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一一 牛顿法及其收敛性牛顿法及其收敛性 牛顿法是一种线性化方法,其基本思想是将非线性方程 逐步归结为某种线性方程来求解.设已知方程 有近似根 (假定 ),将函数 在点 展开,有 于是方程 可近似地表示为(1)这是个线性方程,记其根为 ,则 的计算公式为 10.4 牛顿迭代法牛顿迭代法1(2)这就是牛顿牛顿(Newton)(Newton)法法.牛顿法的几何解释.方程 的根 可解释为曲线 与 轴的交点的横坐标(图7-3).设 是根 的某个近似值,过曲线 上横坐标为 的点 引切线,并将该切线与 轴的交点的横坐标 作为 的新的近似值.图7-32注意到切线方程为 这样求得的值 必满足(1),从而就是牛顿公式(2)的计算结果.由于这种几何背景,牛顿法亦称切线法切线法.牛顿法(2)的收敛性,可直接由上节定理得到,对(2)其迭代函数为 由于 假定 是 的一个单根,即 ,则由上式知 ,于是依据可以断定,牛顿法在根 的邻近至少是平方收敛的.3又因 故 可得(3.3)例例7.3.1 7.3.1 用牛顿法解方程(3.4)解解 这里牛顿公式为 取迭代初值 ,迭代结果列于表7-5中.4 所给方程(3.4)实际上是方程 的等价形式.若用不动点迭代到同一精度要迭代28次,可见牛顿法的收敛速度是很快的.5 对于给定的正数 ,应用牛顿法解二次方程 可导出求开方值 的计算程序(3.5)这种迭代公式对于任意初值 都是收敛的.事实上,对(3.5)式施行配方手续,易知 二二 牛顿法应用举例牛顿法应用举例6以上两式相除得 据此反复递推有(3.6)记 整理(3.6)式,得 7 对任意 ,总有 ,故由上式推知,当 时 ,即迭代过程恒收敛.解解 取初值 ,对 按(3.5)式迭代3次便得到精度为 的结果(见表7-6).由于公式(3.5)对任意初值 均收敛,并且收敛的速度很快,因此可取确定的初值如 编成通用程序.例例7.3.2 7.3.2 求 .8 三三 简化牛顿法与牛顿下山法简化牛顿法与牛顿下山法 牛顿法的牛顿法的优点优点 收敛快,牛顿法的牛顿法的缺点缺点 一 每步迭代要计算 及 ,计算量较大且有时 计算较困难,二是初始近似 只在根 附近才能保证收敛,如 给的不合适可能不收敛.9 为克服这两个缺点,通常可用下述方法.(1)简化牛顿法,也称平行弦法.其迭代公式为(3.7)迭代函数 若在根 附近成立 ,即取 ,则迭代法(3.7)局部收敛.10 在(3.7)中取 ,则称为简化牛顿法简化牛顿法,这类方法计算量省,但只有线性收敛,其几何意义是用平行弦与 轴交点作为 的近似.如图7-4所示.图7-411 (2 2)牛顿下山法牛顿下山法.牛顿法收敛性依赖初值 的选取.如果 偏离所求根 较远,则牛顿法可能发散.例如,用牛顿法求方程(3.8)在 附近的一个根 .设取迭代初值 ,用牛顿法公式(3.9)计算得 迭代3次得到的结果 有6位有效数字.12 但如果改用 作为迭代初值,则依牛顿法公式(3.9)迭代一次得 这个结果反而比 更偏离了所求的根 .为了防止迭代发散,对迭代过程再附加一项要求,即具有单调性:(3.10)满足这项要求的算法称下山法下山法.将牛顿法与下山法结合起来使用,即在下山法保证函数值稳定下降的前提下,用牛顿法加快收敛速度.将牛顿法的计算结果 13与前一步的近似值 适当加权平均作为新的改进值(3.11)其中 称为下山因子,(3.11)即为(3.12)(3.12)称为牛顿下山法牛顿下山法.选择下山因子时从 开始,逐次将 减半进行试算,直到能使下降条件(3.10)成立为止.若用此法解方程(3.8),当 时由(3.9)求得14 ,它不满足条件(3.10).通过 逐次取半进行试算,当 时可求得 .此时有 ,而显然 .由 计算 时 ,均能使条件(3.10)成立.计算结果如下:即为 的近似.一般情况只要能使条件(3.10)成立,则可得到 ,从而使 收敛.15四四 重根情形重根情形 设 ,整数 ,则 为方程 的 重根,此时有 只要 仍可用牛顿法(3.2)计算,此时迭代函数 的导数为 且 ,所以牛顿法求重根只是线性收敛.16则 .用迭代法(3.13)求 重根,则具有2阶收敛,但要知道 的重数 .构造求重根的迭代法,还可令 ,若 是 的 重根,则 若取故 是 的单根.对 用牛顿法,其迭代函数为 17从而可构造迭代法(3.14)它是二阶收敛的.例例7.3.3 7.3.3 方程 的根 是二重根,用上述三种方法求根.解解 先求出三种方法的迭代公式:(1)牛顿法 18 (2)用(3.13)式 (3)用(3.14)式 取初值 ,计算结果如表7-7.19 计算三步,方法(2)及(3)均达到10位有效数字,而用牛顿法只有线性收敛,要达到同样精度需迭代30次.20五五 弦截法与抛物线法弦截法与抛物线法 用牛顿法求方程(1.1)的根,每步除计算 外还要算 ,当函数 比较复杂时,计算 往往较困难,为此可以利用已求函数值 来回避导数值 的计算.1 弦截法弦截法 设 是 的近似根,利用 构造一次插值多项式 ,并用 的根作为新的近似根 .由于(5.1)21因此有(5.2)(5.2)可以看做牛顿公式 中的导数 用差商 取代的结果.几何意义.曲线 上横坐标为 的点分别记为 ,则弦线 的斜率等于差商值 ,其方22程是因之,按(5.2)式求得的 实际上是弦线 与 轴交点的横坐标.这种算法因此而称为弦截法弦截法.表7-523 弦截法与切线法(牛顿法)都是线性化方法,但两者有本质的区别.切线法在计算 时只用到前一步的值 ,而弦截法(5.2),在求 时要用到前面两步的结果 ,因此使用这种方法必须先给出两个开始值 .例例7.3.4 7.3.4 用弦截法解方程 解解 设取 作为开始值,用弦截法求得的结果见表7-8,比较例7.3.1牛顿法的计算结果可以看出,弦截法的收敛速度也是相当快的.实际上,弦截法具有超线性的收敛性.24 定理定理6 6 假设 在根 的邻域 内具有二阶连续导数,且对任意 有 ,又初值 ,那么当邻域充分小时,弦截法(5.2)将按阶 收敛到根 .这里 是方程 的正根.252 2 抛物线法抛物线法 设已知方程 的三个近似根 ,以这三点为节点构造二次插值多项式 ,并适当选取 的一个零点 作为新的近似根,这样确定的迭代过程称抛物线法抛物线法,亦称密勒(密勒(MllerMller)法法.在几何上,这种方法的基本思想是用抛物线 与 轴的交点 作为所求根 的近似位置(图7-6).图7-626插值多项式 有两个零点:(5.3)式中 问题是该如何确定 ,假定在 三个近似根中,更接近所求的根 ,为了保证精度,选(5.3)中较接近 的一个值作为新的近似根 .为此,只要取根式前的符号与 的符号相同.27例例7.3.5 7.3.5 用抛物线法求解方程 解解 设用表7-8的前三个值 作为开始值,计算得 故 代入(5.3)式求得 28 以上计算表明,抛物线法比弦截法收敛得更快.在一定条件下可以证明,对于抛物线法,迭代误差有下列渐近关系式 可见抛物线法也是超线性收敛的,其收敛的阶 ,收敛速度比弦截法更接近于牛顿法.从(5.3)看到,即使 均为实数,也可以是复数,所以抛物线法适用于求多项式的实根和复根.297.6 7.6 解非线性方程组的牛顿迭代法解非线性方程组的牛顿迭代法 考虑方程组(6.1)其中 均为 的多元函数.用向量记号记 ,(6.1)就可写成(6.2)当 ,且 中至少有一个是自变量 的非线性函数时,称方程组(6.1)为非线非线性方程组性方程组.30 非线性方程组求根问题是前面介绍的方程(即 )求根的直接推广,只要把前面介绍的单变量函数 看成向量函数 则可将单变量方程求根方法推广到方程组(6.2).若已给出方程(6.2)的一个近似根 ,将函数 的分量 在 用多元函数泰勒展开,并取其线性部分,则可表示为 令上式右端为零,得到线性方程组(6.3)31其中(6.4)称为 的雅可比雅可比(Jacobi)(Jacobi)矩阵矩阵.求解线性方程组(6.3)并记解为 ,则得(6.5)这就是解非线性方程组(6.2)的牛顿迭代法牛顿迭代法.32 例例12 12 求解方程组 给定初值 ,用牛顿法求解.解解 先求雅可比矩阵 由牛顿法(6.5)得 33即 由 逐次迭代得到 的每一位都是有效数字.34v拟Newton方程35v1.36其中 37 例例1 1用拟用拟newtonnewton法和法和BroydenBroyden秩秩1 1修改方法求修改方法求383940
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