若根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度课件

第二章第二章 静电场静电场 主主 要要 内内 容容电场强度、电位、介质极化、场方程、边界条件、能量与力电场强度、电位、介质极化、场方程、边界条件、能量与力1.电场强度、电通及电场线电场强度、电通及电场线 电场对某点单位电场对某点单位正正电荷的作用力称为该点的电场强度电荷的作用力称为该点的电场强度，以以E 表示表示。式中式中q 为试验电荷的电量，为试验电荷的电量，F 为电荷为电荷q 受到的作用力。受到的作用力。电场强度通过任一曲面的通量称为电通电场强度通过任一曲面的通量称为电通，以以 表示表示,即即 第二章 静电场 主 要 内 容1.电场强度、电通及1电场线电场线方程方程用电场线围用电场线围成成电场管电场管带电平行板带电平行板 负电荷负电荷 正电荷正电荷 几种典型的电场线分布几种典型的电场线分布由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。电场线方程用电场线围成电场管带电平行板 22.真空中静电场方程真空中静电场方程 物物理理实实验验表表明明，真真空空中中静静电电场场的的电电场场强强度度E 满满足足下下列列两两个个积分形式的方程积分形式的方程式中式中0 为真空介电常数。为真空介电常数。左式称为高斯定理，它表明真空中静电场的电场强度通过任一左式称为高斯定理，它表明真空中静电场的电场强度通过任一封封闭闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度沿右式表明，真空中静电场的电场强度沿任一任一条闭合曲线的环量为条闭合曲线的环量为零。零。2.真空中静电场方程 物理实验表明，真空中静电场的3根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度，根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度，即即左式表明，真空中静电场的电场强度在某左式表明，真空中静电场的电场强度在某点点的散度等于该点的电的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比荷体密度与真空介电常数之比。右式表明，。右式表明，真空中静电场的电场真空中静电场的电场强度的旋度强度的旋度处处处处为零为零。由此可见，。由此可见，真空中静电场是真空中静电场是有散无旋有散无旋场。场。已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定理，电场强度理，电场强度E 应为应为 式中式中xPzyr0根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度，即左式表明，真空中4将前述结果代入，求得将前述结果代入，求得因此因此 标标量量函函数数 称称为为电电位位。因因此此，上上式式表表明明真真空空中中静静电电场场在在某某点点的电场强度等于该点电位梯度的的电场强度等于该点电位梯度的负负值。值。按照国家标准，电位以小写希腊字母按照国家标准，电位以小写希腊字母 表示，上式应写为表示，上式应写为将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为将前述结果代入，求得因此 标量函数 称为电位。因此，5 若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密度面密度 S 及及线密度线密度l 的关系分别为的关系分别为 若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个6（1 1）高斯定律中的电量高斯定律中的电量 q 应理解为封闭面应理解为封闭面 S 所包围的全部正所包围的全部正负电荷的总和。负电荷的总和。静电场特性的进一步认识：静电场特性的进一步认识：（2 2）静电场的电场线是不可能闭合的静电场的电场线是不可能闭合的 ，而且也不可能相交。，而且也不可能相交。（3 3）任意两点之间电场强度任意两点之间电场强度 E 的的线积分与路径无关。真空中线积分与路径无关。真空中的静电场和重力场一样，它是一种保守场。的静电场和重力场一样，它是一种保守场。（4）已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电场强度等三种计算静电场的方法。场强度等三种计算静电场的方法。（1）高斯定律中的电量 q 应理解为封闭面 S 所包围的全部7例例1 计算点电荷的电场强度。计算点电荷的电场强度。点电荷点电荷就是指体积为就是指体积为零零，但具有一定电量的电荷。由于点电荷，但具有一定电量的电荷。由于点电荷的结构具有的结构具有球对称球对称特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生的电场强度一定与球坐标的方位角及无关。的电场强度一定与球坐标的方位角及无关。取中心位于点电荷的球面为取中心位于点电荷的球面为高斯面高斯面。若点电荷为正电荷，球面。若点电荷为正电荷，球面上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律上式左端积分为上式左端积分为 得得或或例1 计算点电荷的电场强度。点电荷就是指体积为零8 也也可可通通过过电电位位计计算算点点电电荷荷产产生生的的电电场场强强度度。当当点点电电荷荷位位于于坐坐标标原原点时，点时，。那么点电荷的电位为。那么点电荷的电位为求得电场强度求得电场强度 E 为为 若直接根据电场强度公式（若直接根据电场强度公式（2-2-14），同样求得电场强度），同样求得电场强度E为为 也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐9例例2 计算电偶极子的电场强度。计算电偶极子的电场强度。由前述电位和电场强度的计算公式可由前述电位和电场强度的计算公式可见，无论电荷何种分布，电位及电场强度见，无论电荷何种分布，电位及电场强度均与电量的一次方成正比。因此，可以利均与电量的一次方成正比。因此，可以利用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位应为应为 若观察距离远大于两电荷的间距若观察距离远大于两电荷的间距 l，则可认为，则可认为 ，与与 平行，则平行，则x-q+qzylrr-r+O例2 计算电偶极子的电场强度。由前述电位和电场强10式式中中l 的的方方向向规规定定由由负负电电荷荷指指向向正正电电荷荷。通通常常定定义义乘乘积积 q l 为为电电偶偶极子的极子的电矩电矩，以，以 p 表示，即表示，即求得求得那么电偶极子产生的电位为那么电偶极子产生的电位为 利用关系式利用关系式 ，求得电偶极子的电场强度为，求得电偶极子的电场强度为式中l 的方向规定由负电荷指向正电荷。通常定义乘积 q l 11 上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角 有关。这些特点有关。这些特点与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强12例例3 设半径为设半径为a，电荷体密度为，电荷体密度为 的无限长圆柱带电体位于真空，的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电圆柱体内外的电场强度。计算该带电圆柱体内外的电场强度。xzyaLS1 选取圆柱坐标系，令选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱的轴线。轴为圆柱的轴线。由于圆柱是无限长的，对于任一由于圆柱是无限长的，对于任一 z 值，上值，上下均匀无限长，因此场量与下均匀无限长，因此场量与 z 坐标无关。对坐标无关。对于任一于任一 z 为常数的平面，上下是对称的，因为常数的平面，上下是对称的，因此电场强度一定垂直于此电场强度一定垂直于z 轴，且与径向坐标轴，且与径向坐标 r 一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特点，场强一定与角度点，场强一定与角度 无关。无关。取半径为取半径为 r，长度为，长度为 L 的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用高斯定律高斯定律 例3 设半径为a，电荷体密度为 的无限长圆柱带电体位于真13 因因电电场场强强度度方方向向处处处处与与圆圆柱柱侧侧面面S1的的外外法法线线方方向向一一致致，而而与与上上下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为当当 r a 时，则电量时，则电量q 为为 ,求得电场强度为求得电场强度为 因电场强度方向处处与圆柱侧面S1的外法线方向14 上上式式中中a2 可可以以认认为为是是单单位位长长度度内内的的电电量量。那那么么，柱柱外外电电场场可可以以看看作作为为位位于于圆圆柱柱轴轴上上线线密密度度为为 =a2 的的线线电电荷荷产产生生的的电电场场。由由此我们推出线密度为此我们推出线密度为 的的无限长线电荷无限长线电荷的电场强度为的电场强度为 由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷，利由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷，利用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。分计算电位或电场强度，显然不易。上式中a2 可以认为是单位长度内的电量。15xzyr21r0例例4 求长度为求长度为L，线密度为，线密度为 的均匀线分布电荷的电场强度。的均匀线分布电荷的电场强度。令圆柱坐标系的令圆柱坐标系的 z 轴与线电荷的长轴与线电荷的长度方位一致，且中点为坐标原点。由于度方位一致，且中点为坐标原点。由于结构旋转对称，场强与方位角结构旋转对称，场强与方位角 无关。无关。因为电场强度的方向无法判断，不能应因为电场强度的方向无法判断，不能应用高斯定律求解其电场强度。只好进行用高斯定律求解其电场强度。只好进行直接积分，计算其电位及电场强度。直接积分，计算其电位及电场强度。因场量与因场量与 无关，为了方便起见，可令观察点无关，为了方便起见，可令观察点P 位于位于yz平面，即平面，即 ，那么，那么 xzyr21r0例4 求长度为L，线密度为 16考虑到考虑到求得求得当长度当长度 L 时，时，1 0，2 ，则，则此结果与此结果与例例3 导出的结果完全相同。导出的结果完全相同。考虑到求得当长度 L 时，1 0，2 173.电位与等位面电位与等位面 静静电电场场中中某某点点的的电电位位，其其物物理理意意义义是是单单位位正正电电荷荷在在电电场场力力的的作作用下，自该点沿用下，自该点沿任一条任一条路径移至无限远处过程中电场力作的路径移至无限远处过程中电场力作的功功。应应该该注注意意，这这里里所所说说的的电电位位实实际际上上是是该该点点与与无无限限远远处处之之间间的的电电位位差差，或或者者说说是是以以无无限限远远处处作作为为参参考考点点的的电电位位。原原则则上上，可可以以任任取取一一点点作作为为电电位位参参考考点点。显显然然，电电位位的的参参考考点点不不同同，某某点点电电位位的的值值也也不不同同。但但是是任任意意两两点点之之间间的的电电位位差差与与电电位位参参考考点点无无关关，因因此此电电位位参参考考点点的的选选择择不不会会影影响响电电场场强强度度的的值值。当当电电荷荷分分布布在在有有限限区区域域时时，通通常选择无限远处作为电位参考点，因为此时无限远处的电位为零。常选择无限远处作为电位参考点，因为此时无限远处的电位为零。电位的数学表示电位的数学表示式中式中q 为电荷的电量，为电荷的电量，W 为电场力将电荷为电场力将电荷 q 推到无限远处作的功。推到无限远处作的功。3.电位与等位面 静电场中某点的电位，其物理意义是18 由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是垂直于等位面，因此，垂直于等位面，因此，电场线与等位面一定处处保持垂直电场线与等位面一定处处保持垂直。若规。若规定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明电位变化较快，因而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也电位变化较快，因而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。可表示电场强度的强弱。电位相等的曲面称为电位相等的曲面称为等位面等位面，其方程为，其方程为电场线等位面式中常数式中常数 C 等于电位值。等于电位值。E 由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是19有极分子无极分子4.介质极化介质极化 导体导体中的电子通常称为中的电子通常称为自由电子自由电子，它们所携带的电荷称为，它们所携带的电荷称为自由自由电荷电荷。介质介质中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为束缚电荷束缚电荷。在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种现象称为在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种现象称为极化极化。通常，通常，无极无极分子的极化称为分子的极化称为位移位移极化，极化，有极有极分子的极化称为分子的极化称为取向取向极极化。化。无极分子有极分子Ea有极分子无极分子4.介质极化 导体中的电子通常称20 实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场Ea 加到介质中加到介质中以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场Es，这种二次电场，这种二次电场 Es 又又影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。介介 质质合成场合成场Ea+Es极极 化化二次场二次场Es外加场外加场Ea 实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场Ea 加21 介质极化以后，介质中出现很多排列方向大致相同的电偶极子。介质极化以后，介质中出现很多排列方向大致相同的电偶极子。为了衡量这种极化程度，我们定义，单位体积中电矩的矢量和称为为了衡量这种极化程度，我们定义，单位体积中电矩的矢量和称为极化强度，以极化强度，以P 表示，即表示，即 式中式中 pi 为体积为体积 V 中第中第 i 个电偶极子的电矩，个电偶极子的电矩，N 为为V 中电偶极子中电偶极子的数目。这里的数目。这里 V 应理解为物理无限小的体积。应理解为物理无限小的体积。实实验验结结果果表表明明，大大多多数数介介质质在在电电场场的的作作用用下下发发生生极极化化时时，其其极化强度极化强度 P 与介质中的合成电场强度与介质中的合成电场强度 E 成正比，即成正比，即式中式中e 称为称为极化率极化率，它是一个正实数。，它是一个正实数。介质极化以后，介质中出现很多排列方向大致相同的电偶极22 由上可见，这类介质的极化强度与合成的电场强度的方向相同。由上可见，这类介质的极化强度与合成的电场强度的方向相同。极化强度的某一坐标分量仅决定于相应的电场强度的坐标分量。极化极化强度的某一坐标分量仅决定于相应的电场强度的坐标分量。极化率与电场率与电场方向方向无关，这类介质称为无关，这类介质称为各向同性各向同性介质。有些介质并不是这介质。有些介质并不是这样，其极化强度的某一坐标分量不仅与电场强度相应的坐标分量有关，样，其极化强度的某一坐标分量不仅与电场强度相应的坐标分量有关，而且与电场强度的其他分量也有关。这类介质的极化强度而且与电场强度的其他分量也有关。这类介质的极化强度 P 与电场强与电场强度度 E 的关系可用下列矩阵表示的关系可用下列矩阵表示 这就表明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与这就表明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与电场强度方向有关，因此，这类介质称为电场强度方向有关，因此，这类介质称为各向异性各向异性介质。介质。由上可见，这类介质的极化强度与合成的电场强度的方向相23 空间各点极化率相同的介质称为空间各点极化率相同的介质称为均匀均匀介质，否则，称为介质，否则，称为非均匀非均匀介介质。质。极化率与时间无关的介质称为极化率与时间无关的介质称为静止静止媒质，否则称为媒质，否则称为运动运动媒质。媒质。介质的均匀与非均匀性、线性与非线性、各向同性与各向异性、介质的均匀与非均匀性、线性与非线性、各向同性与各向异性、静止与运动分别代表完全不同的概念，不应混淆。静止与运动分别代表完全不同的概念，不应混淆。因此，若极化率是一个因此，若极化率是一个正实常数正实常数，则适用于，则适用于线性均匀且各向同性线性均匀且各向同性的介质。若前述的介质。若前述矩阵矩阵的各个元素都是一个的各个元素都是一个正实常数正实常数，则适用于，则适用于线性均线性均匀各向异性匀各向异性的介质。的介质。极化率与电场强度的极化率与电场强度的大小无关大小无关的介质称为的介质称为线性线性介质，否则，称介质，否则，称为为非线性非线性介质。介质。各向异性的介质能否是均匀的？非均匀介质能否是各向同性的各向异性的介质能否是均匀的？非均匀介质能否是各向同性的？空间各点极化率相同的介质称为均匀介质，否则，称为非均24 发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内部发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内部是不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在介质是不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在介质内部出现束缚电荷的体分布，因而出现体分布的束缚电荷。内部出现束缚电荷的体分布，因而出现体分布的束缚电荷。这种因这种因极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷极化电荷。可以证明可以证明这些极化电荷产生的电位为这些极化电荷产生的电位为 式中式中 为极化强度，它与极化电荷的关系为为极化强度，它与极化电荷的关系为 由此可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表由此可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表面束缚电荷是等值异性的面束缚电荷是等值异性的。右式又可写为积分形式右式又可写为积分形式 发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内25 5.介质中的静电场方程介质中的静电场方程 在介质内部，穿过任一闭合面在介质内部，穿过任一闭合面 S 的电通应为的电通应为式中式中 q 为闭合面为闭合面 S 中的自由电荷，中的自由电荷，为闭合面为闭合面S 中的束缚电荷。那么中的束缚电荷。那么 令令 ，求得，求得此处定义的此处定义的 D 称为称为电位移电位移。可见，介质中穿过任一闭合面的电位移。可见，介质中穿过任一闭合面的电位移的通量等于该闭合面包围的的通量等于该闭合面包围的自由自由电荷，而与束缚电荷无关。上式又电荷，而与束缚电荷无关。上式又称为介质中的高斯定律的积分形式，利用矢量恒等式不难推出其微称为介质中的高斯定律的积分形式，利用矢量恒等式不难推出其微分形式为分形式为 5.介质中的静电场方程 在介质内部，穿26 介质中介质中微分形式的高斯定律表明，微分形式的高斯定律表明，某某点点电位移的散度等于该电位移的散度等于该点点自由自由电荷的体密度电荷的体密度。电位移也可用一系列曲线表示。曲线上某点的切线方向等于该电位移也可用一系列曲线表示。曲线上某点的切线方向等于该点电位移的方向，这些曲线称为点电位移的方向，这些曲线称为电位移线电位移线。若规定电位移线组成的。若规定电位移线组成的相邻的通量管中电位移的通量相等，那么电位移线的疏密程度即可相邻的通量管中电位移的通量相等，那么电位移线的疏密程度即可表示电位移的大小。值得注意的是，表示电位移的大小。值得注意的是，电位移线起始于正的自由电荷，电位移线起始于正的自由电荷，而终止于负的自由电荷，与束缚电荷无关而终止于负的自由电荷，与束缚电荷无关。已知各向同性介质的极化强度已知各向同性介质的极化强度 ，求得，求得 令令 ，式式中中 称称为为介介质质的的介介电电常常数数。已已知知极极化化率率 e 为为正正实实数数，因因此此，一一切介质的介电常数均切介质的介电常数均大于大于真空的介电常数。真空的介电常数。则则 介质中微分形式的高斯定律表明，某点电位移的散27 实实际际中中经经常常使使用用介介电电常常数数的的相相对对值值，这这种种相相对对值值称称为为相相对对介介电电常常数，以数，以 r 表示，其定义为表示，其定义为可可见见，任任何何介介质质的的相相对对介介电电常常数数总总是是大大于于1。下下表表给给出出了了几几种种介介质质的的相对介电常数的近似值。相对介电常数的近似值。介介 质质介介 质质空空 气气1.0石石 英英3.3油油2.3云云 母母6.0纸纸1.34.0陶陶 瓷瓷5.36.5有机玻璃有机玻璃2.63.5纯纯 水水81石石 腊腊2.1树树 脂脂3.3聚乙烯聚乙烯2.3聚苯乙烯聚苯乙烯2.6rr 实际中经常使用介电常数的相对值，这种相对值称28各向异性介质的电位移与电场强度的关系可以表示为各向异性介质的电位移与电场强度的关系可以表示为此式表明，各向异性介质中，电位移的方向与电场强度的方向不一此式表明，各向异性介质中，电位移的方向与电场强度的方向不一定相同，电位移某一分量可能与电场强度的各个（或者某些）分量定相同，电位移某一分量可能与电场强度的各个（或者某些）分量有关。电位移和电场强度的关系与外加电场的有关。电位移和电场强度的关系与外加电场的方向方向有关。此外，可有关。此外，可以推知均匀介质的介电常数与以推知均匀介质的介电常数与空间坐标空间坐标无关。线性介质的介电常数无关。线性介质的介电常数与电场强度的与电场强度的大小大小无关。静止媒质的介电常数与无关。静止媒质的介电常数与时间时间无关。无关。各向异性介质的电位移与电场强度的关系可以表示为此式表明，各向29 对于均匀介质，由于介电常数与坐标无关，因此获得对于均匀介质，由于介电常数与坐标无关，因此获得此外，对于均匀介质，前述电场强度及电位与自由电荷的关系式仍然此外，对于均匀介质，前述电场强度及电位与自由电荷的关系式仍然成立，只须将其中真空介电常数换为介质的介电常数即可。成立，只须将其中真空介电常数换为介质的介电常数即可。6.两种介质的边界条件两种介质的边界条件 由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变，由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变，这种变化规律称为静电场的这种变化规律称为静电场的边界条件边界条件。为了方便起见，通常分别讨论。为了方便起见，通常分别讨论边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。对于均匀介质，由于介电常数与坐标无关，因此获得此外30E2E11324lh 1 2et 为了讨论边界上某点电场强度的为了讨论边界上某点电场强度的切向分量的变化规律，切向分量的变化规律，围绕该点且紧围绕该点且紧贴边界作一个有向矩形闭合曲线，其贴边界作一个有向矩形闭合曲线，其长度为长度为l，高度为，高度为h，则，则电场强度沿电场强度沿该矩形曲线的环量为该矩形曲线的环量为 为了求出边界上的场量关系，必须令为了求出边界上的场量关系，必须令 h 0，则线积分，则线积分 E2E11324lh 1 2et 为了讨论边界31 为了求出边界上某点的场量关系，必须令为了求出边界上某点的场量关系，必须令 l 足够短，以致于在足够短，以致于在l内可以认为场量是均匀的，则上述环量为内可以认为场量是均匀的，则上述环量为 式式中中E1t 和和 E2t 分分别别表表示示介介质质和和中中电电场场强强度度与与边边界界平平行行的的切切向向分分量。已知静电场中电场强度的环量处处为零，因此由上式得量。已知静电场中电场强度的环量处处为零，因此由上式得此式表明，此式表明，在两种介质形成的边界上，两侧的在两种介质形成的边界上，两侧的电场强度的切向分量电场强度的切向分量相等相等，或者说，或者说，电场强度的切向分量是连续的电场强度的切向分量是连续的。对于各向同性的线性介质，得对于各向同性的线性介质，得 此式表明，此式表明，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电位移的切电位移的切向分量是不连续的向分量是不连续的。为了求出边界上某点的场量关系，必须令 l 足够短，32hS 为为了了讨讨论论电电位位移移的的法法向向分分量量变变化化规规律律，在在边边界界上上围围绕绕某某点点作作一一个个圆圆柱柱面面，其其高高度度为为h，端端面面为为S。那那么么根根据据介介质质中中的的高高斯斯定定律律，得得知知电电位位移移通通过过该该圆圆柱柱面面的的通通量量等于圆柱面包围的等于圆柱面包围的自由电荷自由电荷，即，即D2D1令令 h 0，则则通通过过侧侧面面的的通通量量为为零零，又又考考虑虑到到 S 必必须须足足够够小小，则上述通量应为则上述通量应为式中式中D1t 及及 D2t 分别代表对应介质中电位移与边界垂直的法线分量。分别代表对应介质中电位移与边界垂直的法线分量。边界法线的方向边界法线的方向 en 规定为由介质规定为由介质指向介质指向介质。1 2enhS 为了讨论电位移的法向分量变化规律，在边界上围绕某33求得求得式式中中 s 为为边边界界上上存存在在的的表表面面自自由由电电荷荷的的面面密密度度。考考虑虑到到在在两两种种介介质质形成的边界上通常不可能存在表面自由电荷，因此形成的边界上通常不可能存在表面自由电荷，因此此式表明，此式表明，在两种介质边界上在两种介质边界上电位移的法向分量相等电位移的法向分量相等，或者说，或者说，电电位移的法向分量是连续的位移的法向分量是连续的。对于各向同性的线性介质，得对于各向同性的线性介质，得 此式表明，此式表明，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电场强度的电场强度的法向分量不连续的法向分量不连续的。还可导出边界上束缚电荷与电场强度法向分量的关系为还可导出边界上束缚电荷与电场强度法向分量的关系为 求得式中 s 为边界上存在的表面自由电荷的面密度。考虑到在347.介质与导体的边界条件介质与导体的边界条件 静静电电平平衡衡：当当孤孤立立导导体体放放入入静静电电场场中中以以后后，导导体体中中自自由由电电子子发发生生运运动动，电电荷荷重重新新分分布布。由由于于自自由由电电子子逆逆电电场场方方向向反反向向移移动动，因因此此重重新新分分布布的的电电荷荷产产生生的的二二次次电电场场与与原原电电场场方方向向相相反反，使使导导体体中中的的合合成成电电场场逐逐渐渐削削弱弱，一一直直到到导导体体中中的的合合成成电电场场消消失失为为零零，自自由由电电子子的的运运动动方方才才停止，因而电荷分布不再改变，这种状态称为停止，因而电荷分布不再改变，这种状态称为静电平衡静电平衡。由由此此可可见见，导导体体中中不不可可能能存存在在静静电电场场，导导体体内内部部不不可可能能存存在在自自由由电电荷荷的的体体分分布布。所所以以，当当导导体体处处于于静静电电平平衡衡时时，自自由由电电荷荷只只能能分分布布在在导导体体的的表表面面上上。因因为为导导体体中中不不可可能能存存在在静静电电场场，因因此此导导体体中中的的电电位位梯梯度度为为零零，这这就就意意味味着着导导体体中中电电位位不不随随空空间间变变化化。所所以以，处处于于静静电电平平衡衡状状态态的的导导体体是一个等位体是一个等位体，导体表面是一个等位面导体表面是一个等位面。7.介质与导体的边界条件 静电平衡：当孤立导体35 既既然然导导体体中中的的电电场场强强度度为为零零，导导体体表表面面的的外外侧侧不不可可能能存存在在电电场场强强度的切向分量。换言之，度的切向分量。换言之，电场强度必须垂直于导体的表面电场强度必须垂直于导体的表面，即，即介质E,D导体en 导体表面存在的表面自由电荷面密导体表面存在的表面自由电荷面密度为度为 或写为或写为式中式中 为导体周围介质的介电常数。为导体周围介质的介电常数。已已知知导导体体表表面面是是一一个个等等位位面面，因因 ，求求得得表表面面电电位位与与电荷的关系为电荷的关系为 考虑到导体中不存在静电场，因而极化强度为零。求得导体表考虑到导体中不存在静电场，因而极化强度为零。求得导体表面束缚电荷面密度为面束缚电荷面密度为 既然导体中的电场强度为零，导体表面的外侧不可36 静静电电屏屏蔽蔽：当当封封闭闭的的导导体体空空腔腔中中没没有有自自由由电电荷荷时时，即即使使腔腔外外存存在在电电荷荷，腔腔中中也也不不可可能能存存在在静静电电场场。这这就就意意味味着着封封闭闭的的导导体体腔腔可可以以屏屏蔽蔽外外部静电场，这种效应称为部静电场，这种效应称为静电屏蔽静电屏蔽。当然，总电通为零可能是由于闭合面内部当然，总电通为零可能是由于闭合面内部没有电荷，因而没有场；或者因为正负电荷没有电荷，因而没有场；或者因为正负电荷相等，但是这是不可能的。因为电荷只可能相等，但是这是不可能的。因为电荷只可能分布在导体的表面上，若以正负电荷之间任分布在导体的表面上，若以正负电荷之间任一根电场线和腔壁中任一根曲线组成一条闭一根电场线和腔壁中任一根曲线组成一条闭合曲线，由于腔壁中没有电场，沿该条闭合合曲线，由于腔壁中没有电场，沿该条闭合曲线的电场强度的环量不可能为零，这就违曲线的电场强度的环量不可能为零，这就违背了静电场的基本特性。背了静电场的基本特性。此外，显然若腔体接地，位于腔中的电荷也不可能对外产生静电场。此外，显然若腔体接地，位于腔中的电荷也不可能对外产生静电场。由由于于导导体体内内部部没没有有静静电电场场，因因此此若若沿沿腔腔壁壁内内部部作作一一个个闭闭合合曲曲面面，通通过其表面的电通一定为零。过其表面的电通一定为零。静电屏蔽：当封闭的导体空腔中没有自由电荷时，即使腔外37 例例 已知半径为已知半径为r1 的导体球携带的正电量为的导体球携带的正电量为q，该导体球被内半径，该导体球被内半径为为 r2 的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为1，球壳的外半径为球壳的外半径为 r3，球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径，球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径为为r4，介电常数为，介电常数为2，外部区域为真空，如左下图示。，外部区域为真空，如左下图示。试求：试求：各区域中的电场强度；各区域中的电场强度；各个表面上的自由电荷各个表面上的自由电荷 和和 束缚电荷。束缚电荷。r1r2r3r4 0 2 1解解 由于结构为球对称，场也是球对称的，由于结构为球对称，场也是球对称的，应用应用高斯定理高斯定理求解十分方便。取球面作为求解十分方便。取球面作为高斯面，由于电场必须垂直于导体表面，高斯面，由于电场必须垂直于导体表面，因而也垂直于高斯面。因而也垂直于高斯面。例 已知半径为r1 的导体球携带的正电量为38 在在 r r1及及 r2r r3 区域中，因导区域中，因导体中不可能存静电场，所以体中不可能存静电场，所以E=0。在在 r1r r2 区域中，由区域中，由 ，得得 r1r2r3r4 0 2 1同理，在同理，在 r3r r4 区域中，求得区域中，求得 在 r r1及 r2r r3 区域中，因导39 根据根据 及及 ，可以求得各个表面上的自由，可以求得各个表面上的自由电荷及束缚电荷面密度分别为电荷及束缚电荷面密度分别为r1r2r3r4 0 2 1r=r1:r=r4:r=r2:r=r3:根据 及 ，可以408.电容与部分电容电容与部分电容 由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量 q 与极板间的与极板间的电位差电位差 U 的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的电容电容，即电，即电容为容为 电容的单位电容的单位F（法拉）太大。例如半径大如地球的弧立导体的电（法拉）太大。例如半径大如地球的弧立导体的电容只有容只有 F。实际中，通常取。实际中，通常取 F （微法）及（微法）及 pF（皮法）（皮法）作为电容单位。作为电容单位。8.电容与部分电容 由物理学得知，平板41 对于多导体之间的电容计算，需要引入对于多导体之间的电容计算，需要引入部分电容部分电容概念。多导体概念。多导体系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他导体上的电荷有关，因为周围导体上电荷的存在必然影响周围空间导体上的电荷有关，因为周围导体上电荷的存在必然影响周围空间静电场的分布，而多导体的电场是由它们共同产生的。静电场的分布，而多导体的电场是由它们共同产生的。q1q3qnq2 此时，各个导体上的电荷与导体间的电位此时，各个导体上的电荷与导体间的电位差的关系为差的关系为式中式中Cii 称为第称为第 i 个导体的个导体的固有部分电容固有部分电容；Cij 称为第称为第 i 个导体与第个导体与第j 个导体之间的个导体之间的互有部分电容互有部分电容。对于多导体之间的电容计算，需要引入部分电容概念。多导42例例 已知同轴线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为，外导体的内半径为b，内外导体之，内外导体之间填充介质的介电常数为间填充介质的介电常数为 。试求单位长度内外导体之间的电容。试求单位长度内外导体之间的电容。解解 由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又因结构对称，可以应用高斯定律。因结构对称，可以应用高斯定律。ab 设内导体单位长度内的电量为设内导体单位长度内的电量为q，围绕，围绕内导体作一个圆柱面作为高斯面内导体作一个圆柱面作为高斯面S，则，则那么内外导体之间的电位差那么内外导体之间的电位差 U 为为 因此同轴线单位长度内的电容为因此同轴线单位长度内的电容为 例 已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为b，内外439.电场能量电场能量 已知在静电场的作用下，带有正电荷的带电体会沿电场方向发生已知在静电场的作用下，带有正电荷的带电体会沿电场方向发生运动，这就意味着电场力作了运动，这就意味着电场力作了功功。静电场为了对外作功必须消耗自身。静电场为了对外作功必须消耗自身的能量，可见静电场是具有的能量，可见静电场是具有能量能量的。如果静止带电体在外力作用下由的。如果静止带电体在外力作用下由无限远处移入静电场中，外力必须反抗电场力作功，这部分功将转变无限远处移入静电场中，外力必须反抗电场力作功，这部分功将转变为静电场的能量储藏在静电场中，使静电场的能量增加。由此可见，为静电场的能量储藏在静电场中，使静电场的能量增加。由此可见，根据根据电场力作功电场力作功或或外力作功外力作功与与静电场能量静电场能量之间的转换关系，可以计算之间的转换关系，可以计算静电场能量。静电场能量。首先根据外力作功与静电场能量之间的关系计算电量为首先根据外力作功与静电场能量之间的关系计算电量为 Q 的孤的孤立带电体的能量。立带电体的能量。9.电场能量 已知在静电场的作用下，带有正电荷44 设带电体的电量设带电体的电量 Q 是从零开始逐渐由无限远处移入的。由于开是从零开始逐渐由无限远处移入的。由于开始时并无电场，移入第一个微量始时并无电场，移入第一个微量 dq 时外力无须作功。当第二个时外力无须作功。当第二个dq 移移入时，外力必须克服电场力作功。若获得的电位为入时，外力必须克服电场力作功。若获得的电位为，则外力必须作，则外力必须作的功为的功为 dq，因此，电场能量的增量为，因此，电场能量的增量为 dq。已知带电体的电位随。已知带电体的电位随着电荷的逐渐增加而不断升高，可见电位是电量着电荷的逐渐增加而不断升高，可见电位是电量 q 的函数。的函数。那么当那么当电量增至最终值电量增至最终值 Q 时，外力作的总功，也就是电量为时，外力作的总功，也就是电量为 Q 的带电体具的带电体具有的能量为有的能量为已知孤立导体的电位已知孤立导体的电位 等于携带的电量等于携带的电量 q 与电容与电容 C 的之比，的之比，即即代入上式，求得电量为代入上式，求得电量为Q 的孤立带电体具有的能量为的孤立带电体具有的能量为 或者表示为或者表示为 设带电体的电量 Q 是从零开始逐渐由无限远处45 对对于于 n 个个带带电电体体具具有有的的总总能能量量，也也可可采采用用同同样样的的方方法法进进行行计计算算。设设每每个个带带电电体体的的电电量量均均从从零零开开始始，且且以以同同样样的的比比例例增增长长。若若周周围围媒媒质质是是线线性性的的，则则当当各各个个带带电电体体的的电电量量增增加加一一倍倍时时，各各个个带带电电体体的的电电位位也也升升高高一一倍倍。设设第第 i 个个带带电电体体的的电电位位最最终终值值为为 i，电电量量的的最最终终值值为为Qi，若若某某一一时时刻刻第第 i 个个带带电电体体的的电电量量为为 qi=Qi，1 则则此此时时刻刻该该带带电电体体的的电电位位为为 i=i。那那么么当当各各个个带带电电体体的的电电量量均均以以同同一一比比例例 增增长长，外外力力必必须须作作的功，也就是带电系统的电场储能增量为的功，也就是带电系统的电场储能增量为当各个带电体的电量同时分别增至最终值当各个带电体的电量同时分别增至最终值 时，该系统的总时，该系统的总电场能为电场能为 求得求得 对于 n 个带电体具有的总能量，也可采用同样46 当带电体的电荷为连续的体分布、面分布或线分布电荷时，当带电体的电荷为连续的体分布、面分布或线分布电荷时，由由 ，求得这种分布电荷的带电体总能量为，求得这种分布电荷的带电体总能量为 式中式中 为体元为体元 dV、面元、面元 dS、或线元、或线元 dl 所在处的电位，积分区所在处的电位，积分区域为电荷分布的空间。域为电荷分布的空间。从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所占据的整个从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所占据的整个空间，应该计算静电场的能量分布密度。静电场的能量密度以空间，应该计算静电场的能量分布密度。静电场的能量密度以小写英文字母小写英文字母we 表示。表示。当带电体的电荷为连续的体分布、面分布或线分布电荷时，47 设两个导体携带的电量为设两个导体携带的电量为Q1和和 Q2，其表面积分别为，其表面积分别为 S1和和 S2，如图所示。如图所示。SS2Q2Q1S1Venen 已知电荷分布在导体的表面已知电荷分布在导体的表面上，因此，该系统的总能量为上，因此，该系统的总能量为 又知又知 ，求得求得 若在无限远处再作一个无限大的球面若在无限远处再作一个无限大的球面 S，由于电荷分布在，由于电荷分布在有限区域，无限远处的电位及场强均趋于零。因此，积分有限区域，无限远处的电位及场强均趋于零。因此，积分 设两个导体携带的电量为Q1和 Q2，其表面积48那么，上面的储能公式可写为那么，上面的储能公式可写为 式中式中 。该闭合面该闭合面 S 包围了静电场所占据的整个空间。那包围了静电场所占据的整个空间。那么，利用高斯定理，上式可写么，利用高斯定理，上式可写考考虑虑到到区区域域 V 中中没没有有自自由由电电荷荷，所所以以 ，又又 ，代代入入上上式，求得式，求得由此可见，静电场的能量密度由此可见，静电场的能量密度 那么，上面的储能公式可写为 式中 。该49对于各向同性的线性介质，对于各向同性的线性介质，代入后得，代入后得 此此式式表表明明，静静电电场场能能量量与与电电场场强强度度平平方方成成正正比比。因因此此，能能量量不不符符合合叠叠加加原原理理。虽虽然然几几个个带带电电体体在在空空间间产产生生的的电电场场强强度度等等于于各各个个带带电电体体分分别别产产生生的的电电场场强强度度的的矢矢量量和和，但但是是，其其总总能能量量并并不不等等于于各各个个带带电电体体单单独独存存在在时时具具有有的的各各个个能能量量之之和和。事事实实上上，这这是是因因为为当当第第二二个个带带电电体体引引入入系系统统中中时时，外外力力必必须须反反抗抗第第一一个个带带电电体体对对第第二二个个带带电电体体产产生生的的电电场场力力而而作作功功，此此功功也也转转变变为为电电场场能能量量，这这份份能能量量通通常常称称为为互互有有能能，而而带带电电体体单单独独存存在在时时具具有有的的能能量量称称为为固固有能有能。对于各向同性的线性介质，代入后得 此50例例 计算半径为计算半径为 a，电量为，电量为 Q 的导体球具有的能量。导体周围介质的导体球具有的能量。导体周围介质的介电常数为的介电常数为。解解 可以通过三种途径获得相同结果。可以通过三种途径获得相同结果。（1 1）已知半径为已知半径为a，电量为，电量为 Q 的导体球的电位为的导体球的电位为那么求得那么求得（2 2）已知导体表面是一个等位面，那么积分求得已知导体表面是一个等位面，那么积分求得 （3 3）已知电量为已知电量为 Q 的导体球外的电场强度为的导体球外的电场强度为 ，能量，能量密度为密度为 ，那么沿球外整个空间积分求得，那么沿球外整个空间积分求得 例 计算半径为 a，电量为 Q 的导体球具有的能量。导体5110.电场力电场力 已知某点的电场强度在数值上等于单位正电荷在该点受到的电场已知某点的电场强度在数值上等于单位正电荷在该点受到的电场力。因此，点电荷力。因此，点电荷 受到的电场力为受到的电场力为 若上式中若上式中 E 为点电荷为点电荷 q 产生的电场强度，则产生的电场强度，则 式中式中 为该点电荷周围介质的介电常数。那么，为该点电荷周围介质的介电常数。那么，点电荷点电荷 受到点电荷受到点电荷q 的作用力，或者说点电荷的作用力，或者说点电荷 q 对于点电荷对于点电荷 的作用力为的作用力为 式中式中er 为由为由 q 指向指向 的单位矢量。上式就是法国科学家库仑根据实验的单位矢量。上式就是法国科学家库仑根据实验总结归纳的总结归纳的库仑定律库仑定律。10.电场力 已知某点的电场强度在数值上等于单52 已已知知带带电电体体的的电电荷荷分分布布，原原则则上上，根根据据库库仑仑定定律律可可以以计计算算带带电电体体电电荷荷之之间间的的电电场场力力。但但是是，对对于于电电荷荷分分布布复复杂杂的的带带电电系系统统，根根据据库库仑仑定定律律计计算算电电场场力力是是非非常常困困难难的的，有有时时甚甚至至无无法法求求积积。为为了了计计算算具具有有一一定定电电荷荷分分布布的的带带电电体体之之间间的的电电场场力力，通通常常采采用用虚虚位位移移法法。这这种种方方法法是是假假定定带带电电体体在在电电场场作作用用下下发发生生一一定定的的位位移移，根根据据位位移移过过程程中中电电场场能能量量的变化的变化与与外力外力及及电场力所作的功电场力所作的功之间的关系计算电场力。之间的关系计算电场力。以以平平板板电电容容器器为为例例，设设两两极极板板上上的的电电量量分分别别为为+q 及及-q，板板间间距距离离为为 l。为为了了计计算算方方便便，假假定定在在电电场场力力作作用用下下，极极板板之之间间的的距距离离增增量量为为dl。众众所所周周知知，两两极极板板间间的的相相互互作作用用力力实实际际上上导导致致板板间间距距离离减减小小。因因此此，求求出出的的作用力应为负值。作用力应为负值。dll-q+q 已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可53 既然认为作用力既然认为作用力F 导致位移增加，因此，作用力导致位移增加，因此，作用力F 的方向为位移的的方向为位移的增加方向。这样，为了产生增加方向。这样，为了产生 dl 位移增量，电场力作的功应为位移增量，电场力作的功应为 。根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即。根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即由此求得由此求得式式中中脚脚注注 q=常常数数说说明明当当极极板板发发生生位位移移时时，极极板板上上的的电电量量没没有有发发生生变变化化，这样的带电系统称为这样的带电系统称为常电荷系统常电荷系统。已已知知平平板板电电容容器器的的能能量量为为 。对对于于常常电电荷荷系系统统，发发生生位位移时电量移时电量 q 未变，只有电容未变，只有电容 C 改变了。改变了。既然认为作用力F 导致位移增加，因此，作用54式式中中S 为为极极板板的的面面积积，l 为为两两极极板板的的间间距距。将将这这些些结结果果代代入入上上式式，求求得平板电容器两极板之间的作用力为得平板电容器两极板之间的作用力为 已知平板电容器的电容已知平板电容器的电容式中负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向。式中负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向。如如果果假假定定发发生生位位移移时时，电电容容器器始始终终与与电电源源相相连连，这这样样，在在虚虚位位移移过过程程中中，两两极极板板的的电电位位保保持持不不变变，这这种种系系统统称称为为常常电电位位系系统统。根根据据这这种种常常电电位位的的假假定定，也也可可以以计计算算平平板板电电容容器器两两极极板板之之间间的的作作用用力力，所得结果应该与上完全相同。所得结果应该与上完全相同。式中S 为极板的面积，l 为两极板的间距。将这些结果代入上式55 设设在在电电场场力力作作用用下下，极极板板间间距距的的增增量量为为dl。由由于于电电容容改改变变，为为了了保保持持电电位位不不变变，正正极极板板的的电电荷荷增增量量为为dq，负负极极板板的的电电荷荷增增量量为为-dq。设正负极板的电位分别为设正负极板的电位分别为 1 及及 2，则电场能量的增量为，则电场能量的增量为式中式中 为两极板之间的电压。为两极板之间的电压。为为了了将将 dq 电电荷荷移移至至电电位位为为 1的的正正极极板板，将将电电荷荷-dq移移至至电电位位为为 2的负极板，外源必须作的功为的负极板，外源必须作的功为 设在电场力作用下，极板间距的增量为dl。由于56 根根据据能能量量守守恒恒原原理理，外外源源作作功功的的一一部部分分供供给给电电场场力力作作功功，另另一一部分转变为电场能的增量，因此部分转变为电场能的增量，因此求得求得例例 利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力。利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力。解解 利用虚位移概念，假定由于同一极板上的同性电荷相斥产生的利用虚位移概念，假定由于同一极板上的同性电荷相斥产生的表面张力为表面张力为F。在此表面张力。在此表面张力F 的作用下，使极板面积扩大了的作用下，使极板面积扩大了dS，则电场力作的功为则电场力作的功为FdS。根据能量守恒原理，这部分功应等于电场。根据能量守恒原理，这部分功应等于电场能量的减小值，即能量的减小值，即 根据能量守恒原理，外源作功的一部分供给电场力57已知平板电容器的能量为已知平板电容器的能量为 ，代入上式，得，代入上式，得 若虚位移时，极板与外源相连，因而电位保持不变。那么，表若虚位移时，极板与外源相连，因而电位保持不变。那么，表面张力面张力F 应为应为 那么将那么将 代入，即可获得同样结果。代入，即可获得同样结果。如果将如果将 及及 两式中的变量两式中的变量 l 理解为理解为一种一种广义坐标广义坐标，也就是说，也就是说，l 可以代表位移、面积、体积甚至角度。可以代表位移、面积、体积甚至角度。那么，企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的那么，企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的广义力广义力。已知平板电容器的能量为 ，代入58 显显然然，对对于于不不同同的的广广义义坐坐标标，其其广广义义力力的的含含义义不不同同。对对于于位位移移而而言言，广广义义力力就就是是普普通通概概念念的的力力，单单位位为为N；对对于于面面积积，广广义义力力为为表表面面张张力力，单单位位为为N/m；对对于于体体积积，广广义义力力为为膨膨胀胀力力或或压压力力，单单位位为为N/m2；对对于于