A(yi)是第是第 i 个学生隶属于优秀的程度。给定个学生隶属于优秀的程度。给定 A(yi)的计算方法如下：的计算方法如下：模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日87例例 选择优秀考生。设考试的科目有六门选择优秀考生。设考试的科目有六门2024年年7月月27日日88式中式中 i=1,2,n 是考生的编号，是考生的编号，j=1,2,6 是考是考试科目的编号，试科目的编号，j 是第是第 j 个考试科目的权重系数。个考试科目的权重系数。按照最大隶属度原则按照最大隶属度原则，就可根据计算出的各考生隶，就可根据计算出的各考生隶属于属于“优秀优秀”的程度（隶属度）来排序。的程度（隶属度）来排序。例如若令例如若令 1=2=3=1，4=5=0.8，6=0.7,有有 四个考生四个考生 y1,y2,y3,y4，其考试成绩分别如表，其考试成绩分别如表 3.4模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日88式中式中 i=1,2,n 2024年年7月月27日日89表 3.4 考生成绩表yix1x2x3x4x5x6y1y2y3y4718563926382688982639561908494638591628770827081模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日89yix1x2x3x4x5x6y1712024年年7月月27日日90则可以计算出则可以计算出于是这四个考生在于是这四个考生在“优秀优秀”模糊集中的排序为：模糊集中的排序为：y2,y4,y1,y3.模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日90则可以计算出模糊模式识别则可以计算出模糊模式识别2024年年7月月27日日91阈值原则：阈值原则：模糊模式识别模糊模式识别有时我们要识别的问题，并非是已知若干模糊集求有时我们要识别的问题，并非是已知若干模糊集求论域中的元素最大隶属于哪个模糊集（第一类模型）论域中的元素最大隶属于哪个模糊集（第一类模型），也不是已知一个模糊集，对论域中的若干元素选，也不是已知一个模糊集，对论域中的若干元素选择最佳隶属元素（第二类模型），而是已知一个模择最佳隶属元素（第二类模型），而是已知一个模糊集，问论域中的元素，能否在某个阈值的限制下糊集，问论域中的元素，能否在某个阈值的限制下隶属于该模糊集对应的概念或事物，这就是阈值原隶属于该模糊集对应的概念或事物，这就是阈值原则，该原则的数学描述如下：则，该原则的数学描述如下：2023年年8月月17日日91阈值原则：模糊模式识别有时我们要识别阈值原则：模糊模式识别有时我们要识别2024年年7月月27日日92模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日92模糊模式识别模糊模式识别2024年年7月月27日日93例如例如 已知已知“青年人青年人”模糊集模糊集 Y，其隶属度规定为，其隶属度规定为对于对于 x1=27 岁及岁及 x2=30 岁的人来说，若取阈值岁的人来说，若取阈值模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日93例如例如 已知已知“青年人青年人”模糊集模糊集 2024年年7月月27日日94 1=0.7，模糊模式识别模糊模式识别故认为故认为 27 岁和岁和 30 岁的人都属于岁的人都属于“青年人青年人”范畴。范畴。则因 Y(27)=0.862 1，而 Y(30)=0.5 2,而 Y(30)=0.5=2，2023年年8月月17日日94 1=0.7，模糊模式识别故认为，模糊模式识别故认为2024年年7月月27日日95模糊模式识别模糊模式识别集对集集对集例如：例如：论域为论域为“茶叶茶叶”，标准有，标准有5种种 待识别茶叶为待识别茶叶为B，反映茶叶质量的，反映茶叶质量的6个指标为：条索，个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶属于哪种茶A1A2A3A4A5B条索条索0.50.30.2000.4色泽色泽0.40.20.20.10.10.2净度净度0.30.20.20.20.10.1汤色汤色0.60.10.10.10.10.4香气香气0.50.20.10.10.10.5滋味滋味0.40.20.20.10.10.32023年年8月月17日日95模糊模式识别集对集模糊模式识别集对集例如：论域为例如：论域为“2024年年7月月27日日96在实际问题中，我们常常要比较两个模糊集的模糊距离在实际问题中，我们常常要比较两个模糊集的模糊距离或模糊贴近度，前者反映两个模糊集的差异程度，后者或模糊贴近度，前者反映两个模糊集的差异程度，后者则表示两个模糊集相互接近的程度，这是一个事情的两则表示两个模糊集相互接近的程度，这是一个事情的两个方面。如果个方面。如果待识别的对象待识别的对象不是论域不是论域 X 中的元素中的元素 x，而，而是模糊集是模糊集 A，已知的模糊集是已知的模糊集是 A1,A2,An，那么问，那么问 A 属于哪个属于哪个 Ai(i=1,2,n)？就是另一类模糊模式识别问？就是另一类模糊模式识别问题题 集对集集对集。解决这个问题，就必须先了解模糊集之。解决这个问题，就必须先了解模糊集之间的间的距离或贴近度。距离或贴近度。2023年年8月月17日日96在实际问题中，我们常常要比较两个模糊在实际问题中，我们常常要比较两个模糊2024年年7月月27日日971.距离距离判别分析判别分析定义定义 设设 A、B F (X)。称如下定义的。称如下定义的dP(A,B)为为 A 与与 B 的的 Minkowski(闵可夫斯基闵可夫斯基)距离距离(P1)：)当当 X=x1,x2,xn 时，时，)当当 X=a,b 时，时，模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日971.距离判别分析模糊模式识别距离判别分析模糊模式识别2024年年7月月27日日98特别地，特别地，p=1 时，称时，称 d 1(A,B)为为 A 与与 B 的的 Hamming(海明海明)距离距离。p=2 时，称时，称 d2(A,B)为为 A 与与 B 的的 Euclid(欧几里德欧几里德)距离距离。有时为了方便起见，须限制模糊集的距离在有时为了方便起见，须限制模糊集的距离在 0,1中，因中，因此定义模糊集的相对距离此定义模糊集的相对距离 dp(A,B)，相应有，相应有 (1)相对相对 Minkowski 距离距离模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日98特别地，模糊模式识别特别地，模糊模式识别2024年年7月月27日日99 (2)相对相对 Hamming 距离距离模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日99 模糊模式识别模糊模式识别2024年年7月月27日日100 (3)相对相对 Euclid 距离距离模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日100 (3)相对相对 Euclid 距距2024年年7月月27日日101 有时对于论域中的元素的隶属度的差别还要考虑到权重有时对于论域中的元素的隶属度的差别还要考虑到权重 W(x)0，此时就有加权的模糊集距离。，此时就有加权的模糊集距离。一般权重函数满足下一般权重函数满足下述条件：述条件：当当 X=x1，x2，xn 时，有时，有 当当 X=a,b 时，有时，有加权加权 Minkowski 距离距离定义为定义为模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日101 有时对于论域中的元有时对于论域中的元2024年年7月月27日日102加权加权 Hamming 距离距离定义为定义为加权加权 Euclid 距离距离定义为定义为模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日102加权加权 Hamming 距离定义为模距离定义为模2024年年7月月27日日103例例 欲将在欲将在 A 地生长良好的某农作物移植到地生长良好的某农作物移植到 B地或地或 C 地，问地，问 B、C 两地哪里最适宜？两地哪里最适宜？气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件，因而气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件，因而 A、B、C 三地的情况可以表示为论域三地的情况可以表示为论域 X=x1(气温气温)，x2(湿度湿度)，x3(土壤土壤)上的模糊集，经测定，得三个模糊集为上的模糊集，经测定，得三个模糊集为模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日103例例 欲将在欲将在 A 地生长良好的某农作地生长良好的某农作2024年年7月月27日日104由于由于 dw1(A,B)dw1(A,C)，说明，说明 A，B 环境比环境比较相似，该农作物宜于移植较相似，该农作物宜于移植 B 地。地。模糊模式识别模糊模式识别 设权重系数为设权重系数为 W=(0.5,0.23,0.27)。计算。计算 A 与与 B 及及 A 与与 C 的加权的加权 Hamming 距离，得距离，得2023年年8月月17日日104由于由于 dw1(A,B)2024年年7月月27日日1052、贴近度、贴近度模糊模式识别模糊模式识别按上述定义可知，模糊集的内积与外积是两个实数。按上述定义可知，模糊集的内积与外积是两个实数。A B=定义定义 设设 A，B F(U)，称，称为为 A 与与 B 的的内积内积，称，称为为 A 与与 B 的的外积外积。2023年年8月月17日日1052、贴近度模糊模式识别按上述定义可、贴近度模糊模式识别按上述定义可2024年年7月月27日日106比比较较，可可以以看看出出 A B 与与 ab 十十分分相相似似，只只要要把把经经典典数数学学中中的的内内积积运运算算的的加加 “+”与与乘乘 “”换换成成取取大大“”与取小与取小 “”运算，就得到运算，就得到 A B。模糊模式识别模糊模式识别 若若 X=x1,x2,xn，记，记 A(xi)=ai，B(xi)=bi，则，则与经典数学中的向量与经典数学中的向量 a=a1,a2,an 与向量与向量 b=b1,b2,bn 的内积的内积2023年年8月月17日日106比较，可以看出比较，可以看出 A B 与与 a2024年年7月月27日日107例例 设设 X=x1,x2,x3,x4,x5,x6,则则 A B模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日107例例 设设 X=x1,x2,x2024年年7月月27日日108例例 设设 A，B F(R)，A、B 均为正态型模糊集，其隶属函数如均为正态型模糊集，其隶属函数如图图 3.33ABCDE0ax*bx图图 3.33 正态型模糊集正态型模糊集 A、B 模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日108例例 设设 A，B F(R)，A、B2024年年7月月27日日109由定义知由定义知A B 应为应为 max(AB)，隶属度曲线，隶属度曲线CDE 部分的峰值，部分的峰值，即曲线即曲线 A(x)与与 B(x)的交点的交点 x*处的纵坐标。为求处的纵坐标。为求 x*，令，令解得解得于是于是类似地，由于类似地，由于故故 A B=0。模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日109由定义知由定义知A B 应为应为 max(A2024年年7月月27日日110模糊模式识别模糊模式识别表示两个模糊集表示两个模糊集A，B之间的之间的贴近贴近程程度度。或或 L(A，B)=(A B)(A B)C2023年年8月月17日日110模糊模式识别表示两个模糊集模糊模式识别表示两个模糊集A，B之之2024年年7月月27日日111C=C=故故B比比A更贴近于更贴近于.模糊模式识别模糊模式识别2023年年8月月17日日111C=C=故故B比比A更贴近于更贴近于2024年年7月月27日日112模糊模式识别模糊模式识别2023年年8