第十一讲幂函数课件

2 2.幂函数的图象幂函数的图象(以以y=x,y=xy=x,y=x2 2,y=x,y=x3 3,y=x,y=x1/21/2为例为例)3.3.幂函数的图象和性质幂函数的图象和性质(1)(1)所有的幂函数在所有的幂函数在_都有定义都有定义,并且图象都过点并且图象都过点_.(2)0(2)0时时,幂函数的图象通过原点幂函数的图象通过原点,并且在区间，并且在区间，）上是）上是_(0,+)(0,+)(1,1)(1,1)增函数增函数（3 3），幂函数的图象在区间（，幂函数的图象在区间（，）上是）上是_在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近象在轴右方无限地逼近_，当趋于，当趋于时，图时，图象在轴上方无限地逼近象在轴上方无限地逼近_（）当（）当为奇数时，幂函数为为奇数时，幂函数为_，当，当为偶数，为偶数，幂函数为幂函数为_减函数减函数y y轴轴x x轴轴奇函数奇函数偶函数偶函数4.54.5个具体幂函数的性质个具体幂函数的性质函数函数y=xy=xy=xy=x2 2y=xy=x3 3Y=xY=x1/21/2y=xy=x-1-1特征特征/性质性质定义域定义域_奇偶性奇偶性_在第一象在第一象限单调增限单调增减性减性在第一象在第一象限单调递限单调递_在第一象在第一象限单调递限单调递_在第一象在第一象限单调递限单调递_在第一象在第一象限单调递限单调递_在第一象在第一象限单调递限单调递_定点定点_R RR RR Rx|x0 x|x0 x|x0 x|x0奇奇偶偶奇奇奇奇非奇非偶非奇非偶增增增增增增增增减减(1,1)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)0001011p,qp,q都都是奇数是奇数p p为奇数为奇数q q为偶数为偶数p p为偶数为偶数q q为奇数为奇数考考 点点 陪陪 练练1.1.函数函数 是是()()A.A.奇函数奇函数,并且在并且在(0,+)(0,+)上为增函数上为增函数B.B.偶函数偶函数,并且在并且在(-,0)(-,0)上为减函数上为减函数C.C.奇函数奇函数,并且在并且在(0,+)(0,+)上为减函数上为减函数D.D.偶函数偶函数,并且在并且在(-,0)(-,0)上为增函数上为增函数答案答案:B:B解析解析:,xR,xR,且满足且满足f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),故为偶函数故为偶函数.又又 ,所以在第所以在第一象限内的图象是单调递增一象限内的图象是单调递增,因此在因此在(-,0)(-,0)上为减函数上为减函数.2.2.如图中的曲线是幂函数如图中的曲线是幂函数y=xy=xn n在第一象限的图象在第一象限的图象,已知已知n n取取22 四个值四个值,则相应的曲线则相应的曲线C C1 1,C,C2 2,C,C3 3,C,C4 4的的n n值依次为值依次为()答案答案:B:B解析解析:根据幂函数根据幂函数y=xy=xn n的性质及在第一象限内图象的特征的性质及在第一象限内图象的特征,可可得得n0n0时时,n,n越大越大,y=x,y=xn n增加的就越快增加的就越快,因此因此n n1 1nn2 2,n,n1 1=2,n=2,n2 2=;=;当当n0n0时时,|n|,|n|越大越大,曲线就越陡曲线就越陡,n,n4 4n1x1时其图象在直线时其图象在直线y=xy=x下方下方,故经过第故经过第两个卦限两个卦限.4.(20194.(2019山东临沂山东临沂)()(基础题基础题,易易)给出下列命题给出下列命题:a:am mb bn n=(ab)=(ab)m+nm+n;若若f(x)f(x)是奇函数是奇函数,则则f(x-1)f(x-1)的图象关于点的图象关于点A(1,0)A(1,0)对称对称;a0;a0是方程是方程axax2 2+2x+1=0+2x+1=0有一个负有一个负实数根的充分不必要条件实数根的充分不必要条件;设有四个函数设有四个函数y=xy=x-1-1,y=x,y=x-3-3,y=x,y=x3 3,其中其中y y随随x x增大而增大的函数有增大而增大的函数有3 3个个.其中正确命题的个其中正确命题的个数为数为()()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4答案答案:B:B解析解析:错误错误;由奇函数性质知由奇函数性质知,正确正确;正确正确,由由a0a0,0,则幂函数的图象过原点则幂函数的图象过原点,并在并在0 0，）上为）上为增函数，且增函数，且0 01 1与与1 1的图象是以直线的图象是以直线y yx x为界限的为界限的3.3.如果如果0 0，则幂函数图象在区间（，则幂函数图象在区间（0 0，）上是减函数，）上是减函数，在第一象限内，图象向右无限靠近轴，向上无限靠近轴在第一象限内，图象向右无限靠近轴，向上无限靠近轴.无论无论取什么实数，在第四象限都没有图象取什么实数，在第四象限都没有图象 分析分析 先求出幂函数的解析式先求出幂函数的解析式,再利用图象判断再利用图象判断f(x)f(x)g(x)g(x)的大小关系的大小关系.(2)(2)方法一方法一:在同一坐标系下作出在同一坐标系下作出f(x)=xf(x)=x2 2和和g(x)=xg(x)=x-2-2的图象如的图象如图所示图所示.由图象可知由图象可知:当当x1x1或或x-1xg(x);,f(x)g(x);当当x=1x=1或或x=-1x=-1时时,f(x)=g(x);,f(x)=g(x);当当-1x1-1x1且且x0 x0时时,f(x)g(x).,f(x)1,1,即即x x2 21,1,即即|x|1,|x|1,x1x1或或x-1xg(x);,f(x)g(x);令令 ,得得x x4 4=1,=1,即即x=1x=1时时,f(x)=g(x);,f(x)=g(x);令令 ,得得x x4 41,1,|x|1,|x|1,即即-1x1-1x1且且x0 x0时时,f(x)g(x).,f(x)00时时,幂函数幂函数y=xy=x有下列性质有下列性质:图象都通过点图象都通过点(0,0),(1,1);(0,0),(1,1);在第一象限内在第一象限内,函数值随函数值随x x的增大而增大的增大而增大;在第一象限内在第一象限内,1,1时时,图象是向下凹的图象是向下凹的;01;01时时,图象是图象是向上凸的向上凸的;在第一象限内在第一象限内,过过(1,1)(1,1)点后点后,图象向右上方无限伸展图象向右上方无限伸展.(2)(2)当当00时时,幂函数幂函数y=xy=x有下列性质有下列性质:图象都通过点图象都通过点(1,1)(1,1)在第一象限内在第一象限内,函数值随函数值随x x的增大而减小的增大而减小,图象是向下凹的图象是向下凹的;在第一象限内在第一象限内,图象向上与图象向上与y y轴无限地接近轴无限地接近,向右与向右与x x轴无限轴无限地接近地接近;在第一象限内在第一象限内,过过(1,1)(1,1)点后点后,|,|越大越大,图象下落的速度越图象下落的速度越快快.典例典例3 3已知幂函数已知幂函数 为偶函数为偶函数,且且在区间在区间(0,+)(0,+)上是单调减函数上是单调减函数.(1)(1)求函数求函数f(x);f(x);(2)(2)讨论讨论 的奇偶性的奇偶性.解解(1)f(x)(1)f(x)是偶函数是偶函数,mm2 2-2m-3-2m-3应为偶数应为偶数.又又f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是单调减函数上是单调减函数,mm2 2-2m-30,-1m3.-2m-30,-1m3.又又mZ,m=0,1,2.mZ,m=0,1,2.当当m=0m=0或或2 2时时,m,m2 2-2m-3=-3-2m-3=-3不是偶数不是偶数,舍去舍去;当当m=1m=1时时,m,m2 2-2m-3=-4;-2m-3=-4;m=1,m=1,即即f(x)=xf(x)=x-4-4.(2)(2)当当a0,a0,且且b0b0时时,为非奇非偶函数为非奇非偶函数;当当a=0a=0时时,b0,b0时时,为奇函数为奇函数;当当a0,b=0a0,b=0时时,为偶函数为偶函数;当当a=0,b=0a=0,b=0时时,既是奇函数既是奇函数,又是偶函数又是偶函数.解解函数在函数在(0,+)(0,+)上单调递减上单调递减,mm2 2-2m-30,-2m-30,解得解得-1m3.-1m3.mNmN*,m=1,2.,m=1,2.又又函数图象关于函数图象关于y y轴对称轴对称,mm2 2-2m-3-2m-3是偶数是偶数.而而2 22 2-22-3=-3-22-3=-3为奇数为奇数,1 12 2-21-3=-4-21-3=-4为偶数为偶数,m=1.m=1.笑对高考第三关笑对高考第三关 成熟关成熟关名名 师师 纠纠 错错误区一误区一:忽视幂函数中幂指数忽视幂函数中幂指数=0=0典例典例1 1已知幂函数已知幂函数 的图象与的图象与x,yx,y轴都没有公共点且关轴都没有公共点且关于于y y轴对称轴对称,求整数求整数n n的值的值.错解错解 因为函数因为函数 的图象与的图象与x,yx,y轴都没有公共点轴都没有公共点,所以所以n n2 2-2n-30,-2n-30,解得解得-1n3.-1n0.810.80.50.50.80.80.90.9,0.9,0.90.50.510.910.9-0.50.5,所以所以0.80.80.90.90.80.80.50.50.90.90.50.510.910.9-0.5-0.5.剖析剖析 错解混淆了指数函数的性质且没有比较错解混淆了指数函数的性质且没有比较0.80.80.50.5与与0.90.90.50.5的大小的大小.正解正解 因为因为y=xy=x0.50.5在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增,且且0.80.9,0.80.9,所以所以0.80.80.50.50.90.90.50.5.作出函数作出函数y=xy=x0.50.5与与y=xy=x-0.5-0.5在第一象限内的图象在第一象限内的图象,易知易知0.90.90.50.50.90.80.80.90.9.故故0.80.80.90.90.80.80.50.50.90.90.50.50.90.9-0.5-0.5.评析评析 对于幂大小的比较对于幂大小的比较,指数函数与幂函数都可以利用指数函数与幂函数都可以利用,虽虽然二者形式差不多然二者形式差不多,但图象和性质差别很大但图象和性质差别很大,在解题中应特别在解题中应特别注意这些差别注意这些差别,这是非常容易忽视而导致出错的地方这是非常容易忽视而导致出错的地方.快快 速速 解解 题题典例典例(图象法图象法)已知实数已知实数a a b b满足等式满足等式 ,下列五个关下列五个关系式系式:0ba;ab0;0ab;ba0;a=b.0ba;ab0;0ab;ba1),x=m(m1),它与若干个幂函数的图象相交它与若干个幂函数的图象相交,交点从上交点从上到下的排列顺序到下的排列顺序,正是按幂指数的降序排列的正是按幂指数的降序排列的,由此可以判断由此可以判断不同幂函数图象的幂指数的大小不同幂函数图象的幂指数的大小.2.2.对于幂函数对于幂函数y=xy=x(R),(R),当当=1=1时时,y=x,y=x的图象是直线的图象是直线;当当=0=0时时,y=x,y=x0 0=1(x0)=1(x0)的图象是直线的图象是直线(不包括不包括(0,1)(0,1)点点).).其他一其他一般情况的图象如下表般情况的图象如下表:0001011p,qp,q都都是奇数是奇数p p为奇数为奇数q q为偶数为偶数p p为偶数为偶数q q为奇数为奇数 Thank you拯畏怖汾关炉烹霉躲渠早膘岸缅兰辆坐蔬光膊列板哮瞥疹傻俘源拯割宜跟三叉神经痛-治疗三叉神经痛-治疗 拯畏怖汾关炉烹霉躲渠早膘岸缅兰辆坐蔬光膊列板哮瞥疹傻俘源拯割宜跟三叉神经痛-治疗三叉神经痛-治疗