第十二章-动量矩定理1课件

质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 动量矩定理动量矩定理 刚体绕定轴转动的微分方程刚体绕定轴转动的微分方程 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理引引 言言 由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一简由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分解由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分解为随同基点的平动和相对基点的转动。为随同基点的平动和相对基点的转动。若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理（质若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理（质心运动定理）描述了刚体随同质心的运动的变化和外力心运动定理）描述了刚体随同质心的运动的变化和外力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一个侧面。系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系对质心的主矩刚体相对质心的转动的运动变化与外力系对质心的主矩的关系将有本章的动量矩定理给出。它揭示了物体机械的关系将有本章的动量矩定理给出。它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。运动规律的另一个侧面。12.1质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩一、质点的动量矩 设质点设质点 某瞬时的动量为某瞬时的动量为 ，质点相对固定点质点相对固定点 的矢径为的矢径为 ，如，如图。图。质点质点M的动量对于点的动量对于点O的矩，的矩，定义为质点对于点定义为质点对于点O的动量矩的动量矩，即，即 垂直于垂直于 ，大小等于，大小等于 面积的二面积的二倍，方向由右手法则确定。倍，方向由右手法则确定。类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对固定坐标轴的动量矩等于质点对坐标原点的动量对固定坐标轴的动量矩等于质点对坐标原点的动量矩在相应坐标轴上的投影矩在相应坐标轴上的投影，即即质点对固定轴的动量矩是代数量，其正负号可由右质点对固定轴的动量矩是代数量，其正负号可由右手法则来确定。动量矩是瞬时量。在国际单位制中，手法则来确定。动量矩是瞬时量。在国际单位制中，动量矩的单位是动量矩的单位是12.1质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩二、质点系的动量矩 1、质点系对固定点的动量矩、质点系对固定点的动量矩 设质点系由设质点系由 个质点组成，其中第个质点组成，其中第 个质点的个质点的动量为动量为 ，对任一固定点的动量矩为，对任一固定点的动量矩为 ，则质点系对固定点则质点系对固定点 的动量矩为的动量矩为即：即：质点系对任一固定点质点系对任一固定点O的动量矩定义为质点系的动量矩定义为质点系中各质点对固定点动量矩的矢量和中各质点对固定点动量矩的矢量和。2、质点系对固定轴的动量矩、质点系对固定轴的动量矩 以固定点以固定点O为原点建立直角坐标轴，将上式投为原点建立直角坐标轴，将上式投影到影到 轴上，则有轴上，则有即：即：质点系对任一固定轴的动量矩定义为质点系质点系对任一固定轴的动量矩定义为质点系中各质点对该固定轴动量矩的代数和中各质点对该固定轴动量矩的代数和。12.1质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩二、质点系的动量矩 3、平动刚体的动量矩、平动刚体的动量矩 设平动刚体的质量为设平动刚体的质量为 ，质心，质心 的速度为的速度为 。其上任一点。其上任一点 的质量的质量为为 ，速度为，速度为 ，则，则 。任选。任选一固定点一固定点 ，则有，则有由于由于 ，所以，所以即：即：平动刚体对任一固定点的动量矩等于视刚体为平动刚体对任一固定点的动量矩等于视刚体为质量集中于质心的质点对该固定点的动量矩质量集中于质心的质点对该固定点的动量矩。12.1质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩二、质点系的动量矩 4、转动刚体对转轴的动量矩、转动刚体对转轴的动量矩 设刚体绕定轴设刚体绕定轴 转动的角速度为转动的角速度为 ，刚体上任一质点，刚体上任一质点 的质量为的质量为 ，到转，到转轴的距离为轴的距离为 ，则其速度的大小为，则其速度的大小为 ，于是有，于是有令令 称为刚体对转轴称为刚体对转轴 的的转动惯量转动惯量，于是有，于是有即：即：定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与刚体角速度的乘积的转动惯量与刚体角速度的乘积。12.1质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩二、质点系的动量矩 例例1 均质圆盘可绕轴均质圆盘可绕轴 转动，其转动，其上缠有一绳，绳下端吊一重物上缠有一绳，绳下端吊一重物 。若。若圆盘对转轴圆盘对转轴 的转动惯量为的转动惯量为 ，半径，半径为为 ，角速度为，角速度为 ，重物，重物 的质量为的质量为 ，并设绳与原盘间无相对滑动，求系，并设绳与原盘间无相对滑动，求系统对轴统对轴 的动量矩。的动量矩。解：的转向沿逆时针方向。12.2动 量 矩 定 理一、质点的动量矩定理一、质点的动量矩定理 设质点对固定点设质点对固定点 的动量矩的动量矩为为 ，作用力，作用力 对同一点对同一点的矩为的矩为 ，如图所示。，如图所示。将动量矩对时间取一次导数，将动量矩对时间取一次导数，得得由由 ，且，且 ，则上式可改写为，则上式可改写为因为因为 ，于是得，于是得12.2动 量 矩 定 理一、质点的动量矩定理一、质点的动量矩定理即：即：质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导数，质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于质点所受的力对同一点的矩等于质点所受的力对同一点的矩。这就是。这就是质点的动质点的动量矩定理量矩定理。将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量矩的关系代入，得与对轴的动量矩的关系代入，得即：即：质点对某固定轴的动量矩对时间的一阶导数等质点对某固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于质点所受的力对同一轴的矩于质点所受的力对同一轴的矩。12.2动 量 矩 定 理一、质点的动量矩定理一、质点的动量矩定理 在特殊情况下，若在特殊情况下，若 ，则，则 若若 ，则，则即：即：若作用在质点上的作用力对某固定点（或固定若作用在质点上的作用力对某固定点（或固定轴）之矩恒等于零，则质点对该点（或该轴）的动轴）之矩恒等于零，则质点对该点（或该轴）的动量矩为常矢量（或常量）。量矩为常矢量（或常量）。这就是这就是质点的动量矩守质点的动量矩守恒定理恒定理。12.2动 量 矩 定 理一、质点的动量矩定理一、质点的动量矩定理 例例2 图示为一单摆（数学摆），摆图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为锤质量为 ，摆线长为，摆线长为 ，如给摆锤以，如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过在经过 点的铅垂平面内摆动。求此单点的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。摆在微小摆动时的运动规律。解：以摆锤为研究对象，受力如图，建立如图坐标。在任一瞬时，摆锤的速度为 ，摆的偏角为 ，则 式中负号表示力矩的正负号恒与角坐标 的正负号相反。它表明力矩总是有使摆锤回到平衡位置的趋势。12.2动 量 矩 定 理一、质点的动量矩定理一、质点的动量矩定理由 ，得即这就是单摆的运动微分方程。当 很小时摆作微摆动，于是上式变为此微分方程的解为其中 和 为积分常数，取决于初始条件。可见单摆的微幅摆动为简谐运动。摆动的周期为显然，周期只与 有关，而与初始条件无关。12.2动 量 矩 定 理二、质点系的动量矩定理二、质点系的动量矩定理 设质点系内有设质点系内有 个质点，作用于每个质点的力分个质点，作用于每个质点的力分为外力为外力 和内力和内力 。由质点的动量矩定理有。由质点的动量矩定理有这样的方程共有这样的方程共有 个，相加后得个，相加后得由于内力总是成对出现，因此上式右端的底二项由于内力总是成对出现，因此上式右端的底二项上式左端为上式左端为于是得于是得12.2动 量 矩 定 理二、质点系的动量矩定理二、质点系的动量矩定理即：即：质点系对某固定点质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。这就是这就是质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理。应用时，取投影式应用时，取投影式即：即：质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一轴的矩的代数和。于作用于质点系的外力对于同一轴的矩的代数和。12.2动 量 矩 定 理二、质点系的动量矩定理二、质点系的动量矩定理 在特殊情况下，若在特殊情况下，若 ，则，则 若若 ，则，则即：即：若作用在质点系上的作用力对某固定点（或固若作用在质点系上的作用力对某固定点（或固定轴）之矩恒等于零，则质点系对该点（或该轴）定轴）之矩恒等于零，则质点系对该点（或该轴）的动量矩为常矢量（或常量）。的动量矩为常矢量（或常量）。这就是这就是质点系的动质点系的动量矩守恒定理量矩守恒定理。12.2动 量 矩 定 理二、质点系的动量矩定理二、质点系的动量矩定理例例3 高炉运送矿石的卷扬机如图。高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为已知鼓轮的半径为 ，质量为，质量为 ，绕，绕 轴转动。小车和矿石的总轴转动。小车和矿石的总质量为质量为 。作用在鼓轮上的力偶。作用在鼓轮上的力偶矩为矩为 ，鼓轮对转轴的转动惯量，鼓轮对转轴的转动惯量为为 ，轨道倾角为，轨道倾角为 。设绳质量和各处摩擦不计，求。设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度小车的加速度 。解：以系统为研究对象，受力如图。以顺时针为正，则由 ，有12.2动 量 矩 定 理二、质点系的动量矩定理二、质点系的动量矩定理因 ，于是解得若 ，则 ，小车的加速度沿轨道向上。必须强调的是：必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。全一致。12.2动 量 矩 定 理二、质点系的动量矩定理例例4 水平杆水平杆AB长为长为 ，可绕铅垂轴，可绕铅垂轴 转转动，其两端各用铰链与长为动，其两端各用铰链与长为 的杆的杆AC及及BD相连，杆端各联结重为相连，杆端各联结重为 的小球的小球C和和D。起初两小球用细线相连，使杆起初两小球用细线相连，使杆AC与与BD均均为铅垂时，这系统绕为铅垂时，这系统绕 轴的角速度为轴的角速度为 （如图）。如某时此细线拉断后，杆（如图）。如某时此细线拉断后，杆AC和和BD各与铅垂线成各与铅垂线成 角。不计各杆的质角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度量，求这时系统的角速度 。解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即12.2动 量 矩 定 理二、质点系的动量矩定理二、质点系的动量矩定理其中于是由此求出断线后的角速度为显然，此时的角速度 。12.2动 量 矩 定 理二、质点系的动量矩定理二、质点系的动量矩定理 例例5 一绳跨过定滑轮，其一端吊有质一绳跨过定滑轮，其一端吊有质量为量为 的重物的重物 ，另一端有一质量为，另一端有一质量为 的的人以速度人以速度 相对细绳向上爬。若滑轮半径相对细绳向上爬。若滑轮半径为为 ，质量不计，并且开始时系统静止，质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。求人的速度。解：以系统为研究对象，受力如图。由于 ，且系统初始静止，所以 。设重物A上升的速度为 ，则人的绝对速度 的大小为所以即12.2动 量 矩 定 理二、质点系的动量矩定理二、质点系的动量矩定理由上式解得重物A的速度为于是人的绝对速度为由上可知，人与重物A具有相同的的速度，此速度等于人相对绳的速度的一半。如果开始时，人与重物A位于同一高度，则不论人以多大的相对速度爬绳，人与重物A将始终保持相同的高度。设刚体绕定轴设刚体绕定轴 转动，受力如转动，受力如图所示。设刚体对轴图所示。设刚体对轴 的转动惯量的转动惯量为为 ，则，则 ，由，由得得即：即：刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上的主动力对该轴的矩的代数和作用于刚体上的主动力对该轴的矩的代数和。以上各。以上各式均称为式均称为刚体绕定轴转动的微分方程刚体绕定轴转动的微分方程。应用刚体定轴。应用刚体定轴转动的微分方程可以解决动力学两类问题。转动的微分方程可以解决动力学两类问题。12.3刚刚体体定定轴轴转转动动的的微微分分方方程程刚体定轴转动的微分方程刚体定轴转动的微分方程 例例6 如图所示，已知滑轮半径为如图所示，已知滑轮半径为 ，转动惯量为，转动惯量为 ，带动滑轮的皮带拉，带动滑轮的皮带拉力为力为 和和 。求滑轮的角加速度。求滑轮的角加速度 。解：由刚体定轴转动的微分方程于是得由上式可见，只有当定滑轮匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。12.3刚刚体体定定轴轴转转动动的的微微分分方方程程 例例7 图示物理摆的质量为图示物理摆的质量为 ，为为其质心，摆对转轴的转动惯量为其质心，摆对转轴的转动惯量为 。求。求微小摆动的周期。微小摆动的周期。解：设 角以逆时针方向为正。当 角为正时，重力对 点之矩为负。由刚体定轴转动的微分方程，有 当微摆动时，有 ，故方程写为此方程通解为 为角振幅，为初相位。它们均由初始条件确定。摆动周期为12.3刚刚体体定定轴轴转转动动的的微微分分方方程程 如将上式改写为这就表明，如已知某物体的质量和质心位置，并将物体悬挂于 点作微幅摆动，测出摆动周期后即可计算出此物体对于 轴的转动惯量。例例8 如图，飞轮对转轴的转动惯如图，飞轮对转轴的转动惯量为量为 ，以初角速度，以初角速度 绕水平轴转动，绕水平轴转动，其阻力矩其阻力矩 （为常数）。求经为常数）。求经过多长时间，角速度降至初角速度的过多长时间，角速度降至初角速度的一半，在此时间内共转多少转。一半，在此时间内共转多少转。解：以飞轮为研究对象，由刚体定轴转动的微分方程，有（1）12.3刚刚体体定定轴轴转转动动的的微微分分方方程程将（1）式变换，有将上式求定积分，得将（1）式改写为即将上式求定积分，得转过的角度为因此转过的转数12.3刚刚体体定定轴轴转转动动的的微微分分方方程程例例9 如图所示，啮合齿轮各绕定如图所示，啮合齿轮各绕定轴轴 、转动，其半径分别为转动，其半径分别为 、，质量分别为，质量分别为 、，转动，转动惯量分别为惯量分别为 、，今在轮，今在轮 上上作用一力矩作用一力矩 ，求其角加速度。，求其角加速度。解：分别以两轮为研究对象，受力如图，由刚体定轴转动的微分方程，有由运动学关系，得注意到 ，联立求解以上三式得12.3刚刚体体定定轴轴转转动动的的微微分分方方程程12.4转 动 惯 量一、转动惯量的概念一、转动惯量的概念 由前知，刚体对轴由前知，刚体对轴 的转动惯量定义为：的转动惯量定义为：刚体上刚体上所有质点的质量与该质点到轴所有质点的质量与该质点到轴 的垂直距离的平方乘的垂直距离的平方乘积的算术和积的算术和。即。即对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式 由定义可知，转动惯量不仅与质量有关，而且与质量的分布有关；在国际单位制中，转动惯量的单位是：。同一刚体对不同轴的转动惯量是不同的，而它对某定轴的转动惯量却是常数。因此在谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的转动惯量。12.4转 动 惯 量二、规则形状均质刚体的转动惯量二、规则形状均质刚体的转动惯量 1、均质细杆对过质心和端点且垂直于杆轴线轴的转动惯量 取杆的轴线为 轴，轴的位置如图。在距 轴为 处取一长度为 的微段，它的质量为，对于 的转动惯量为 。于是整个细长杆对于 轴的转动惯量为同法可得对 轴的转动惯量为12.4转 动 惯 量二、规则形状均质刚体的转动惯量二、规则形状均质刚体的转动惯量 2、细圆环对过质心垂直于圆环平面轴的转动惯量 设细圆环的质量为 ，半径为 。则 3、薄圆板对过质心垂直于板平面轴的转动惯量 设细圆环的质量为 ，半径为 。则 ，圆环的质量为 ，于是圆板转动惯量为12.4转 动 惯 量二、规则形状均质刚体的转动惯量二、规则形状均质刚体的转动惯量 4、圆柱体对其中心轴的转动惯量 设圆柱体的质量为 ，半径为 ，则 5、薄平面的转动惯量 取如图坐标轴。任取微面元 ，其质量为 ，则于是得到薄平板对三坐标轴的转动惯量之间的关系式，即12.4转 动 惯 量二、规则形状均质刚体的转动惯量二、规则形状均质刚体的转动惯量 对于薄圆板，注意到它关于直径的对称性，有 6、矩形薄平板的转动惯量 设板的质量为 ，则同理而它对垂直于板平面的质心轴 的转动惯量为12.4转 动 惯 量三、转动惯量的平行轴定理三、转动惯量的平行轴定理 定理：定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即，即 证明：如图所示，作直角坐标系，则因为 ，于是12.4转 动 惯 量三、转动惯量的平行移轴定理三、转动惯量的平行移轴定理 由质心坐标公式 ，当坐标原点取在质心 时，又有 ，于是得证毕。由定理可知：由定理可知：刚体对于所有平行轴的转动惯量，刚体对于所有平行轴的转动惯量，过质心轴的转动惯量最小过质心轴的转动惯量最小。12.4转 动 惯 量三、转动惯量的平行移轴定理三、转动惯量的平行移轴定理 例例10 如图所示，已知均质杆的质如图所示，已知均质杆的质量为量为 ，对，对 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 ，求，求杆对杆对 的转动惯量的转动惯量 。解：由 ，得（1）（2）12.4转 动 惯 量四、组合刚体的转动惯量 例例11 均质直角折杆尺寸如图，其均质直角折杆尺寸如图，其质量为质量为 ，求其对轴，求其对轴 的转动惯量。的转动惯量。解：12.4转 动 惯 量四、组合刚体的转动惯量 例例12 如图所示，质量为如图所示，质量为 的均质的均质空心圆柱体外径为空心圆柱体外径为 ，内径为，内径为 ，求对中心轴求对中心轴 的转动惯量。的转动惯量。解：空心圆柱可看成由两个实心圆柱体组成，外圆柱体的转动惯量为 ，内圆柱体的转动惯量为 取负值，即设 、分别为外、内圆柱体的质量，则于是12.4转 动 惯 量四、组合刚体的转动惯量 设单位体积的质量为 ，则代入前式得注意到 ，则得12.4转 动 惯 量五、回转半径（惯性半径）五、回转半径（惯性半径）在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义为 称为刚体对 轴的回转半径。显然 具有常度的单位。如果已知回转半径 ，则刚体对转轴 的转动惯量为 回转半径的几何意义是：假想地将刚体的质量集中到一点处，并保持刚体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离就等于回转半径的长度。由定义知，回转半径仅与刚体的形状有关，而与刚体的材质（即与刚体的质量）无关。即几何形状相同，材质不同的均质刚体，其回转半径相同。12.5质点系相对质心的动量矩定理 如图所示如图所示，为固定点，为固定点，为质点系的质心，质点系对于固为质点系的质心，质点系对于固定点的动量矩为定点的动量矩为对于任一质点对于任一质点 ，由图可见，由图可见于是于是由于由于 ，令令 ，它是质，它是质点系相对于质心的动量矩。于是得点系相对于质心的动量矩。于是得即：即：质点系对任一点质点系对任一点 O的动量矩等于集中于质心的系的动量矩等于集中于质心的系统动量统动量 对于对于O点的动量矩再加上此系统对于质心点的动量矩再加上此系统对于质心的动量矩的动量矩 （应为矢量和）。（应为矢量和）。一、质点系对任一固定点一、质点系对任一固定点 O的动量矩的动量矩12.5质点系相对质心的动量矩定理其中其中 ，即：即：质点系在绝对运动中对质心的动量矩，等于质点质点系在绝对运动中对质心的动量矩，等于质点系在相对质心平动坐标系的运动中对质心的动量矩。系在相对质心平动坐标系的运动中对质心的动量矩。二、质点系在二、质点系在绝对运动及相对运动中绝对运动及相对运动中对质心的动量矩对质心的动量矩计算：计算：由于由于于是得：于是得：12.5质点系相对质心的动量矩定理即：即：质点系对任一点质点系对任一点 O的动量矩等于集中于质心的系的动量矩等于集中于质心的系统动量统动量 对于对于O点的动量矩再加上此系统相对于质点的动量矩再加上此系统相对于质心的动量矩心的动量矩 （应为矢量和）。（应为矢量和）。质点系对任一固定点质点系对任一固定点 O的动量矩的动量矩12.5质点系相对质心的动量矩定理即：即：质点系对任一点质点系对任一点 O的动量矩等于集中于质心的系的动量矩等于集中于质心的系统动量统动量 对于对于O点的动量矩再加上此系统相对于质点的动量矩再加上此系统相对于质心的动量矩心的动量矩 （应为矢量和）。（应为矢量和）。质点系对任一固定点质点系对任一固定点 O的动量矩的动量矩12.5质点系相对质心的动量矩定理 例例13 均质圆盘质量为均质圆盘质量为 ，半径为半径为 。细杆。细杆OA质量为质量为 ，长，长为为 ，绕轴，绕轴O转动的角速度为转动的角速度为 、求下列三种情况下系统对轴、求下列三种情况下系统对轴O的的动量矩：动量矩：(a)圆盘与杆固结；圆盘与杆固结；(b)圆盘绕轴圆盘绕轴A相对杆相对杆OA以角速以角速度度 逆逆 时针方向转动；时针方向转动；(c)圆盘绕轴圆盘绕轴A相对杆相对杆OA以以角速度角速度 顺顺 时针方向转动。时针方向转动。解：(a)12.5质点系相对质心的动量矩定理(b)(c)12.5质点系相对质心的动量矩定理 质点系对于固定点质点系对于固定点O的动量矩定理可写成的动量矩定理可写成展开上式括弧，注意右端项中展开上式括弧，注意右端项中 ，于是上式，于是上式化为化为因为因为 ，于，于是上式成为是上式成为上式右端是外力对质心的主矩，于是得上式右端是外力对质心的主矩，于是得12.5质点系相对质心的动量矩定理 即：即：质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩等于作用于质点系的外力对质心的主矩。这就是。这就是质质点系相对于质心的动量矩定理点系相对于质心的动量矩定理。12.6刚体平面运动微分方程 由刚体平面运动理论知：平面运由刚体平面运动理论知：平面运动刚体的位置可由基点的位置与刚体动刚体的位置可由基点的位置与刚体绕基点的转角确定。取质心为基点，绕基点的转角确定。取质心为基点，如图所示，则刚体的位置可有质心坐如图所示，则刚体的位置可有质心坐标和标和 角确定。刚体的运动可分解为角确定。刚体的运动可分解为随同质心的平动和相对质心的转动两随同质心的平动和相对质心的转动两部分。取如图的动坐标系，则刚体绕质心的动量矩为部分。取如图的动坐标系，则刚体绕质心的动量矩为 为刚体过质心且垂直于图示平面轴的转动惯量。为刚体过质心且垂直于图示平面轴的转动惯量。设刚体在力设刚体在力 、作作用下作平面运动，由质心运动定理用下作平面运动，由质心运动定理和相对质心的动量矩定理得和相对质心的动量矩定理得12.6刚体平面运动微分方程上式也可写成上式也可写成以上两式称为以上两式称为刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程。应用时，前一。应用时，前一式取其投影式。即式取其投影式。即或或12.6刚体平面运动微分方程 例例14 一均质圆柱，重一均质圆柱，重 ，半，半径为径为 ，无初速地放在倾角为，无初速地放在倾角为 的的斜面上，不计滚动阻力，求其质心斜面上，不计滚动阻力，求其质心的加速度。的加速度。解：以圆柱体为研究对象，受力如图。圆柱体在斜面上的运动形式，取决于接触处的光滑程度，下面分三种情况进行讨论：（1）设接触处完全光滑 此时圆柱作平动，由质心运动定理即得圆柱质心的加速度12.6刚体平面运动微分方程 （2）设接触处相当粗糙 此时圆柱作纯滚动，这时滑动摩擦力 。由有（1）（2）（3）由纯滚动条件有（4）由（1）、（3）、（4）式解得同时可解得由于圆柱作纯滚动，故12.6刚体平面运动微分方程所以：，可得这就是圆柱体在斜面上作纯滚动的条件。（3）设不满足圆柱体在斜面上作纯滚动的条件，即当 时，则圆柱体在斜面上既滚动又滑动。在这种情况下，关系式（4）不成立。设圆柱体沿斜面滑动的动摩擦系数为 ，则滑动摩擦力（5）于是，由式（1）、（2）、（3）、（5）联立解得12.6刚体平面运动微分方程 例例15 均质圆柱体均质圆柱体A和和B重量均为重量均为 ，半径均为，半径均为 。圆柱。圆柱A可绕固定轴可绕固定轴O转转动。一绳绕在圆柱动。一绳绕在圆柱A上，绳的另一端绕上，绳的另一端绕在圆柱在圆柱B上。求上。求B下落时，质心下落时，质心C点的点的加速度。摩擦不计。加速度。摩擦不计。解：分别以A、B为研究对象，受力如图。A作定轴转动，B作平面运动。对A和B分别应用定轴转动的微分方程和平面运动的微分方程，有（1）（2）（3）其中（4）12.6刚体平面运动微分方程由运动学关系（5）联立求解（1）（5），得12.6刚体平面运动微分方程 例例16 如图质量为如图质量为 的均质杆的均质杆AB用细绳吊住，已知两绳与水平用细绳吊住，已知两绳与水平方向的夹角为方向的夹角为 。求。求B端绳断开瞬端绳断开瞬时，时，A端绳的张力。端绳的张力。解：以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。由有（1）（2）AB作平面运动，以A为基点，则12.6刚体平面运动微分方程因为断开初瞬时，故 ，所以将上式投影到 轴上，得而所以（3）联立求解（1）、（2）、（3）式，得12.6刚体平面运动微分方程 例例17 长长 ，重，重 的均质杆的均质杆AB和和BC用用铰链铰链B联接，并用铰链联接，并用铰链A固定，位于平衡位固定，位于平衡位置如图所示。今在置如图所示。今在C端作用一水平力端作用一水平力 ，求此瞬时，两杆的角加速度。求此瞬时，两杆的角加速度。解：分别以AB和BC为研究对象，受力如图。AB和BC分别作定轴转动和平面运动。对AB由定轴转动的微分方程得（1）对BC由刚体平面运动的微分方程12.6刚体平面运动微分方程得（2）（3）BC作平面运动，取B为基点，则其中将以上矢量式投影到水平方向，得（4）由（1）（4）联立解得12.6刚体平面运动微分方程 例例18 平板质量为平板质量为 ，受水平力，受水平力 作用而沿水平面运动，板与水平面作用而沿水平面运动，板与水平面间的动摩擦系数为间的动摩擦系数为 ，平板上放一质，平板上放一质量为量为 的均质圆柱，它相对平板只滚的均质圆柱，它相对平板只滚动不滑动，求平板的加速度。动不滑动，求平板的加速度。解：分别以圆柱和板为研究对象，受力如图，建立如图坐标。对圆柱：由有由运动学：于是得：得12.6刚体平面运动微分方程于是可得对板：由有由摩擦定律有即于是可得所以12.6刚体平面运动微分方程例例19 行星齿轮机构的曲柄行星齿轮机构的曲柄 受力受力 矩矩M作用而绕固定铅直轴作用而绕固定铅直轴O转动，并转动，并带动齿轮带动齿轮 在固定水平齿轮在固定水平齿轮O上滚动上滚动如图所示。设曲柄如图所示。设曲柄 为均质杆，长为均质杆，长 l、重重 P；齿轮齿轮 为均质圆盘，半径为均质圆盘，半径 r、重、重Q。试求曲柄的角加速度及两试求曲柄的角加速度及两齿轮接触处沿切线方向的力。齿轮接触处沿切线方向的力。解：分别以曲柄和齿轮O1为研究对象，受力如图。对杆由得（1）12.6刚体平面运动微分方程（2）（3）由运动学关系，有（4）联立求解（1）（4），得对齿轮 ，由刚体平面运动微分方程，得12.6刚体平面运动微分方程例例20 均质杆质量为均质杆质量为 ，长为，长为 ，在铅直，在铅直平面内一端沿着水平地面，另一端沿着平面内一端沿着水平地面，另一端沿着铅垂墙壁，从图示位置无初速地滑下。铅垂墙壁，从图示位置无初速地滑下。不计摩擦，求开始滑动的瞬时，地面和不计摩擦，求开始滑动的瞬时，地面和墙壁对杆的约束反力。墙壁对杆的约束反力。解：以杆AB为研究对象，受力如图。杆作平面运动，设质心C的加速度为 、，角加速度为 ，如图。由刚体平面运动微分方程有（1）（2）（3）12.6刚体平面运动微分方程 以C点为基点，则A点的加速度为在运动开始时，故 ，将上式投影到 轴上，得所以（4）再以C点为基点，则B点的加速度为同理，在运动开始时，故 ，将上式投影到 轴上，得所以（5）12.6刚体平面运动微分方程 联立求解（1）（5）式，并注意到可得注：亦可由坐标法求出（4）、（5）式：运动开始时，故