统计推断准备课件

0.1.2大数定律大数定律定义：若 随机变量序列，如果存在常数列 使得对任意的 有成立，则称随机变量序列服从大数定律.定理定理1（贝努里大数定律）（贝努里大数定律）设是n重贝努里试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p（0p0，使有则对任意的，有例1.：设为独立同分布的随机变量序列，均服从参数为的泊松分布则定定理理3（辛辛钦钦大大数数定定律律）设是一列独立同分布的随机变量，且数学期望存在，则对任意的有0.1.3.中心极限定理定理定理1（林德贝格（林德贝格-勒维定理）勒维定理）若 是独立同分布的随机变量序列，且 则随机变量 ，其中 的分布函数 对一切x，有：即随机变量 渐近地服从标准正态分布。定定理理2 2（德德莫莫佛佛-拉拉普普拉拉斯斯定定理理）设是n重贝努里试验中事件A出现的次数，而0p1是事件A在每次试验中出现的概率，则渐近的服从正态分布，其中q=1-p或例2：有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米，现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3米的概率是多少？例3：某车间有200台车床，独立工作，开工率为0.6，开工时耗电各为1000瓦，问供电部门至少要供给这个车间多少电力才能使99.9%的概率保证这个车间不会因为供电不足而影响生产。例 4：一 加 法 器，同 时 收 到 20个 噪 声 电 压 设他们是相互独立的，且在区间（0，10）上服从均匀分布的随机变量，记，求1基本概念1.1总体与样本总体：研究对象的全体，记为X或，是指一个随机变量。个体：组成总体的每个单元。样本：就是n个相互独立且与总体有相同概率分布的随机变量，i=1，2，n，所组成的n维随机变量样本值：每一次具体的抽样所得的数据就是n个随机变量的值（样本值）用小写字母表示。注注：样本具有双重性，即它本身是随机变量，但一经抽取便是一组确定的具体值。定义：若随机变量相互独立且每个，i=1，2，n，与总体有相同的概率分布，则称随机变量为来自总体的容量为n的简单随机样本，称，i=1，2，n为样本的第i个分量。若 有分布密度 （或分布函数 ）则 称是来自总体（或）的样本.1.2统计量定义：设为总体的一个样本，为一个实值函数，如果T中不包含任何未知参数，则称为一个统计量。统计量的分布称为抽样分布。例如：总体，a已知，未知，为的一个样本，则是统计量，但不是统计量。1.3顺序统计量及经验分布1.3.1顺序统计量设为总体，的一个样本，将其诸分量，i=1，2，n，按由小到大的次序重新排列为，即，称为总体的第k个顺序统计量（次序统计量），特别称为最小项统计量，为最大项统计量。例1.5：设有一个总体，它以等概率取0，1，2三个值，现从此总体中取容量为2的一个样本 ，列出样本所有可能取值情况和相应的次序统计量的情况。1.3.2经验分布由给定的样本定义一个函数，此函数的性质：（1）当样本固定时，作为x的函数是一个阶梯形的分布函数，恰为样本分量不大于x的频率。（2）当x固定时，它是一个统计量，其分布由总体的分布所确定。v即（二项分布）称为总体对应于样本的经验分布函数。1.4常用的一些统计量1.4.1样本的分位数设为总体，为样本，为顺序统计量，定义称为样本的分位数。当=1/2时，称为样本的中位数。（也用表示）例1.6：若（1.5，2.0，4.0，0，8，3.5，9），则？1.4.2.样本的极差称为样本的极差1.4.3样本分量的秩若，则称的秩为j，记作，它表示样本第个分量，处于顺序统计量中的位次。1.4.4.样本矩设为总体取出的容量为n的样本，统计量叫样本均值；统计量叫样本方差（而称叫修正的样本方差）；统计量，（r=1，2，）叫样本的r阶原点矩；统计量，（r=1，2，）叫作样本的r阶中心矩。1.4.5二元总体的样本矩设为二元随机变量，为其样本，称为的边际样本方差；为的边际样本方差；为样本的协方差；为样本的相关系数。2.常用统计量的抽样分布2.1顺序统计量的分布（次序统计量）2.1.1定义设（）是来自总体的一个样本，（）是该样本的一组观察值，将它按由小到大的次序排列成，如果规定的取值为，k=1，2，n，则称为（）的一组次序统计量，而称为第k个次序统计量。（见1.3.1）2.1.2连续型总体次序统计量的分布（仅给出结论）定定理理2.1设总体，为的一个样本，则第k个次序统计量的概率密度函数为：分布函数为：特别：当k=1时，得样本极小值的分布密度与分布函数为：当k=n时，得样本极大值的分布密度与分布函数为：定定理理2.2设总体X的分布函数为，概率密度函数为，为X的一个样本，则第k个次序统计量与第r个次序统计量的联合概率密度函数为（k45时，本书附表中查不到，但可以利用注3求其近似值，即由于,则：例如：求，所以3.2.2t-分布定义：称随机变量有t-分布，自由度为n，如果它有密度函数定理定理3.4设X，Y，且X与Y相互独立，则T=.定义：的上侧分位数，即注注：当自由度时，的极限分布为标准正态分布当n45时，3.2.3F-分布定义：称随机变量有F-分布，自由度为，如果它有密度定理定理3.5设X，Y且X与Y相互独立，则注：注：若X，则1/X定义：的上侧分位数，即，注：注：=1/3.2.4查表1.标准正态分布表：2.分布表：3.分布表：4.分布表：3.3抽样分布定理定理定理4.6（Fisher定理）定理）设总体服从，为其子样，子样的平均值与方差，修正的样本方差分别记为与及，则（1），（2）（3）与（或）独立推推论论：设总体服从，为其子样，则定定理理3.7设与分别为取自，的两个样本，且这两个样本独立，则1.2.若，则其中，定定理理3.8（柯柯赫赫伦伦cochran定定理理）（变变量量分分解解定定理理）设总体，为其子样，且为秩为的关于的二次型，则，l=1，k相互独立，且，l=1，2，k例3.1：设总体 ，为其子样，试证：与相互独立,且分别服从，4.总体分布的近似描述总体分布的近似描述4.1格列汶科定理格列汶科定理 对任意实数x，当 时，格里汶科定理表明：在几乎处处的意义下，当n 充分大时，对x一致地有 F（x）非常接近。由此可见当n较大时，用经验分布函数估计总体分布函数是合理有效的。4.2直方图对于连续型随机变量，其分布函数或密度函数能完整地描述它的取值规律性，给出分布函数或密度函数是等价的。直方图能反映总体密度曲线的大致形状。设X的分布函数和密度函数分别用F(X),f(x)表示：当很小时，有表明：密度函数在x处的值f(x)近似等于随机变量X落入含有x的小区间的概率除以小区间的长度。概率可以用频率近似。设来自X的样本观测值为，考察其中每个值是否属于看作一次试验，则即f(x)与单位长度的频率近似相等，称单位长度的频率为频率密度。编制频数分布表的一般步骤：1.计算极差：2.计算组距：组距=组上限-组下限3.确定组限：选a（略小于或等于，例4.1某厂生产一种25瓦的白炽灯泡，其光通量（单位：流明）用X表示，从这批灯泡中抽取容量为60的样本，进行观察得光通量数据如下：216203197208206209206208202221206213218207203202194203202193203213211198213208204206204206208209213203206207196201208207213208210208211214220211203216224211209218214219211221211218试编制频数分布表，并绘制频率密度直方图。解.1.极差：R=224-193=312.计算组距：d=31/7=4.433.确定组范围：190，195),195，200),200，205),205，210),210，215),215，220),220，225.按光通量分组频数分布表按光通量分组频数频率密度(%)190,195)20.67195，200)31200，205)124205，210)196.3210，215)144.7215，220)62220，22541.3合计60频率密度直方图(P.18)图1.6频率密度分布曲线图(P.19)图1.75.杂例例5.1：在总体中随机抽一容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率。例5.2：在总体中取容量为5的样本，（1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率（2）求（3）求例5.3：求总体的容量分别为10，15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。例5.4：设为的一个样本，求例5.5：设是来自的样本，求例5.6：已知，则例5.7：设为总体X的一个样本，求，例5.8：设在总体中抽取一容量为n的样本，未知，（1）求，；（2）当n=16时，求例5.9：设为总体X的一个样本，为第n+1次的观察结果，试证：（1）例5.10：设是来自正态总体X的简单随机样本，则例5.11：设是取自正态总体X的一个样本，求例5.12.：设X服从，为来自总体X的简单随机样本，试求常数C，使CY 分布例5.13：设总体X在（）（）上服从均匀分布，为其子样，求及极差的数学期望。例5.14：设总体 服从和分别为样本均值和样本方差，又设且与独立。求统计量的抽样分布。