统计学院原理课件第三章

第三章第三章 综 合合 指指 标统计学原理学原理引入：引入：1 1、在有关大学生学、在有关大学生学习成成绩影响因素影响因素调查中，假如搜集到了中，假如搜集到了20002000名学生上学期期末各科考名学生上学期期末各科考试成成绩，则 如何考察每如何考察每位学生成位学生成绩的一般水平？如何比的一般水平？如何比较男生和女生的学男生和女生的学习成成绩？2、我国、我国20092011年国内生年国内生产总值（GDP)这些数据如何的来的？从些数据如何的来的？从这些数据，你能些数据，你能发现什么？什么？年份年份200920102011GDP(亿元）元）335353 397983 471564 3、问题：从：从2006年到年到2011年，我国年，我国总人口有什么人口有什么变化？自然增化？自然增长率呢？率呢？统计学原理学原理本章学本章学习主要内容：主要内容：总量指量指标相相对指指标平均指平均指标标志志变异指异指标第一第一节 总 量量 指指 标总量指量指标的含的含义和作用和作用总量指量指标的种的种类（重点）（重点）总量指量指标的的计算方法和算方法和计量量单位位统计学原理学原理总量指量指标的含的含义和作用和作用u概念概念 反映社会反映社会经济现象一定象一定时间、地点、条件下的、地点、条件下的总规模、模、总水平的水平的统计指指标。我国近年来人口我国近年来人口统计 表表现形式：形式：绝对数、有名数。数、有名数。u作用作用:课本本P29P29年份年份199120012011人口数（人口数（亿人）人）11.5812.7613.47统计学原理学原理总体内所有体内所有单位某位某一数量一数量标志志总和和总体体单位位总数数特点特点l 连续登登记l 可加性可加性l 与与时间长短直接相关短直接相关特点特点l 间断登断登记l 不可加性不可加性l 与与时间长短无直接关系短无直接关系u种种类（重点）（重点）统计学原理学原理总量指量指标的的计算主要是理算主要是理论和和实际问题。u同同类总体和体和现象象u统计口径一致（范口径一致（范围）u计量量单位一致位一致总量指量指标计算原算原则（方法）（方法）计量量单位位u实物物单位：自然位：自然单位、度量衡位、度量衡单位、位、双重或多重双重或多重 单位、复合位、复合单位位u价价值单位：也称位：也称为货币单位位u劳动单位：如工位：如工时、工日等。、工日等。第二第二节 相相 对 指指 标相相对指指标的含的含义和作用和作用相相对指指标的表的表现形式形式(重点）重点）相相对指指标的种的种类（种（种类）计算和算和应用相用相对指指标应注意的注意的问题统计学原理学原理u概念概念 两个有两个有联系指系指标对比的比比的比值，反映事物的数量特征和数量关系，又称相，反映事物的数量特征和数量关系，又称相对数。数。例如：我国例如：我国20112011年全国年全国总人口是人口是为134735万人万人，城城镇人口人口为69079万人，比重达到万人，比重达到51.27%u 作用作用n 说明社会明社会现象和象和过程的程的联系程度；系程度；n 便于比便于比较和分析研究和分析研究对象；象；n 是是经济管理、管理、绩效考核的重要工具效考核的重要工具相相对指指标的含的含义和作用和作用u 相相对指指标的表的表现形式形式有名数：具有有名数：具有计量量单位。如元位。如元/人，元人，元/公斤等；公斤等；无名数：无无名数：无计量量单位，具体表位，具体表现为表示表示为系数、倍数、成数、百分数、千分数等；系数、倍数、成数、百分数、千分数等；常用相常用相对指指标类型型n 计划完成相划完成相对指指标；n 结构相构相对指指标；n 比例相比例相对指指标；n 比比较相相对指指标；n 强度相度相对指指标；n 动态相相对指指标统计学原理学原理u 结构相构相对指指标：总体内部体内部组成状况成状况 一般用百分数形式表示，运用十分广泛，如合格率、及格率、恩格一般用百分数形式表示，运用十分广泛，如合格率、及格率、恩格尔系数、就系数、就业率、失率、失业率等都是率等都是结构指构指标。统计学原理学原理u 强度相度相对指指标：现象的象的强度、密度、普遍程度度、密度、普遍程度有有时，强度相度相对指指标的分子分母可以互的分子分母可以互换，形成：，形成：n 正指正指标：比：比值越大，密度越大；越大，密度越大；n 逆指逆指标：比：比值越大，密度越小。越大，密度越小。例如，国土面例如，国土面积与与总人口数是有人口数是有联系的两个系的两个总量指量指标，两个指，两个指标对比形成比形成强度相度相对指指标：强度相度相对指指标常用两种方法表示：常用两种方法表示：n 复名数。如人均复名数。如人均GDPGDP、百人手机、百人手机拥有量、人均住房面有量、人均住房面积等等统计学原理学原理u计划完成相划完成相对数：用来数：用来检查、监督督计划划执行情况的相行情况的相对指指标。一般用百分数表示。一般用百分数表示。相相对指指标的的计算算基本公式：基本公式：运用中分运用中分为四种情况：四种情况：n 计划是以划是以总量指量指标形式下达。形式下达。n 计划以相划以相对指指标形式下达形式下达n 计划划执行行进度度检查（短期（短期计划）划）n 长期期计划划检查 超超额完成（或未完成）完成（或未完成）绝对数数=实际完成数完成数计划数划数统计学原理学原理例：某企例：某企业计划划20082008年第一季度年第一季度实现产值为100100万元，万元，实际实现产值8080万元万元.则：该企企业差差20%20%完成完成计划划产值计划，欠划，欠产2020万元。万元。n 计划以划以总量指量指标形式下达：采用基本公式形式下达：采用基本公式统计学原理学原理n计划数以相划数以相对指指标形式下达形式下达 对基本公式基本公式进行行变换，形成两种公式：，形成两种公式：l 倾向于向于较大（多、高），表述大（多、高），表述为“计划提高、划提高、计划增划增长“等等l 倾向于向于较小（少、低），表述小（少、低），表述为“计划降低、划降低、计划减少划减少”等等100%11+=计划提高率划提高率实际提高率提高率计划完成程度划完成程度100%11-=计划降低率划降低率实际降低率降低率计划完成程度划完成程度统计学原理学原理例：某企例：某企业计划本年度利划本年度利润增增长2020，实际增增长5050；产品品单位成本减少位成本减少1010，实际减少减少7 7。该企企业利利润比比计划多完成划多完成25%25%，而，而单位成本差位成本差3.33%3.33%未完成未完成计划。划。注意：注意：计划完成程度不一定超划完成程度不一定超过100%100%就是完成任就是完成任务。如果。如果计划划规定了最低限定了最低限额（如利（如利润，产量等），量等），则计划划完成程度大于完成程度大于100%为好；如果好；如果计划划规定了最高限定了最高限额（如成本，（如成本，费用等），用等），则计划完成程度小于划完成程度小于100%为好好u 动态相相对指指标：同一指：同一指标不同不同时间上的上的动态比比较，即速度。，即速度。例如，某地区例如，某地区2010年末年末职工人数工人数为1419.4万人，万人，2011年末年末职工人数工人数为1428.6万人，万人，则 动态相相对指指标=1428.6/1419.4=100.65%就是就是说该地地2011年末年末职工人数是工人数是2010年末年末职工人数的工人数的100.65%。统计学原理学原理 u 比比较相相对指指标（类比相比相对数）：不同空数）：不同空间的静的静态对比关系比关系u 比例相比例相对指指标：总体内部的比例关系体内部的比例关系 一般用一般用X：Y或者或者X：Y：Z多个部分数多个部分数值连比的形式百分数形式表示，如性比的形式百分数形式表示，如性别比例、三次比例、三次产业比例、比例、轻重工重工业比例等。比例等。统计学原理学原理n计划划执行行进度度检查（一般（一般计划期未划期未结束）束）l例例 某企某企业计划年度划年度实现利利润320万元，万元，19月已月已实现利利润256万元，万元，则某企某企业能能顺利完成任利完成任务吗？l计划完成程度划完成程度=256/320X100%=80%n 长期期计划的划的检查（计划期已划期已结束）束）出于不同的目的，有两种出于不同的目的，有两种计算方式：算方式：l水平法水平法l累累计法法100%=计划划规定的累定的累计数数长期期计划期划期间实际累累计完成数完成数计划完成程度划完成程度例：某企例：某企业按五年按五年计划划规定最后一年的定最后一年的产量量应达到达到7200万件，万件，实际执行情况如下表，行情况如下表，则该企企业产量量计划完成情况如何？划完成情况如何？有提前完成任有提前完成任务吗？提前了多？提前了多长时间？企企业产量量计划完成程度划完成程度=8100/7200X100%=112.5%年份第一年第二年第三年第四年第五年12341234产量30004500500015001600160017001900200021002100第三第三节 平平 均均 指指 标概述概述常用平均指常用平均指标的的计算算 算数平均数、算数平均数、调和平均数、和平均数、几何平均数、众数、中位数几何平均数、众数、中位数统计学原理学原理 概概 述述u 概念概念 将同将同质总体内各体内各单位某数量位某数量标志的差异抽象化，用以反映志的差异抽象化，用以反映总体在具体条件下的一般水平。体在具体条件下的一般水平。平平均均指指标反反映映同同类现象象的的一一般般水水平平，是是总体体内内各各单位位参参差差不不齐的的标志志值的的代代表表值，也也是是对变量量数数量量集集中中趋势的的测定。定。如果你想知道你在一年里平均每个月的生活如果你想知道你在一年里平均每个月的生活费大概是多少，你会怎么做？大概是多少，你会怎么做？统计学原理学原理数据集中区数据集中区变量量xu 特点特点n 数量差异抽象化：反映数量差异抽象化：反映总体一般水平、普遍水平；体一般水平、普遍水平；n 具体条件下同具体条件下同类现象象计算；算；n 反映反映总体体单位位变量量值的集中的集中趋势：代表：代表值。统计学原理学原理u 种种类统计学原理学原理 算算术平均数平均数算算术平均指平均指标与与强度相度相对指指标的区的区别n 算算术平均数分子分母平均数分子分母总体范体范围一致，两者存在从属关系；而一致，两者存在从属关系；而强度相度相对指指标不存在不存在标志志值与各与各单位的位的对应问题；n 强度相度相对指指标分子分母可互分子分母可互换，算，算术平均数平均数则不可。不可。算算术平均是平均是计算平均指算平均指标最基本的方式，它表明同一最基本的方式，它表明同一总体各体各单位位标志志值的一般水平。基本公式如下：的一般水平。基本公式如下：统计学原理学原理u 简单算算术平均：平均：应用于未分用于未分组的的绝对数形式数形式资料料数学符号数学符号规定：定：统计学原理学原理例例 张三期末考三期末考试成成绩微微积分分 5555分，毛概分，毛概6363分，英分，英语5151分，体育分，体育6969分，宏分，宏观经济学学6565分，数理分，数理统计4545分，求分，求张三的平均成三的平均成绩。张三期末平均成三期末平均成绩为5858分。分。这个成个成绩是是张三同学三同学这个学期学个学期学习业绩的代表的代表值或一般水平。或一般水平。统计学原理学原理u 加加权算算术平均：平均：对于已于已经分分组整理的整理的资料料权数：表示重要性、影响力高低。根据表数：表示重要性、影响力高低。根据表现形式分形式分为两种：两种：n绝对数形式：次数、数形式：次数、频数等数等绝对数形式；数形式；n相相对权形式：比重、形式：比重、频率等相率等相对数形式。数形式。对于于组距数列，距数列，应该用用组中中值作作为变量量值。加加权算算术的一般形式的一般形式为：=SS=ffxfxfx统计学原理学原理成成绩人数人数6060以下以下2 260-7060-705 570-8070-808 880-9080-906 69090以上以上4 4合合计2525组中中值x x5555110110656532532575756006008585510510959538038019251925例例 某班某班统计学期末考学期末考试成成绩如下表，如下表，计算此班算此班统计学平均成学平均成绩。统计学原理学原理n 算算术平均的特点平均的特点优点：点：应用广泛，是平均数用广泛，是平均数计算的基算的基础，适合于代数运算；，适合于代数运算；缺点：缺点：1 1）易受极端）易受极端值影响，代表性降低，并且受极大影响，代表性降低，并且受极大值影影 响大于受极小响大于受极小值影响。影响。2 2）对于开口于开口组，组中中值未必准确，使平均数代表性未必准确，使平均数代表性 不可靠。不可靠。前面的前面的权都是根据分都是根据分组或数据本身得到的。或数据本身得到的。实践中，有些数据并没有分践中，有些数据并没有分组，数据本身也没有体，数据本身也没有体现出出显著的重要著的重要性高低，性高低，这时常常用主常常用主观赋权方式或者其他方式或者其他赋权方式方式给数据数据赋予不同的重要性。予不同的重要性。统计学原理学原理例例 张三期末考三期末考试成成绩微微积分分 5555分，毛概分，毛概6363分，英分，英语5151分，体育分，体育6969分，宏分，宏观经济学学6565分，数理分，数理统计4545分。人分。人们常常常常认为各科的重要性不同，如何求各科的重要性不同，如何求张三的平均成三的平均成绩？有人有人认为微微积分、英分、英语重要性最高，重要性最高，赋予予权数数5 5；数理；数理统计、宏、宏观经济学其次，学其次，赋予予权数数3 3；体育、毛概最；体育、毛概最低，低，赋予予权数数1 1。这样就要采用加就要采用加权算算术平均的方式平均的方式计算算张三同学的平均成三同学的平均成绩。也可以采用也可以采用权重形式重形式赋权。显然不同的然不同的赋权，计算的平均数肯定是有差异的。算的平均数肯定是有差异的。引例：如果某商场出售三种苹果，每千克单价分别为0.5元，0.8元和1元，若各买1元钱的苹果，试问平均每千克的价格是多少？如果每种苹果分别买了3元、4元和5元，则平均每千克的价格是多少？统计学原理学原理n 简单调和平均数和平均数n 加加权调和平均数和平均数u 调和平均和平均 经济统计中，一般要求中，一般要求计算算过程有程有实际的的经济含含义。因此。因此简单调和平均很少使用，加和平均很少使用，加权调和平均和平均则常作常作为加加权算算术平均的平均的变形，形，计算相算相对指指标或者平均指或者平均指标的平均的平均值。统计学原理学原理算算术平均数与平均数与调和平均数和平均数 计算相算相对指指标和平均指和平均指标的平均的平均值时，由于掌握的，由于掌握的资料不同，有料不同，有时候采用加候采用加权算算术平均方便，有平均方便，有时候采用候采用调和平和平均方便。均方便。=iiiiiiiiiixmmxxfxfxfx计算，即算，即，则采用加采用加权调和平均和平均和和如果已知如果已知；计算，即算，即，则采用加采用加权算算术平均平均和和如果已知如果已知m统计学原理学原理算算术平均平均：价格（元）价格（元）4 42.52.52 2合合计销售量（斤）售量（斤）3 34 45 51212调和平均和平均：价格（元）价格（元）4.04.02.52.52.02.0合合计销售售额（元）（元）1212101010103232例例 某种商品某种商品三个地区的三个地区的销售价格不同，假售价格不同，假设取得有关三个地区的所有取得有关三个地区的所有资料，即料，即销售售额、销售量和售量和销售价格，据此售价格，据此计算此种商品平均算此种商品平均销售价格。售价格。统计学原理学原理 众数众数 众数是众数是总体中出体中出现次数最多的次数最多的标志志值。u存在条件：存在条件：只能用于分只能用于分组资料中，料中，总体中体中单位数位数较多，各多，各标志的分配有明志的分配有明显的集中的集中趋势。u 计算方法：算方法：u对于于单项数列可直接数列可直接观察出众数，察出众数，u组距数列需要采用公式距数列需要采用公式计算出众数算出众数。上限公式：上限公式：下限公式：下限公式：两个公式等同，建两个公式等同，建议采用下限公式。采用下限公式。dLMD+DD+=211odUMD+DD-=212o统计学原理学原理u 众数的特点众数的特点n 不受极端不受极端值和开口和开口组的影响，增的影响，增强了代表性；了代表性；n 分布数列没有明分布数列没有明显的集中的集中趋势以及以及对于异距数列于异距数列时，不容易确定众数。，不容易确定众数。合合计1 12 23 34 45 5成成绩52522 25 56 628281 1人数人数f例例 单项式数列的众数。式数列的众数。可直接可直接观察出众数察出众数为4 4分分统计学原理学原理成成 绩（分）（分）人人 数（人）数（人）6060以下以下60-7060-7070-8070-8080-9080-909090以上以上2 25 58 86 64 4合合计2525人数最多人数最多为第三第三组，所以众数，所以众数组为 707080 80 例例 组距数列距数列计算众数：算众数：统计学原理学原理 中位数中位数总体中各体中各标志志值排序后，排序后，处于中于中间位置的位置的标志志值。u 计算方式（未分算方式（未分组资料、料、单项数列和数列和组距数列）距数列）n 未分未分组资料料l 排序排序l 计算中位数所在位置算中位数所在位置l 确定中位数确定中位数n n为奇数：中奇数：中间位置位置对应的的标志志值。n n为偶数：两个中偶数：两个中间位置位置对应标志志值的的简单算算术平均平均值。统计学原理学原理n 单项数列数列l 计算中位数所在位置：算中位数所在位置：l 计算向上累算向上累计次数或向下累次数或向下累计次数（推荐向上累次数（推荐向上累计）l 累累计次数次数刚刚大于中位数位置的大于中位数位置的组对应的的标志志值就是中位数。就是中位数。n组距数列距数列 前面三步与前面三步与单项数列的一数列的一样，只不，只不过找到是中位数所在找到是中位数所在组，然后需要用插，然后需要用插值法法计算中位数近似算中位数近似值：下限公式（向上累下限公式（向上累计）上限公式（向下累上限公式（向下累计）统计学原理学原理u 中位数特点中位数特点n 不受极端不受极端值和开口和开口组影响，具有影响，具有稳健性；健性；n 与中位数的离差与中位数的离差绝对值之和最小；之和最小；n 可运用于不具有数字特点或不能用数字可运用于不具有数字特点或不能用数字测定的定的现象。象。例例 未分未分组资料料计算中位数算中位数 工人日工人日产量量（件人）（件人）工人日工人日产量量（件（件/人）人）5050606070708080909010010050506060707080809090n=6n=6n=5n=5统计学原理学原理单台台设备日日产量量设备台数台数505060607070808090901001005 54 46 67 74 42 2合合计2828例例 单项数列数列计算中位数算中位数 向上累向上累计5 59 91515222226262828统计学原理学原理成成 绩（分）（分）人人 数（人）数（人）6060以下以下60-7060-7070-8070-8080-9080-909090以上以上2 25 58 86 64 4合合计2525中位数中位数组为 707080 80 例例 组距数列距数列计算中位数：算中位数：2 27 7151521212525向上累向上累计统计学原理学原理u 位置平均数与算位置平均数与算术平均数的关系平均数的关系X Xf fX Xf f对称分布称分布右偏分布右偏分布左偏分布左偏分布当偏斜不大当偏斜不大时：X Xf f第四第四节 标志志变异指异指标概述概述极差极差平均差平均差标准差准差离散系数离散系数统计学原理学原理 概概 述述 说明明总体各体各单位位标志志值差异程度的指差异程度的指标，又称，又称标志志变异度、离散程度或离中程度。异度、离散程度或离中程度。n 衡量平均指衡量平均指标代表性的大小（一般来代表性的大小（一般来说）u 作用：作用：l 标志志变异指异指标越大，平均数代表性越小；越大，平均数代表性越小；l 标志志变异指异指标越小，平均数代表性越大。越小，平均数代表性越大。n 衡量衡量现象象稳定性、定性、协调性和均衡性的程度。性和均衡性的程度。u 种种类：全距、平均差、全距、平均差、标准差和离散系数。准差和离散系数。统计学原理学原理 标志志变异度的异度的计算算n 特点：特点：又称又称“全距全距”，它是，它是总体各体各单位位标志的最大志的最大值和最小和最小值之差，用以之差，用以说明所有明所有标志志值变动范范围的大小，的大小，常用常用R R表示。表示。l计算方便，易理解。常用于算方便，易理解。常用于检查产品品质量的量的稳定性和定性和进行行质量控制；量控制；l只只考考虑数数列列两两端端数数值差差异异，不不反反映映中中间数数值的的差差异异情情况况，故故不不能能全全面面反反映映总体体各各单位位标志的差异程度；志的差异程度；u 极差（极差（rangerange）有甲乙两组工人，每组有工人7名，其工资资料如表7-1 表7-1 两组工人工资资料 单位：元组别1234567甲组乙组1100900112010001150110012001200125013001280140013001500甲组全距：R=1300-1100=200(元）乙组全距：R=1500-900=600（元）统计学原理学原理uu 平均差平均差平均差平均差 各各单位位标志志值与平均数的离差（与平均数的离差（deviationdeviation）绝对值的平均数，以的平均数，以A.D.A.D.表示。表示。特点特点特点特点l根据全部根据全部变量量值计算，算，较前两个指前两个指标的代表性更大；的代表性更大；l采用采用绝对值消除离差，不适合于代数方法的演算，故其消除离差，不适合于代数方法的演算，故其应用受到限制；用受到限制；n 未分未分组资料料n 分分组资料料某车间50名工人日产量资料见表7-3表7-3 某车间工人日产量加权平均差计算表19202122235151711295300357242461.80.80.21.22.29123.413.24.4合计50104042按日按日产量分量分组（件）（件）工人人数（人）工人人数（人）各各组产量（件）量（件）（件）（件）（件）（件）统计学原理学原理uu 标标准差准差准差准差 （Standard deviationStandard deviation ）标准差是各准差是各单位位标志志值与算与算术平均数的离差平方和的算平均数的离差平方和的算术平均数的开放，又称平均数的开放，又称“均方差均方差”，以，以表示。表示。标准差的平方即准差的平方即为方差（方差（VarianceVariance），用），用2 2表示。表示。n 未分未分组资料料 n 分分组资料料()nxx-S=2s表7-4 甲乙两组工人日产量标准差计算表甲甲组乙乙组日日产量量（件）（件）日日产量量（件）（件）1718192021222332101239410149101417202326301063036101003690936100合合计028合合计0290（件）（件）（件）（件）统计学原理学原理例例 某班学生某班学生统计学考学考试成成绩分分组资料如下：料如下：考考试成成绩学生人数学生人数6060分以下分以下60607070707080808080909090901001002 21313222218185 5合合 计6060475.62475.62953.1953.11819.341819.3473.6873.681201.481201.481650.741650.74x fx f110110845845165016501530153047547546104610605060505492554925123750123750130050130050451254512535990035990043.6643.66153.79153.7940.2640.26147.06147.0690.8590.855698.345698.34统计学原理学原理u 离散系数离散系数 离散系数也称离散系数也称为标志志变动系数，用以反映各系数，用以反映各单位位标志志值的离散程度；离散系数可消除不同的离散程度；离散系数可消除不同计量量单位或不同位或不同水平数列之水平数列之间的差异程度；的差异程度；离散系数的形式：离散系数的形式：最常用的最常用的标准差系数：准差系数：统计学原理学原理例例 甲、乙两地甲、乙两地农户年人均年人均纯收入收入资料如下：料如下：地区地区甲地甲地乙地乙地人均人均纯收入（元）收入（元）标准差（元）准差（元）1840184011601160280280230230试比比较两地两地农户年人均收入代表性的大小。年人均收入代表性的大小。v v甲甲 v v乙乙 ，故甲地，故甲地农户年人均收入代表性更大。年人均收入代表性更大。