多元复合函数的全微分课件

推广推广第七章第七章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意:善于类比善于类比,区别异同区别异同多元函数微分学多元函数微分学 1推广第七章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意:善于类比第一节第一节7.1.1、二元函数的概念、二元函数的概念7.1.2、二元函数的极限和连续、二元函数的极限和连续7.1.3、偏导数、偏导数7.1.4、全微分、全微分机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数多元函数 7.1.5、复合函数的微分法、复合函数的微分法7.1.6、隐函数的微分法、隐函数的微分法2第一节7.1.1、二元函数的概念7.1.2、二元函数的极限和1.邻域邻域点集称为点 P0 的 邻域邻域.例如例如,在平面上,(圆邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成点 P0 的去心邻域去心邻域记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.1.1、二元函数的概念、二元函数的概念31.邻域点集称为点 P0 的邻域.例如,在平面上,(圆邻在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.机动 目录 上页 下页 返回 结束 4在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域2.区域区域(1)内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点;则称 P 为 E 的边界点边界点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.52.区域(1)内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P(2)聚点聚点若对任意给定的 ,点P 的去心机动 目录 上页 下页 返回 结束 邻域内总有E 中的点,则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E,也可以不属于 E(因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集.E 的边界点)6(2)聚点若对任意给定的,点P 的去心机动 目录 D(3)开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；若点集 E E,则称 E 为闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;机动 目录 上页 下页 返回 结束。E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;7D(3)开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称例如，例如，在平面上开区域闭区域机动 目录 上页 下页 返回 结束 8例如，在平面上开区域闭区域机动 目录 上页 整个平面 点集 是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 o 对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界域有界域,界域界域.否则称为无无9 整个平面 点集 是开集，是最大的开域,也定义定义1.数集称为函数的值域值域 .点集 D 称为函数的定义域定义域;10定义1.数集称为函数的值域.点集 D 称为函数的定义域 二元函数在三维空间的几何图形二元函数在三维空间的几何图形三维空间的三维空间的 曲面曲面11二元函数在三维空间的几何图形三维空间的11例如,二元函数定义域为圆域说明说明:二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球12例如,二元函数定义域为圆域说明:二元函数 z=f7.1.2、二元函数的极限和连续、二元函数的极限和连续定义定义2.设 二元函数点,则称 A 为函数或P0 是 D 的聚若存在常数 A,对一记作都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意正数 ,总存在正数,切1 1、二元函数的极限二元函数的极限137.1.2、二元函数的极限和连续定义2.设 二元函数点 例例1.证明求证：证证:故总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 要证 例例2.证明14例1.证明求证：证:故总有机动 目录 上页 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例例3.讨论函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 15 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设 P(x,定义：定义：（二次极限）（二次极限）下面给出下面给出二次极限二次极限的概念的概念16定义：（二次极限）下面给出二次极限的概念16仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限不同不同.如果它们都存在,则三者相等.例如例如,显然与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在.例3 目录 上页 下页 返回 结束 17仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限不同.可以证明可以证明318可以证明3182、二元函数的连续性二元函数的连续性 定义定义3.设 二元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称 n 元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续.连续,192、二元函数的连续性 定义3.设 二元函数定义在 例如例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.20例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上2121定理定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则机动 目录 上页 下页 返回 结束*(4)f(P)必在D 上一致连续.在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)22定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则机动 内容小结内容小结1.区域 邻域:区域连通的开集 2.二元函数概念二 元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 23内容小结1.区域 邻域:区域连通的开集 2.二元函有3.二元函数的极限4.二元函数的连续性1)函数2)闭域上的二元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切二元初等函数在定义区域内连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 24有3.二元函数的极限4.二元函数的连续性1)函数2)7.1.3机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、偏导数的定义偏导数的定义3、高阶偏导数、高阶偏导数 偏 导 数 2、偏导数的几何意义偏导数的几何意义257.1.3机动 目录 上页 下页 返回 定义定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:26定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极同样可定义对 y 的偏导数若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数偏导数,记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在,27同样可定义对 y 的偏导数若函数 z=f(x,y偏导数记号是一个例例1.已知理想气体的状态方程求证:证证:说明说明:(R 为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号,28偏导数记号是一个例1.已知理想气体的状态方程求证:证:说例例2.求解法解法1:解法解法2:在点(1,2)处的偏导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 29例2.求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的30二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如,注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.上节例 目录 上页 下页 返回 结束 在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!31函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：但在该点不一定连续3、高阶偏导数、高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导机动 目录 上页 下页 返回 结束 数:323、高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数为33类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)例例3.求函数解解:注意注意:此处但这一结论并不总成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及 34例3.求函数解:注意:此处但这一结论并不总成立.机动 例如例如,二者不等机动 目录 上页 下页 返回 结束 35例如,二者不等机动 目录 上页 下页 返回 内容小结内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号;几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)机动 目录 上页 下页 返回 结束 38内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号;几何意2、全微分在近似计算中的应用、全微分在近似计算中的应用 应用 7.1.4一元函数 y=f(x)的微分近似计算估计误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容本节内容:1、全微分的定义、全微分的定义 全微分392、全微分在近似计算中的应用 应用 7.1.4一元函数 y一、全微分的定义、全微分的定义 定义定义:如果函数 z=f (x,y)在定义域 D 的内点(x,y)可表示成其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，称为函数在点(x,y)的全微分全微分,记作若函数在域 D 内各点都可微,则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微可微，机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量则称此函数在D 内可微.40一、全微分的定义 定义:如果函数 z=f (x,(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微定理1：函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即41(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1定理定理2 2(必要条件)若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微可微,则该函数在该点偏导数同样可证证证:由全增量公式必存在,且有得到对 x 的偏增量因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 42定理2(必要条件)若函数 z=f(x,y)在点(x反例反例:函数易知 但因此,函数在点(0,0)不可微.注意注意:定理2 的逆定理不成立.偏导数存在函数 不一定可微 !即:机动 目录 上页 下页 返回 结束 43反例:函数易知 但因此,函数在点(0,0)不可微.定理定理3(充分条件)证证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 44定理3(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.机动所以函数在点可微.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意到,故有45所以函数在点可微.机动 目录 上页 下页 返例例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解解:例例2.计算函数的全微分.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 46例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例2.可知当二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用由全微分定义较小时,及有近似等式:机动 目录 上页 下页 返回 结束(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)（1）计算函数的近似值）计算函数的近似值47可知当二、全微分在近似计算中的应用由全微分定义较小时,及有近例例3.3.计算的近似值.解解:设,则取则机动 目录 上页 下页 返回 结束 48例3.计算的近似值.解:设,则取则机动 目录 半径由 20cm 增大解解:已知即受压后圆柱体体积减少了 例例4.有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm,则 高度由100cm 减少到 99cm,体积的近似改变量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 求此圆柱体49半径由 20cm 增大解:已知即受压后圆柱体体积减少了 分别表示 x,y,z 的绝对误差界,（2）误差估计误差估计利用令z 的绝对误差界约为z 的相对误差界约为机动 目录 上页 下页 返回 结束 则50分别表示 x,y,z 的绝对误差界,（2）误差估计特别注意特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形.乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数机动 目录 上页 下页 返回 结束 51特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形.乘除后的结果相对内容小结内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 52内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导3.微分应用 近似计算 估计误差绝对误差相对误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 533.微分应用 近似计算 估计误差绝对误差相对误差机动 作业作业P110 题15（2）,（4）,（6）题1 6（1）第三节 目录 上页 下页 返回 结束 54作业P110 题15（2）,（4）,（6）第三节 目录7.1.5一元复合函数求导法则本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分微分法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合函数的微分法 557.1.5一元复合函数求导法则本节内容:一、多元复合函数求导一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理.若函数处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数证证:设 t 取增量t,则相应中间变量且有链式法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u,v,56一、多元复合函数求导的链式法则定理.若函数处偏导连续,(全导数公式全导数公式)(t0 时,根式前加“”号)机动 目录 上页 下页 返回 结束 57(全导数公式)(t0 时,根式前加“”号)机动 若定理中 说明说明:例如例如:易知:但复合函数偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立.58若定理中 说明:例如:易知:但复合函数偏导例例1.设 求全导数解解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.59例1.设 求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分推广推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 60推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函又如,当它们都具有可微条件时,有注意注意:这里表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导口诀口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束 61又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定 y 对例例2.设设解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 62例2.设解:机动 目录 上页 下页 返回 例例3.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 63例3.解:机动 目录 上页 下页 返回 设函数的全微分为可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达 形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 64设函数的全微分为可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,