第十一章差错控制编码课件

现代通信原理第十一章 差错控制编码7/17/2024第十一章 差错控制编码 l11.1 基本概念l11.2 分组码 l11.3 循环码 l11.4 BCH码 l11.5 纠正和检测突发错误的分组码 l11.6 纠错码的误码性能11.1 概述l误码分类噪声引入的随机误码，均匀分布由干扰、快衰落引起的突发误码l如何减少误码？从信源编码看，误码引起的性能恶化尽可能小，容错技术从传输看，可采用抗干扰能力强的调制方式，信道特性不理想可采用均衡。特别需要差错控制技术。数字通信中，要求误码率108以下，必须采用差错控制。11.1.1 差错控制分类1.反馈检验法2.检错重发法（ARQ）3.前向纠错（FEC）1.反馈检验法需要双向信道，和前向信道有相同的通信容。引入较大的停顿（不实时）。可以纠正任何错误。2.检错重发法（ARQ）自动请求重发也需要反向信道，但容量可以降低，也会引入停顿3.前向纠错（FEC forward error correctionforward error correction）不需要双向信道不会引入停顿靠纠错编码11.1.2 差错控制编码的基本原理l如用三位二进制编码来代表八个字母000 A100E001 B101F010C110G011D111H不管哪一位发生错误，都会使传输字母错误l如用三位字母传四个字母000 A011B101 C110D发生一位错误，准用码字将变成禁用码字，接收端就能知道出错，但是不能纠错。差错控制编码l如用三位字母传二个字母000 A111B检三个错误，纠正一个错误。l结论具有检错或纠错的码组，其所用的比特数必须大于信息码组原来的比特数引入多余度。码重、码距l码重(weight)l一个码组中“1”的数目l码距(distance)l两个码组之间对应位置上1、0不同的位数，又叫汉明(Hamming)距。10 1 1 0 码重：301 1 00 2 距离：3检错、纠错能力1)为检查出 个错误，要求最小码距为2)为纠正 个错误，要求最小码距为3)为纠正 个错误，同时检查出 个错误，要求最小码距为 11.1.3.差错控制编码分类l按功能分l检错码 l纠错码l纠删码（发现不可纠正的错误时，可发出指示或删除）l按信息码元和监督码元之间的校验关系分l线性码l非线性码l按信息码元和监督码元之间的约束方式分l分组码l卷积码香农理论l纠错码建立在香农理论基础上l香农定理存在噪声干扰的信道，若信道容量为C，只要发送端以低于C的速率R发送信息（R为输入到编码器的二进制码元速率），则一定存在一种编码方式，使编码的错误概率随着码长n的增加将按指数下降到任一的值，即l结论如码长及发送信息速率一定，可以通过增大信道容量，使P减小。如在信道容量及发送信息速率一定，可以通过增加码长，使错误概率下降。分组码l表示：(n,k)n:帧长k/n:编码效率l特点监督码只用来监督本帧中的信息位l分类线性码 信息码与监督码之间为线性关系非线性码 不存在线性关系 奇偶监督码l偶监督l奇监督l如果以上关系被破坏，则出现错误，因此能检查出奇数个错误，但不能检测偶数个错误。最小码距为 dmin=2l这种码检错能力不高，采用什么方法提高呢？水平奇偶监督码和水平垂直监督码l又叫 二维奇偶监督码l水平奇偶监督码检码字按行排成方阵，每行采用奇偶监督码，发送时按列的顺序传送，接收时仍将码字排列成发送时方阵形式，然后按行进行奇偶校验。在不增加冗余度时，不仅能发现某一行上奇数个错误，而且也能发现不大于方阵行数的突发错误。l水平垂直奇偶监督码不仅对行进行奇偶校验，而且也对列进行奇偶校验。等比码l在码长一定时，“1”码和“0”码的比例恒定。已用于电报传输中。l五中取三0101111001表示十位数字，C53=10种许用码组。第十一章 差错控制编码 l11.1 基本概念l11.2 分组码 l11.3 循环码 l11.4 BCH码 l11.5 纠正和检测突发错误的分组码 l11.6 纠错码的误码性能11.2 分组码（1）l汉明码：能纠一位错误(7,4)分组码（2）在接收端，按如下规律运算分组码（3）l分组码的监督方程l矩阵形式分组码（4）l监督矩阵lH矩阵称为典型形式，各行一定是线性无关的。而一个非典型形式的经过运算可以化成典型形式，通过监督矩阵可以知道监督码和信息码的监督关系。分组码（5）l生成矩阵 ，通过生成矩阵可以得到生成码组。l如果输入码组为 0011分组码（6）l由这种方式得到的生成矩阵称为典型生成矩阵，由它产生的分组码必定为系统码，也就是信息码字保持不变，监督位附加其后，每行一定是线性无关的，每行都是一个生成码组。汉明码汉明码监督位为 位，因此它可以组成 个可能情况，其中一个为无错。因此可以监督码位共 要纠正一个错误，必须满足最小码距l如果 r 位监督位所组成的校正子码组与误码图样一一对应，这种码组称为完备码（取等号时）扩展汉明码l如果在汉明码基础上，再加上一位对所有码字进行校验的监督位监督码字由 r 位增加到 r+1 位信息位不变l码长 码结构l纠 1 位错，检测 2 位错l如（8，4），（16，11）扩展汉明码矩阵 如(7,4)(8,4)缩短汉明码l(n,k)(n-s,k-s)l如(15,11)(12,8)监督矩阵 Hs 是将原 H 的前 3 列 去掉l缩短汉明码的最小码距至少和原来码的码距相同，因为监督位没有变。缩短汉明码l能纠 t 个错误的(n,k)应满足取等号时为完备码l不同结构的线性码其纠错能力不同，能力和dmin 有关，dmin 越大越好。最小码距界限l上界：汉明界，普洛特金界l下界：吉尔伯特界l问题：给定码长与编码效率，寻找 dminl例：dmin=5,码长=63 的分组码设计从汉明界得，因此信息位最多可以取最小码距界限l通过吉尔伯特界求下界l线性码 k 越接近 52，效率越高。第十一章 差错控制编码 l11.1 基本概念l11.2 分组码 l11.3 循环码 l11.4 BCH码 l11.5 纠正和检测突发错误的分组码 l11.6 纠错码的误码性能11.3 循环码(Cyclic code)l1957 年发现l特点线性分组码循环性任一许用码字经过循环移位后，得到的码组仍为一个许用码组l如 是循环码的一许用码组 l则 也是一许用码组 码多项式表示l码组码多项式码组码多项式l左移一位l左移 位循环码性质l 为许用码组，则 也是许用码组l性质若 是长度为n的循环码组，则 在按模 进行运算后，也是一个循环码组，也就是 用 多项式除后所得之余式，即为所求的码组。循环码例子码组左移 3 位去除 得余式如 左移 3 位后，得 是许用码组循环码生成多项式g(D)lg(D)是 D的(n-k)次即r 次多项式l信息多项式为M(D),k 位，(k-1)次多项式g(D)l定理.一个(n,k)的二进制循环码可以看成是唯一由它的生成多项式产生，即J如(7,3)循环码，n=7,k=3,r=4J如果信息位为 010，M(D)=D 生成码为 生成矩阵 G(D)l由于 k 位信息位共有 个码组，都可用此法产生，如果现有信息码 生成 k 个码字，且这 k 个码组都线性无关，用这 k 个码组作为一个矩阵G 的 k行 构成生成矩阵 G(D)称为循环码的生成矩阵多项式(7,3)循环码l(7,3)循环码生成矩阵生成矩阵和监督矩阵l这样构成的循环码并非是系统码l系统码的生成矩阵典型形式 l非系统码 系统码生成矩阵监督矩阵非系统码 系统码l系统码的码多项式为l例如，(7,4)码，1011 非系统码 系统码l(7,3)码寻找生成多项式l 循环码的生成多项式必须能除尽 h(D)是监督多项式，是 K阶多项式l例：要构成(7,3)循环码，求g(D).解：g(D)应为4阶 都能生成(7,3)l生成(7,6)循环码l生成(7,1)循环码 循环码的编码器l原理：按系统码的生成方式：将信息码多项式升(n-k)次幂后，再除生成多项式，然后将余式置于升幂后的信息多项式之后以(7,4)码为例 循环码的译码器l译码比编码复杂得多l译码三步伴随式S的计算由S得到错误图样纠正伴随式的计算l发送码组 l接收码组l误差码组l校正子只与 E 有关，根本是计算校正子 校正子S的计算l生成多项式 g(D)去除接收码字B(D)第十一章 差错控制编码 l11.1 基本概念l11.2 分组码 l11.3 循环码 l11.4 BCH码 l11.5 纠正和检测突发错误的分组码 l11.6 纠错码的误码性能11.4 BCH码l特点：它也属于循环码，具有纠多个随机错误的能力，构造容易。因此由码的最小距离，可以很快得到码的生成多项式l即约多项式一个 m 次多项式不能被二元域上任何次数小于m的，但大于0的多项式除尽，如 是即约的。l本原多项式若m次多项式P(x)除尽的 的最小正整数 n 满足 ，就称为本原的。如 能除尽 ，但除不尽 的 。如：是即约的，但不是本原的，因它能除尽 。11.4.1 本原循环码l由本原多项式构成的码称为本原码。l特点码长为它的生成多项式是由若干m阶或以m的因子为最高阶的多项式相乘而构成。l要判定(n,k)的循环码是否存在，只需要判断 n-k 阶的生成多项式是否能由 Dn+1的因式构成。循环码例子l生成多项式的阶次为 r,该生成多项式是否是 的因此。l一个m阶即约多项式一定能除尽l如，m5，共有6个5阶即约多项式。l再加上 因子，是以上7个多项式的乘积。循环码例子l表11-12表示了m12的即约多项式l在表中多项式的系数是用8进制表示的，而且反多项式没有表示 如 m=5,45,75,67 100101 111101 11011111.4.2 BCH 码的生成多项式l如果循环码的生成多项式具有如下形式l 为纠错个数，为最小多项式，为最小公倍数，由这种方式生成的循环码是BCH码最小码距 码长为 的BCH码称为 本原BCH码（狭义BCH码）码长为 则称为非本原BCH码 BCH 码l由于g(D)有t个因式，且每个因式的最高次为m，因此监督码元最多有mt位。l对于纠t 个错误的本原BCH码，其生成多项式l纠单个错误的本原BCH码为汉明码。表1113给出了 n511的本原BCH码。1114给出了部分非本原BCH码。BCH 码例子l纠正 3 个错误，码长为15的BCH码解：n=15,m=4 查表11-12得，23 37 07 m1(D)m3(D)m5(D)这是(15,5)码。重要的BCH码(23,12)l表1114中最重要的非本原BCH码是(23,12)称为格雷码，码距为7，能纠正3个错误。生成多项式 它是一个完备码l在实际通信系统中，所要求的n、k并不是码表中所推荐的值，在这时我们可以采用缩短或扩展的方式加以修正，也就是通过增加信息符号或校验符号来增加码组长度，或减少信息和校验位来减少码组长度。BCH码l如 BCH码的码长为奇数，而有时需要偶数码长，这时可以在原BCH码生成多项式中乘以（D+1)因子，从而得到（n+1,k）扩展BCH码，这时相当于在原BCH码上加一个全校验位，从而将码距增加1，这时的码字不具有循环性。l如果BCH码不是2m-1或它的因式，这时可以采用缩短的方式，去掉s位信息，(n-s,k-s)缩短BCH码RS码 Reed-Solomonl非二进制BCH码，输入以符号来考虑l假定每组有 K 个符号，每个符号用m比特，输入信息将是 Km 比特。RS码一般写成（n,k,d）最小码距RS码lRS码适合于纠正突发错误，纠正的错误图样有l对于一个长度为 符号的RS码，每个符号都可以看成是有限域 中的一个元素，如RS码的最小码距为d符号，则生成多项式第十一章 差错控制编码 l11.1 基本概念l11.2 分组码 l11.3 循环码 l11.4 BCH码 l11.5 纠正和检测突发错误的分组码 l11.6 纠错码的误码性能11.5 纠正和检测突发错误的分组码交织码interleavedl在水平垂直监督码中将信息码排列成方阵，然后对行和列分别进行检验，可以达到检测突发错误的目的。l如果方阵中行码是能纠 t 个随机错误，交织后能纠t个长度为i的突发错误。i称为交织深度。l如果每行能纠正 b 个突发错误，用上面的同样方法，构成方阵，可以纠正突发长度为bi个突发错误。l通常把i称为交织深度循环码构成交织码l采用循环码构成交织码时，可以不采用方阵就能实现编码。l假设交织码每行为 循环码，其生成多项式为 ，可以除尽 ，如交织深度为 其交织码为 ,其生成多项式为 可以除尽 ，所以 也是循环码。循环码构成交织码(续)l如，循环码(7,4)，其生成多项式为构成交织深度为3 的(21,12)交织码。交织码的生成多项式为它也是循环码，可以用循环码的方式构成。在发送端可以不排成方阵，但是在译码时，必须将码元排列成 阵列，然后分别独立的对每行码字进行译码。交织码 之小结l为了进一步提高纠错能力，可以在交织阵列中不仅对每行进行纠错编码，而且也对每列进行纠错编码，这种形式的交织码称为乘积码。l若乘积码的行码和列码 分别能纠长度不超过 的突发错误，则乘积码能纠正长度为 的突发错误。l交织一般都带固有延时，在语音中交织的延时不要超过40ms。法尔码 Firel也是循环码，能纠单个突发错误。法尔码的纠错能力CRC 码l循环冗余检验码，简称CRC，也是循环码。l能检测出以下错误常用 CRC 码l常用的四种，已经成为国际标准。表11-16 常用的CRC码码生成多项式CRC-12CRC-16CRC-32CRC-CCITTD12+D11+D3+D2+D+1D16+D15+D2+1D16+D12+D5+1D32+D26+D23+D22+D16+D12+D11+D10+D8+D7+D5+D4+D2+D+1第十一章 差错控制编码 l11.1 基本概念l11.2 分组码 l11.3 循环码 l11.4 BCH码 l11.5 纠正和检测突发错误的分组码 l11.6 纠错码的误码性能11.6 纠错码的误码特性l任何纠错码的能力都是有限的，超出纠错码能力的错误不可能纠正，甚至会出现乱纠的现象。l采用纠错后，误码性能的改善？l由于纠错码种类很多，纠错能力各不相同，译码方法也不同，因此其性能必须根据具体分析和计算。BSC&AWGN lBSC如果纠正 t 个随机错误，则 Pe为不加纠错 时的误码率lAWGNBPSKBSC&AWGNlRb Rc Eb Ec 这时的功率要降低 Rb采用1/2编码时，Rc=2Rb Eb Eb 降低了3dB 编码增益 G=加纠错和不加纠错时，达到同样误码率时的信噪比之差