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规模经济和垄断竞争下的DS模型第三组：张晓 袁璐 余佳莹 黄蓉 田银欢 王立斌 一、模型的微观基础一、模型的微观基础1.已知效用函数,预算约束,证明：在约束效用最大点，价格比率/一定等于边际效用比率。证(1.1)(1.2)(1.1)中的,及（1.2）中的由（1.1）由（1.2），于是，2.给定一个柯布-道格拉斯生产函数.预算约束证明成本最小时的输入比率为证：利用拉格朗日函数法，由(2.1)及(2.2)整理，（2.2）（2.1）由于及,所以，(2.3)3.对于一个线性的柯布-道格拉斯生产函数,证明：(资本产出弹性)，(劳动产出弹性)。证由产出弹性定义，及因为求边际函数，求平均函数,然后，用平均函数分别去除边际函数，得到弹性，4.方程2.3（及）给出了广义柯布-道格拉斯生产函数最小成本输出比率。证明：任何广义柯布-道格拉斯生产函数有单一替代弹性，即=1。证替代弹性被定义为：由于价格比微小的变化率所引起的最低成本比的变化率。(4.1)因为（2.3）中的和为常数，而PK和PL为自变量，K/L可以视为PK/PL的函数注意到（4.1）的第二个比率中，=边际函数、平均函数，首先（2.3）的边际函数为然后，两边同时除以，求（2.3）的平均函数，代入（4.1），5.利用（2.3）给出的柯布-道格拉斯生产函数的最低成本比率（）检验答案，其中证因为，由（2.3）资本和劳动必须以16K：15L的比率使用。二、CES 生产函数CES生产函数 不变替代弹性生产函数(ConstantElasticityofSubstitution，缩写为CES)，是指在生产要素投入之间具有不变的替代弹性这样一类生产函数。其一般形式为 式中，Q代表产出,K为资本投入,L为劳动投入。A、为参数，它们满足A0、01、-1的条件。CES生产函数有两个重要特性：（1）它是一次齐次的；（2）它有不变的替代弹性。1.已知CES函数 回忆问题1的结论：如果函数达到最优，则价格比等于边际产品之比。（a）证明CES生产函数的替代弹性为常数，（b）确定的取值范围。证明：（a）根据提示，函数达到最优投入的条件是价格比等于边际产量之比 利用广义幂函数法则求式的一阶导数，为了计算方便，令则 根据式，函数达到函数达到最优投入的条件是最优投入的条件是价格比等于边际产量之比价格比等于边际产量之比 由于和为常数，正如问题4一样，将K/L视为PL/PK的函数。我们知道函数的边际函数与平均函数之比为替代弹性，则边际函数为平均函数为由式，（b）由（a）得，而的取值范围是-1，若-11;若=0，则=1；若0,则1 (1)将预算约束代入（1）式 结论：产品种类越丰富，也就是说消费者偏好尽可能多的产品，效用也越大。(2)2.2.消费者效用最大化消费者效用最大化根据上式，构建拉格朗日函数：分别对产品变量i和j求偏导：对于产品i对于产品j两式相除可得：(3)对两边分别取对数：结论：不仅是产品之间的替代弹性也是需求的价格弹性。(4)(5)对（3）式两边同乘Pi为了求出j产品的需求函数，对产品i在0到n的区间上进行积分：(6)结论：pj自身价格越高，这Yj的消费越少，P为综合价格，综合价格越高，对Yj的需求越大。将（7）式代入（6）式，定义综合价格指数：(7)(8)对（6）式改写为：两边同时对j产品在0到n上进行积分：3.间接效用(9)结论：间接效用随着综合价格的上升而下降。因为对称性假设pi=p,我们可以将（7）式改写为：结论：综合价格指数随着产品种类的增加而上升，进而引起间接效用的增大。生产者市场均衡假定有n个厂商生产不同的产品，每个厂商对其所生产的产品具有垄断性。对于厂商j有如下成本函数：其中(10)该成本函数具有以下特征：a.劳动投入是影响产量的唯一因素，劳动报酬等于工资率w。b.厂商具有不变的固定成本F和边际成本c。c.成本函数是次加性的，即存在规模经济。也就是说对于每一种产品只有唯一一个生产商。1.利润最大化问题（PMP）考虑到消费者的需求，每一垄断厂商将设定一个 价格。对于垄断厂商j其利润函数为：(11)因此，厂商j的利润最大化问题可表示为：Maxs.t.对上式求 的导数（FOC）：（12）结论：a.每个垄断厂商面临着同样的均衡价格 b.当价格高于边际成本时，厂商即可获利。利润随着替代弹性的增大而减少，当替代弹性趋于无穷大时，厂商的均衡价格就等于边际成本，也即为垄断竞争的最优均衡。而这正与我们之前所熟知的垄断厂商的定价规则一致：是替代弹性的绝对值。2.均衡产出 首先，我们用公式（12）来重新改写公式（11）的利润函数：假设厂商自由进入（边际厂商的净收益为零），每个垄断厂商都是零利润经营，即 整理上式我们可得均衡产出式：等式（13）表明对于所有的垄断厂商均衡产出是一样的。由于效用函数和成本函数都是对称的，在市场均衡时，每个厂商具有相同的均衡产量、面对同样的均衡价格。（13）3.均衡产品种类 为了得到均衡的产品种类，我们假设劳动力市场是确定的：对（14）两边同乘w后作变形可得：这个表达式可以直观的看出，因为劳动投入是影响产出的唯一因素，所以总收益等于总成本。（14）将（13）带入（14）我们可以得到：（15）结论：当yi增大，需求弹性减少时，企业数目增大。4.规模效应这个模型所展示的规模效应，可表示为：将（13）和（15）带入（16）得：（16）这里人均产量：结论：随着劳动力的增加，生产者福利将增大。（17）
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