数学分析华师大导数的概念课件

一、导数的概念一般认为一般认为,求变速运动的瞬时速度，求已知曲线求变速运动的瞬时速度，求已知曲线 别在研究瞬时速度和曲线的别在研究瞬时速度和曲线的牛顿牛顿(16421727,英国英国)两个关于导数的经典例子两个关于导数的经典例子.切线时发现导数的切线时发现导数的.下面是下面是微分学产生的三个源头微分学产生的三个源头.牛顿和莱布尼茨就是分牛顿和莱布尼茨就是分上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是一、导数的概念一般认为,求变速运动的瞬时速度，求已知曲线11.瞬时速度瞬时速度 设一质点作直线运动设一质点作直线运动,质点的位置质点的位置 s 是是当当 t 越来越接近越来越接近 t0 时，平均速度就越来越接近时，平均速度就越来越接近 t0时间时间 t 的函数的函数,即其运动规律是即其运动规律是 则在某则在某(1)时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度.严格地说严格地说,当极限当极限时刻时刻 t0 及邻近时刻及邻近时刻 t 之间的平均速度是之间的平均速度是1.瞬时速度 设一质点作直线运动,质点的位置 s 22.切线的斜率切线的斜率 如图所示如图所示,存在时存在时,这个极限就是质点在这个极限就是质点在 t0 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度.其上一点其上一点 P(x0,y0)处处的切线的切线点击上图动画演示点击上图动画演示点点 Q,作曲线的割线作曲线的割线 PQ，这，这PT.为此我们在为此我们在 P 的邻近取一的邻近取一需要需要寻找曲线寻找曲线 y=f(x)在在 条割线的斜率为条割线的斜率为2.切线的斜率 如图所示,存在时,这个极限就是质3答答:它就是曲线在点它就是曲线在点 P 的切线的切线 PT 的斜率的斜率.的极限若存在，则这个极限的极限若存在，则这个极限会是什么呢？会是什么呢？设想一下设想一下,当动点当动点 Q 沿此曲线无限接近点沿此曲线无限接近点 P 时，时，(2)答:它就是曲线在点 P 的切线 PT 的斜率.的极限若存在4上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同x0 处关于处关于 x 的瞬时变化率的瞬时变化率(或简称变化率或简称变化率).均变化率，增量比的极限均变化率，增量比的极限(如果存在如果存在)称为称为 f 在点在点的极限的极限.这个增量比称为函数这个增量比称为函数 f 关于自变量的平关于自变量的平 D D y=f(x)f(x0)与自变量增量与自变量增量 D D x=x xo 之比之比一类型的数学问题：一类型的数学问题：求函数求函数 f 在点在点 x0 处处的增量的增量上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同x0 处关于 x5定义定义1 设函数设函数 y=f(x)在点在点 x0 的某邻域内的某邻域内有定有定义，如果极限义，如果极限存在存在,则称函数则称函数 f 在点在点 x0 可导可导,该极限称为该极限称为 f 在在如果令如果令 D Dx=x x0,D Dy=f(x0+D Dx)f(x0),导导数就数就x0 的的导数导数，记作，记作可以写成可以写成定义1 设函数 y=f(x)在点 x0 的某邻6二、导数的定义二、导数的定义定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导可导,在点的导数导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:7这说明导数是函数增量这说明导数是函数增量 D D y 与自变量增量与自变量增量 D D x之比之比的极限的极限,即即就是就是 f(x)关于关于 x 在在 x0 处的变化处的变化点点 x0 不可导不可导.率率.如果如果(3)或或(4)式的极限不存在式的极限不存在,则称则称 在在这说明导数是函数增量 D y 与自变量增量 D x之比的极限8在点的某个右右 邻域内五、五、单侧导单侧导数数若极限则称此极限值为在 处的右右 导数导数,记作即(左)(左左)定义定义2.设函数有定义,存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点的某个右 邻域内五、单侧导数若极限则称此9定理定理2.函数在点且存在简写为可导的充分必要条件是机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 证明函数证明函数 f(x)=|x|在在 x=0 处不可导处不可导.证证 因为因为时它的极限不存在时它的极限不存在,所以所以 f(x)在在 x=0当当处不可处不可导导.定理2.函数在点且存在简写为可导的充分必要条件是机动 10例例4 证明函数证明函数在在 x=0 处不可导处不可导.不存在极限不存在极限,所以所以 f 在在 x=0 处不可导处不可导.证证 因为当因为当 时时,例4 证明函数在 x=0 处不可导.不存在极限,所以 11数学分析华师大导数的概念课件12四、四、函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.证证:设在点 x 处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点 x 连续.注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x=0 处连续,但不可导.即机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点 x 处13定理定理5.1 如果函数如果函数 f 在点在点 x0 可导可导,则则 f 在点在点 x0连续连续.值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可其中其中 D(x)是熟知的狄利克雷函数是熟知的狄利克雷函数.例例5 证明函数证明函数 仅在仅在 x=0 处可导处可导,处连续，却不可导处连续，却不可导.导的必要条件导的必要条件.如例如例3、例、例4 中的函数均在中的函数均在 x=0定理5.1 如果函数 f 在点 x0 可导,则 f14不连续不连续,由定理由定理 5.1,f(x)在点在点 x0 不可导不可导.由于导数是一种极限由于导数是一种极限,因此如同左、右极限那样因此如同左、右极限那样,所以有所以有当当 x0=0 时时,因为因为证证 当时当时,用归结原理容易用归结原理容易证明证明 f(x)在点在点 x0 可以定义左、右导数可以定义左、右导数(单侧导数单侧导数).不连续,由定理 5.1,f(x)在点 x0 不可导15二、导函数如果函数如果函数 f 在区间在区间 I 上的每一点都可导上的每一点都可导(对于区间对于区间(7)即即导函数，简称导数导函数，简称导数,记作记作定义了一个在区间定义了一个在区间 I 上的函数，称为上的函数，称为 f 在在 I 上的上的则称则称 f 为区间为区间 I 上的可导函数上的可导函数.此时此时,对对 I 上的任上的任端点考虑相应的单侧导数端点考虑相应的单侧导数,如左端点考虑右导数如左端点考虑右导数),仅为一个记号，学了微分之后就会知仅为一个记号，学了微分之后就会知注注 这里这里意一点意一点 x 都有都有 f 的一个导数的一个导数 与之对应与之对应,这就这就二、导函数如果函数 f 在区间 I 上的每一点都可导(对于16三、三、导数的几何意义导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直.曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线17例例1.求函数(C 为常数)的导数.解解:即例例2.求函数解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1.求函数(C 为常数)的导数.解:即例2.求函数18说明：说明：对一般幂函数(为常数)例如，例如，（以后将证明）机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明：对一般幂函数(为常数)例如，（以后将证明19例例3.求函数的导数.解解:则即类似可证得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3.求函数的导数.解:则即类似可证得机动 目录 20因此因此特别有特别有因此特别有21数学分析华师大导数的概念课件22