资源描述
第第1节：概率与概率分布曲线节：概率与概率分布曲线一、试一、试 验验1.1.在相同条件下，对事物或现象所进行的观察2.2.例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数3.3.试验具有以下特点 可以在相同的条件下重复进行可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果事件的概念事件的概念事件的概念事件的概念1.1.事件：事件：事件：事件：随机试验的每一个可能结果随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合任何样本点集合)例如：掷一枚骰子出现的点数为例如：掷一枚骰子出现的点数为3 32.2.随机事件：随机事件：随机事件：随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件每次试验可能出现也可能不出现的事件 例如：掷一枚骰子可能出现的点数例如：掷一枚骰子可能出现的点数3.3.必然事件必然事件必然事件必然事件：每次试验一定出现的事件，用：每次试验一定出现的事件，用表示表示 例如：掷一枚骰子出现的点数小于例如：掷一枚骰子出现的点数小于7 74.4.不可能事件不可能事件不可能事件不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用：每次试验一定不出现的事件，用表示表示 例如：掷一枚骰子出现的点数大于例如：掷一枚骰子出现的点数大于6 6事件的概率事件的概率1.1.事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量2.2.表示事件A出现可能性大小的数值3.3.事件A的概率表示为P(A)4.4.概率的定义有：古典定义、统计定义和主观概率定义事件的概率事件的概率 例例如如，投投掷掷一一枚枚硬硬币币，出出现现正正面面和和反反面面的的频频率，率，随随着着投投掷掷次次数数 n n 的的增增大大，出出现现正正面面和和反反面面的的频频率率 稳定在稳定在1/21/2左右左右试验的次数试验的次数正面正面 /试验次数试验次数1.001.000.000.000.250.250.500.500.750.750 0252550507575100100125125二、概率的统计定义二、概率的统计定义 在相同条件下进行n次随机试验，事件A出现 m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定，这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为【例例例例】：某某工工厂厂为为节节约约用用电电，规规定定每每天天的的用用电电量量指指标标为为10001000度度。按按照照上上个个月月的的用用电电记记录录，3030天天中中有有1212天天的的用用电电量量超超过过规规定定指指标标，若若第第二二个个月月仍仍没没有有具具体体的的节节电电措措施施，试试问问该该厂厂第第一一天天用用电电量量超超过过指指标标的的概概率。率。解解解解：上上个个月月3030天天的的记记录录可可以以看看作作是是重重复复进进行行了了3030次次试试验验，试试验验A A表表示示用用电电超超过过指指标标出出现现了了1212次次。根根据概率的统计定义有据概率的统计定义有三、概率的性质三、概率的性质1.1.非负性 对任意事件对任意事件A A，有，有 0 0 P P 1 12.2.规范性 必必然然事事件件的的概概率率为为1 1；不不可可能能事事件件的的概概率率为为0 0。即即P P()=1)=1；P P()=0)=03.3.可加性 若若A A与与B B互斥，则互斥，则P P(A AB B)=)=P P(A A)+)+P P(B B)推推广广到到多多个个两两两两互互斥斥事事件件A A1 1，A A2 2，A An n，有有 P P (A A1 1A A2 2 A An n)=)=P P(A A1 1 )+)+P P(A A2 2 )+)+P P(A An n )四、概率的简单四、概率的简单运算运算概率的加法法则概率的加法法则概率的加法法则概率的加法法则1.1.两个互斥事件之和的概率，等于两个事件概率之和。设A和B为两个互斥事件，则 P(AB)=P(A)+P(B)2.2.事件A1，A2，An两两互斥，则有 P(A1A2 An)=P(A1)+P(A2)+P(An)概率的乘法公式概率的乘法公式1.1.用来计算两事件交的概率2.2.设 A、B为 两 个 事 件，若 P(B)0，则P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A)【例例】设有1000件产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率是多少？解解：设 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”(i=1,2)，所求概率为P(A1A2)五、概率分布曲线（一）涵义：以曲线下的面积表示事件发生概率的曲线称为概率分布曲线。曲线下的面积与无限增大的个数N相对应，整个曲线下的面积表示全部事件发生的概率1，部份事件发生的概率也可以在图形上有相应的面积。（二）概率分布的种类1、依随机变量是否具有连续性质分：离散型概率分布连续型概率分布2、依据分布函数的来源分：经验分布理论分布第第2节：正态分布与标准正态分布节：正态分布与标准正态分布一、正态分布一、正态分布一、正态分布一、正态分布（一）涵义：是一种连续型的概率分布，凡是随机（一）涵义：是一种连续型的概率分布，凡是随机变量的个数无限增加，其概率分布达到变量的个数无限增加，其概率分布达到“两头少，两头少，中间多中间多”的极限情况，并且概率分布曲线表现为的极限情况，并且概率分布曲线表现为左右对称的左右对称的“不偏不倚不偏不倚”的状态。这种概率分布的状态。这种概率分布称为正态的概率分布，即正态分布，其密度曲线称为正态的概率分布，即正态分布，其密度曲线称为正态分布曲线。称为正态分布曲线。正态分布函数的性质正态分布函数的性质1.1.概率密度函数在概率密度函数在x x 的上方，即的上方，即f f(x x)0)02.2.正态曲线的最高点在均值正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位数和众数，它也是分布的中位数和众数3.3.正正态态分分布布是是一一个个分分布布族族，每每一一特特定定正正态态分分布布通通过过均均值值 的的标标准准差差 来来区区分分。决决定定曲曲线线的的高高度度，决决定定曲曲线线的的平平缓缓程度，即宽度程度，即宽度4.4.曲曲线线f f(x x)相相对对于于均均值值 对对称称，尾尾端端向向两两个个方方向向无无限限延延伸伸，且理论上永远不会与横轴相交且理论上永远不会与横轴相交5.5.正态曲线下的总面积等于正态曲线下的总面积等于1 16.6.随机变量的概率由曲线下的面积给出随机变量的概率由曲线下的面积给出（二）决定正态分布形状的两个参数1、平均数：决定曲线在横轴上的位置。2、标准差：决定曲线的高度与跨度。和和 对对正态曲线的影响正态曲线的影响xf(x)CAB二、标准正态分布二、标准正态分布标准正态分布的重要性标准正态分布的重要性1.1.一般的正态分布取决于均值 和标准差 2.2.计算概率时，每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的3.3.若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表标准正态分布函数标准正态分布函数1.1.任任何何一一个个一一般般的的正正态态分分布布，可可通通过过下下面面的的线线性性变换转化为标准正态分布变换转化为标准正态分布标准正态分布标准正态分布x 一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布 1 1Z标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布 标准正态分布表的使用标准正态分布表的使用1.1.将一个一般的转换为标准正态分布2.2.计算概率时，查标准正态概率分布表3.3.对于负的 x，可由(-x)x得到标准化的例子标准化的例子 P(5 X 6.2)x 55 11一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布6.2 1 1Z标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布 0.12.0478.0478.0478标准化的例子标准化的例子P(2.9 X 7.1)一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布.1664.1664.1664.0832.0832.0832.0832标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布正态分布正态分布（实例）（实例）【例【例【例【例】设设X X N N(0(0，1)1)，求以下概率：，求以下概率：(1)(1)P P(X X 1.5)2)2)；(3)(3)P P(-1(-1X X 3)3)；(4)(4)P P(|(|X X|2)2)解解解解：(1)(1)P P(X X 1.5)=2)=1-2)=1-P P(2(2 X X)=1-0.9973=0.0227)=1-0.9973=0.0227 (3)(3)P P(-1(-1X X 3)=3)=P P(X X 3)-3)-P P(X X-1)-1)=(3)-(3)-(-1)=(-1)=(3)1-(3)1-(1)(1)=0.9987-(1-0.8413)=0.8354 =0.9987-(1-0.8413)=0.8354 (4)(4)P P(|(|X X|2)=2)=P P(-2(-2 X X|2)=2)=(2)-(2)-(-2)(-2)=(2)-1-(2)-1-(2)=2(2)=2(2)-1=0.9545(2)-1=0.9545正态分布正态分布（实例）（实例）【例【例【例【例】设设X X N N(5(5，3 32 2)，求以下概率，求以下概率 (1)(1)P P(X X 10)10)；(2)(2)P P(2(2X X 1010)解解解解：(1)(1)(2)(2)第第3节：抽样分布节：抽样分布总体分布：总体内全部数值的分布。样本分布：单个样本内数值的分布。抽样分布：某一种统计量的分布。样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（一个例子）（一个例子）【例例例例】设设一一个个总总体体，含含有有4 4个个元元素素（个个体体），即即总总体体单单位位数数N N=4=4。4 4 个个个个体体分分别别为为X X1 1=1=1、X X2 2=2=2、X X3 3=3=3、X X4 4=4=4。总体的均值、方差及分布如下。总体的均值、方差及分布如下均值和方差均值和方差均值和方差均值和方差总体分布总体分布总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1.2.2.3.3 现现从从总总体体中中抽抽取取n n2 2的的简简单单随随机机样样本本，在在重重复复抽抽样样条条件件下下，共共有有4 42 2=16=16个个样样本本。所所有有样样本本的的结结果果如下表如下表3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值 所有可能的所有可能的所有可能的所有可能的n n=2 =2 的样本（共的样本（共的样本（共的样本（共1616个）个）个）个）计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第二个观察值第一第一个个观察观察值值 1616个样本的均值（个样本的均值（个样本的均值（个样本的均值（x x）样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布1.01.00 0.1.1.2.2.3.3P P(x x)1.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.5x x式中：式中：MM为样本数目为样本数目比较及结论：比较及结论：1.1.样本均值的均值（数学期望）等于总体均值样本均值的均值（数学期望）等于总体均值 2.2.样本均值的方差等于总体方差的样本均值的方差等于总体方差的1/1/n n样本均值的分布与总体分布的比较样本均值的分布与总体分布的比较抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布 =2.5 2=1.25总体分布总体分布总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1.2.2.3.3P P(x x)1.01.00 0.1.1.2.2.3.31.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.5x x样本均值的抽样分布与中心极限定理样本均值的抽样分布与中心极限定理 =50=50=50 =10=10=10X X X总体分布总体分布总体分布总体分布总体分布总体分布n n=4=4抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布Xn n=16=16当当总总体体服服从从正正态态分分布布N N (,2 2)时时，来来自自该该总总体体的的所所有有容容量量为为n n的的样样本本的的均均值值 X X也也服服从从正正态态分分布布，X X 的的数学期望为数学期望为，方差为，方差为 2 2/n n。即。即 X XN N(,2 2/n n)当样本容量足够当样本容量足够大时大时(n n 30)30)，样本均值的抽样样本均值的抽样分布逐渐趋于正分布逐渐趋于正态分布态分布中中中中心心心心极极极极限限限限定定定定理理理理：设设从从均均值值为为，方方差差为为 2 2的的一一个个任任意意总总体体中中抽抽取取容容量量为为n n的的样样本本，当当n n充充分分大大时时，样样本本均均值值的的抽抽样分布近似服从均值为样分布近似服从均值为、方差为、方差为 2 2/n n的正态分布的正态分布一个任意分一个任意分布的总体布的总体X X平均数抽样分布的两种典型形态平均数抽样分布的两种典型形态平均数抽样分布的两种典型形态平均数抽样分布的两种典型形态（一）标准正态分布（一）标准正态分布（Z Z分布）分布）条件：当总体方差已知时，样本平均数的分布条件：当总体方差已知时，样本平均数的分布均呈标准正态分布。均呈标准正态分布。（二）（二）t t分布分布条件：当总体方差未知时，样本平均数的分条件：当总体方差未知时，样本平均数的分布呈布呈t t分布形态。分布形态。t分布的特点 t分布为一簇曲线，自由度不同，曲线的形状也不同。当N大时，t分布接近正态分布。t分布表的使用 t分布表的含义与正态分布相同，但其因有不同的自由度，曲线有不同的形状，相同的P值，不同的N，就有不同的t值。1、从t值求概率值。2、从两尾概率值求t值。
展开阅读全文