第二章-传热原理课件

第二章 传热原理2013-9-221(1)日日常生活中的例子：常生活中的例子：B B 北方寒冷地区，建筑房屋都是双层玻璃，北方寒冷地区，建筑房屋都是双层玻璃，如何解释其道理？玻璃越厚越好？如何解释其道理？玻璃越厚越好？A A 夏夏天人在同样温度（如：天人在同样温度（如：2525度）的空气和度）的空气和水中的感觉不一样。为什么？水中的感觉不一样。为什么？2.1引言引言2C.住新房和旧房的感觉一样么住新房和旧房的感觉一样么？新房比较冷新房比较冷D.同样是同样是-6的气温，在南京比在北京感觉冷一些的气温，在南京比在北京感觉冷一些3(2)在材料技术领域大量存在传热问题在材料技术领域大量存在传热问题4水泥生产的热耗理论热耗：理论热耗：1630-1800KJ/kg；实际热耗：实际热耗：3400-7500KJ/kg5()在材料技术领域存在节能问题在材料技术领域存在节能问题6传热学传热学是研究热能传递的一门科学。热量总是自动从高温物体向低温物体传递，就象水总是自动从高处流向低处、电流总是自动从高电位流向低电位一样。在自然界和人类社会活动中总是普遍存在温度差，因此普遍存在着热量传递。这是自然界的客观规律。7传热：热量传递的过程基本条件：物体间存在温度差低温端高温端8目的与意义：研究传热学的目的目的就是要运用各种有效的方法强化对生产有益的传热过程，削弱对生产无益的传热过程，最大限度提高热工设备的热效率，实现优质、高产、低消耗的目的。因此，学习传热的基本原理，掌握热工设备的传热过程，具有十分重要的意义。9基本传热方式导热对流辐射10导热：指由于物体各部分的直接接触、弹性波的作用，原子或分子的扩散以及自由电子的扩散等所引起的能量转移。或，依靠物体微观粒子的热运动而传递热量。特点：物体各部位不发生宏观位移11对流：是指各部分发生相对位移而引起的能量转移。特点：发生相对位移，只能在液体和气体中出现。12热辐射：是一种由电磁波来传播能量的现象。特点：不仅要产生能量的转移，而且还伴随着能量形式之间的转化，即从热能转化为辐射能或者相反地从辐射能转化成热能。不需要任何介质作媒介，可以在真空中传播。一般只有在物体的温度大于400才有明显的热辐射。13142.2导导热热一一.有关导热的基本概念有关导热的基本概念传热量传热量Q与热流与热流q：传热量（传热量（Q）：单位时间内通过总传热面单位时间内通过总传热面F传递的热量。传递的热量。单位：单位：w热流（热流（q）：）：单位时间内，通过单位面积传递的热量。单位时间内，通过单位面积传递的热量。单位：单位：w/m2或或Q=qF152.温度场：温度场：定义：在某一瞬间，物体内部所有各点温度的分布情况，称定义：在某一瞬间，物体内部所有各点温度的分布情况，称为温度场，以数学式表示如下：为温度场，以数学式表示如下：稳定温度场：稳定温度场：一维稳定温度场：一维稳定温度场：16一维稳定温度场高温端低温端等温线173.稳定传热与不稳定传热：稳定传热与不稳定传热：稳定传热：稳定传热：不稳定传热：不稳定传热：传热过程中，如果传热系统中各处温度只随位置而变，而传热过程中，如果传热系统中各处温度只随位置而变，而不随时不随时间而变间而变，称此过程为稳定传热过程。此时，传热量，称此过程为稳定传热过程。此时，传热量Q=const。传热过程中，如果传热系统中各处温度及有关物理量（如传热过程中，如果传热系统中各处温度及有关物理量（如Q、q等）等）随时间而变，称此过程为不稳定传热过程。随时间而变，称此过程为不稳定传热过程。18等温面和等温线：等温面和等温线：等温面：在温度场中，把同一瞬间具有相同温度的各点相等温面：在温度场中，把同一瞬间具有相同温度的各点相连接，得到的一个面成为等温面。连接，得到的一个面成为等温面。性质：性质：各等温面不相交；各等温面不相交；同一等温面上的各点温度相同无热量传递；同一等温面上的各点温度相同无热量传递；等温线的疏密可直观反映出不同区域温度梯等温线的疏密可直观反映出不同区域温度梯度（即热流密度）的相对大小；度（即热流密度）的相对大小；等温面法线方向上的温差变化率最大。等温面法线方向上的温差变化率最大。tt-tt-tt+tt等温线：等温面与其它任意平面的交线。等温线：等温面与其它任意平面的交线。定义：定义：19温度梯度：温度梯度：定义：等温面法线方向上的温度变化率。定义：等温面法线方向上的温度变化率。说明：说明：温度梯度是矢量，方向垂直于等温面，以温升方向为正方向；温度梯度是矢量，方向垂直于等温面，以温升方向为正方向；一维稳定温度场：一维稳定温度场：206.6.导热机理：导热机理：气体分子不规则运动时相互碰撞；气体分子不规则运动时相互碰撞；导电固体自由电子（良的电导体也是导电固体自由电子（良的电导体也是好的热导体）；好的热导体）；非导电固体晶格振动产生的弹性波；非导电固体晶格振动产生的弹性波；液体兼有气体和非导电固体的机理。液体兼有气体和非导电固体的机理。21二二.导热速率基本方程导热速率基本方程傅立叶傅立叶(Fourier)定律定律实验证明：在导热现象中，单位时间内通过单位面实验证明：在导热现象中，单位时间内通过单位面积的热量与温度梯度成正比。积的热量与温度梯度成正比。即：即：22说明：说明：“”表明热流方向与温度梯度方向相反；表明热流方向与温度梯度方向相反；比例系数，称导热系数，单位：比例系数，称导热系数，单位：W/(m)；傅里叶定律是实验定律，普遍适用于各向同性材料（导热系傅里叶定律是实验定律，普遍适用于各向同性材料（导热系数在各个方向是相同的），对于各向异性物体，热流密度矢数在各个方向是相同的），对于各向异性物体，热流密度矢量的方向不仅与温度梯度有关量的方向不仅与温度梯度有关,还与热导率的还与热导率的方向性有关方向性有关,因因此热流密度矢量与温度梯度不一定在同一条直线上；傅里叶此热流密度矢量与温度梯度不一定在同一条直线上；傅里叶定律适用于工程技术中的一般稳态和非稳态导热问题，对于定律适用于工程技术中的一般稳态和非稳态导热问题，对于极低温（接近于极低温（接近于0K）的导热问题和极短时间产生极大热流）的导热问题和极短时间产生极大热流密度的瞬态导热过程密度的瞬态导热过程,如大功率、短脉冲如大功率、短脉冲(脉冲宽度可达脉冲宽度可达10-1210-15s)激光瞬态加热等激光瞬态加热等,傅里叶定律不再适用。傅里叶定律不再适用。23xyqxqyqnxy24三三.导热系数导热系数物理意义：物理意义：单位温度梯度（单位温度梯度（1/m）时的导热流（）时的导热流（W/m2）；）；表示物质导热能力的强弱；是物质的一种物理性质；表示物质导热能力的强弱；是物质的一种物理性质；=f（物质的结构、组成、密度、温度、压强、湿度等）（物质的结构、组成、密度、温度、压强、湿度等）通常：金属非金属固体及液体气体导热系数通常：金属非金属固体及液体气体导热系数2.34170.162.20.0930.70.00580.5825固体的导热系数：固体的导热系数：纯金属：纯金属：T，纯度，纯度（依靠自由电子的迁（依靠自由电子的迁移和晶格的振动，主要依靠前者）移和晶格的振动，主要依靠前者）合金纯金属：普通碳钢：合金纯金属：普通碳钢：=45W/(m)不不锈锈钢：钢：=16W/(m)（依靠自由电子的迁移和晶格的振动；主要依靠后者）（依靠自由电子的迁移和晶格的振动；主要依靠后者）非金属：非金属：，T（依靠晶格的振动传递热量；依靠晶格的振动传递热量；比较小）比较小）26常用固体材料在常用固体材料在00100100时的平均热导系数时的平均热导系数金金属属材材料料材材料料密度（密度（kgm-3)(Wm-1K-1)铝铝紫铜紫铜黄铜黄铜铜铜铅铅钢钢不锈钢不锈钢铸铁铸铁银银镍镍270080008500880011400785079007500105008900204659338335451745904118827常用固体材料在常用固体材料在00100100时的平均热导系数时的平均热导系数建筑和绝缘材料建筑和绝缘材料材材料料密度（密度（kgm-3)(Wm-1K-1)石棉石棉混凝土混凝土绒毛毡绒毛毡松木松木建筑砌砖建筑砌砖耐火砌砖（耐火砌砖（8001100)绝热砌砖绝热砌砖85%氧化镁粉氧化镁粉锯木屑锯木屑软木软木玻璃丝玻璃丝6002300300600170018406002162001602600.151.280.0460.140.380.70.81.050.120.210.070.070.0430.78保温材料：保温材料：国家标准规定，温度低于国家标准规定，温度低于350度时热导率小于度时热导率小于0.12W/(m.K)的材料（绝热材料）的材料（绝热材料）28影响影响的因素的因素温度的影响温度的影响密度密度,密度的影响密度的影响湿度的影响湿度的影响湿度湿度，29工程计算：工程计算：or or：使用条件：使用条件：稳定导热稳定导热与温度间呈线性关系与温度间呈线性关系t=0 bt 或t=0（1 t)b,温度系数温度系数30式中：式中：d d1515油品在油品在1515时的相对密度；时的相对密度；t t温度，温度，。液体的导热系数：液体的导热系数：v主要依靠晶格的振动主要依靠晶格的振动v 1010-1-1 W/(W/(mKmK)；v 金属液体非金属液体，后者中以水的金属液体非金属液体，后者中以水的为最大；为最大；v 纯液体溶液；纯液体溶液；v T T（水和甘油除外：（水和甘油除外：T T）；）；v 液体石油产品：克莱格实验公式：液体石油产品：克莱格实验公式：31各各种种液液体体的的导导热热系系数数32式中，式中，x xi i、M Mi i、i i 分别为分别为i i组分的组分的摩尔分率、分子量及导热系数。摩尔分率、分子量及导热系数。气体的导热系数：气体的导热系数：由于分子的热运动和相互碰撞时发生的能量传递由于分子的热运动和相互碰撞时发生的能量传递1010-2-2 W/(W/(mKmK)；常压下：常压下：T T；一般情况下，气体导热系数与压强无关；一般情况下，气体导热系数与压强无关；气体不利于导热，利于保温，气体不利于导热，利于保温，当当0.2 W/(0.2 W/(mKmK)时，可用作隔热材料，如保温棉、玻璃棉等；时，可用作隔热材料，如保温棉、玻璃棉等；低压气体混合物：低压气体混合物：331水蒸气；水蒸气；2氧；氧；3二氧化碳；二氧化碳；4空气；空气；5氮；氮；6氩氩气气体体的的导导热热系系数数34物质的导热系数在数值上具有下述特点物质的导热系数在数值上具有下述特点:(1)对于同一种物质,固态的导热系数值最大,气态的导热系数值最小；(2)一般金属的导热系数大于非金属的导热系数；(3)导电性能好的金属,其导热性能也好；(4)纯金属的导热系数大于它的合金；(5)对于各向异性物体,导热系数的数值与方向有关；(6)对于同一种物质,晶体的导热系数要大于非定形态物体的导热系数。35四四.导热微分方程导热微分方程确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务傅里叶定律：傅里叶定律：确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场:理论基础：傅里叶定律理论基础：傅里叶定律+热力学第一定律热力学第一定律假设：假设：(1)所研究的物体是各向同性的连续介质所研究的物体是各向同性的连续介质(2)热导率、比热容和密度均为已知热导率、比热容和密度均为已知(3)物体内具有内热源；强度物体内具有内热源；强度qvW/m3;内热源均匀分布；内热源均匀分布；qv表示单位体积的导热表示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量体在单位时间内放出的热量化学反应化学反应发射药熔发射药熔化过程化过程1.导热微分方程式导热微分方程式36在导热体中取一微元体在导热体中取一微元体热力学第一定律：热力学第一定律：d 时间内微元体中：时间内微元体中：热热焓焓的的增增加加=传传入入物物体体的热量的热量-传出物体的热量传出物体的热量37传入与传出微元体的热量传入与传出微元体的热量d 时间内、沿时间内、沿x 轴方向、经轴方向、经x 表面表面传入传入的热量：的热量：同理可得：同理可得：d 时间内、沿时间内、沿y轴和轴和Z轴方向、传入的热量：轴方向、传入的热量：38d 时间内、沿时间内、沿x 轴方向、经轴方向、经x+dx 表面表面传出传出的热量的热量：d 时间内、沿时间内、沿x 轴方向传入与传出微元体净热量：轴方向传入与传出微元体净热量：同理可得，同理可得，d 时间内时间内y 轴向、轴向、Z轴向传入与传出微元体净热量：轴向传入与传出微元体净热量：39d 时间内传入与传出微元体净热量：时间内传入与传出微元体净热量：d 时间内微元体中热焓的增量：时间内微元体中热焓的增量：傅里叶导热微分方程傅里叶导热微分方程40若物性参数若物性参数、c 和和 均为常数：均为常数：导温系数导温系数 反映了导热过程中材料的导热能力（反映了导热过程中材料的导热能力（）与沿途物质储热能力（与沿途物质储热能力（c）之间的关系之间的关系 值大，即值大，即 值大或值大或 c 值小，说明物体的某一部分值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力温度趋向于均匀一致的能力（Thermaldiffusivity）41普拉斯运算子具有明确的物理意义：当它为正时表示物体被加热，为负时表示物体被冷却，等于零时表示稳定温度场。42物体内部有均匀发热源时，设单位体积内热生成速度为 ，则导热微分方程的右侧需加上 ，则有：43导热微分方程式导热微分方程式的不适应范围:非傅里叶傅里叶导热过程极短时间极短时间(如如10)10)产生极大的热流密度的热量传递现象，产生极大的热流密度的热量传递现象，如如激光加工过程激光加工过程。极低温度极低温度(接近于接近于0 K)0 K)时的导热问题。时的导热问题。44导热过程的单值性条件导热过程的单值性条件导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+热力学第一定律热力学第一定律它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；它没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。它没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充说明条件的唯一解说明条件的唯一解单值性条件：单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件确定唯一解的附加补充说明条件单值性条件包括四项：单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界几何、物理、时间、边界完整数学描述：完整数学描述：导热微分方程导热微分方程+单值性条件单值性条件45几何条件几何条件如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等说明导热体的几何形状和大小说明导热体的几何形状和大小物理条件物理条件如：物性参数如：物性参数、c 和和 的数值，是否随温度变化；的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布；是否各向同性有无内热源、大小和分布；是否各向同性说明导热体的物理特征说明导热体的物理特征时间条件时间条件稳态导热过程不需要时间条件稳态导热过程不需要时间条件与时间无关与时间无关说明在时间上导热过程进行的特点说明在时间上导热过程进行的特点对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布温度分布时间条件又称为时间条件又称为初始条件初始条件（Initialconditions）46边界条件边界条件说明导热体边界上过程进行的特点说明导热体边界上过程进行的特点反映过程与周围环境相互作用的条件反映过程与周围环境相互作用的条件边界条件一般可分为三类：边界条件一般可分为三类：第一类、第二类、第三类边界条件第一类、第二类、第三类边界条件第一类边界条件第一类边界条件s边界面边界面;tw=f(x,y,z)边界面上的温度边界面上的温度已知任一瞬间导热体边界上已知任一瞬间导热体边界上温度值：温度值：稳态导热：稳态导热：tw=const非稳态导热：非稳态导热：tw=f()oxtw1tw2例：例：（Boundaryconditions）47（2）第二类边界条件第二类边界条件根据傅里叶定律：根据傅里叶定律：已知物体边界上已知物体边界上热流密度热流密度的分布及变化规律：的分布及变化规律：第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面法向的温度梯度值面法向的温度梯度值稳态导热：稳态导热：qw非稳态导热：非稳态导热：特例：绝热边界面：特例：绝热边界面：48五五.平壁的稳定热传导平壁的稳定热传导 单层平壁的稳定热传导单层平壁的稳定热传导平壁模型平壁模型 平壁材质均匀，平壁材质均匀，可视为常数；可视为常数；平壁内只有一维温度梯度，导热方向垂直于壁面平壁内只有一维温度梯度，导热方向垂直于壁面 等温面为平行于侧面的平面；等温面为平行于侧面的平面；导热平壁的长和宽壁厚导热平壁的长和宽壁厚，忽略边缘热损失。，忽略边缘热损失。稳定导热？稳定导热？49一厚度为一厚度为的无限大平壁，的无限大平壁，壁面两侧温度分别为壁面两侧温度分别为t t1 1，t t2 2，且，且t t1 1tt2 2，若在与壁面，若在与壁面1 1的的距离为距离为x x处取一厚度为处取一厚度为dxdx的的薄层，由傅立叶定律：薄层，由傅立叶定律：计算计算50取一平均值，视为常数，积分得：取一平均值，视为常数，积分得：对上式积分，积分限为：对上式积分，积分限为：151可见，导热推动力为两壁温度差可见，导热推动力为两壁温度差t，而（，而（/A）代表）代表传热阻力传热阻力，以，以R表示。即：表示。即：将上式写成速率方程的一般形式为：将上式写成速率方程的一般形式为：说明说明52可取平均值：可取平均值：壁内温度分布：壁内温度分布：若将积分限改为：若将积分限改为：式中：式中：（t1t2)/为常量，如导热系数为常量，如导热系数为常数，则为常数，则txt的关系为直线，的关系为直线，即单层平壁内的温度随厚度呈直线变化。即单层平壁内的温度随厚度呈直线变化。强化措施：强化措施：t t或者或者R R Q Q R/A：，ARQ，对导热有利。，对导热有利。热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况53平均温度平均温度时时平壁的导热系数平壁的导热系数单层壁的导热热阻：单层壁的导热热阻：单层壁的导热量：单层壁的导热量：54导热导热比较比较电流从高电位到低电位电流从高电位到低电位电流电流产生电流的基本条件是电位差产生电流的基本条件是电位差物体对电流有电阻物体对电流有电阻热流量与温度差成正比热流量与温度差成正比与热阻成反比与热阻成反比热流从高温到低温热流从高温到低温热流热流产生热流的基本条件是温度差产生热流的基本条件是温度差物体对热流有热阻物体对热流有热阻热流量与温度差成正比热流量与温度差成正比与热阻成反比与热阻成反比导电导电55计算所需保温层的厚度计算所需保温层的厚度 已知已知q，t1，t2，求，求s计算物质的计算物质的导热系数导热系数已知已知q q，t t1 1，t t2 2，求求工程上的应用：工程上的应用：计算炉墙等物计算炉墙等物体的散热损失体的散热损失 已知已知，t1，t2，s，求，求q56计算炉墙等物体计算炉墙等物体的内外壁温度的内外壁温度已知已知q q，t t1 1（t t2 2），求），求t t2 2（t t1 1）【例例】假设某窑炉耐火砖壁厚假设某窑炉耐火砖壁厚0.5米，内壁面温度为米，内壁面温度为1000，外壁面温度，外壁面温度00，耐火砖导热系数为：，耐火砖导热系数为：=1.16=1.16（1+0.001t1+0.001t）w/m.，求通过炉壁的热流求通过炉壁的热流及炉壁内的及炉壁内的温度分布？温度分布？推算炉壁不同厚度处的推算炉壁不同厚度处的温度分布温度分布57（2）平壁的平均导热系数：）平壁的平均导热系数：（3）平壁的热流：）平壁的热流：（w/m.）【解解】（1）炉壁的平均温度）炉壁的平均温度:58上节重点：傅里叶定律 导热系数：特点傅里叶导热微分方程单层平壁导热量5960多层平壁的稳定热传导多层平壁的稳定热传导模型模型每层平壁为单层理想平壁；每层平壁为单层理想平壁；层与层之间接触良好，无热阻接触表面温度相同。层与层之间接触良好，无热阻接触表面温度相同。计算计算以三层平壁为例。以三层平壁为例。设三层平壁的导热系数分别为设三层平壁的导热系数分别为1、2和和3，且均为常数，各层厚度，且均为常数，各层厚度为为1、2和和3，各壁面温度为各壁面温度为t1、t2、t3和和t4。61对一维稳定导热：对一维稳定导热：应用加比定律：应用加比定律：推广到推广到n 层平壁：层平壁：?62说明说明串联传热：推动力串联传热：推动力t=t1+t2+t3热阻热阻R=R1+R2+R3，Ri=i/iA；稳定传热：稳定传热：tiRi，温度分布为一折线；，温度分布为一折线；任一层内某点的温度（各层内的温度分布）：任一层内某点的温度（各层内的温度分布）：第第i层：先求层：先求titx63思考题：如图，如果思考题：如图，如果123，从图中，从图中判断一下哪一层的导判断一下哪一层的导热系数最小？热系数最小？64应用公式应用公式注意的问题注意的问题（1）多层壁中，壁与壁的接触应良好，相接的两表面应具多层壁中，壁与壁的接触应良好，相接的两表面应具有相同的温度。避免接触热阻产生大的计算误差。有相同的温度。避免接触热阻产生大的计算误差。（2）导热系数与温度有关，而中间层温度未知时，各层材导热系数与温度有关，而中间层温度未知时，各层材料的料的平均值无法求得，可采用尝试误差法求解。平均值无法求得，可采用尝试误差法求解。65【例例】设有一窑墙，用粘土砖和红砖砌筑，厚度均为设有一窑墙，用粘土砖和红砖砌筑，厚度均为230230毫米，毫米，窑墙内表面温度窑墙内表面温度12001200，外表面温度，外表面温度100100，求每平方米窑墙散，求每平方米窑墙散热损失（热损失（粘土砖粘土砖=0.70+0.5510=0.70+0.5510-3-3t t，红砖红砖=0.46+0.4410=0.46+0.4410-3-3t t）。）。【解解】假设交界面温度为假设交界面温度为600600，则：，则：交界面交界面温度未知温度未知热流热流（W/m.）（W/m.）(W/m2)66校核交界面温度：校核交界面温度：（）与假设相比，误差与假设相比，误差=重新假设交界面温度为重新假设交界面温度为830（W/m.）（W/m.）误差超过误差超过5%热流热流(W/m2)67（）校核交界面温度：校核交界面温度：与假设温度相比，误差与假设温度相比，误差由此可知窑墙散热损失由此可知窑墙散热损失2080w/m2。误差小于误差小于5%68例以长春地区370mm粘土实心砖墙外贴EPS板为例，计算EPS板的内表面温度：已知：t i=18 te=-23 Ri=0.11 Re=0.04 1=0.02 2=0.37 3=0.02 4=0.06 1=0.87 2=0.81 3=0.93 4=0.0421.2=0.05解解：Ro=Ri+R1+R2+R3+R4+Re=0.11+0.02/0.87+0.37/0.81+0.02/0.93+0.06/0.05+0.04 =0.11+0.023+0.457+0.022+1.20+0.04 =1.852 R13 =0.023+0.457+0.022 =0.502 (ti-te)/(ti-t4)=R0/(Ri+R13)t4=18 （18+23）/1.852(0.11+0.502)=18-22.1380.612 =18-13.55 =4.45()69在工程实践中，还会遇到高度和宽度方向上，由几种不同在工程实践中，还会遇到高度和宽度方向上，由几种不同材料砌成的平壁，我们称之为复合平壁。材料砌成的平壁，我们称之为复合平壁。复合平壁的导热复合平壁的导热70 例 一炉壁用耐火砖和低碳钢板组成。砖的厚度为75mm，导热系数为I.1w（m），钢板的厚度为6.4mm，导热系数为39w（m ）。砖的内表面温度为647 钢板的外表面温度为137。(1)试求每米炉壁通过的热流量；(2)若每米2壁面有18个直径为19mm的钢螺栓39w（m）穿过，试求这时热流量增加的百分率。解：(1)无螺栓通过炉壁时的热流量。模拟电路如图（a）71(2)当有螺栓穿过炉壁时，热量由两条路径通过炉壁，模拟电路如图（b）72单层圆筒壁单层圆筒壁六六.圆筒壁的稳定热传导圆筒壁的稳定热传导圆筒壁模型：圆筒壁模型：圆筒壁长圆筒壁长l厚厚，忽略轴向散热；，忽略轴向散热；温度仅沿半径温度仅沿半径r方向变化，一维稳定温度场方向变化，一维稳定温度场等温面为与圆筒同心的圆筒面；等温面为与圆筒同心的圆筒面；筒壁材质均匀，筒壁材质均匀，视为常数。视为常数。73已知：一圆筒壁，内、外半径各已知：一圆筒壁，内、外半径各为为r1、r2，内外壁温度分别为，内外壁温度分别为t1、t2（t1t2），A=2rl，导热系数，导热系数，由傅立叶定律：，由傅立叶定律：计算计算74分离变量，得：分离变量，得：积分，得：积分，得：为常数时：为常数时：75若将积分限改为若将积分限改为由于由于t1、t2、r1、r2为定值，因此可以写成：为定值，因此可以写成：可见，单层圆筒壁内部温度随半径呈对数曲线变化。可见，单层圆筒壁内部温度随半径呈对数曲线变化。圆筒壁内温度分布圆筒壁内温度分布76式中：式中：圆筒壁厚度（圆筒壁厚度（m），），r2-r1Am平均导热面积（平均导热面积（m2），），Am2lrm圆筒壁导热方程的简化圆筒壁导热方程的简化-另一形式另一形式以平均面积以平均面积Am代替导热面积代替导热面积A，把圆筒壁看作平壁的一个特例，有，把圆筒壁看作平壁的一个特例，有77将将、Am值代入：值代入：与单层圆筒壁导热方程对比：与单层圆筒壁导热方程对比：对数平均半径对数平均半径78即：即：式中：式中：A12r1L，A22r2L，Am称为对数平均传热面积。称为对数平均传热面积。注：当注：当r2/r12时，以时，以rm=(r1+r2)/2来代替，误差小于来代替，误差小于4。79 多层圆筒壁的稳定导热多层圆筒壁的稳定导热模型模型每层圆筒壁为理想单层圆筒壁；每层圆筒壁为理想单层圆筒壁；各层接触良好，无接触性热阻。各层接触良好，无接触性热阻。计算计算已知：已知：r1、r2、r3、r4，1、2、3，t1t2t3t4，长长l80式中：式中：可将多层平壁的导热公可将多层平壁的导热公式推广到多层圆筒壁：式推广到多层圆筒壁：81多层圆筒壁导热方程也可以由单多层圆筒壁导热方程也可以由单层圆筒壁的方程得到，即：层圆筒壁的方程得到，即：或：或：82简易公式：一弯曲修正系数，其值取决于内外直径之比(dn+1/dn)83例2-4 蒸汽管道里流过温度为540的蒸汽，管外径d1273mm，管外包有水泥蛭石保温层，最外侧是15mm厚的保护层，按照规定保护层外侧的温度为t3=48,热损失为440 wm，求所需保温层厚度。水泥蛭石的导热系数为1 0.105w（m），保护层的导热系数为20.192w（m）。84解：依题意：ql440 w/m，t1540，t3 48 ，d1273mm，d2(273十2)mm，d3(273十2十215)=(303+2)m m，因为此时只有两层材料，故式(2-27)改与为：8586平壁导热 单层 多层平壁稳定导热 复合平壁导热圆筒壁导热 单层 多层8788一一.基本概念基本概念 1.1.对流：对流：是指流体各部分发生相对位移而引起的能量转移。2.3对流换热对流换热892.2.对流换热对流换热：流体和固体壁直流体和固体壁直接接触时彼此之间的热交换，接接触时彼此之间的热交换，称为对流换热。称为对流换热。区别概念：热对流和对流换热区别概念：热对流和对流换热对流换热包括热对对流换热包括热对流和导热。流和导热。自然界不存在单一的热对流，热对流必然伴随着导热自然界不存在单一的热对流，热对流必然伴随着导热903.对流换热的特点：导热与热对流同时存在的复杂热传递过程；必须有直接接触（流体与壁面）和宏观运动；也必须有温差；由于流体的粘性和受壁面摩擦阻力的影响，紧贴壁面处会形成速度梯度很大的边界层。914.对流换热的分类对流换热的分类925.影响对流换热的因素：流体发生运动的动力流体流动的状态流体的物性相变的影响放热面的形状和位置93n流体发生运动的动力流体发生运动的动力自然对流：流体因各部分温度不同而引起的密度差异所产自然对流：流体因各部分温度不同而引起的密度差异所产生的流动生的流动（Freeconvection）强制对流：由外力（如：泵、风机、水压头）作用所产生强制对流：由外力（如：泵、风机、水压头）作用所产生的流动的流动（Forcedconvection）94n流体流动状态流体流动状态层流：整个流场呈一簇互相平行的流线层流：整个流场呈一簇互相平行的流线（Laminarflow）湍流：流体质点做复杂无规则的运动湍流：流体质点做复杂无规则的运动（Turbulentflow）95p流体的物性 流体导热系数大，层流层的热阻小，对流换热强；比热和密度大，说明单位体积能携带更多的热量，故以对流作用转移热量的能力大；粘性大的流体，粘性剪应力大，边界层增厚，对流换热效果降低。96n 相变的影响相变的影响 流体的相变：凝结流体的相变：凝结凝结换热凝结换热 沸腾沸腾沸腾换热沸腾换热97n放热面的形状和位置放热面的形状和位置内部流动对流换热：管内或槽内内部流动对流换热：管内或槽内外部流动对流换热：外掠平板、圆管、管束外部流动对流换热：外掠平板、圆管、管束98二二.对流换热的基本规律对流换热的基本规律 流体被加热时：流体被加热时：或或Q=（tw-tf)FQq=（tw-tf)（2-48）99对对流流换热换热系数系数：代表：代表对对流流换热换热能力大小的一个参数。能力大小的一个参数。（w/m2.）物理意义：物理意义：单位温差作用下通过单位面积的热流量。单位温差作用下通过单位面积的热流量。对流换热系数的大小与传热过程中的许多因素有关。它对流换热系数的大小与传热过程中的许多因素有关。它不仅取决于物体的物性、换热表面的形状、尺寸大小，而不仅取决于物体的物性、换热表面的形状、尺寸大小，而且与流体的流速、温度、壁面温度等有关。且与流体的流速、温度、壁面温度等有关。研究对流换热的研究对流换热的主要任务主要任务就是研究对流换热系数。就是研究对流换热系数。100三三.边界层理论边界层理论简述简述（一）速度边界层的概念（一）速度边界层的概念概念：概念：流速从物体表面的零急剧增加到与来流速度流速从物体表面的零急剧增加到与来流速度w同数量级的大同数量级的大小。小。yw层流边界层层流边界层过渡区过渡区湍流边界层湍流边界层层流底层层流底层过渡层过渡层湍流核心湍流核心形成：形成：101流体在平壁上做稳定流动时，边界层的厚度：平壁上湍流边界层厚度平壁上湍流边界层中的层流底层的厚度管道中层流底层的厚度102（二）热边界层的概念（二）热边界层的概念103速度边界层与热边界层的比较速度边界层与热边界层的比较p速度边界层厚度速度边界层厚度反映流体反映流体动量传递的渗透程度。动量传递的渗透程度。p热边界层厚度热边界层厚度t反映流体热反映流体热量传递的渗透程度。量传递的渗透程度。p速度边界层与热边界层的关速度边界层与热边界层的关系：系：式中，式中，Pr=/-1/3104换热微分方程换热微分方程流体的导热微分方程（能量微分方程）流体的导热微分方程（能量微分方程）连续性微分方程连续性微分方程流体的运动微分方程流体的运动微分方程 求解微分方程组条件求解微分方程组条件单值条件单值条件四四.对流换热微分方程组对流换热微分方程组求解对流换热问题的方法求解对流换热问题的方法：1、数学解析法：、数学解析法：理论求解或数值求解描述理论求解或数值求解描述对流换热过程的微分对流换热过程的微分方程（组）方程（组），得到精确解或相似解；，得到精确解或相似解；2、模拟实验法：、模拟实验法：根据相似理论，将描述根据相似理论，将描述对流换热过程的微分方对流换热过程的微分方程（组）程（组）通过数学、物理化简成为准数方程的形式，然后根据实通过数学、物理化简成为准数方程的形式，然后根据实验确定准数方程的具体关系。验确定准数方程的具体关系。对对流流换换热热微微分分方方程程组组105（一）对流（一）对流换热微分方程换热微分方程理理论论求求解解对对流流换换热热问问题的思路题的思路:对流换热量对流换热量=贴壁流体层的导热量贴壁流体层的导热量w边界层边界层wntftw层流底层层流底层xQ（对流（对流换热微分方程）换热微分方程）106（二）二）流体的导热微分方程（能量微分方程流体的导热微分方程（能量微分方程）在流场中取微元六面体，根据能量守恒定律，推出在流场中取微元六面体，根据能量守恒定律，推出流体的导流体的导热微分方程热微分方程其中：其中：导温系数导温系数即：即：若若wx=wy=wz=0,上式变为上式变为107（三）连续性微分方程三）连续性微分方程根据质量守恒定律，可以推出空间运动的连续根据质量守恒定律，可以推出空间运动的连续性微分方程。性微分方程。对于不可压缩流体，对于不可压缩流体，=常数，上式变为常数，上式变为即：即：108（四）流体的运动微分方程四）流体的运动微分方程 不可压缩流体的纳维尔不可压缩流体的纳维尔斯托克斯斯托克斯(Navier-Stokes)方程方程109上面三式合并即为上面三式合并即为若质量力只有重力，上式可以写成若质量力只有重力，上式可以写成110对流换热微分方程组对流换热微分方程组对流换热微分方程对流换热微分方程流体导热微分方程流体导热微分方程连续微分方程连续微分方程运动微分方程运动微分方程111（五）五）求解微分方程条件求解微分方程条件单值条件单值条件物理条件物理条件流体的物理性质流体的物理性质cp、几何条件几何条件物体形状大小，圆管直径物体形状大小，圆管直径d、长度、长度l边界条件边界条件边界上过程进行的特点流体温度边界上过程进行的特点流体温度tf、速度速度w，管道壁面温度，管道壁面温度tw时间条件等时间条件等112五五.对流换热过程的相似性对流换热过程的相似性相似的概念相似的概念：如果两个同一类的物理现象，在对应的时空点，各标量物如果两个同一类的物理现象，在对应的时空点，各标量物理量的大小成比例，各物理量除大小成比例外，且方向相同，理量的大小成比例，各物理量除大小成比例外，且方向相同，则称两个现象是相似的。则称两个现象是相似的。流体流动相似条件流体流动相似条件：流动几何相似流动几何相似,运动相似，动力相似，以及流动的边界条运动相似，动力相似，以及流动的边界条件和起始条件相似件和起始条件相似1.几何相似几何相似几何相似：指流动空间几何相似。即形成此空间任意相几何相似：指流动空间几何相似。即形成此空间任意相应两线段夹角相同，任意相应线段长度保持一定的比例。应两线段夹角相同，任意相应线段长度保持一定的比例。（一）（一）力学相似性原理力学相似性原理113相应线段夹角相同：相应线段夹角相同：例如：例如：相应的线性长度保持一定的比例：相应的线性长度保持一定的比例：2.运动相似运动相似运动相似：两流动运动相似，相应点的流速大小成比例，方向相同。运动相似：两流动运动相似，相应点的流速大小成比例，方向相同。1143.动力相似动力相似流动的动力相似：要求同名力作用，相应的同名力成比例。流动的动力相似：要求同名力作用，相应的同名力成比例。同名力：同名力：同一物理性质的力。同一物理性质的力。例如：重力、粘性力、压力、惯性力、弹性力。例如：重力、粘性力、压力、惯性力、弹性力。同名力作用同名力作用：指原型流动中，如果作用着粘性力、压力、重力、：指原型流动中，如果作用着粘性力、压力、重力、惯性力、弹件力，则模型流动中也同样的作用着粘性力、压力、惯性力、弹件力，则模型流动中也同样的作用着粘性力、压力、重力、惯性力牌性力。重力、惯性力牌性力。相应的同名力成比例：相应的同名力成比例：指原型流动和模型流动的同名力成比例。指原型流动和模型流动的同名力成比例。式中：式中：、P、G、I、E表示粘性力、压力、重力、惯性力、弹性力。表示粘性力、压力、重力、惯性力、弹性力。115相似原理在传热学中的一个重要应用是指导试验的安排及实验数据的整理；相似原理在传热学中的一个重要应用是指导试验的安排及实验数据的整理；另一个重要应用是指导模化试验。所谓模化试验是指用不同于实物几何尺度另一个重要应用是指导模化试验。所谓模化试验是指用不同于实物几何尺度的模型（在大多数情况下是缩小的模型）来研究实际装置中所进行的物理过的模型（在大多数情况下是缩小的模型）来研究实际装置中所进行的物理过程的试验。程的试验。用相似理论解决对流换热问题的步骤：用相似理论解决对流换热问题的步骤：1）写出所研究对象的微分方程（组）；）写出所研究对象的微分方程（组）；2）根据相似原理，利用置换的方法，找出相似准数；）根据相似原理，利用置换的方法，找出相似准数；3）将所研究的问题用准数方程的形式表示出来；）将所研究的问题用准数方程的形式表示出来；4）用物理实验的方法，找出准数函数的具体函数关系；）用物理实验的方法，找出准数函数的具体函数关系；5）将函数关系推广应用。）将函数关系推广应用。116(二二)热相似准数热相似准数取两个相似质点原型取两个相似质点原型n和和模型模型m，质点是边长为质点是边长为ln、lm的立方体。的立方体。研究两质点受力：研究两质点受力：粘性力、压力、重力、惯性力粘性力、压力、重力、惯性力由动力相似的定义推导相似准则由动力相似的定义推导相似准则思路：思路：设想在两相似水流中设想在两相似水流中则动力相似：则动力相似：（1）117q作用于此两立方体的惯性力为作用于此两立方体的惯性力为：q作用于此两立方体的压力为作用于此两立方体的压力为：将以上两力带入（将以上两力带入（1）中的）中的Eu称为欧拉数：表示压差与惯性力之比称为欧拉数：表示压差与惯性力之比，则：，则：同理：同理：Fr称为称为弗鲁德准数：表示惯性力与重力之比弗鲁德准数：表示惯性力与重力之比Re为为雷诺准数：表示惯性力与粘性力之比雷诺准数：表示惯性力与粘性力之比1)2)3)4)Ho为均时性准数为均时性准数118运用相似理论，根据流体的换热微分方程和导热微分方程运用相似理论，根据流体的换热微分方程和导热微分方程可以得到热相似准数。可以得到热相似准数。假设有两个彼此相似的系统假设有两个彼此相似的系统1和和2，他们均遵循换热微分方，他们均遵循换热微分方程和导热微分方程。程和导热微分方程。对于对于1系统：系统：119 对于对于2系统：系统：根据相似原理，这两个系统的一切物理量都彼此成比例，即根据相似原理，这两个系统的一切物理量都彼此成比例，即:120将将2系统的物理量置换为系统的物理量置换为1系统的物理量系统的物理量121比较比较可以得到可以得到再将各常数用再将各常数用1、2系统参数表示，则有：系统参数表示，则有：定义为定义为傅立叶准数傅立叶准数定义为定义为贝可列准数贝可列准数122定义为定义为努谢尔特准数努谢尔特准数因此：得到三个热相似因此：得到三个热相似准数准数5)傅立叶准数傅立叶准数6)贝可列准数贝可列准数7)努谢尔特准数努谢尔特准数上面分析将描述对流换热的微分方程组转化为准则数方程：上面分析将描述对流换热的微分方程组转化为准则数方程：f（Ho，Fr，Eu，Re，Fo，Pe，Nu）=0将有关准数变形、整理，还可以得到新的准数将有关准数变形、整理，还可以得到新的准数.123（三）（三）相似准数的物理意义相似准数的物理意义1)努谢尔特准数：表征对流换热的强弱努谢尔特准数：表征对流换热的强弱2）伽利略准数、葛拉晓夫准数）伽利略准数、葛拉晓夫准数伽利略准数伽利略准数物理意义：物理意义：124葛拉晓夫准数：葛拉晓夫准数：其中其中为为体积膨胀系数体积膨胀系数。通常为定压过程，此时通常为定压过程，此时物理意义：物理意义：反映流体各部分温度不同而引起的浮升力与粘滞阻力的比值反映流体各部分温度不同而引起的浮升力与粘滞阻力的比值1253）普朗特准数）普朗特准数物理意义：物理意义：反映了速度场与温度场的关系反映了速度场与温度场的关系.f（Ho，Gr，Eu，Re，Fo，Pr，Nu）=0将上述分析变换代入准则数方程，则有将上述分析变换代入准则数方程，则有126由于由于Nu为非定型准数，为非定型准数，变换上式可以写出如下准数方程：变换上式可以写出如下准数方程：Nu=f（l/l0，Fo，Ho，Eu，Re，Gr，Pr）其中：其中：l/l0 几何相似几何相似Ho 用于不稳定速度场；用于不稳定速度场；Eu 用于考虑压差对流动的影响；用于考虑压差对流动的影响；Re 为惯性力与粘性力的影响；为惯性力与粘性力的影响；Fo 用于不稳定温度场；用于不稳定温度场；Gr 为浮力与粘性力的影响；为浮力与粘性力的影响；Pr 为物理性质的影响为物理性质的影响127分析准数方程：分析准数方程：Nu=f（l/l0，Ho，Eu，Re，Fo，Gr，Pr）在保证几何相似，动力相似的条件下，在保证几何相似，动力相似的条件下，即：几何尺寸成比例，即：几何尺寸成比例，Eu一定时一定时在稳定流动，稳态传热条件下：在稳定流动，稳态传热条件下：Ho、Fo 不考虑，不考虑，则：则：Nu=f（Re，Gr，Pr）若若强制对流换热强制对流换热，Gr 不考虑不考虑 则：则：Nu=f（Re，Pr）若若自然对流换热自然对流换热，Re 不考虑，不考虑，则：则：Nu=f（Gr，Pr）128（四）定性温度和定性尺寸（四）定性温度和定性尺寸定性温度：定性温度：决定准数中物性参数数值的温度决定准数中物性参数数值的温度试验结果表明：常以边界层平均温度作为定性温度，试验结果表明：常以边界层平均温度作为定性温度，即，即，tb=(tf-tw)/2表示表示定性尺寸：定性尺寸：代表对换热过程有决定性影响的尺寸代表对换热过程有决定性影响的尺寸一般的：对于圆管：采用内径一般的：对于圆管：采用内径d 非圆管：采用当量直径非圆管：采用当量直径de 横向掠过单管或管簇：采用管子外径横向掠过单管或管簇：采用管子外径 纵向掠过平壁：取沿流动方向的壁面长度纵向掠过平壁：取沿流动方向的壁面长度 作为定性尺寸作为定性尺寸129六六.自然对流换热：自然对流换热：Nu=f（Gr，Pr）1.无限空间的自然对流换热（工业窑炉和暖气与建筑物）无限空间的自然对流换热（工业窑炉和暖气与建筑物）指指换热空间相对换热表面很大，流体的自然对流不受空间限制。换热空间相对换热表面很大，流体的自然对流不受空间限制。n下标下标b：表示定性温度以壁温：表示定性温度以壁温tw和流和流体温度体温度tf的算术平均值；的算术平均值；n定型尺寸为：水平管或球时为直径定型尺寸为：水平管或球时为直径d，竖壁、竖管时取高度竖壁、竖管时取高度h，n系数系数C与与n则取决于乘机则取决于乘机(GrPr)b，参参见有关表见有关表2-6。130上式适用条件：无限空间自然对流换热两平壁间满足a/H0.28时空气与壁面之间的自然对流换热。1314.相似准数及物理意义：流体发生运动的动力;流体流动的状态;流体的物性;相变的影响;放热面的形状和位置q=（tw-tf)或或Q=（tw-tf)F 2.对流换热基本规律牛顿冷却公式代表对流换热能力的大小，取决于物体的物性、换热表面的形状、代表对流换热能力的大小，取决于物体的物性、换热表面的形状、尺寸大小，而且与流体的流速、温度、壁面温度等尺寸大小，而且与流体的流速、温度、壁面温度等3.流体流动相似条件流体流动相似条件：流动几何相似流动几何相似,运动相似，动力相似，流动的边界条件和起始条件相似运动相似，动力相似，流动的边界条件和起始条件相似表示压差与惯性力之比表示压差与惯性力之比1)欧拉数欧拉数1.影响对流换热的因素：132Fr称为称为弗鲁德准数：表示惯性力与重力之比弗鲁德准数：表示惯性力与重力之比表示流体流动的不稳定性表示流体流动的不稳定性2)3)4)均时性准数均时性准数Re为为雷诺准数：表示惯性力与粘性力之比雷诺准数：表示惯性力与粘性力之比5)傅立叶准数傅立叶准数6)努谢尔特准数努谢尔特准数表征对流换热的强弱表征对流换热的强弱表征温度场、速度场随时间变化的关系表征温度场、速度场随时间变化的关系7）格拉晓夫准数）格拉晓夫准数反映流体各部分温度不同而引起的浮升力与粘滞阻力的比值反映流体各部分温度不同而引起的浮升力与粘滞阻力的比值8）普朗特准数）普朗特准数反映了速度场与温度场的关系反映了速度场与温度场的关系.133定性温度：定性温度：决定准数中物性参数数值的温度决定准数中物性参数数值的温度定性尺寸：定性尺寸：代表对换热过程有决定性影响的尺寸代表对换热过程有决定性影响的尺寸圆管：采用内径圆管：采用内径d非圆管：采用当量直径非圆管：采用当量直径de横向掠过单管或管簇：采用管子外径横向掠过单管或管簇：采用管子外径纵向掠过平壁：取沿流动方向的壁面长度纵向掠过平壁：取沿流动方向的壁面长度1342.有限空间的自然对流换热准数方程有限空间的自然对流换热准数方程指指换热空间相对换热表面很小，流体的自然对流受到空间限制换热空间相对换热表面很小，流体的自然对流受到空间限制 比如，双层玻璃窗，平板太阳能集热器的集热板与盖板比如，双层玻璃窗，平板太阳能集热器的集热板与盖板135n有限空间的自然对流换热可按导热方式进行有限空间的自然对流换热可按导热方式进行以两个平板间的导热为例：以两个平板间的导热为例：导热方程：导热方程：对流换热：对流换热：所以：所以：准数方程准数方程有限空间自然对流换热计算式见表有限空间自然对流换热计算式见表2-7136七七.强制对流换热：强制对流换热：Nu=f（Re，Pr）1.流体在管内流动时的对流换热流体在管内流动时的对流换热流体在管内形成速度和热边界层，对流流体在管内形成速度和热边界层，对流换热系数从入口段的最大值逐渐下降为换热系数从入口段的最大值逐渐下降为稳定值。平均对流换热系数与与管长和稳定值。平均对流换热系数与与管长和直径的比相关，当比值大于直径的比相关，当比值大于50，即为长，即为长管，管，不随管长而变。不随管长而变。137流体在管内流动时的对流换热准数方程流体在管内流动时的对流换热准数方程A、湍流湍流：n适用范围：适用范围：Ref=1041.2105，Prf=0.7120.L/d60，流体与壁面的温差不大流体与壁面的温差不大:气体：气体：50；水；水：2030；油类油类：10。n定性温度为流体进出口温度的平均值定性温度为流体进出口温度的平均值tf，定性尺寸为管内径定性尺寸为管内径d。迪图司-贝尔特公式138n若流体与壁面的温差较大，流体粘度变化较大则：若流体与壁面的温差较大，流体粘度变化较大则：0.80.430.25米海耶夫公式139B、层流层流:适用范围适用范围:C、过渡流：过渡流：适用范围：适用范围：2200Re0。不能自见不能自见能自见能自见不能自见不能自见(4)兼顾性：兼顾性：如图：物体如图：物体1与与3之间设置物体之间设置物体2。若若2是透射体，是透射体，D2=1 则则:12=13；若若2不是透射体，不是透射体，D2 1 则则:1213；123173（5）分解性）分解性如图：物体如图：物体1与与2物体，物体，2被分成物体被分成物体3与与41342由互换性：由互换性：F112=F221因为：因为：F2=F3+F4,12=13+14所以所以：F1（13+14）=F221F113+F114=F221F331+F441=F221（分解性）分解性）注意：注意：2131+41174例题：例题：如图：如图：F1、F2和和F3构成一三角形非凹表面封闭空间，构成一三角形非凹表面封闭空间，求各表面间的角系数求各表面间的角系数ij。(i，j=1，2，3)，并总结出其规律性。并总结出其规律性。解：由角系数的完整性解：由角系数的完整性121312123131