第十三章-静定结构的位移教材课件

第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移第十三章 静定结构的位移计算教学内容：教学内容：虚功原理，变形体虚功原理，静定结构在荷载、支座移动作用下引起的位移计算，互等定理。教学要求：教学要求：1、了解结构线位移、角位移、实功与虚功，广义力与广义位移；变形体虚功原理的两种形式（虚力原理、虚位移原理）；互等定理；2、理解静定结构在荷载作用下的位移计算的积分法；静定结构因支座移动时的位移计算原理和方法；静定结构的一般特征；3、掌握用图乘法计算静定结构的位移重点：重点：用图乘法计算静定结构的位移。难点：难点：变形体虚功原理，图乘法。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移13-1 13-1 计算结构位移的目的计算结构位移的目的13-2 13-2 质点和质点系的可能位移原理质点和质点系的可能位移原理13-3 13-3 刚体可能位移原理刚体可能位移原理13-4 13-4 变形体的虚功原理变形体的虚功原理13-513-5 静定结构由于荷载作用下引起的位移计算静定结构由于荷载作用下引起的位移计算13-613-6 用用图乘法图乘法计算梁及刚架的位移计算梁及刚架的位移13-7 13-7 静定结构由于温度变化所引起的位移计算静定结构由于温度变化所引起的位移计算13-8 13-8 线弹性体系的互等定理线弹性体系的互等定理第十三章 静定结构的位移计算 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移13-1 13-1 计算结构位移的目的计算结构位移的目的1.1.变形和位移变形和位移在荷载作用下，结构将产生变形在荷载作用下，结构将产生变形和位移。和位移。变形变形：是指结构形状的改变。：是指结构形状的改变。位移位移：是指结构各处位置的移动。是指结构各处位置的移动。2.2.位移的分类位移的分类APA A线位移：线位移：角位移：角位移：A(A)AyAxAyAxA绝对位移绝对位移相对位移相对位移PABCDCDC D CD=C+DAC 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移还有什么原还有什么原因会使结构产因会使结构产生位移生位移?温度变化温度变化材料收缩材料收缩制造误差制造误差支座移动支座移动引起结构位移的原因引起结构位移的原因 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移铁路工程技术规范规定铁路工程技术规范规定:(1)(1)刚度要求刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 1/600 跨度；跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度最大挠度 1/700 1/700 和和1/9001/900跨度跨度高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 1/1000 高度。高度。最大层间位移最大层间位移 1/800 1/800 层高。层高。(2)(2)超静定、动力和稳定计算超静定、动力和稳定计算(3)(3)施工要求施工要求 计算位移的一般方法是以虚功原理计算位移的一般方法是以虚功原理为基础的。本章先介绍变形体系的为基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论静定结构的位虚功原理，然后讨论静定结构的位移计算。移计算。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移13-2 13-2 质点和质点系的可能位移原理质点和质点系的可能位移原理一、功的概念一、功的概念功：力对物体作用的累计效果的度量功：力对物体作用的累计效果的度量功：力对物体作用的累计效果的度量功：力对物体作用的累计效果的度量 功功功功=力力力作用点沿力方向上的位移力作用点沿力方向上的位移力偶所做的功，等于力偶矩的大小和其所转过的角位力偶所做的功，等于力偶矩的大小和其所转过的角位移的乘积移的乘积 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移 在任意给定或假设的位移过程中，若力的大小及方在任意给定或假设的位移过程中，若力的大小及方向不变，则各个力所做功之和等于其合力所做的功。向不变，则各个力所做功之和等于其合力所做的功。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移实功：实功：力在自身所产生的位移上所作的功。力在自身所产生的位移上所作的功。虚功：虚功：力在其它原因产生的位移上作的功。力在其它原因产生的位移上作的功。力在变形位移上所作的实功为：力在变形位移上所作的实功为：力在对应虚位移上所作的虚功为：力在对应虚位移上所作的虚功为：ddOABP1P1P11P1注：注：的第一个下标表示位移的地点和方向，的第一个下标表示位移的地点和方向，第二个下标表示产生位移的原因。第二个下标表示产生位移的原因。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移实功：实功：ABP P1 11P P2 2虚功：虚功：力在其它因素引起的位移上作的功。力与位移是力在其它因素引起的位移上作的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于彼此无关的量，分别属于同一体系的两种彼此无关的状同一体系的两种彼此无关的状态态。例如：例如：例如：例如：力在自身引起的位移上作的功。力在自身引起的位移上作的功。2 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移ABP P1 11ABP P2 22状态状态2 2状态状态1 1注意：虚功定义中的力状态与位移状态注意：虚功定义中的力状态与位移状态注意：虚功定义中的力状态与位移状态注意：虚功定义中的力状态与位移状态（1 1）属同一体系；）属同一体系；（2 2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件；力）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件；力 状态应满足平衡条件；状态应满足平衡条件；（3 3）位移状态与力状态完全无关。）位移状态与力状态完全无关。在研究虚功时在研究虚功时,把作虚功的力把作虚功的力P1P1和虚位移和虚位移(P2(P2引起的位移引起的位移)分别绘在两个图上分别绘在两个图上,并称为同一结构的两个状态。并称为同一结构的两个状态。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移二、质点系的可能位移原理二、质点系的可能位移原理 （刚体、变形体）（刚体、变形体）质点系的可能功方程：质点系的可能功方程：质点系的可能位移原理对于刚体及变形体都是适用的质点系的可能位移原理对于刚体及变形体都是适用的 质质点点系系对对于于任任意意微微小小的的可可能能位位移移，作作用用在在质质点点系系上上的的外力及内力所做功之和为零。外力及内力所做功之和为零。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移一、刚体的可能位移原理一、刚体的可能位移原理13-3 13-3 刚体的可能位移原理刚体的可能位移原理及及静定结构由于支座移动静定结构由于支座移动所引起的位移计算所引起的位移计算可能功方程：可能功方程：刚体的可能位移原理应用举例：刚体的可能位移原理应用举例：已知已知F F1 1=4F,F=4F,F2 2=2F,F=2F,F3 3=8F,=8F,求求B B支座支座反力。反力。由几何关系有：由几何关系有：由刚体可能位移原理有：由刚体可能位移原理有：刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是：刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是：对于对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。ABy1y2y3ABF F1 1F F2 2F F3 3RBRAHA 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移即有：即有：得：得：由此，可引用可能功方程计算给定结构的反力；由此，可引用可能功方程计算给定结构的反力；反过来，若用静力平衡方程先算出反力，则可用可能功方反过来，若用静力平衡方程先算出反力，则可用可能功方程求位移。程求位移。例：如图例：如图13-1013-10所示，三铰刚架所示，三铰刚架A A支支座向下移动座向下移动C CV V,向左移动向左移动C CH H,且位移且位移相对尺寸是微小的，求相对尺寸是微小的，求C C点的竖向点的竖向位移位移C C。FABCCAHARACHLLhCVC 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移解：解：假设假设C C点有力点有力F F作用，作用，求支座反力求支座反力A A点位移是点位移是约束约束A A铰自身位移铰自身位移，同时也是微小的，可视为可同时也是微小的，可视为可能位移，则有：能位移，则有：得：得：FABCHARAABCCACHLLhCVC力状态力状态位移状态位移状态 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移二二.刚体的虚力原理刚体的虚力原理 刚体刚体在外力作用下处于平衡在外力作用下处于平衡的充分必要条件是：的充分必要条件是：对于任意微对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。和等于零。FABCHARAABCCACHLLhCVC力状态力状态位移状态位移状态 虚功原理中的力状态和位移虚功原理中的力状态和位移状态是无关的，位移状态是实际状态是无关的，位移状态是实际发生的发生的,为了求实际位移状态的某为了求实际位移状态的某一位移一位移,必须人为建立起辅助作用必须人为建立起辅助作用的虚设（力）状态。的虚设（力）状态。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移如图所示，已知如图所示，已知A A支座向下移动支座向下移动C CV V,向左移动向左移动C CH H,求求K K点的竖向位移点的竖向位移 VK K。AB解：设虚力状态。在解：设虚力状态。在K K点的力点的力F=1F=1作用下，支座反力为：作用下，支座反力为：由可能功方程有：由可能功方程有：得：得：F=1位移状态位移状态ABHARAKC力状态力状态KVCACHLLhCVCKC 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移AAC3C1C2已知支座位移，求结构上任意一点已知支座位移，求结构上任意一点K K在任意方向在任意方向i-ii-i线线上的位移。上的位移。KKicii位移状态位移状态KFi1虚设力状态虚设力状态由可能功方程，有：由可能功方程，有：即：即：静定结构由于支座移动静定结构由于支座移动所引起的位移计算公式所引起的位移计算公式 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移三、虚设力状态的方案选择三、虚设力状态的方案选择 (P.246)(P.246)1 1 求线位移求线位移 1 1）求构件某截面线位移，可在该截面所求位移）求构件某截面线位移，可在该截面所求位移方向上虚加一个单位力。方向上虚加一个单位力。2 2）求构件某两截面的相对线位移，则在两截）求构件某两截面的相对线位移，则在两截面上，沿其连线虚加一对反向的单位力。面上，沿其连线虚加一对反向的单位力。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移(a)思考：已知思考：已知B支座发生竖向和水平位移，如何建立支座发生竖向和水平位移，如何建立虚设状态求虚设状态求C铰的竖向位移和水平位移。铰的竖向位移和水平位移。(b)沿水平方向作用单位沿水平方向作用单位力，力，虚力状态如图（虚力状态如图（c）所所示。示。求求C点的点的水平水平位移。位移。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移2.2.求角位移求角位移 1 1）求构件某截面角位移，可在该截面虚加一个单）求构件某截面角位移，可在该截面虚加一个单位力偶。位力偶。2 2）求某铰左右截面的相对转角，可在该铰两侧虚）求某铰左右截面的相对转角，可在该铰两侧虚加一对反向的单位力偶。加一对反向的单位力偶。3 3）求长为）求长为l 杆件的角位移，可在其两端虚加上垂直杆件的角位移，可在其两端虚加上垂直杆轴的、形成的力偶的两个集中力，两力大小为杆轴的、形成的力偶的两个集中力，两力大小为1/l，力偶矩值为力偶矩值为1 1。(P.246(P.246：图：图13-13 )13-13 )第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移B应用举例应用举例Fi1ABDC虚设力状态虚设力状态ABDC2/312/3位移状态位移状态解：解：1 1）设虚力状态。在）设虚力状态。在C C点沿所点沿所求方向加力求方向加力F Fi i=1=1作用下，求出支作用下，求出支座反力大小和方向。座反力大小和方向。2 2）由可能功方程导出的位移方）由可能功方程导出的位移方程（程（13134 4）求位移。）求位移。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移例例13-2 13-2 图图13-15a13-15a所示桁架，所示桁架，B B支座铅直向下沉陷支座铅直向下沉陷b b，求杆，求杆BCBC的转角。的转角。ABCDABCD2 2）代入式（）代入式（13134 4），得：），得：解：解：1 1）建立虚设状态，在垂直）建立虚设状态，在垂直于于BCBC杆的方向加两力杆的方向加两力 ，组成一单位力偶，并求出支座反组成一单位力偶，并求出支座反力。力。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移求求:第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移求求:C C 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移求求C 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移13-4 13-4 变形体的虚功原理变形体的虚功原理一、原理：一、原理：变形连续体系处于平衡的充要条件是：变形连续体系处于平衡的充要条件是：原理的表述：原理的表述：体系在任意平衡力系作用下，给体系以几体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的位移和变形，体系上所有何可能的位移和变形，体系上所有外力所作的外力所作的虚功虚功总和总和恒等于体系恒等于体系各截面所有内力在微段变形位移上作的各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功虚功总和总和。说明：说明：1.1.虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。衡条件；位移状态必须满足协调条件。2.2.原理应用：原理应用：1 1）虚设位移求未知力（虚位移原理）；）虚设位移求未知力（虚位移原理）；2 2）虚设力系求位移（虚力原理）虚设力系求位移（虚力原理）第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移二、变形虚功二、变形虚功U U变形能变形能 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移13-5 13-5 静定结构由于荷载作用下引起的位移计算静定结构由于荷载作用下引起的位移计算虚功原理：虚功原理：状态状态1 1的外力在状态的外力在状态2 2的位移上所作的虚功的位移上所作的虚功,等等于于状态状态1 1各微段的内力在状态各微段的内力在状态2 2相应微段变形上所作的虚功相应微段变形上所作的虚功之和。之和。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移为虚设力状态中单位力为虚设力状态中单位力F Fi=1=1引起的弯矩、轴力和引起的弯矩、轴力和剪力剪力 为实际位移状态中荷载引起的弯矩、轴力和剪力。为实际位移状态中荷载引起的弯矩、轴力和剪力。式（式（13-1013-10）便是平面杆系结构位移计算的一般公式。若）便是平面杆系结构位移计算的一般公式。若计算结果为正，表示所求位移计算结果为正，表示所求位移i i与假设的与假设的F Fi i=1=1同向，反之同向，反之反向。这种方法又称为反向。这种方法又称为单位荷载法。单位荷载法。注：在确定各内注：在确定各内力表达式时，两力表达式时，两个状态应取同一个状态应取同一正负号规定。正负号规定。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移一、针对不同结构，可略去次要因素的影响一、针对不同结构，可略去次要因素的影响1 1、梁和刚架、梁和刚架 2 2、扁平拱：、扁平拱：一般实体拱只考虑弯矩一项的影响也足够精确一般实体拱只考虑弯矩一项的影响也足够精确 3 3、桁架：、桁架：4 4、组合结构、组合结构 另当支座发生位移时应加上另当支座发生位移时应加上“”一项。一项。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移二：二：在应用单位荷载法计算时，应根据所求位移不同，在应用单位荷载法计算时，应根据所求位移不同，设置相应的虚拟力状态。设置相应的虚拟力状态。例如例如:A A求求AHAH实际状态实际状态P P虚拟状态虚拟状态i iA A1 1A A求求 A A1 1虚拟状态虚拟状态i iA AA A虚拟状态虚拟状态i i虚拟状态虚拟状态i iB B求求ABAB1 11 1B B求求 ABAB1 11 1P P 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移例例13-3 13-3 图图13-19a13-19a所示简支梁，在均布荷载所示简支梁，在均布荷载q q作用下，作用下，EIEI为为常数。试求：常数。试求：1 1）B B支座处的转角；支座处的转角；2 2）梁跨中）梁跨中C C点的竖向位点的竖向位移。移。(P252)(P252)ABqAB解：解：1 1）求）求B B截面的角位移。截面的角位移。在在B B截面加一单位力偶，以截面加一单位力偶，以A A点为点为坐标原点，分别列出荷载作用和坐标原点，分别列出荷载作用和单位力偶作用下的弯矩方程。单位力偶作用下的弯矩方程。则：则：第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移AB2 2）求跨中）求跨中C C点的竖向位移点的竖向位移建立虚设状态如图所示，分别列建立虚设状态如图所示，分别列出荷载作用和单位力作用下的弯出荷载作用和单位力作用下的弯矩方程：矩方程：因为对称关系，所以有：因为对称关系，所以有：ABq 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移总结：总结：3.3.位移计算步骤：位移计算步骤：1 1）虚设单位力状态）虚设单位力状态（教材图（教材图13-1313-13）；）；2 2）列两种状态的内力方程；）列两种状态的内力方程；3 3）按位移公式积分求位移。）按位移公式积分求位移。1.EI1.EI分段为常数则弯矩表达式应分段写。分段为常数则弯矩表达式应分段写。2.2.在同一区段内，在同一区段内，和和 的表达式坐标原点应在的表达式坐标原点应在同一位置。同一位置。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移例例13-4 13-4 图图13-20a13-20a所示圆弧曲杆，各截面所示圆弧曲杆，各截面EIEI为常数。求为常数。求B B点竖向线位移点竖向线位移 。（略去轴向变形的影响）。（略去轴向变形的影响）(P253)(P253)解：解：1 1）建立虚设状态，如图。）建立虚设状态，如图。2 2）取脱离体，分别列出位移）取脱离体，分别列出位移状态和虚设状态任一截面的状态和虚设状态任一截面的弯矩方程：弯矩方程：3 3）代入）代入（13-1113-11）式式 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移例例13-5 13-5 求图求图13-21a13-21a所示桁架结点所示桁架结点C C的竖向线位移，各杆的的竖向线位移，各杆的EAEA都相同且为常数。都相同且为常数。(P253)(P253)解：解：1 1）建立虚设状态，如图。）建立虚设状态，如图。2 2）计算位移状态和虚设状态各杆的轴力（）计算位移状态和虚设状态各杆的轴力（结构对称结构对称）3 3）代入）代入（13-1313-13）式式 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移练习：求图示刚架练习：求图示刚架A A点的竖向位移点的竖向位移AVAV。EIEI为常数。为常数。ABCqL LLA实际状态实际状态实际状态实际状态虚拟状态虚拟状态虚拟状态虚拟状态AB1解：解：1.1.虚设单位力状态虚设单位力状态x xx x选取坐标如图。选取坐标如图。则则各各杆杆弯弯矩矩方方程程为为:ABAB段：段：BCBC段：段：2.2.实际状态中各杆弯矩方程为实际状态中各杆弯矩方程为ABAB段：段：BCBC段：段：x xx x3.3.代入公式（代入公式（13-1113-11）得）得()第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移13-6 13-6 用图乘法计算用图乘法计算梁及刚架的位移梁及刚架的位移一、图乘法所满足的条一、图乘法所满足的条件件 1 1、和和 两个弯矩图中至少有一个是直线图形两个弯矩图中至少有一个是直线图形（总是直线或折线总是直线或折线）；）；2 2、杆轴为直线；、杆轴为直线；3 3、杆件抗弯刚度、杆件抗弯刚度EIEI为常数。为常数。二、图乘法公式二、图乘法公式 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移刚架与梁的位移计算公式为：刚架与梁的位移计算公式为：若在积分段内杆件为直杆：若在积分段内杆件为直杆：1.1.图乘法公式的证明图乘法公式的证明 在杆件数量多、荷载复杂的情况下在杆件数量多、荷载复杂的情况下,积分计算复杂。积分计算复杂。下面介绍计算位移的图乘法。下面介绍计算位移的图乘法。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移M MP P图图xy形心形心C面积面积 ABOABM MP Pdxdxd d=M=MP Pdxdxx xx x0 0y yc cx x0 0tantan=y yc c即积分即积分 等于等于曲线图形的面积曲线图形的面积乘以乘以其形心所对应其形心所对应的的直线图形直线图形的纵标的纵标1.1.图乘法公式的证明图乘法公式的证明 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移2.2.应用图乘法的注意点：应用图乘法的注意点：(1)(1)必须符合上述图乘的三个条件；必须符合上述图乘的三个条件；(2)(2)纵坐标值纵坐标值y yC C应从直线图形上取得应从直线图形上取得；(3)(3)正负号：当两弯矩图在正负号：当两弯矩图在基线同侧取正基线同侧取正，反之取负。，反之取负。如果结构上所有杆段均满足图乘条件，则位移计算如果结构上所有杆段均满足图乘条件，则位移计算公式（公式（13-1113-11）可转化为：）可转化为：（13-1513-15）第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移 例例1:1:求图示悬臂梁求图示悬臂梁B B点的竖向线位移，点的竖向线位移，EIEI为常数。为常数。解：解：1 1）建立虚设状态，如图。）建立虚设状态，如图。2 2）分别作）分别作 图和图和 图图3 3）进行图形相乘，则得：）进行图形相乘，则得：BABABABA 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移二次抛物线二次抛物线：=2hl/33l/4l/4二次抛物线二次抛物线：=hl/3顶点顶点lh2l/3l/3=hl/2(a+l)/3(b+l)/3=hl/2labh三、几种常见图形的面积及其形心位置三、几种常见图形的面积及其形心位置h 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移5l/83l/8二次抛物线二次抛物线：=2hl/34l/5l/5h三次抛物线三次抛物线=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线次抛物线=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点注：图中所示抛物线均为标注：图中所示抛物线均为标准抛物线，即顶点处的切线准抛物线，即顶点处的切线与基线平行。与基线平行。h顶点顶点三、几种常见图形的面积及其形心位置三、几种常见图形的面积及其形心位置 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移例例13-6 13-6 求图求图13-29a13-29a所示简支梁跨中所示简支梁跨中C C点的竖向线位移，点的竖向线位移，EIEI为常数。为常数。(P257)(P257)CBAq 解：解：1 1）建立虚设状态，如图。）建立虚设状态，如图。CBA2 2）分别作）分别作 图和图和 图图3 3）进行图形相乘，则得：）进行图形相乘，则得：第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移应用图乘法的注意点：应用图乘法的注意点：(1)(1)必须符合上述图乘的三个条件；必须符合上述图乘的三个条件；(2)(2)纵坐标值纵坐标值y yC C应从直线图形上取得应从直线图形上取得；(3)(3)正负号：当两弯矩图在正负号：当两弯矩图在基线同侧取正基线同侧取正，反之取负。，反之取负。总结：计算梁和刚架位移的图乘法公式：总结：计算梁和刚架位移的图乘法公式：（13-1513-15）图乘法应满足的条图乘法应满足的条件件 1 1、和和 两个弯矩图中至少有一个是直线图形两个弯矩图中至少有一个是直线图形（总是直线或折线总是直线或折线）；）；2 2、杆轴为直线；、杆轴为直线；3 3、杆件抗弯刚度、杆件抗弯刚度EIEI为常数。为常数。即积分即积分 等于等于曲线图形的面积曲线图形的面积乘以乘以其形心所对应其形心所对应的的直线图形直线图形的纵标的纵标 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移四、图乘法应用时的几种常见简化方式四、图乘法应用时的几种常见简化方式求求MFMi若弯矩图某段为梯形，可将若弯矩图某段为梯形，可将梯形分解成两个三角形或一梯形分解成两个三角形或一个矩形与一个三角形，分别个矩形与一个三角形，分别图乘后求代数和即可图乘后求代数和即可 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移求求MPMi当两个图形均为直线图当两个图形均为直线图形时形时,取哪个图形的面积取哪个图形的面积均可。均可。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移MP求求能用能用M Mi图面积乘图面积乘M MP P图竖标吗图竖标吗?Mi取取y yc c的图形必须是直线的图形必须是直线,不能是曲线或折线。不能是曲线或折线。若弯矩图为折线，若弯矩图为折线，则应将折线分成几段直则应将折线分成几段直线，分别图乘后求其代线，分别图乘后求其代数和。数和。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移求求MFMi 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移求求MFMi 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移求求C C截面竖向位移截面竖向位移MFMi 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移例例13-7 13-7 求图求图13-30a13-30a所示的梁在已知荷载作用下，所示的梁在已知荷载作用下，A A截面的截面的角位移角位移 ，及，及C C截面的竖向线位移截面的竖向线位移 。EIEI为常数。为常数。(P257)(P257)解：解：1 1）建立虚设状态，如图）建立虚设状态，如图c)c)、d d）；）；2 2）分别作荷载和单位力作用）分别作荷载和单位力作用下的弯矩图；下的弯矩图；3 3）图乘相乘：）图乘相乘：第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移例例13-7 13-7 求图求图13-30a13-30a所示的梁在已知荷载作用下，所示的梁在已知荷载作用下，A A截面的截面的角位移角位移 ，及，及C C截面的竖向线位移截面的竖向线位移 。EIEI为常数。为常数。(P257)(P257)第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移练习：图示梁练习：图示梁EIEI 为常数，求为常数，求C C点竖向位移。点竖向位移。l/2ql/2MP 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移l/2ql/2MP练习：图示梁练习：图示梁EIEI 为常数，求为常数，求C C点竖向位移。点竖向位移。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移l/2ql/2MP练习：图示梁练习：图示梁EIEI 为常数，求为常数，求C C点竖向位移。点竖向位移。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移 杆件温度变化时，静定结构不会引起内力，但材料会杆件温度变化时，静定结构不会引起内力，但材料会发生膨胀和收缩，从而引起截面的应变，使结构产生变形发生膨胀和收缩，从而引起截面的应变，使结构产生变形和位移。和位移。上边缘温度上升上边缘温度上升 ，下边缘温度上升下边缘温度上升 。BAB则由虚功原理，有：则由虚功原理，有：（A A）假设假设 。13-7 13-7 静定结构由于温度变化引起的位移计算静定结构由于温度变化引起的位移计算BA 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移形心轴处的温度形心轴处的温度当当 时时材料线膨胀系数材料线膨胀系数 ，则微段，则微段 的变形的变形BA温度沿截面厚度为线性分布，温度沿截面厚度为线性分布，变形后，截面保持为平面。变形后，截面保持为平面。温度变形包括沿轴线方向拉温度变形包括沿轴线方向拉伸变形伸变形 和截面转角和截面转角 。不产生剪切变形不产生剪切变形 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移将上式代入（将上式代入（13-1713-17）式：）式：正负号规定：正负号规定：轴力轴力 以拉为正，以拉为正，以温度升高为正以温度升高为正 与与 引起的弯曲为同一方向时，其乘积为正；反之为负。引起的弯曲为同一方向时，其乘积为正；反之为负。BA对于直杆：对于直杆：则有：则有：第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移一、位移计算公式一、位移计算公式 ：材料的线膨胀系数。：材料的线膨胀系数。：杆件截面两侧的温度差（：杆件截面两侧的温度差（计算时取绝对值计算时取绝对值）。如果，）。如果，温度差温度差 ，则只有轴力项。，则只有轴力项。：分别表示结构作用虚设单位力时的轴力和弯矩：分别表示结构作用虚设单位力时的轴力和弯矩图的面积。图的面积。t t：形心轴线处温度，当杆件截面对称于形心轴时，：形心轴线处温度，当杆件截面对称于形心轴时，实际温度变化引起的变形和虚拟单位力引起的变形相实际温度变化引起的变形和虚拟单位力引起的变形相同取正，反之取负。同取正，反之取负。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移二、桁架，在温度改变时，其位移公式为二、桁架，在温度改变时，其位移公式为 ：三、桁架装配误差，引起的位移计算公式，与温度三、桁架装配误差，引起的位移计算公式，与温度变化时相似变化时相似 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移例例13-9 13-9 求图示刚架求图示刚架C C点的竖向位移。各杆截面为矩形。点的竖向位移。各杆截面为矩形。LL0+10+10C1L LNaF=1F=1 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移练习：求图示刚架练习：求图示刚架K K点的竖向位移。各杆截面相同，为矩点的竖向位移。各杆截面相同，为矩形截面。形截面。第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移1.1.功的互等定理功的互等定理:在线性变形体系中，状态在线性变形体系中，状态的外力在状态的外力在状态位移位移上所做虚功，恒等于状态上所做虚功，恒等于状态外力在状态外力在状态位移上所做位移上所做虚功。虚功。应用条件应用条件:1):1)P P ;2);2)小变形。即小变形。即:线性变形体系。线性变形体系。P1P213-8 13-8 线弹性体系的互等定理线弹性体系的互等定理 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移2.2.位移互等定理位移互等定理 由单位荷载由单位荷载P P1 1=1=1所引起的与荷载所引起的与荷载P P2 2相应的位移相应的位移2121等于等于由单位荷载由单位荷载P P2 2=1=1所引起的与荷载所引起的与荷载P P1 1相应的位移相应的位移1212 。PPD=D212121注意注意:1:1）这里荷载可以是广义荷载）这里荷载可以是广义荷载,位移是相应的广义位移。位移是相应的广义位移。2 2）1212与与2121不仅数值相等，量纲也相同。不仅数值相等，量纲也相同。P2P121211212 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移3 3、反力互等定理、反力互等定理r11r21r22r12rcr+=221120crr+221110 在任一线性变形体系中，由单位位移在任一线性变形体系中，由单位位移C C1 1=1=1所引起的所引起的与位移与位移C C2 2相应的反力相应的反力r r2121等于由单位位移等于由单位位移C C2 2=1=1所引起的与所引起的与位移位移C C1 1相应的反力相应的反力r r1212 。注意注意:1 1）这里支座位移可以是广义位移）这里支座位移可以是广义位移,反力是相应的广义力。反力是相应的广义力。2 2）反力互等定理仅用与超静定结构。）反力互等定理仅用与超静定结构。c1=1c2=1 第十三章第十三章 静定结构的位移静定结构的位移 单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向的位生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向的位生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向的位生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向的位移，但符号相反。移，但符号相反。移，但符号相反。移，但符号相反。-反力位移互等定理反力位移互等定理反力位移互等定理反力位移互等定理4 4、反力与位移互等定理、反力与位移互等定理