统计量的分布课件

随机样本和统计量n统计推断问题：电子产品的寿命统计推断问题：电子产品的寿命n个体：组成总体的单元个体：组成总体的单元-随机变量随机变量n总体：研究对象的全体总体：研究对象的全体-随机变量的全体随机变量的全体-分布函数分布函数n样本：样本：为同一分布函数为同一分布函数F的相互独立的相互独立的随机变量，称其为从分布函数得到容量为的随机变量，称其为从分布函数得到容量为n的简的简单随机样本，简称样本。单随机样本，简称样本。统计量统计量 是样本是样本 的的不含任何未知数不含任何未知数的函数，它是一个随机变量。的函数，它是一个随机变量。统计量的分布称为统计量的分布称为抽样分布抽样分布。由于正态总体是最常见的总体，因此主要讨论由于正态总体是最常见的总体，因此主要讨论正态正态总体下的抽样分布总体下的抽样分布。由于这些抽样分布的论证要用到较多的数学知识，由于这些抽样分布的论证要用到较多的数学知识，故在本节中，主要给出有关结论。故在本节中，主要给出有关结论。概率密度函数概率密度函数n 定义定义 设设X为一随机变量，若存在非负实函数为一随机变量，若存在非负实函数 f(x),使对任意实数使对任意实数 a b，有有 则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量，f(x)称为称为X 的的概概率密度函数率密度函数,简称简称概率密度或密度函数概率密度或密度函数.Probability density function p.d.f.分布函数分布函数 n密度函数在区间上的积分密度函数在区间上的积分 =随机变量在区间上取值的概率随机变量在区间上取值的概率概率密度函数的性质概率密度函数的性质n非负性非负性n规范性规范性正态分布正态分布 Normal Distribution 则称则称X X服从参数为服从参数为n若连续型随机变量若连续型随机变量X X的概率密度为的概率密度为 正态分布的密度函数的性质与图形正态分布的密度函数的性质与图形关于关于 x=x=对称对称（-，）升，（）升，（，+）降）降n单调性单调性n对称性对称性n拐点拐点中间高中间高两边低两边低y-+x2，对密度曲线的影响对密度曲线的影响 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 设设X X为一随机变量为一随机变量,则对任意实数则对任意实数x x，(Xx)(Xx)是一个随机事件，称是一个随机事件，称为为随机变量随机变量随机变量随机变量X X X X的的的的分布函数分布函数定义域定义域为为（，）；）；值域值域为为，。，。F(x)F(x)是一个是一个普通的函数普通的函数！Distribution Functionn分布函数的定义分布函数的定义 引进分布函数引进分布函数F(x)F(x)后，事件的概率都后，事件的概率都可以用可以用F(x)F(x)的函数值来表示。的函数值来表示。分布函数表示事件的概率分布函数表示事件的概率nP（Xb）=F(b)nP（aXb）=F(b)F(a)nP（Xb）=1 P（Xb）=1-F(b)P P（a aX Xb b）=P(X=P(X b)-P(Xa)=F(b)-F(a)b)-P(Xa)=F(b)-F(a)密度函数和分布函数的关系密度函数和分布函数的关系n积分关系积分关系n导数关系导数关系正态分布的分布函数正态分布的分布函数F(x)1 x 标准正态分布标准正态分布n定义定义X N（0，1）分布称为标准正态分布）分布称为标准正态分布 n密度函数密度函数n分布函数分布函数Standard Normal distributionStandard Normal distribution偶函数偶函数 标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算n分布函数分布函数X-x 标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算n公式公式n查表查表n例例一般正态分布的标准化一般正态分布的标准化n定理定理查标准正态分布表n概率计算概率计算一般正态分布的区间概率一般正态分布的区间概率n。n。n。设设XN（1，4），求），求 P(0X1.6)解解例例正态分正态分布的实际应用布的实际应用 已知已知90分以上的分以上的12人，人，60分以下的分以下的83人，若从高分人，若从高分到低分依次到低分依次录取，某人成取，某人成绩为78分，分，问此人能否被此人能否被录取？取？某单位招聘某单位招聘155155人，按考试成绩录用，共有人，按考试成绩录用，共有526526人报名，假设报名者的考试成绩人报名，假设报名者的考试成绩n分析分析 首先求出首先求出和和然后根据录取率或者分数线确定能否录取然后根据录取率或者分数线确定能否录取解解 成绩成绩X服从服从 录取率为录取率为 可得可得 得得 查表得查表得 解解 查表得查表得 .解得解得 故故 设录取的最低分为设录取的最低分为 则应有则应有 某人某人78分，可分，可被录取。被录取。X X的取值几乎都落入以的取值几乎都落入以 为中心，以为中心，以3 3 为半径的为半径的区间内。这是因为：区间内。这是因为：0.9974F(x)3 3 准则准则是小概率事件是小概率事件 概率分布的分位数概率分布的分位数(分位点分位点)使使PXx =，定义定义对总体对总体X和给定的和给定的 (0 30时，时，t分布与标准正态分布分布与标准正态分布N(0，1)就非常接近就非常接近.但对较小的但对较小的n值，值，t分布与标准正态分布之间有较大分布与标准正态分布之间有较大差异差异.且且P|T|t0P|X|t0，其中，其中X N(0，1)，即，即在在t分布的尾部比在标准正态分布的尾部有着更大的概分布的尾部比在标准正态分布的尾部有着更大的概率率.t 分布的数学期望与方差分布的数学期望与方差设设Tt(n)，则，则E(T)=0，D(T)=定理定理2设设(X1，X2，Xn)为来自正态总体为来自正态总体 XN(，2)的样本，则统计量的样本，则统计量证证由于由于与与S 2相互独立，且相互独立，且 由定义得由定义得定理定理3 3 设设(X1，X2，Xn1)和和(Y1，Y2，Yn2)分分别是来自正态总体别是来自正态总体N(1，2)和和N(2，2)的的样本，样本，且它们相互独立，则统计量且它们相互独立，则统计量其中其中、分别为两总体的样本方差分别为两总体的样本方差.t t 分布的上分布的上 分位数分位数对于给定的对于给定的 (0 45时，如无详细表格可查，可以用标准正时，如无详细表格可查，可以用标准正态分布代替态分布代替t分布查分布查t(n)的值的值.即即t(n)u ，n45.一般的一般的t分布临界值表中，详列至分布临界值表中，详列至n=30，当，当n30就用标准正态分布就用标准正态分布N(0,1)来近似来近似.F F分布分布服从第一自由度为服从第一自由度为n1，第二自由度为，第二自由度为n2的的F分布，分布，记作记作FF(n1，n2).概率密度函数概率密度函数其中其中定义定义 设随机变量设随机变量X 2(n1)、Y 2(n2)，且，且与相互独立，则称随机变量与相互独立，则称随机变量 f(y)xO性质性质：若：若XF(n1，n2)，则，则F(n2，n1).F 分布的上分布的上 分位数分位数对于给定的对于给定的 (0 =0.1,求求 .解解 因为因为n=10，n-1=9，2=42，所以所以 2(9).又又PS2 =0.1，所以所以查查表表14.684.故故 14.684x26.105