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教学重点教学重点求解变量分离微分方程求解变量分离微分方程 教学难点教学难点求解齐次微分方程求解齐次微分方程 教学课时教学课时3教学方法教学方法讲练结合讲练结合目的要求目的要求1.熟练掌握变量分离方程熟练掌握变量分离方程,齐次微分方程的求解方法齐次微分方程的求解方法;2.熟练掌握运用变量变换将方程化为熟知类型求解熟练掌握运用变量变换将方程化为熟知类型求解的思想方法的思想方法,求解更广泛的方程求解更广泛的方程.一、变量分离方程一、变量分离方程形如形如方程方程,称为称为变量分离方程变量分离方程.这里这里 分别是分别是 的的连续函数连续函数.变量分离方程变量分离方程 的的求解步骤求解步骤:1.分离变量分离变量当当 时时,将方程改写成将方程改写成2.两边积分两边积分f(x)的某一原函数的某一原函数 的某的某一原函数一原函数由此式确定的函数由此式确定的函数 就是方程的就是方程的通解通解.常数的取值必须保证上式有意义常数的取值必须保证上式有意义,如无特别声明如无特别声明,以后也作这样理解以后也作这样理解.例例1 求解方程求解方程 及及注注:若存在若存在 ,使得使得 ,则则 也是方程的也是方程的解解,可能它不包含在通解中可能它不包含在通解中,必须予以补上必须予以补上.例例2 求方程求方程 的通解的通解,其中其中 是是x的连续函数的连续函数.例例3 求解方程求解方程例例4 求解初值问题求解初值问题二、可化为变量分离方程的类型二、可化为变量分离方程的类型1.齐次微分方程齐次微分方程的方程的方程,称为称为齐次微分方程齐次微分方程,这里这里 是是u的连续函数的连续函数.形如形如求解方法求解方法:故方程化为故方程化为(1)作变量代换作变量代换(引入新变量引入新变量),则则(2)解以上变量分离方程解以上变量分离方程;(3)变量还原变量还原.例例5 求解方程求解方程2.形如形如 的方程的方程,这里这里均为常数均为常数.分三种情形来讨论分三种情形来讨论:为齐次微分方程为齐次微分方程,可化为变量分离方程可化为变量分离方程.即即设设令令 ,为变量分离方程为变量分离方程.例例6 求解方程求解方程则方程可改写为则方程可改写为则有则有(即即 )且且 不同时为零不同时为零则则 代表平面上两条相交的直线代表平面上两条相交的直线,设交设交点为点为做变量代换做变量代换则方程可化为则方程可化为为为(1)的情形的情形,可化为变量分离方程求解可化为变量分离方程求解.例例9 求解方程求解方程注注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型此外此外,诸如诸如(其中其中 为为 的齐次函数的齐次函数,次数可以不相同次数可以不相同)等一些等一些方方程类型程类型,均可通过适当的变量变换化为变量分离方程均可通过适当的变量变换化为变量分离方程.例例10 求微分方程求微分方程 的通解的通解.常用常用作作 业业教学总结教学总结分方程的求解问题分方程的求解问题.将各种类型的求解步骤记清楚的同时将各种类型的求解步骤记清楚的同时本节我们主要讨论了一阶可分离微分方程和齐次微本节我们主要讨论了一阶可分离微分方程和齐次微要注意对解的讨论要注意对解的讨论.教学重点教学重点线性微分方程的求解方法线性微分方程的求解方法教学难点教学难点求解求解伯努利伯努利方程方程 教学课时教学课时3教学方法教学方法讲练结合讲练结合目的要求目的要求1.熟练掌握线性方程和伯努利方程的求解方法熟练掌握线性方程和伯努利方程的求解方法;2.了解黎卡提方程的简单性质及其求解方法了解黎卡提方程的简单性质及其求解方法.一阶线性微分方程一阶线性微分方程在在 区间上可写成区间上可写成这里假设这里假设 在考虑的区间上是在考虑的区间上是x的连续函数的连续函数.若若 ,则方程则方程(1)变为变为(2)称为称为一阶齐次线性微分方程一阶齐次线性微分方程.若若 ,则方程则方程(1)称为称为一阶非齐次线性微一阶非齐次线性微分分方程方程.一、一阶非齐次线性微分方程的求解一、一阶非齐次线性微分方程的求解常数变易法常数变易法1.求解对应的齐次线性微分方程求解对应的齐次线性微分方程对应的齐次线性微分方程的通解为对应的齐次线性微分方程的通解为为任意常数为任意常数.2.常数变易法求解非齐次线性方程常数变易法求解非齐次线性方程将常数将常数c变易为变易为x的函数的函数 ,使使 为方为方程的解程的解.令令 为方程为方程 的解的解,则则代入方程得代入方程得积分后得积分后得 为任意常数为任意常数,故方程故方程 的通解为的通解为例例1 求方程求方程 的通解的通解,这里这里n为为常数常数.例例2 求方程求方程 的通解的通解.注注:求非齐次线性微分方程求非齐次线性微分方程(1)的通解可直接用公式的通解可直接用公式例例3 求初值问题求初值问题 的解的解.二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方程方程形如形如的方程称为的方程称为伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程.这里这里 是是x的连续函数的连续函数,是常数是常数.利用变量变换将伯努利方程化为线性微分方程利用变量变换将伯努利方程化为线性微分方程.对于对于 ,用用 乘乘(3)两边两边,得到得到引入变量变换引入变量变换从而从而代入上式得代入上式得线性微分方程线性微分方程求出次方程的通解求出次方程的通解,然后代回原来的变量然后代回原来的变量,便得到伯努便得到伯努利方程利方程(3)的通解的通解.注注:当当 时时,方程还有解方程还有解例例4 求方程求方程 的通解的通解.作作 业业教学总结教学总结教学重点教学重点恰当方程的解法恰当方程的解法 教学难点教学难点积分因子的求法积分因子的求法 教学课时教学课时3教学方法教学方法讲练结合讲练结合目的要求目的要求1.熟练掌握恰当方程的求解方法熟练掌握恰当方程的求解方法;2.会用积分因子方法求解非恰当方程会用积分因子方法求解非恰当方程.一、恰当方程的定义及条件一、恰当方程的定义及条件设设 是可微函数是可微函数,则它的全微分为则它的全微分为如果我们恰好碰见了方程如果我们恰好碰见了方程就可以马上写出它的隐式解就可以马上写出它的隐式解1.恰当方程的定义恰当方程的定义若有函数若有函数 ,使得使得则称方程则称方程 为为恰当方程恰当方程.此时方程的通解为此时方程的通解为如如都是恰当方程都是恰当方程.方程方程(1)是否为恰当方程是否为恰当方程?若若(1)是恰当方程是恰当方程,怎样求解怎样求解?若若(1)不是恰当方程不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解有无可能转化为恰当方程求解?2.方程为恰当方程的充要条件方程为恰当方程的充要条件定理定理1 设函数设函数 和和 在一个区域内连续可微在一个区域内连续可微,则方程则方程是恰当方程的充分必要条件是是恰当方程的充分必要条件是注注:若若 为恰当方程为恰当方程,则其通解为则其通解为c为任意常数为任意常数.二、恰当方程的求解二、恰当方程的求解1.不定积分法不定积分法判断方程判断方程 是不是恰当方程是不是恰当方程,若是则进入下一步若是则进入下一步;求求由由 求求例例1 求方程求方程 的通解的通解.2.分组凑微法分组凑微法采用采用“分项组合分项组合”的方法的方法,把本身已构成全微分的把本身已构成全微分的项分出来项分出来,再把余的项凑成全微分再把余的项凑成全微分.应熟记一些简单二元函数的全微分应熟记一些简单二元函数的全微分.如如例例1 求方程求方程 的通解的通解.3.线积分法线积分法由于由于由曲线积分与路径无关的定理知由曲线积分与路径无关的定理知为某函数为某函数 的全微分的全微分,即有函数即有函数 ,使得使得从而方程从而方程 为恰当方程为恰当方程.这时取这时取 ,则则从而从而 的通解为的通解为c为任意常数为任意常数.例例1 求方程求方程 的通解的通解.三、积分因子三、积分因子非恰当方程如何求解非恰当方程如何求解?变量分离方程变量分离方程:不是恰当方程不是恰当方程.方程两边同乘以方程两边同乘以 ,得得恰当方程恰当方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程:不是恰当方程不是恰当方程.方程两边同乘以方程两边同乘以 ,得得恰当方程恰当方程对一些非恰当方程对一些非恰当方程,乘上一个因子后乘上一个因子后,可变为恰当方程可变为恰当方程.如果存在如果存在非零非零连续可微函数连续可微函数 ,使得使得为恰当方程为恰当方程,即存在函数即存在函数v,使使则称则称 是方程是方程(1)的一个的一个积分因子积分因子.例例2 验证验证 是方程是方程的一个积分因子的一个积分因子,并求其通解并求其通解.定理定理 微分方程微分方程有一个仅依赖于有一个仅依赖于x 的积分因子的充分必要条件是的积分因子的充分必要条件是仅与仅与x 有关有关,这时方程这时方程(1)的积分因子为的积分因子为(y)(y)其中其中其中其中例例3 求方程求方程 的通解的通解.例例4 求方程求方程 的通解的通解.例例5 求解方程求解方程作作 业业教学总结教学总结教学重点教学重点一阶隐式方程的解法一阶隐式方程的解法 教学难点教学难点一阶隐式方程的解法一阶隐式方程的解法 教学课时教学课时3教学方法教学方法讲练结合讲练结合目的要求目的要求1.理解一阶隐式方程的可积类型理解一阶隐式方程的可积类型;2.掌握隐式方程的参数解法掌握隐式方程的参数解法.一阶隐式方程一阶隐式方程未能解出或比较复杂未能解出或比较复杂采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型.主要研究以下四种类型主要研究以下四种类型定义定义 对于微分方程对于微分方程 ,如果存在定义在如果存在定义在上的函数上的函数 与与 ,使得当使得当 时时,有有则称则称 是方程是方程 的的参数参数形式解形式解.同样可定义方程同样可定义方程 的的参数形式通解参数形式通解为为一、可以解出一、可以解出 y(或或 x)的方程的方程1.形如形如 方程的解法方程的解法引入参数引入参数则方程则方程(2)变为变为将将(3)的两边对的两边对x求导数求导数,得到得到(i)若求得若求得(4)的通解形式为的通解形式为将它代入将它代入(3),即得即得原方程原方程(2)的通解为的通解为 ,c为任意常数为任意常数.例例1 求解方程求解方程(ii)若求得若求得(4)的通解形式为的通解形式为则得则得(2)的参数形的参数形式的通解为式的通解为 ,其中其中p为参数为参数,c为任意为任意常数常数.例例2 求解方程求解方程(iii)若求得若求得(4)的通解形式为的通解形式为则得则得(2)的参数的参数形式的通解为形式的通解为 ,其中其中p为参数为参数,c为任意为任意常数常数.2.形如形如 方程的解法方程的解法这里假定函数这里假定函数 有连续偏导数有连续偏导数.引入参数引入参数则方程则方程(2)变为变为将将(6)的两边对的两边对y求导数求导数,得到得到 若求得若求得(7)的通解形式为的通解形式为则得则得(5)的参数形的参数形式的通解为式的通解为 ,其中其中p为参数为参数,c为任意常数为任意常数.例例2 求解方程求解方程二、不显含二、不显含 y(或或 x)的方程的方程1.形如形如 方程的解法方程的解法这里假定函数这里假定函数 有连续偏导数有连续偏导数.记记则方程则方程(8)变为变为几何上表示几何上表示平面上的一条曲线平面上的一条曲线.为参数为参数,由于由于设曲线用参数形式表示为设曲线用参数形式表示为则则两边积分得两边积分得于是得到原方程参数形式的通解为于是得到原方程参数形式的通解为设设解题步骤解题步骤:则方程则方程(8)变为变为引入参数引入参数 t,将将 用参数形式表示出来用参数形式表示出来,即即为参数为参数,将将 代入代入 ,并两边积分得并两边积分得“关键一步也是最困难一步关键一步也是最困难一步”得到原方程参数形式的通解为得到原方程参数形式的通解为例例3 求解方程求解方程 ,这里这里例例4 求解方程求解方程2.形如形如 方程的解法方程的解法这里假定函数这里假定函数 有连续偏导数有连续偏导数.设设解题步骤解题步骤:则方程则方程(9)变为变为引入参数引入参数 t,将将 用参数形式表示出来用参数形式表示出来,即即为参数为参数,将将 代入代入 ,并两边积分得并两边积分得得到原方程参数形式的通解为得到原方程参数形式的通解为例例5 求解方程求解方程例例6 求解方程求解方程作作 业业教学总结教学总结
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