自动控制理论第七章课件

7/19/20241HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析本章重点本章重点1.非线性系统概念和特点 ；2.相平面法；3.描述函数法；4.改善非线性系统性能的措施。7/19/20242HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析本章难点本章难点1.奇点的类型和相平面分析法的原理；2.描述函数法及物理意义；3.极限环的分析。7/19/20243HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析7.17.1非线性系统的概述非线性系统的概述7.27.2二阶线性和非线性系统的相平面分析二阶线性和非线性系统的相平面分析7.37.3非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析7.47.4非线性系统的描述函数分析法非线性系统的描述函数分析法 7.5 典型非线性系统的稳定性典型非线性系统的稳定性7/19/20244HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析严格地说线性系统在实地实际中不存在，而非线严格地说线性系统在实地实际中不存在，而非线性系统是普遍存在的。性系统是普遍存在的。构成系统的环节中有一个或一个以上的非线性特构成系统的环节中有一个或一个以上的非线性特性时，即称此系统是性时，即称此系统是非线性系统。非线性系统。非线性系统千差万别。非线性系统千差万别。线性系统中引入非线性控制可以改善系统的性能。线性系统中引入非线性控制可以改善系统的性能。线性控制系统线性控制系统：由线性元件组成，输入输出间具有叠加性和均匀性性质。由线性元件组成，输入输出间具有叠加性和均匀性性质。非线性控制系统非线性控制系统：系系统统中中含含有有非非线线性性元元件件组组成成，输输入入输输出出间间具具有有叠叠加加性性和和均匀性性质。均匀性性质。7/19/20245HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析非线性系统和线性系统之间的本质差别：非线性系统叠加原理不能应用。非线性系统叠加原理不能应用。3 3非线性系统不能求出完整的解，只能对非线性系统非线性系统不能求出完整的解，只能对非线性系统的运动情况进行估计，例如系统的稳定性和动态品质的运动情况进行估计，例如系统的稳定性和动态品质等等。等等。非线性科学非线性科学耗散结构论、突变论、协同论、混沌、分形。耗散结构论、突变论、协同论、混沌、分形。更具有前沿性、交叉性和普适性。更具有前沿性、交叉性和普适性。2 2线性系统可以用常微分方程来描述，而非线性的线性系统可以用常微分方程来描述，而非线性的微分方程只在某些特殊的情况下才有解析解。微分方程只在某些特殊的情况下才有解析解。4 4非线性系统呈现出更为复杂和多样的动力学特性。非线性系统呈现出更为复杂和多样的动力学特性。7/19/20246HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析7.17.1非线性系统的概述非线性系统的概述一、非线性系统的数学描述一、非线性系统的数学描述 描述大多数非线性系统的数学模型是描述大多数非线性系统的数学模型是n n阶非阶非线性非线性常微分方程，形式为：线性非线性常微分方程，形式为：h(h()表示非线性函数。表示非线性函数。u(tu(t)是输入，是输入，y(ty(t)是输出。是输出。7/19/20247HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析二、控制系统中非线性特性的分类非本质非线性：光滑连续可以局部线性化。非本质非线性：光滑连续可以局部线性化。本质非线性：本质非线性：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。信号变化而保持恒定。放大器的饱和输出特性放大器的饱和输出特性磁饱和磁饱和元件的行程限制元件的行程限制功率限制等等。功率限制等等。1.饱和特性饱和特性7/19/20248HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析 输入输入 输出输出2.死区特性死区特性（不灵敏区特性不灵敏区特性）很小时很小时作为线性特性处理作为线性特性处理较大时较大时将使系统静态误差增加，将使系统静态误差增加，系统低速不平滑性系统低速不平滑性各类液压阀的正重叠量；各类液压阀的正重叠量；系统的库伦摩擦；系统的库伦摩擦；测量变送装置的不灵敏区；测量变送装置的不灵敏区；调节器和执行机构的死区；调节器和执行机构的死区；弹簧预紧力；弹簧预紧力；等等。等等。数学描述为：数学描述为：a a为死区宽度为死区宽度7/19/20249HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析 输出输出 输入输入 输出输出 输入输入3.滞环特性滞环特性铁磁部件的元件：铁磁部件的元件：电液伺服阀中的力矩马达电液伺服阀中的力矩马达非单值非线性非单值非线性7/19/202410HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析4.间隙特性（回环）间隙特性（回环）齿轮传动中的齿隙齿轮传动中的齿隙液压传动中的油隙液压传动中的油隙数学描述为：数学描述为：间隙间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏自自持振荡。同时使稳态误差增大。持振荡。同时使稳态误差增大。7/19/202411HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析5.继电器特性继电器特性a a为继电器的吸合电压。为继电器的吸合电压。mama为继电器的释放电压。为继电器的释放电压。M M为常值输出。为常值输出。几种特殊的继电器特性几种特殊的继电器特性7/19/202412HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析 输入输入 输出输出在不同输入幅值下，元件或环节具有不同的增益。在不同输入幅值下，元件或环节具有不同的增益。6.非线性增益非线性增益大偏差时，具有较大增益大偏差时，具有较大增益加快系统响应。加快系统响应。小偏差时，具有较小增益小偏差时，具有较小增益提高零位附近的系统稳定性。提高零位附近的系统稳定性。7/19/202413HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析三、非线性系统的特点与分析方法（一）非线性系统的特点（一）非线性系统的特点1.1.系统的稳定性系统的稳定性动态特性和稳定性不仅和系统的结构和参数有关，还和初动态特性和稳定性不仅和系统的结构和参数有关，还和初始条件有关。同一结构和参数的系统可能因为初始条件的始条件有关。同一结构和参数的系统可能因为初始条件的不同运动的最终状态可能完全不同。不同运动的最终状态可能完全不同。2.2.系统的自持振荡系统的自持振荡线性系统只能当其参数不位于稳定边界时，只能收敛于线性系统只能当其参数不位于稳定边界时，只能收敛于平衡状态或者发散，只有处于临界稳定时，才能产生振荡。平衡状态或者发散，只有处于临界稳定时，才能产生振荡。非线性系统中即使没有外界的激励也可能发生某一固定幅值非线性系统中即使没有外界的激励也可能发生某一固定幅值和频率的振荡，称为自持振荡。和频率的振荡，称为自持振荡。7/19/202414HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析3.3.频率响应的畸变频率响应的畸变在非线性系统中，输入是正弦函数时，输出则是包含了高在非线性系统中，输入是正弦函数时，输出则是包含了高次谐波分量的非正弦周期函数，次谐波分量的非正弦周期函数，因此不能应用频率特性、传因此不能应用频率特性、传递函数这些线性系统常用的方法来分析和综合非线性系统，也递函数这些线性系统常用的方法来分析和综合非线性系统，也不能应用象单位阶跃等典型输入信号作为评价非线性系统性能不能应用象单位阶跃等典型输入信号作为评价非线性系统性能的试验信号。因此目前尚无一般通用的方法来分析和设计非线的试验信号。因此目前尚无一般通用的方法来分析和设计非线性控制系统。性控制系统。4.4.系统的共振现象系统的共振现象线性系统中，如外施信号的频率与系统本身固有的无阻尼自线性系统中，如外施信号的频率与系统本身固有的无阻尼自振频率相同时，系统将产生共振。而非线性系统不会发生线性振频率相同时，系统将产生共振。而非线性系统不会发生线性系统那样的共振现象。系统那样的共振现象。7/19/202415HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析（二）非线性系统的分析和设计方法（二）非线性系统的分析和设计方法非线性方程没有统一的求解方法，不能应用叠加非线性方程没有统一的求解方法，不能应用叠加原理。对于非线性不严重的系统可用小偏差线性化的原理。对于非线性不严重的系统可用小偏差线性化的方法，对于本质非线性可采用分段线性化的方法。方法，对于本质非线性可采用分段线性化的方法。对于非线性控制系统，在许多实际问题中，并不对于非线性控制系统，在许多实际问题中，并不需要求得其响应的精确解。而是讨论问题需要求得其响应的精确解。而是讨论问题系统是否系统是否稳定；稳定；系统是否产生自持振荡，如产生，其幅值和系统是否产生自持振荡，如产生，其幅值和频率是多少；频率是多少；如何消除自持振荡。如何消除自持振荡。分析方法：频域上有描述函数法和波波夫法；时域分析方法：频域上有描述函数法和波波夫法；时域上有相平面法和李亚普诺夫第二法。计算机仿真的上有相平面法和李亚普诺夫第二法。计算机仿真的方法也可以分析复杂的非线性系统。方法也可以分析复杂的非线性系统。7/19/202416HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析7.27.2二阶线性和非线性系统的相平面分析二阶线性和非线性系统的相平面分析一、相平面、相轨迹和平衡点二阶系统的二阶微分方程可以用两个一阶的微分二阶系统的二阶微分方程可以用两个一阶的微分方程来表示：方程来表示：状态平面是一个二维的平面，状态平面是一个二维的平面，x1(t),x2(t)表示一个解，表示一个解，t t固定时，其解对应相平面上的一个点。当固定时，其解对应相平面上的一个点。当t t变化时变化时x1(t)对应对应于于x2(t)在状态平面上形成的运动轨迹称为在状态平面上形成的运动轨迹称为状态平面轨迹状态平面轨迹。（7-2-1)7-2-1)（7-2-2)7-2-2)当（当（7-2-1)7-2-1)为为这种形式时，状态平面轨迹这种形式时，状态平面轨迹称为相平面轨迹，或是相轨迹。称为相平面轨迹，或是相轨迹。7/19/202417HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析平衡点：平衡点：状态状态x10,x20称为在时刻平衡点，条件为对于所有的称为在时刻平衡点，条件为对于所有的tt0,有有奇点：奇点：在相轨迹上满足条件在相轨迹上满足条件为不定值的点为奇点。为不定值的点为奇点。也可以写作也可以写作奇点也是平衡点。奇点也是平衡点。7/19/202418HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析二、二阶线性系统的特征二阶线性系统的微分方程为二阶线性系统的微分方程为令令x=x1,也可以写作也可以写作又知二阶系统的特征根为又知二阶系统的特征根为 1.1.0 0时，系统处于无阻尼状态，时，系统处于无阻尼状态，1 1、2 2为共轭虚根。为共轭虚根。7/19/202419HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析分离变量，然后对两侧分别积分得到分离变量，然后对两侧分别积分得到其中其中x10、x20为初始状态。为初始状态。0 0时二阶线性系统的相轨迹时二阶线性系统的相轨迹每一个椭圆对应每一个椭圆对应一个周期运动，一个周期运动，原点处有一孤立奇原点处有一孤立奇点，叫做中心点。点，叫做中心点。7/19/202420HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析2.02.01 1时，系统处于欠阻尼状态，时，系统处于欠阻尼状态，1 1、2 2为左半平面共轭为左半平面共轭复根。复根。0 01 1时二阶线性系统的相轨迹时二阶线性系统的相轨迹方程的解为方程的解为运动收敛于平衡状态运动收敛于平衡状态(坐标坐标原点原点)，系统是稳定的。平衡，系统是稳定的。平衡点称为稳定焦点。点称为稳定焦点。运动趋向于平衡状态的过运动趋向于平衡状态的过程是周期性的振荡过程。程是周期性的振荡过程。7/19/202421HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析3.3.1 1时，系统处于过阻尼状态，时，系统处于过阻尼状态，1 1、2 2为左半平面负实为左半平面负实根。根。方程的解为方程的解为运动收敛于平衡状态，系统运动收敛于平衡状态，系统是稳定的。是稳定的。运动趋向于平衡状态的过程运动趋向于平衡状态的过程是非周期性的。是非周期性的。平衡点为稳定节点。平衡点为稳定节点。根与根与相轨迹相轨迹j0j0j0节点节点稳定焦点稳定焦点中心中心不稳定节点不稳定节点不稳定节点不稳定节点鞍点鞍点 1j0 2j021j0127/19/202423HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析二、二阶非线性系统的特征二阶线性系统的相轨迹和奇点的性质由系统的特征根决定，即二阶线性系统的相轨迹和奇点的性质由系统的特征根决定，即由系统本身的结构和参量决定，与系统的初始状态无关。由系统本身的结构和参量决定，与系统的初始状态无关。不同初始状态只能形成一组形态相似的相轨迹，不能改变相轨不同初始状态只能形成一组形态相似的相轨迹，不能改变相轨迹的性质。迹的性质。不同初始状态决定的相轨迹不会相交，可能有部分重合。只有不同初始状态决定的相轨迹不会相交，可能有部分重合。只有在奇点处，才能有无数条相轨迹逼近或离开它。在奇点处，才能有无数条相轨迹逼近或离开它。局部相轨迹可以推知全局。局部相轨迹可以推知全局。不会形成在全部时间内有定义的孤立封闭曲线形状的相轨迹。不会形成在全部时间内有定义的孤立封闭曲线形状的相轨迹。对于二阶非线性系统，由于没有一般的求解非线性微分方程对于二阶非线性系统，由于没有一般的求解非线性微分方程的方法，通常用解析方法求出时间解是不可能的。的方法，通常用解析方法求出时间解是不可能的。7/19/202424HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析可以用小范围线性化方法求出其在平衡点附近的线性化可以用小范围线性化方法求出其在平衡点附近的线性化方程。再分析系统的相轨迹和奇点的情况。方程。再分析系统的相轨迹和奇点的情况。利用相平面分析法研究二阶非线性系统的基本思想是：对于利用相平面分析法研究二阶非线性系统的基本思想是：对于二阶非线性系统，先用图解方法作出其相轨迹曲线，然后通过相二阶非线性系统，先用图解方法作出其相轨迹曲线，然后通过相轨迹来研究系统的运动。轨迹来研究系统的运动。二阶系统时二阶系统时间解间解x x对时间的导对时间的导数曲线数曲线相轨迹图相轨迹图7/19/202425HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析7.37.3非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析一、绘制相轨迹的方法求解二阶系统相轨迹的方法：解析法和图解法。求解二阶系统相轨迹的方法：解析法和图解法。系统的微分方程可写成如下相变量方程的形式：系统的微分方程可写成如下相变量方程的形式：(一）解析一）解析法法对其积分，得到对其积分，得到x1x1和和x2x2的关的关系式，就是相轨迹方程。系式，就是相轨迹方程。7/19/202426HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析例：含理想继电器特性的非线例：含理想继电器特性的非线性系统如图所示，性系统如图所示，线性部分的输入输出的关系为：线性部分的输入输出的关系为：非线性部分（理想继电器特性）输入与输出的关系为：非线性部分（理想继电器特性）输入与输出的关系为：试绘制相轨迹。试绘制相轨迹。解：选择状态变量，令解：选择状态变量，令则系统的相变量方程为则系统的相变量方程为7/19/202427HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析相除得：相除得：对上式积分：对上式积分：当当x100，x1x1增加，相轨迹由左向右。增加，相轨迹由左向右。下半平面下半平面x x2 20 0，x1x1减少，相轨迹由右向左。减少，相轨迹由右向左。(5)(5)奇点类型奇点类型六种奇点：中心点、稳定焦点、稳定节点、不稳定六种奇点：中心点、稳定焦点、稳定节点、不稳定焦点、不稳定节点、鞍点。焦点、不稳定节点、鞍点。相平面可能分几个区域，每个区域都可能包含一个奇相平面可能分几个区域，每个区域都可能包含一个奇点。每个奇点类型决定了该区域相轨迹的大致规律。点。每个奇点类型决定了该区域相轨迹的大致规律。7/19/202430HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析（二）、等倾线法（二）、等倾线法式式表示了相轨迹的斜率。表示了相轨迹的斜率。若取斜率为常数若取斜率为常数q q，则上式为，则上式为（六）极限环（六）极限环极限环是相平面上的分隔线，将相平面划分成不同运极限环是相平面上的分隔线，将相平面划分成不同运动特点的环内区域和环外区域。相轨迹不能从环外区域穿动特点的环内区域和环外区域。相轨迹不能从环外区域穿过极限环进入环内区域，或者相反。极限环分为稳定、不过极限环进入环内区域，或者相反。极限环分为稳定、不稳定、半稳定，不同极限环内外的相轨迹的运动规律也是稳定、半稳定，不同极限环内外的相轨迹的运动规律也是不同的。不同的。7/19/202431HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析例：含有死区继电器特性的非例：含有死区继电器特性的非线性系统。线性系统。线性部分的输入输出关系为线性部分的输入输出关系为非线性部分的输入输出关系由下式表示非线性部分的输入输出关系由下式表示用等倾线法绘制相轨迹。用等倾线法绘制相轨迹。解引入新的变量解引入新的变量 e=e=r-cr-c，并选择相变量，并选择相变量x1=e，于是有于是有7/19/202432HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析由非线性特性由非线性特性f(ef(e)的三种可能值，将相平面分为三个区。的三种可能值，将相平面分为三个区。I I区：区：x11，f(x1)=1此区域内等倾线方程为此区域内等倾线方程为或或区：区：-1-1x11，f(x1)=0此区域内等倾线方程为此区域内等倾线方程为区：区：x11，f(x1)=1此区域内等倾线方程为此区域内等倾线方程为或或一组与水平轴一组与水平轴平行的直线。平行的直线。一组与水平轴一组与水平轴平行的直线。平行的直线。斜率为斜率为1 1的直线。的直线。7/19/202433HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析等倾线绘制相轨迹图等倾线绘制相轨迹图7/19/202434HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析例：含有死区特性的非特性系例：含有死区特性的非特性系统。统。r(tr(t)=R)=R1(t)1(t)，试画出相，试画出相轨并分析运动规律。轨并分析运动规律。死区特性的表达式为死区特性的表达式为线性部分微分方程为：线性部分微分方程为：将将c=c=r-er-e代入上式代入上式当当r(tr(t)=R)=R1(t)1(t)时时上式变为上式变为7/19/202435HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析由非线性特性的三种可能值，将相平面分为三个区。由非线性特性的三种可能值，将相平面分为三个区。I I区：区：令令解得解得在在I I区内没有奇点，有一条平衡线。区内没有奇点，有一条平衡线。区：区：微分方程为微分方程为7/19/202436HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析令令解得解得奇点（奇点（e e0 0,0),0)位于位于区和区和区的分界线上，是个虚奇点，可能区的分界线上，是个虚奇点，可能为稳定焦点或稳定节点，类型视为稳定焦点或稳定节点，类型视K K、T T参数而定。参数而定。区：区：微分方程为微分方程为奇点（奇点（e0,0)e0,0)位于位于区和区和区的分区的分界线上，也是个虚奇点。界线上，也是个虚奇点。7/19/202437HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析由图所示，死区会增加系统误差由图所示，死区会增加系统误差7/19/202438HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析例：具有饱和非线性的系统如图所例：具有饱和非线性的系统如图所示，分析示，分析r(tr(t)=R)=R1(t)1(t)和和r(tr(t)=)=R+vtR+vt时的运动规律。时的运动规律。解：饱和非线性的数学表达式为解：饱和非线性的数学表达式为线性部分微分方程为：线性部分微分方程为：将将c=c=r-er-e代入上式代入上式当当r(tr(t)=R)=R1(t)1(t)时时上式变为上式变为7/19/202439HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析当工作在当工作在I I区区,即即|e|e0，x=M，系统的微分方程为，系统的微分方程为相轨迹的斜率方程为相轨迹的斜率方程为该区域内没有奇点。该区域内没有奇点。7/19/202440HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析等倾线方程为：等倾线方程为：为平行于横轴的直线。为平行于横轴的直线。令相轨迹的斜率等于等倾线的斜率，可以得到相轨迹的渐近线方令相轨迹的斜率等于等倾线的斜率，可以得到相轨迹的渐近线方程。令程。令=0=0，可以得到渐近线方程为：，可以得到渐近线方程为：在渐近线的两侧，相轨迹的斜率趋近于渐近线。在渐近线的两侧，相轨迹的斜率趋近于渐近线。由斜率方程可知，在由斜率方程可知，在区：区：当当时，时，-1/T0-1/T0，斜率为负。，斜率为负。当当时，时，00，斜率为正。，斜率为正。当当时，时，-1/T-e0，x=-M，系统的微分方程为，系统的微分方程为相轨迹的斜率方程为相轨迹的斜率方程为该区域内也没有奇点，等倾线方程为：该区域内也没有奇点，等倾线方程为：渐近线方程为：渐近线方程为：当当时，时，-1/T0-1/T0，斜率为负。，斜率为负。当当时，时，0+0+，斜率为正。，斜率为正。当当时，时，-1/T-h17/19/202465HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析试求：试求：当当K K1010时，该系统是否存在自持振荡，如果存在则求出时，该系统是否存在自持振荡，如果存在则求出自持振荡的振幅和频率；自持振荡的振幅和频率；当当K K为何值时，系统处于稳定边界状态。为何值时，系统处于稳定边界状态。非线性饱和特性参数非线性饱和特性参数 a=1 a=1、k=2k=27/19/202466HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析相交于稳定自振交点相交于稳定自振交点m mA Aa a时时A A 时时负倒描述函数轨迹为实轴上（负倒描述函数轨迹为实轴上（-0.5-0.5，-)-)。7/19/202467HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析a/A=0.24A=4.38A=4.38非线性饱和特性参数非线性饱和特性参数 a=1 a=1、k=2k=2稳定自振交点稳定自振交点m:m:7/19/202468HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析临界状态下，轨迹在负实轴上的交点临界状态下，轨迹在负实轴上的交点n nK=37/19/202469HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析非线性系统的校正非线性系统的校正！改变！改变G(j G(j )！改变！改变N(A)N(A)7/19/202470HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析试分析系统稳定性；试分析系统稳定性；如果系统出现自持振荡，如何消除之？如果系统出现自持振荡，如何消除之？K K2020，死区继电器特性死区继电器特性M M3 3，a al l。7/19/202471HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析Aa=1A G(jG(j)轨迹与负实轴交点频率值轨迹与负实轴交点频率值G(jG(j)轨迹与负倒描述函数有两个交点：轨迹与负倒描述函数有两个交点：a a不稳定自振交点不稳定自振交点b b稳定自振交点稳定自振交点7/19/202472HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析a a不稳定自振交点不稳定自振交点b b稳定自振交点稳定自振交点A11.11A22.3如要求稳定如要求稳定7/19/202473HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析1 1）改变）改变G(j G(j )调整调整K K7/19/202474HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析2 2）改变）改变N(A):N(A):调整死区继电器特性的死区调整死区继电器特性的死区a a或输出幅值或输出幅值M M取取a=1a=1、M=2M=2