第三章-低速平面位流课件

第第3 3章章 低速平面位流低速平面位流3.1 理想不可压缩流体平面位流的基本方程3.2 几种简单的二维位流3.2.1 直匀流3.2.2 点源3.2.3 偶极子3.2.4 点涡3.3 一些简单的流动迭加举例3.3.1 直匀流加点源3.3.2 直匀流加偶极子3.3.3 直匀流加偶极子加点涡3.4 二维对称物体绕流的数值解由于飞行器的外形都比较复杂，要在满足如此复杂的边界条件下求偏微分方程组的解析解是非常困难的.人们发现在无旋条件下问题可以得到大大简化，尤其是可以将速度和压强分开求解，这是因为无旋条件可使关于速度位的方程化为线性方程，从而便于单独求得速度位即求出速度，而压强可利用伯努利方程求解本章的思路是，先针对理想不可压无旋流求得一些典型的速度位基本解，将这些基本解进行叠加得到满足非常简单边界条 件的流动。对复杂外形的绕流，介绍用基本解进行叠加的数值解法大意3.1 3.1 理想不可压平面位流的基本方程理想不可压平面位流的基本方程 在理想不可压条件下连续方程和欧拉方程包括四个方程和四个未知函数（vx,vy,vz,p），理论上是可解的:1.理想不可压缩流体平面位流的基本方程理想不可压缩流体平面位流的基本方程3.1 3.1 理想不可压平面位流的基本方程理想不可压平面位流的基本方程 边界条件：基本方程：初始条件：流动无旋，就有位函数 存在，并且位函数与速度分量之间满足：平面不可压流动的连续方程是：结合两式，得平面不可压位流必须满足的方程：该方程称为拉普拉斯方程，是个只与速度有关的线性方程，给定适当边界条件后方程是容易求解的。2.位函数位函数 及流函数及流函数 所满足的方程、叠加原理与边界条件所满足的方程、叠加原理与边界条件3.1 3.1 理想不可压平面位流的基本方程理想不可压平面位流的基本方程 不可压缩平面流场满足连续性方程：即：此条件是某函数(x，y)存在的充要条件函数称为流函数流函数有旋、无旋流动都有流函数有旋、无旋流动都有流函数由函数的全微分：得：流函数的主要性质：（1）流函数的等值线是流线；证明：流线方程（2）两条流线间通过的流量等于两流函数之差；证明：（3）流线族与等势线族正交；斜率：斜率：等流线等流线等势线等势线（4）只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程证明：则：将代入也是调和函数得：在无旋流动中位函数与流函数的关系称为柯西黎曼条件：3.1 3.1 理想不可压平面位流的基本方程理想不可压平面位流的基本方程 例：不可压缩流体，vx=x2y2，vy=2xy，是否满足连续性方程？是否无旋流？有无速度势函数？是否是调和函数？并写出流函数。解：无旋流存在势函数：满足连续性方程是无旋流取（x0，y0）为（0，0）（4）满足拉普拉斯方程，是调和函数（5）流函数取（x0，y0）为（0，0）叠加原理叠加原理拉普拉斯方程可用算子 2 表为 20。它是个线性方程，可以用叠加原理求复合的解。所谓叠加原理是说如果有1,2,3,4 分别满足拉普拉斯方程 2 i=0，则这些函数的线性组合也必满足拉普拉斯方程：此外，由于速度分量与位函数之间的关系是线性的因此也满足叠加原理：而压强与速度间关系为非线性故不满足叠加原理3.1 3.1 理想不可压平面位流的基本方程理想不可压平面位流的基本方程 边界条件边界条件 边界条件是在流场边界上规定的条件，边界通常分为内边界和外边界。对飞行器或物体而言，内边界即飞行器或物体表面，外边界为无穷远。按照在边界上所给条件是针对位函数自身还是位函数的法向导数，边界条件分为三种类型：数学上满足拉氏方程的函数称为调和函数。故要找一代表具体的定常不可压理想位流运动，就是要找一个能符合具体流动边界条件的调和函数，求出位函数或流函数之后，即可求出速度分布，然后用伯努利方程求解压强分布。3.1 3.1 理想不可压平面位流的基本方程理想不可压平面位流的基本方程 （1）第一边值问题（狄利希特问题）：给出边界上位函数自身值（2）第二边值问题（诺曼问题）：给出边界上位函数的法向导数值（3）第三边值问题（庞卡莱问题）：给出部分边界上位函数自身值，部分边界上位函数的法向导数值空气动力学问题大多数属于第二边值问题3.1 3.1 理想不可压平面位流的基本方程理想不可压平面位流的基本方程 将坐标系与飞行器或物体固连，则外边界在远离物体的将坐标系与飞行器或物体固连，则外边界在远离物体的外边界处，速度为外边界处，速度为 V，内，内边界是物体表面，不允界是物体表面，不允许流体流体穿穿过或表面法向速度或表面法向速度为零零:外外边界界内内边界界 n为物面法向物面法向可以可以证明，拉普拉斯方程的解若在明，拉普拉斯方程的解若在给定定边界上能界上能满足上足上述条件，述条件，则解是唯一的解是唯一的求不可求不可压理想无旋流理想无旋流绕物体的流物体的流动问题就就转化化为求解拉求解拉普拉斯方程的普拉斯方程的满足足给定定边界条件的特解界条件的特解这一数学一数学问题3.1 3.1 理想不可压平面位流的基本方程理想不可压平面位流的基本方程 流线不仅可以显示流速的分布情况，也可以反映速度的大小。如流线密的地方流速大，流线稀疏的地方流速小。3.1 3.1 理想不可压平面位流的基本方程理想不可压平面位流的基本方程 3.2 几种简单的二维位流 3.2.1 直匀流 3.2.2点源 3.2.3 点涡 3.2.4 偶极子直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为流动是无旋的，由速度位全微分积分可得位函数：又可求出流函数：流线与等位线是正交的如图 3.2.1 3.2.1 直匀流直匀流常用的是这样的直匀流，它与 x 轴平行，从左面远方流来，流速为 V。此时此时V3.2.1 3.2.1 直匀流直匀流点源是从流场上某一点有一定的流量向四面八方流开去的一种流动。源可以有正负。负源（又名汇）是一种与正源流向相反的向心流动。如果把源放在坐标原点上，那末这流动便只有 Vr，而没有V。位于原点的点源3.2.2 3.2.2 点源点源设半径为设半径为 r 处的流速是处的流速是 Vr，那末这个源的体积流量是，那末这个源的体积流量是流量是常数，故流速流量是常数，故流速 Vr 与半径成反比与半径成反比 x、y向的速度可分别写为向的速度可分别写为代入速度与位函数关系代入速度与位函数关系 可积分求位函数。可积分求位函数。3.2.2 3.2.2 点源点源比较简便的是利用极座标下位函数与速度的关系：比较简便的是利用极座标下位函数与速度的关系：由由 位函数由上式积分得：位函数由上式积分得：（注：等位线（注：等位线C 是一系列同心圆）是一系列同心圆）3.2.2 3.2.2 点源点源流函数由流函数由（注：流线（注：流线c1 即即c2 是一系列射线）是一系列射线）xy积分得：积分得：3.2.2 3.2.2 点源点源如果源的位置不在坐标原点，而在 A(,)处，则相应的速度分量为：相应的速度分量为：除奇点处速度无定义之外，流除奇点处速度无定义之外，流场其他区域都是是无旋的。场其他区域都是是无旋的。3.2.2 3.2.2 点源点源.p等强度的源和汇，放在x轴线上，源放在(-h,0)处，汇放在(0,0)处。从源出来的流量都进入汇，流动情况如图:应用叠加原理，位函数和流函数如下应用叠加原理，位函数和流函数如下3.2.3 3.2.3 偶极子偶极子现在我们考虑一种极限情况，当 h0 但同时 Q增大，使 保持不变的极限情况。这时位函数变成显然等位线=C是一系列圆心在x轴上的圆，且都过原点可以证明除奇点处速度无定义之外，可以证明除奇点处速度无定义之外，流场其他区域都是是无旋的。流场其他区域都是是无旋的。3.2.3 3.2.3 偶极子偶极子求流函数：上述位函数可写为:利用极座标下流函数与位函数的关系：利用极座标下流函数与位函数的关系：对对积分得：积分得：即：即：显然流线显然流线=C是一些圆心在是一些圆心在 y 轴上的圆，且均过原点。轴上的圆，且均过原点。3.2.3 3.2.3 偶极子偶极子两个分速的表达式是合速要注意偶极子有轴线方向，上述布于 x 轴上的正负源形成的偶极子其轴线在x方向，对于指向正 x方向的偶极子，上述位函数、流函数和速度分布都要改变符号。3.2.3 3.2.3 偶极子偶极子如果偶极子轴线和 x 轴成角，正向指向第三象限如图所示，在 xy 坐标系中的位函数及流函数可写为：yxxy根据二坐标系的旋转变换关系：根据二坐标系的旋转变换关系：3.2.3 3.2.3 偶极子偶极子代入上述位函数和流函数表达，并注意到坐标旋转时向径不代入上述位函数和流函数表达，并注意到坐标旋转时向径不变：变：x2+y2=x2+y2 ，得到在，得到在 (x,y)坐标系中的偶极子：坐标系中的偶极子：如果偶极子位于（，），轴线和 x轴成角，正向指向第三象限，则 yxxy3.2.3 3.2.3 偶极子偶极子 点涡可以看成实际旋涡的涡核直径趋于零时的一种极限情况，除涡所在一点外，整个平面流场是无旋的，流体被点涡诱导绕点涡作圆周运动，流线是一些同心圆，流速只有周向速度V，而没有径向速度Vr。绕点涡的环量是个确定的常数，反时针方向为正。从而周向速度与离开中心点的距离 r 成反比：rV3.2.4 3.2.4 点涡点涡这与无限长涡线产生的诱导速度一致。这与无限长涡线产生的诱导速度一致。由几何条件可立刻写出由几何条件可立刻写出 vx、vy分量：分量：xyuvV位函数可由上式代入位函数可由上式代入 等后积分求出，但方便等后积分求出，但方便的还是利用极座标关系：的还是利用极座标关系：积分后得：积分后得：显然等位线显然等位线=C=C是是一系列射线一系列射线3.2.4 点点涡流函数流函数显然流线显然流线 =C是一系列同心圆，可见点涡与点源的位函数是一系列同心圆，可见点涡与点源的位函数与流函数只是对调了一下（上述负号只是代表涡转向）。与流函数只是对调了一下（上述负号只是代表涡转向）。如果点涡的位置不在原点，而在如果点涡的位置不在原点，而在(，)，则点涡的位函数和，则点涡的位函数和流函数的式子分别是：流函数的式子分别是：3.2.4 点点涡点涡是实际旋涡的一种数学近似。点涡的速度在半径点涡是实际旋涡的一种数学近似。点涡的速度在半径 r0 时将使将使 V 势必使必使压强强 p-，这是不是不现实的，的，这时粘性必然要起作用，因此粘性必然要起作用，因此实际的旋的旋涡存在一个存在一个涡核，核内流体核，核内流体 V与半径成正比与半径成正比为有旋流，核外有旋流，核外为无无旋流。旋流。实际涡核尺寸与粘性和核尺寸与粘性和涡强强弱有关，一般不大，故数学上抽象弱有关，一般不大，故数学上抽象为一个点，形成点一个点，形成点涡模型。模型。3.2.4 点点涡直匀流：直匀流：xy基本解位函数、流函数小结：基本解位函数、流函数小结：ab3.3 3.3 绕圆柱的无环量和有环量运动绕圆柱的无环量和有环量运动复习上节课的内容：不可压位流流动叠加举例直匀流：点源：点涡：直匀流中的点源：偶极子：在一个平行于在一个平行于x轴由左向右流去的直匀流里，加一个强度为轴由左向右流去的直匀流里，加一个强度为Q的源会产的源会产生如图的流动生如图的流动3.3.1 3.3.1 直匀流加点源直匀流加点源把坐标原点放在源所在的地方，迭加得到的位函数是：把坐标原点放在源所在的地方，迭加得到的位函数是：在在 x 轴上有一个合速度为零的点称为驻点轴上有一个合速度为零的点称为驻点A，令令vxA=vyA=0即得驻点即得驻点 xA 坐标为：坐标为：两个分速是两个分速是此处速度为零是因为点源速度恰好与直匀流速度相互抵消。此处速度为零是因为点源速度恰好与直匀流速度相互抵消。该速度分布的特点之一是该速度分布的特点之一是 x时，vxV，vy0。我们可以把外部流动看作是在直匀流中放了一个我们可以把外部流动看作是在直匀流中放了一个BAB那样形状的物体所造那样形状的物体所造成的流动，反过来也可认为绕该物体的流动可以用直匀流加点源来构造。成的流动，反过来也可认为绕该物体的流动可以用直匀流加点源来构造。该半无限体在该半无限体在+x无限远处，其宽度（无限远处，其宽度（y向尺寸）趋向一个渐近值向尺寸）趋向一个渐近值D。过驻点过驻点A的流线的流线BAB是一条特殊的流线，是一条特殊的流线，把流场划分成为两部分。外面的是直匀流把流场划分成为两部分。外面的是直匀流绕此围墙的流动，里面的是源流在此围墙绕此围墙的流动，里面的是源流在此围墙限制之内的流动。限制之内的流动。流线流线BAB的形状可以根据流函数的形状可以根据流函数=c 画出画出来，也可以从流量关系推算出来。由流函来，也可以从流量关系推算出来。由流函数表达：数表达：由驻点坐标（由驻点坐标（y=0,=0,=)定常数定常数c，得，得 cQ/2/2，从而得流线，从而得流线BAB的方程的方程为：为：用直角坐标表达，注意到反正切的值域为用直角坐标表达，注意到反正切的值域为-/2,/2,/2/2：该流线与该流线与 y y 轴交于轴交于 处。当处。当x x+时即流线在无穷远处趋于宽度为即流线在无穷远处趋于宽度为 的直线。的直线。另一方面，流线另一方面，流线BAB的方程：的方程：可写为：可写为：左边是直匀流左边是直匀流 V流过高流过高 y=rsin的宽度的流量，右边则是从中心角为的宽度的流量，右边则是从中心角为 （-）中流出的流量，二者相抵消，从而得流线方程的极座标表达）中流出的流量，二者相抵消，从而得流线方程的极座标表达为：为：通常将压强表为无量纲的压强系数，其定义是当地静压减去来流静压再通常将压强表为无量纲的压强系数，其定义是当地静压减去来流静压再除以来流的动压头除以来流的动压头 流场上的压强可以用伯努利公式表达出来：流场上的压强可以用伯努利公式表达出来：得到表面压强系数的表达为：得到表面压强系数的表达为：将速度分布和表面流线几何关系代入上式得到表面压强系数的结果为：将速度分布和表面流线几何关系代入上式得到表面压强系数的结果为：Cp沿沿x轴分布的曲线特点如图：轴分布的曲线特点如图：3.3.2 3.3.2 绕圆柱的绕圆柱的无环量无环量运动（直匀流偶极子）运动（直匀流偶极子）上节课讲到了直匀流中的点源的流动情况。由于点源产生的流动的上节课讲到了直匀流中的点源的流动情况。由于点源产生的流动的“撑开撑开撑开撑开”作用，使整个流场中的流谱成为如图所示的开口形状：作用，使整个流场中的流谱成为如图所示的开口形状：均均匀匀流流和和源源叠叠加加可可模模拟拟绕绕弹弹形形物物体体的的流流动动。调调整整源源强强和和速速度度，改改变变流线流线(物面）的形状。物面）的形状。xy如果在该流场中再放入一个点汇，由于点汇的如果在该流场中再放入一个点汇，由于点汇的“汇聚汇聚汇聚汇聚”作用，作用，使整个流场的流谱变成一个闭口形状使整个流场的流谱变成一个闭口形状将流线替换成物面，该解模拟流体绕卵形体的外部流动。将流线替换成物面，该解模拟流体绕卵形体的外部流动。点源推开流线点源推开流线点源推开流线点源推开流线，点汇收回流线点汇收回流线点汇收回流线点汇收回流线。yxo3.3.2 3.3.2 绕圆柱的绕圆柱的无环量无环量运动（直匀流偶极子）运动（直匀流偶极子）3.3.2 3.3.2 绕圆柱的绕圆柱的无环量无环量运动（直匀流偶极子）运动（直匀流偶极子）如果点源和点汇无限靠近，就形成了直匀流中的偶极子的流动情况。如果点源和点汇无限靠近，就形成了直匀流中的偶极子的流动情况。（1 1）位函数和流函数）位函数和流函数根据叠加原理，得到合成流动的流函数和位函数为根据叠加原理，得到合成流动的流函数和位函数为变成极坐标的形式，变成极坐标的形式，则以上两式变为则以上两式变为（3 33333）（3 33434）yxo3.3.2 3.3.2 绕圆柱的绕圆柱的无环量无环量运动（直匀流偶极子）运动（直匀流偶极子）（2 2）零流线）零流线令令 得得或或由此可见，零流线（由此可见，零流线（）除了除了x x轴外，还有一个半径轴外，还有一个半径为为a a，圆心在原点处的圆。由式（，圆心在原点处的圆。由式（3 33434）表示的流动是无旋的。因）表示的流动是无旋的。因此可以把它看作无穷远处沿正此可以把它看作无穷远处沿正x x轴方向的直匀流绕圆柱体的无旋流轴方向的直匀流绕圆柱体的无旋流动。动。3.3.2 3.3.2 绕圆柱的绕圆柱的无环量无环量运动（直匀流偶极子）运动（直匀流偶极子）（3 3）速度分布）速度分布通过微分，可以求得整个流场中的速度分量为通过微分，可以求得整个流场中的速度分量为柱面上（柱面上（r=ar=a）：3.3.2 3.3.2 绕圆柱的绕圆柱的无环量无环量运动（直匀流偶极子）运动（直匀流偶极子）(4)(4)压力分布压力分布根据伯努利方程根据伯努利方程 可以得到全流场的压力分布可以得到全流场的压力分布柱面上（柱面上（r=a）：）：Pressure coefficient由图可见，在圆柱表面有两个驻点，分别对应由图可见，在圆柱表面有两个驻点，分别对应等于等于0 0和和处。在这两个驻点处，压强系数等处。在这两个驻点处，压强系数等于于1 1。沿圆柱的上下表面流速逐渐增大，在。沿圆柱的上下表面流速逐渐增大，在等于等于/2/2和和3/23/2处，速度达到最大值，为来处，速度达到最大值，为来流速度的流速度的2 2倍，压强系数达到最小值，为倍，压强系数达到最小值，为3.03.0。阻力为零阻力为零阻力为零阻力为零(Archimedes Paradox)(Archimedes Paradox)圆柱体在理想流体中作等速直线圆柱体在理想流体中作等速直线运动时，受到流体作用的阻力等于零运动时，受到流体作用的阻力等于零.原因：原因：原因：原因：没有考虑流体的粘性。没有考虑流体的粘性。绕圆柱的无环量运动，压强系数的分布不仅上绕圆柱的无环量运动，压强系数的分布不仅上下对称，而且前后对称。虽然压强系数的分布下对称，而且前后对称。虽然压强系数的分布是变化的，但压力的合力在是变化的，但压力的合力在x x方向和方向和y y方向都为方向都为0 0，总的作用在圆柱表面上的合力也为，总的作用在圆柱表面上的合力也为0 0。不考虑流体的粘性作用，不考虑流体的粘性作用，不仅象圆柱这样前后对称不仅象圆柱这样前后对称的物体没有阻力，而且对的物体没有阻力，而且对于任何一个封闭物体的饶于任何一个封闭物体的饶流，阻力都等于流，阻力都等于0 0。这个。这个结果是结果是1818世纪法国著名的数学家达朗贝尔提出的，称为世纪法国著名的数学家达朗贝尔提出的，称为“达朗贝尔达朗贝尔”疑疑题题。实际流体的圆柱绕流实际流体的圆柱绕流实际流体的圆柱绕流实际流体的圆柱绕流 :（）Stokes区区（0Re4）（）对称尾迹区对称尾迹区（4Re40）。）。（）卡门涡街区卡门涡街区（40Re2.5105）。）。()亚临界、超临界区亚临界、超临界区。在。在Re2.5105，边界，边界层是层流的，分离发生在层是层流的，分离发生在82 处。当处。当2.5105Re3.5105时扰动使边界层流动从层流转变为时扰动使边界层流动从层流转变为湍流，分离点后移至湍流，分离点后移至100 以后。以后。()高超临界区高超临界区（Re3.5105）。湍流尾迹中）。湍流尾迹中的旋涡明显的再现或重组。的旋涡明显的再现或重组。(c)Re25(a)Re1(b)Re15(d)Re40(f)Re400 真实流体的圆柱绕流真实流体的圆柱绕流真实流体的圆柱绕流真实流体的圆柱绕流(e)Re60Re603.3.3 3.3.3 绕圆柱的绕圆柱的有环量有环量运动（直匀流偶极子点涡）运动（直匀流偶极子点涡）X X轴方向的直匀流、位于原点的偶极子和位于原点的点涡三者叠加轴方向的直匀流、位于原点的偶极子和位于原点的点涡三者叠加后的组合流动的流谱如图所示：后的组合流动的流谱如图所示：(1)(1)速度位速度位：Goyxra3.3.3 3.3.3 绕圆柱的绕圆柱的有环量有环量运动（直匀流偶极子点涡）运动（直匀流偶极子点涡）(2)(2)速度分布速度分布：柱面上（柱面上（r=ar=a）：）：3.3.3 3.3.3 绕圆柱的绕圆柱的有环量有环量运动（直匀流偶极子点涡）运动（直匀流偶极子点涡）(3)(3)驻点位置：在驻点处，合速度等于驻点位置：在驻点处，合速度等于驻点位置：在驻点处，合速度等于驻点位置：在驻点处，合速度等于0 0由由由由得得得得转换成直角坐标系，得有环量时圆柱表面驻点位置为转换成直角坐标系，得有环量时圆柱表面驻点位置为转换成直角坐标系，得有环量时圆柱表面驻点位置为转换成直角坐标系，得有环量时圆柱表面驻点位置为3.3.3 3.3.3 绕圆柱的绕圆柱的有环量有环量运动（直匀流偶极子点涡）运动（直匀流偶极子点涡）环量对流场的影响：环量对流场的影响：若若 ，柱柱面面上上有有两两个个驻驻点点:和和 ；若若 ，柱柱面面上上只只有有一一个个驻驻点点:；若若 ，柱面上无驻点，柱面上无驻点:。当点涡强度变大时，驻点将向下移动；当点涡强度增大到=4va 时，驻点在（0，a）处重合。点涡进一步增大，驻点将离开圆柱表面，位于圆柱体下面。下图给出几种不同点涡强度下驻点位置图画：显然，有环量的绕圆流动其左右仍是对称的，但上下已不对称了，因此在垂直于来流的 y 方向合力就不会为零。垂直于来流方向的空气动力分力称为升力，可以通过沿圆柱表面压强积分（利用伯努利方程将压强表为速度分布后积分求得），或者利用动量方程求出合力。3.3.3 3.3.3 绕圆柱的绕圆柱的有环量有环量运动（直匀流偶极子点涡）运动（直匀流偶极子点涡）下面从动量定理出发计算绕圆柱的有环量流动的升力。以原点为中心，画一个半径为 r1 很大的控制面 S，整个控制面还包括圆的表面 S1 以及连接 S 和 S1 的两条割线(第二类控制体)。注意这两条割线上的压力和动量进出都对消了。S1 上的压力积分是物体所受的合力。受力情况左右对称，不会有X 方向合力。仅计算 Y 方向合力 L 即可。设彻体力略去不计、流动定常，根据动量方程圆柱所受到的升力 L 可表为：3.3.43.3.4库塔库塔-儒可夫斯基升力定理儒可夫斯基升力定理第一个积分中的 p 按伯努利公式用速度来表达，结果得：在在 r1 大圆上，大圆上，第二个积分得：第二个积分得：结果与 r1大小无关，总之合力 L 等于来流的密度乘速度 V 再乘以环量。方向等于把直匀流的指向逆着环流转/2，称为升力，该结果称为库塔-儒可夫斯基升力定理。所以所以:考虑到速度、环量和升力之间的向量关系，升力定理可写为：只要是封闭物体，代表其作用的正负源强度总和必须等于零，在远离物体的地方其作用和一个偶极子没有什么区别,说明物形对升力没有直接的关系，关键在于必须有绕物体的环量存在。有了环量又有一个直匀流，便有了升力。环量之所以能产生一个 Y 向的合力，也可以从圆柱体上的压力分布直接看到。其中有环量和无环量绕流情况作了对比。无环量时，上半圆（由至0）上的压力分布和下半圆（由至2）上的压力分布对称，结果是合力为零。有环量时，上半圆上的负压远远超过下半圆上的负压，所以有一个向上的合力，即升力。这个力的来源主要靠上半圆上的吸力。3.3.3 3.3.3 绕圆柱的绕圆柱的有环量有环量运动（直匀流偶极子点涡）运动（直匀流偶极子点涡）(4)圆柱受力（圆柱受力（Magnus effect）：）：对于绕圆柱的有环量流动，流谱的左右仍对称，但上下确不对称。计对于绕圆柱的有环量流动，流谱的左右仍对称，但上下确不对称。计算算y方向的合力时，结果就不为方向的合力时，结果就不为0。该合力垂直于来流，称为。该合力垂直于来流，称为升力升力。升。升力的大小为：力的大小为：库塔库塔(W.Kutta,1902)和儒可夫斯基和儒可夫斯基(N.Joukowski,1906)将有环量将有环量圆柱绕流升力公式推广到任意形状物体的绕流，指出：对任何形圆柱绕流升力公式推广到任意形状物体的绕流，指出：对任何形状物体的绕流中，只要存在环量状物体的绕流中，只要存在环量，都会产生升力，方向为来流，都会产生升力，方向为来流方向单位长度上的升力大小为方向单位长度上的升力大小为称为库塔儒可夫斯基升力定理。称为库塔儒可夫斯基升力定理。称为库塔儒可夫斯基升力定理。称为库塔儒可夫斯基升力定理。圆柱：圆柱：圆柱：圆柱：圆柱上下表面流动不对称、环量（旋转）、粘性。圆柱上下表面流动不对称、环量（旋转）、粘性。机翼：机翼：机翼：机翼：机翼周围流场不对称、环量（形状、攻角）、粘性。机翼周围流场不对称、环量（形状、攻角）、粘性。升力产生的原因（Magnus effect）：本章基本要求本章基本要求掌握平面不可压位流中位函数与流函数的性质与关系。掌握平面不可压位流中位函数与流函数的性质与关系。掌握平面不可压位流的基本方程即拉普拉斯方程的特点、掌握平面不可压位流的基本方程即拉普拉斯方程的特点、叠加原理和边界条件；叠加原理和边界条件；掌握四种基本而重要的位流流动即：直匀流，点源（点掌握四种基本而重要的位流流动即：直匀流，点源（点汇）、偶极子和点涡的表达；汇）、偶极子和点涡的表达；重点掌握直匀流与偶极子和点涡的叠加；重点掌握直匀流与偶极子和点涡的叠加；掌握儒可夫斯基升力定律；掌握儒可夫斯基升力定律；本章小结本章小结 直匀流直匀流直匀流直匀流顺流顺流顺流顺流 圆柱（球）无环量与有环量流动圆柱（球）无环量与有环量流动圆柱（球）无环量与有环量流动圆柱（球）无环量与有环量流动 奇点流奇点流奇点流奇点流 点源点源点源点源推开流体推开流体推开流体推开流体 点汇点汇点汇点汇收缩流面收缩流面收缩流面收缩流面 偶极偶极偶极偶极 兼厚度效应与升力效应兼厚度效应与升力效应兼厚度效应与升力效应兼厚度效应与升力效应 多个奇点的叠加多个奇点的叠加多个奇点的叠加多个奇点的叠加复杂物面绕流复杂物面绕流复杂物面绕流复杂物面绕流 点涡点涡点涡点涡 升力升力升力升力 升力的产生升力的产生升力的产生升力的产生思考题1.1.计算在直匀流中，半径为计算在直匀流中，半径为a的圆柱体表面上的压强系数。的圆柱体表面上的压强系数。2.2.根据下面的示意图说明根据下面的示意图说明香蕉球是怎样踢出来的？香蕉球是怎样踢出来的？LiftV0G香蕉球示意图香蕉球示意图