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0.1.2大数定律大数定律定义:若 随机变量序列,如果存在常数列 使得对任意的 有成立,则称随机变量序列服从大数定律.定理定理1(贝努里大数定律)(贝努里大数定律)设是n重贝努里试验中事件A出现的次数,又A在每次试验中出现的概率为p(0p0,使有则对任意的,有例1.:设为独立同分布的随机变量序列,均服从参数为的泊松分布则定定理理3(辛辛钦钦大大数数定定律律)设是一列独立同分布的随机变量,且数学期望存在,则对任意的有0.1.3.中心极限定理定理定理1(林德贝格(林德贝格-勒维定理)勒维定理)若 是独立同分布的随机变量序列,且 则随机变量 ,其中 的分布函数 对一切x,有:即随机变量 渐近地服从标准正态分布。定定理理2 2(德德莫莫佛佛-拉拉普普拉拉斯斯定定理理)设是n重贝努里试验中事件A出现的次数,而0p1是事件A在每次试验中出现的概率,则渐近的服从正态分布,其中q=1-p或例2:有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3米,现从这批木柱中随机地取出100根,问其中至少有30根短于3米的概率是多少?例3:某车间有200台车床,独立工作,开工率为0.6,开工时耗电各为1000瓦,问供电部门至少要供给这个车间多少电力才能使99.9%的概率保证这个车间不会因为供电不足而影响生产。例 4:一 加 法 器,同 时 收 到 20个 噪 声 电 压 设他们是相互独立的,且在区间(0,10)上服从均匀分布的随机变量,记,求1基本概念1.1总体与样本总体:研究对象的全体,记为X或,是指一个随机变量。个体:组成总体的每个单元。样本:就是n个相互独立且与总体有相同概率分布的随机变量,i=1,2,n,所组成的n维随机变量样本值:每一次具体的抽样所得的数据就是n个随机变量的值(样本值)用小写字母表示。注注:样本具有双重性,即它本身是随机变量,但一经抽取便是一组确定的具体值。定义:若随机变量相互独立且每个,i=1,2,n,与总体有相同的概率分布,则称随机变量为来自总体的容量为n的简单随机样本,称,i=1,2,n为样本的第i个分量。若 有分布密度 (或分布函数 )则 称是来自总体(或)的样本.1.2统计量定义:设为总体的一个样本,为一个实值函数,如果T中不包含任何未知参数,则称为一个统计量。统计量的分布称为抽样分布。例如:总体,a已知,未知,为的一个样本,则是统计量,但不是统计量。1.3顺序统计量及经验分布1.3.1顺序统计量设为总体,的一个样本,将其诸分量,i=1,2,n,按由小到大的次序重新排列为,即,称为总体的第k个顺序统计量(次序统计量),特别称为最小项统计量,为最大项统计量。例1.5:设有一个总体,它以等概率取0,1,2三个值,现从此总体中取容量为2的一个样本 ,列出样本所有可能取值情况和相应的次序统计量的情况。1.3.2经验分布由给定的样本定义一个函数,此函数的性质:(1)当样本固定时,作为x的函数是一个阶梯形的分布函数,恰为样本分量不大于x的频率。(2)当x固定时,它是一个统计量,其分布由总体的分布所确定。v即(二项分布)称为总体对应于样本的经验分布函数。1.4常用的一些统计量1.4.1样本的分位数设为总体,为样本,为顺序统计量,定义称为样本的分位数。当=1/2时,称为样本的中位数。(也用表示)例1.6:若(1.5,2.0,4.0,0,8,3.5,9),则?1.4.2.样本的极差称为样本的极差1.4.3样本分量的秩若,则称的秩为j,记作,它表示样本第个分量,处于顺序统计量中的位次。1.4.4.样本矩设为总体取出的容量为n的样本,统计量叫样本均值;统计量叫样本方差(而称叫修正的样本方差);统计量,(r=1,2,)叫样本的r阶原点矩;统计量,(r=1,2,)叫作样本的r阶中心矩。1.4.5二元总体的样本矩设为二元随机变量,为其样本,称为的边际样本方差;为的边际样本方差;为样本的协方差;为样本的相关系数。2.常用统计量的抽样分布2.1顺序统计量的分布(次序统计量)2.1.1定义设()是来自总体的一个样本,()是该样本的一组观察值,将它按由小到大的次序排列成,如果规定的取值为,k=1,2,n,则称为()的一组次序统计量,而称为第k个次序统计量。(见1.3.1)2.1.2连续型总体次序统计量的分布(仅给出结论)定定理理2.1设总体,为的一个样本,则第k个次序统计量的概率密度函数为:分布函数为:特别:当k=1时,得样本极小值的分布密度与分布函数为:当k=n时,得样本极大值的分布密度与分布函数为:定定理理2.2设总体X的分布函数为,概率密度函数为,为X的一个样本,则第k个次序统计量与第r个次序统计量的联合概率密度函数为(k45时,本书附表中查不到,但可以利用注3求其近似值,即由于,则:例如:求,所以3.2.2t-分布定义:称随机变量有t-分布,自由度为n,如果它有密度函数定理定理3.4设X,Y,且X与Y相互独立,则T=.定义:的上侧分位数,即注注:当自由度时,的极限分布为标准正态分布当n45时,3.2.3F-分布定义:称随机变量有F-分布,自由度为,如果它有密度定理定理3.5设X,Y且X与Y相互独立,则注:注:若X,则1/X定义:的上侧分位数,即,注:注:=1/3.2.4查表1.标准正态分布表:2.分布表:3.分布表:4.分布表:3.3抽样分布定理定理定理4.6(Fisher定理)定理)设总体服从,为其子样,子样的平均值与方差,修正的样本方差分别记为与及,则(1),(2)(3)与(或)独立推推论论:设总体服从,为其子样,则定定理理3.7设与分别为取自,的两个样本,且这两个样本独立,则1.2.若,则其中,定定理理3.8(柯柯赫赫伦伦cochran定定理理)(变变量量分分解解定定理理)设总体,为其子样,且为秩为的关于的二次型,则,l=1,k相互独立,且,l=1,2,k例3.1:设总体 ,为其子样,试证:与相互独立,且分别服从,4.总体分布的近似描述总体分布的近似描述4.1格列汶科定理格列汶科定理 对任意实数x,当 时,格里汶科定理表明:在几乎处处的意义下,当n 充分大时,对x一致地有 F(x)非常接近。由此可见当n较大时,用经验分布函数估计总体分布函数是合理有效的。4.2直方图对于连续型随机变量,其分布函数或密度函数能完整地描述它的取值规律性,给出分布函数或密度函数是等价的。直方图能反映总体密度曲线的大致形状。设X的分布函数和密度函数分别用F(X),f(x)表示:当很小时,有表明:密度函数在x处的值f(x)近似等于随机变量X落入含有x的小区间的概率除以小区间的长度。概率可以用频率近似。设来自X的样本观测值为,考察其中每个值是否属于看作一次试验,则即f(x)与单位长度的频率近似相等,称单位长度的频率为频率密度。编制频数分布表的一般步骤:1.计算极差:2.计算组距:组距=组上限-组下限3.确定组限:选a(略小于或等于,例4.1某厂生产一种25瓦的白炽灯泡,其光通量(单位:流明)用X表示,从这批灯泡中抽取容量为60的样本,进行观察得光通量数据如下:216203197208206209206208202221206213218207203202194203202193203213211198213208204206204206208209213203206207196201208207213208210208211214220211203216224211209218214219211221211218试编制频数分布表,并绘制频率密度直方图。解.1.极差:R=224-193=312.计算组距:d=31/7=4.433.确定组范围:190,195),195,200),200,205),205,210),210,215),215,220),220,225.按光通量分组频数分布表按光通量分组频数频率密度(%)190,195)20.67195,200)31200,205)124205,210)196.3210,215)144.7215,220)62220,22541.3合计60频率密度直方图(P.18)图1.6频率密度分布曲线图(P.19)图1.75.杂例例5.1:在总体中随机抽一容量为36的样本,求样本均值落在50.8到53.8之间的概率。例5.2:在总体中取容量为5的样本,(1)求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率(2)求(3)求例5.3:求总体的容量分别为10,15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。例5.4:设为的一个样本,求例5.5:设是来自的样本,求例5.6:已知,则例5.7:设为总体X的一个样本,求,例5.8:设在总体中抽取一容量为n的样本,未知,(1)求,;(2)当n=16时,求例5.9:设为总体X的一个样本,为第n+1次的观察结果,试证:(1)例5.10:设是来自正态总体X的简单随机样本,则例5.11:设是取自正态总体X的一个样本,求例5.12.:设X服从,为来自总体X的简单随机样本,试求常数C,使CY 分布例5.13:设总体X在()()上服从均匀分布,为其子样,求及极差的数学期望。例5.14:设总体 服从和分别为样本均值和样本方差,又设且与独立。求统计量的抽样分布。
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