结构力学课件第五章桁架

第五章第五章 静定平面桁架静定平面桁架桁架是由梁演变而来的：桁架是由梁演变而来的：将梁中性轴附近未被充分利用的材料掏空，将梁中性轴附近未被充分利用的材料掏空，就得到图所示的梁。就得到图所示的梁。5-1 5-1 平面桁架的计算简图平面桁架的计算简图 桁架结构桁架结构主桁架主桁架纵梁纵梁 横梁横梁钢桁架桥钢桁架桥实际工程中的桁架常引入以下几点假定：实际工程中的桁架常引入以下几点假定：桁架的结点都是光滑的铰结点。桁架的结点都是光滑的铰结点。各杆的轴线都是直线并通过铰的中心。各杆的轴线都是直线并通过铰的中心。荷载和支座反力都作用在结点上。荷载和支座反力都作用在结点上。n n特性：特性：只有轴力只有轴力，而没有弯矩和剪力。，而没有弯矩和剪力。n n截面上的应力均匀分布，可以充分发挥截面上的应力均匀分布，可以充分发挥材料的性能，具有重量轻，承受荷载大，材料的性能，具有重量轻，承受荷载大，是大跨度结构常用的一种结构形式。是大跨度结构常用的一种结构形式。桁架桁架-直杆铰接体系直杆铰接体系.荷载只在结点作用，荷载只在结点作用，所有杆均为只有轴力的二力杆所有杆均为只有轴力的二力杆.上弦杆上弦杆上弦杆上弦杆下弦杆下弦杆下弦杆下弦杆竖杆竖杆竖杆竖杆斜杆斜杆斜杆斜杆跨度跨度跨度跨度桁高桁高桁高桁高 弦杆弦杆弦杆弦杆腹杆腹杆腹杆腹杆节间节间节间节间d d桁架的计算简图及其名称桁架的计算简图及其名称主应力主应力:按理想的桁架计算简图计算出的按理想的桁架计算简图计算出的应力应力次应力次应力:实际应力与主应力的差值，一般实际应力与主应力的差值，一般情况下可以忽略不计。情况下可以忽略不计。并非理想铰接；并非理想铰接；并非理想直杆；并非理想直杆；并非只有结点荷载；并非只有结点荷载；结构的空间作用。结构的空间作用。简图与实际的偏差：简图与实际的偏差：桁架结构的分类：桁架结构的分类：一、根据维数分类一、根据维数分类 1.1.平面（二维）桁架平面（二维）桁架 所有组成桁架的杆件以及荷载的作用线所有组成桁架的杆件以及荷载的作用线都在同一平面内都在同一平面内2.2.2.2.空间（三维）桁架空间（三维）桁架空间（三维）桁架空间（三维）桁架组成桁架的杆件不都在同一平面内组成桁架的杆件不都在同一平面内组成桁架的杆件不都在同一平面内组成桁架的杆件不都在同一平面内二、按外型分类二、按外型分类1.1.平行弦桁架平行弦桁架2.2.三角形桁架三角形桁架3.3.抛物线桁架抛物线桁架4.4.梯形桁架梯形桁架 简单桁架简单桁架 联合桁架联合桁架 复杂桁架复杂桁架三、按几何组成分类三、按几何组成分类由一个基本铰结三角形开始依次增加二元体而组成的桁架。由一个基本铰结三角形开始依次增加二元体而组成的桁架。由几个简单桁架按几何不变体系的组成规律联合组成的桁架。由几个简单桁架按几何不变体系的组成规律联合组成的桁架。不按上述两种方式组成的其它形式的桁架。不按上述两种方式组成的其它形式的桁架。1.1.梁式桁架梁式桁架四、按受力特点分类：四、按受力特点分类：2.2.拱式桁架拱式桁架竖向荷载下将竖向荷载下将产生水平反力产生水平反力5-2 5-2 结点法结点法 以只有一个结点的隔离体为研究对象，用汇以只有一个结点的隔离体为研究对象，用汇交力系的平衡方程求解各杆内力的方法交力系的平衡方程求解各杆内力的方法取隔离体时取隔离体时,每个隔离体只包含一个结点。每个隔离体只包含一个结点。隔离体上的力是平面汇交力系隔离体上的力是平面汇交力系,只有两个独立的只有两个独立的平衡方程可以利用平衡方程可以利用,一般应先截取只包含两个未一般应先截取只包含两个未知轴力杆件的结点知轴力杆件的结点。对对于于简简单单桁桁架架用用结结点点法法求求解解时时，按按照照撤撤除除二二元元体体的的次次序序截截取取结结点点，可可求求出出全全部部内内力力，而而不不需需求求解解联立方程。联立方程。F FX XF Fy y LLxLy FNFN将斜杆轴力将斜杆轴力 分解为分解为 水平分力水平分力 和竖向分力和竖向分力 ，如图示斜杆的长度如图示斜杆的长度l 及其投影及其投影 lx和和 ly构成的三角形与轴力构成的三角形与轴力及其分力构成的三角形相似，因而及其分力构成的三角形相似，因而有比例关系有比例关系利用这些比例关系，可利用这些比例关系，可以方便地进行轴力及其以方便地进行轴力及其分力的推算，而无须使分力的推算，而无须使用三角函数和角度，对用三角函数和角度，对建立方程很方便建立方程很方便。结点法计算举例结点法计算举例（1）首先由桁架）首先由桁架的整体平衡条件求的整体平衡条件求出支座反力。出支座反力。FAV=45kNFAH=120kNFB=120kN（2）截取各结点）截取各结点解算杆件内力。解算杆件内力。分析桁架的几何组成：此桁架为简单桁分析桁架的几何组成：此桁架为简单桁架，由基本三角形架，由基本三角形ABC按二元体规则依按二元体规则依次装入新结点构成。由最后装入的结点次装入新结点构成。由最后装入的结点G开始计算。（或由开始计算。（或由A结点开始）结点开始）取结点取结点G隔离体隔离体 G15kNFNGFFNGEFYGEFXGE由由FY=0 可得可得FyGE=15kN（拉）拉）由比例关系求得由比例关系求得FXGE=20kN(拉拉)及及FNGE=15=25kN(拉拉)再由再由FX=0 可得可得FNGF=-FxGE=-20kN(压）压）25-20-20+151520304050+60+600756045-120-45 然后依次取结点然后依次取结点F、E、D、C计算。计算。$ABCDEFG15kN 15kN 15kN 4m4m4m3mF20kNFNFE=+15kN15kNFNFC=-20kNE+15kN+20kN+15kNFYEC=-30kNFXEC=-40kNFNED=+60kNFAV=45kNFAH=120kNFB=120kN25-20-20+151520304050+60+600756045-120-45ABCDEFG15kN 15kN 15kN 4m4m4m3m到结点到结点B时，只有一个未知力时，只有一个未知力FNBA，最后到结点最后到结点A时，轴力均已求出，时，轴力均已求出，故以此二结点的平衡条件进行校核。故以此二结点的平衡条件进行校核。当遇到一个结点上未知力均为斜向时，为简化计算：当遇到一个结点上未知力均为斜向时，为简化计算：(1)改变投影轴的方向改变投影轴的方向AFN2FN1x由由FX=0 可首先求出可首先求出FN1 (2)改用力矩式平衡方程改用力矩式平衡方程由由MC=0一次求出一次求出BCFY1FX1Fr将力将力FN1在在B点分解为点分解为FX1、FY1ABCdbahF计算中的技巧计算中的技巧 （1）L形结点：无载二杆结点，两杆内力均为零。形结点：无载二杆结点，两杆内力均为零。FN1=0FN2=0图图a La L形结点形结点图图b Tb T形结点形结点FN1FN3=0FN2=FN1（2）T形结点：三杆结点无外荷载作用时，如其中两形结点：三杆结点无外荷载作用时，如其中两杆在一条直线上，则共线的两杆内力性质相同，而第杆在一条直线上，则共线的两杆内力性质相同，而第三杆内力为零。三杆内力为零。结点平衡特殊情况的简化计算结点平衡特殊情况的简化计算（3）X形结点：四杆结形结点：四杆结点无外荷载作用时，如其点无外荷载作用时，如其中两杆在一条直线上，另中两杆在一条直线上，另外两杆在另一条直线上，外两杆在另一条直线上，则同一直线上的两杆内力则同一直线上的两杆内力大小相等且符号相同。大小相等且符号相同。图图c Xc X形结点形结点FN2=FN1FN1FN3FN4=FN3（4）K形结点：四杆结形结点：四杆结点，其中两杆在一条直线点，其中两杆在一条直线上，另外两杆在此直线同上，另外两杆在此直线同侧且交角相等，无外荷载侧且交角相等，无外荷载作用时，则非共线两杆内作用时，则非共线两杆内力大小相等而符号相反。力大小相等而符号相反。图图d Kd K形结点形结点FN2 FN1FN1FN3=-FN4FN4=-FN3 FP/2FP/2FPFPFP判断结构中的零杆判断结构中的零杆0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0判断结构中的零杆判断结构中的零杆判断桁架中的零杆判断桁架中的零杆000000008根根00000007根根00000009根根00小结：小结：（1 1）结点法适用于简单桁架，从最后装）结点法适用于简单桁架，从最后装上的结点开始计算。上的结点开始计算。（2 2）每次所取结点的未知力不能多于两个。）每次所取结点的未知力不能多于两个。（3 3）计算前先判断零杆。）计算前先判断零杆。5-3 5-3 截截 面面 法法 截取桁架的某一局部（截取桁架的某一局部（包含两个或两包含两个或两个以上的结点个以上的结点）作为隔离体，由平面任意）作为隔离体，由平面任意力系的平衡方程即可求得未知的轴力。力系的平衡方程即可求得未知的轴力。对于平面桁架，由于平面任意力系的对于平面桁架，由于平面任意力系的独立平衡方程数为独立平衡方程数为3，因此，因此所截断的杆件所截断的杆件数一般不宜超过数一般不宜超过3对两未知力交点取矩对两未知力交点取矩(称为称为力矩法力矩法)或沿与两个平行未知力垂直的方向或沿与两个平行未知力垂直的方向投影（称为投影（称为投影法投影法）列平衡方程，）列平衡方程，可使可使一个方程中只含一个未知力一个方程中只含一个未知力。注意注意（1）力矩法）力矩法设支座反力已求出。设支座反力已求出。FAFB 求求EF、ED、CD三杆的三杆的内力。内力。作截面作截面-，取左部分取左部分为隔离体。为隔离体。由由ME=0 有有FAdF1dF20FNCDh=0得得（拉）（拉）（拉）（拉）得得FNEFFNEDFNCDFXEFaddFXEDFYEDFYEFFA 可以证明：简支桁架在竖向荷载作用下，可以证明：简支桁架在竖向荷载作用下，下弦杆受拉力，上弦杆受压力。下弦杆受拉力，上弦杆受压力。由由MO=0 有有FAa+F1a+F2(a+d)+FYED(a+2d)=0由由MD=0 有有FA2dF12dF2d+FXEFH=0（压）（压）FNEFFNEDFNCDFXEFaddFXEDFYEDFYEFFAFNEFFNEDFNCDFXEFaddFXEDFYEDFYEFFA（2 2）投影法）投影法 求求DGDG杆内力杆内力 作作截面，截面，取左部分为隔取左部分为隔离体。离体。FxDGFyDG由由Fy=0 有有FAF1F2F3+FyDG=0FyDG=FNDGsin=(FAF1F2F3)上式括号内之值恰等于相应上式括号内之值恰等于相应简支梁上简支梁上DGDG段的剪力，故此法段的剪力，故此法又称为又称为剪力法剪力法。FA (1)(1)用截面法求内力时，一般截断的用截面法求内力时，一般截断的杆件一次不能多于三个杆件一次不能多于三个(特殊情况例外特殊情况例外)。(2)(2)对于简单桁架，求全部杆件内力对于简单桁架，求全部杆件内力 时，时，应用结点法；若只求个别杆件内力，应用结点法；若只求个别杆件内力，用截面法。用截面法。(3)(3)对于联合桁架，先用截面法对于联合桁架，先用截面法将联将联 合杆件的内力求出合杆件的内力求出，然后再对各简单桁架，然后再对各简单桁架 进行分析。进行分析。几点结论几点结论截面法中的特殊情况：相相 交交 情情 况况FPFPFPFPFPFPa为为截截面面单单杆杆所作截面截断三根以所作截面截断三根以上的杆件，如除了杆上的杆件，如除了杆a外，其余各杆均交外，其余各杆均交于一点于一点O，则对则对O点点列矩方程可求出杆列矩方程可求出杆a轴力轴力。截截面面单单杆杆平行情况平行情况FPFPb为截面单杆为截面单杆所作截面截断三根以上的杆件，如除了杆所作截面截断三根以上的杆件，如除了杆b b外，外，其余各杆均互相平行，则由投影方程可求出杆其余各杆均互相平行，则由投影方程可求出杆b b轴力。轴力。截截面面单单杆杆 作作K-K截面：截面：M8=0，求求FN5-13；进而可求其它杆内力。进而可求其它杆内力。KK用结点法计算出用结点法计算出1、2、3结点后，无论向结点结点后，无论向结点4或结点或结点5均无法继续运算。均无法继续运算。联合桁架举例一联合桁架举例一 求出支座反力后作封闭截面求出支座反力后作封闭截面K，以其内部或外部为研以其内部或外部为研究对象，可求出究对象，可求出FNAD、FNBE、FNCF，进而可求出其它各进而可求出其它各杆之内力。杆之内力。K联合桁架举例二联合桁架举例二 求出支座反力后作截面求出支座反力后作截面K-K，以其左半部或右半部以其左半部或右半部为研究对象，利用为研究对象，利用 C=0，可求出可求出FNAB，进而可求出其进而可求出其它各杆之内力。它各杆之内力。KK联合桁架举例三联合桁架举例三5-4 5-4 截面法和结点法的联截面法和结点法的联合应用合应用 结点法、截面法是计算桁架的两种基本方法。结点法、截面法是计算桁架的两种基本方法。计算简单桁架时计算简单桁架时 ，两种方法均很简单；而，两种方法均很简单；而计算联合桁架时，需要联合应用。计算联合桁架时，需要联合应用。例例51 桁架中桁架中a杆和杆和b杆的内力。杆的内力。解：解：（1）求）求a杆的内力杆的内力作作截面，截面，并取并取左部为隔离体，有四左部为隔离体，有四个未知力尚不能求解。个未知力尚不能求解。为此，可取其它隔离为此，可取其它隔离体，求出其一或其中体，求出其一或其中两个之间的关系。两个之间的关系。取取K点为隔离体点为隔离体KFNaFNc有有FNa=FNc或或 Fya=Fyc再由再由截面截面据据Fy=0 有有3F FF+F Fyaya F Fy yc=0即即+2+2F Fyaya=0=0F Fyaya=由比例关系得由比例关系得F FNaNa=（压）（压）FNa求得后，求得后，再由再由MC=0 即可求得即可求得FNb(略）。略）。求求FNb还有其他还有其他更简捷的方法更简捷的方法吗？吗？abc3P3PFyaFycabc3P3PFyaFyc作截面作截面-由左半部分由左半部分Md=0，得得更简捷55 各式桁架比较各式桁架比较不同形式的桁架，其内力分布情况及适用场合亦不同形式的桁架，其内力分布情况及适用场合亦各不同，设计时应根据具体要求选用。为此，下各不同，设计时应根据具体要求选用。为此，下面就常用的三种桁架加以比较。面就常用的三种桁架加以比较。内力分布不均匀，弦杆内力向跨中递增。构造内力分布不均匀，弦杆内力向跨中递增。构造上各类杆长度相同，结点处各杆交角相同，便于上各类杆长度相同，结点处各杆交角相同，便于标准化。因制作施工较为方便，铁路桥常采用。标准化。因制作施工较为方便，铁路桥常采用。1.1.平行弦桁架：平行弦桁架：平行弦桁架 内力分布均匀，在材料使用上经济。但构造内力分布均匀，在材料使用上经济。但构造上复杂。大跨度桥梁上复杂。大跨度桥梁(100150(100150m)m)及大跨度屋架及大跨度屋架(18-30(18-30m)m)中常采用。中常采用。2.2.抛物线形桁架：抛物线形桁架：抛物线形桁架 内力分布不均匀，弦杆内力两端大，两端内力分布不均匀，弦杆内力两端大，两端结点夹角甚小，构造复杂。因两斜面符合屋顶结点夹角甚小，构造复杂。因两斜面符合屋顶要求，在屋架中常采用。要求，在屋架中常采用。3.3.三角形桁架：三角形桁架：三角形桁架三角形桁架56 组合结构计算组合结构计算 1.组合结构的概念：组合结构的概念：由链杆（受轴向力）和梁式杆（受弯杆件）混合由链杆（受轴向力）和梁式杆（受弯杆件）混合组成的结构。链杆组成的结构。链杆是只承受轴力的是只承受轴力的二力杆二力杆，梁式梁式杆杆同时承受弯矩、剪力、轴力。组合结构可以认同时承受弯矩、剪力、轴力。组合结构可以认为是为是桁架和梁的组合体桁架和梁的组合体。2.组合结构的计算步骤：组合结构的计算步骤：（1）求支座反力；）求支座反力；（2）计算各链杆的轴力；）计算各链杆的轴力；（3）将将链杆（链杆（二力杆）的内力作用于梁二力杆）的内力作用于梁式杆上，再求梁式杆的内力。式杆上，再求梁式杆的内力。例例 5 53 3 分析此组合结构的内力。分析此组合结构的内力。解：解：1.1.由整体平衡条由整体平衡条件求件求出支反力。出支反力。2.2.求各链杆的内求各链杆的内力：作力：作截面截面 拆开拆开C C铰和截断铰和截断DEDE杆，取右部为隔离体。杆，取右部为隔离体。由由MC=0 有有3838 F FNDE NDE 2=02=0F FNDENDE=12kN(=12kN(拉）拉）再考虑结点再考虑结点D D、E E的平的平 衡可求出各链杆的内力。衡可求出各链杆的内力。2FCVFCHFNDE126134+12-612FAV=5kNFBV=3kN FAH=01-6134126+12+3.3.分析受弯杆件分析受弯杆件取取AC杆为隔离体，杆为隔离体，A AC C5 5kNkN12kN6kNF6kNFCHFCV考虑其平衡可求得：考虑其平衡可求得：FCH=12kNFCV=3kN并可作出弯矩图。并可作出弯矩图。=12=12kNkN=3=3kNkN8kN M M图图（kNm)kNm)461200ABC1kN6kN8kN3kN6kN0