第四章线性方程组与向量组的线性相关性课件

第四章第四章 线性方程组与向量组的线性相关性线性方程组与向量组的线性相关性 本章教学内容本章教学内容1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性 本节教学内容本节教学内容1.1.线性方程组的概念线性方程组的概念2.Cramer(克莱姆克莱姆)法则法则3.3.用消元法解线性方程组用消元法解线性方程组1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性1.1.线性方程组的概念线性方程组的概念n元线性方程组元线性方程组的的一般形式一般形式为为记：记：称称A为为系数矩阵系数矩阵，x为为未知列未知列，b为为常数列常数列，则线性方程组可写成则线性方程组可写成矩阵形式矩阵形式 Ax=b 1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性设设n元线性方程组元线性方程组 Ax=b，若若A按列分块为按列分块为A=(1,2,n)，则方程组可写成，则方程组可写成向量形式向量形式 1x1+2x2+n xn=b若若b=0,即即 Ax=0 称为称为齐次齐次线性方程组线性方程组若若b0,即即 Ax=b 称为称为非齐次非齐次线性方程组线性方程组若若n维列向量维列向量=(1,2,n)T满足满足A=b，则，则称称x1=1,x2=2,xn=n是是Ax=b的的一个解一个解，并称并称 是是Ax=b的的一个解向量一个解向量，或说，或说x=是是Ax=b的的解解。1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性设设n元线性方程组元线性方程组 Ax=b，称称Ax=0 为为与它对应与它对应的齐的齐次线性方程组，次线性方程组，若若n维列向量维列向量 (0)满足满足A=0，则称，则称x=是是齐次线齐次线性方程组性方程组Ax=0的的一个一个非零非零解解，显然显然x=0是是Ax=0的一个解，的一个解，称它为称它为Ax=0的的零解零解，或或当然解当然解，或，或平凡解平凡解。若若线性方程组线性方程组 Ax=b有解，则称它有解，则称它是是相容的相容的，否则否则称它称它是是不相容的不相容的。性质性质齐次线性方程组是相容的。齐次线性方程组是相容的。1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性2.2.Cramer法则法则设设n个方程的个方程的n元线性方程组元线性方程组 Ax=b，若若A0，则，则线性方程组线性方程组Ax=b有惟一解有惟一解其中其中Dj是以是以b代替代替A的第的第 j列所得到的列所得到的n阶行列式。阶行列式。1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性证证 Ax=b，#1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性例例1.1 解线性方程组解线性方程组解解1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性Cramer法则对于线性方程组的求解有重要的理法则对于线性方程组的求解有重要的理论意义。但是，它只能求解方程个数与未知量个论意义。但是，它只能求解方程个数与未知量个数相同、且其系数行列式的值不为零的线性方程数相同、且其系数行列式的值不为零的线性方程组，随着未知量个数的增加，计算变得十分困难组，随着未知量个数的增加，计算变得十分困难.下面，我们来讨论一般的线性方程组的解法。下面，我们来讨论一般的线性方程组的解法。1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性3.3.用消元法解线性方程组用消元法解线性方程组定义定义1.1 1.1 若线性方程组若线性方程组A1x=b1的解都是的解都是线性方线性方程组程组A2x=b2的解；反之，的解；反之，线性方程组线性方程组A2x=b2的解的解都是都是线性方程组线性方程组A1x=b1的解，则称的解，则称线性方程组线性方程组A1x=b1与与线性方程组线性方程组A2x=b2同解同解。在中学，我们已经知道在中学，我们已经知道(1)(1)方程两边同乘一个非零常数，方程的解不变；方程两边同乘一个非零常数，方程的解不变；(2)(2)方程两边同乘一个常数方程两边同乘一个常数,然后加到另一个方程然后加到另一个方程上，方程组的解也不变上，方程组的解也不变(即即加减消元法加减消元法)。因此，就有因此，就有1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性定理定理1 1 若若(A1,b1)经初等行变换化为经初等行变换化为(A2,b2)，则线性方程组则线性方程组A1x=b1与与线性方程组线性方程组A2x=b2同解同解。事实上事实上，倍法变换相当于第，倍法变换相当于第i个方程两边同乘一个方程两边同乘一非零常数；消法变换相当于加减消元法；换法变非零常数；消法变换相当于加减消元法；换法变换相当于交换两个方程的次序，故换相当于交换两个方程的次序，故线性方程组的线性方程组的解不变。解不变。定义定义(A,b)称线性方程组称线性方程组Ax=b的增广矩阵。的增广矩阵。1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性用消元法解线性方程组的用消元法解线性方程组的思想方法思想方法是：是：解线性方程组解线性方程组Ax=b(1)用初等用初等行行变换将增广矩阵变换将增广矩阵(A,b)化为化为最简行阶梯最简行阶梯形形矩阵矩阵(C,d)；(2)解方程组解方程组Cx=d，其解即是，其解即是方程组方程组Ax=b的解的解.1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性例例1.2 用消元法解线性方程组用消元法解线性方程组解解1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性于是方程组的解为于是方程组的解为R(A)=R(A,b)=3(未知量个数未知量个数)方程组有惟一解。方程组有惟一解。1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性例例1 用消元法解线性方程组用消元法解线性方程组解解1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性原方程组可化为原方程组可化为此称方程组的此称方程组的一般解一般解(或或通解通解)R(A)=R(A,b)=24(未知量个数未知量个数)方程组有无穷多组解方程组有无穷多组解,自由未知量个数自由未知量个数=4-2=2.x3与与x4可任意取值，可任意取值，称为称为自由未知量自由未知量1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性例例2 用消元法解线性方程组用消元法解线性方程组解解886611 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性原方程组可化为原方程组可化为所以方程组无解所以方程组无解.1矛盾方程组矛盾方程组R(A)R(A,b)方程组无解方程组无解,1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性由上述例题可知由上述例题可知定理定理2 设设n元线性方程组元线性方程组 Ax=b，R(A)=R(A,b)=n 方程组方程组Ax=b有惟一解有惟一解;R(A)=R(A,b)n 方程组方程组Ax=b有有无穷多组解无穷多组解,自由未知量个数自由未知量个数=n-R(A);(方程组中可任意取值的未知量称方程组中可任意取值的未知量称自由未知量自由未知量)R(A)R(A,b)方程组方程组Ax=b无解无解.注注：定理：定理1.1、定理、定理1.2及推论及推论1.1自行阅读自行阅读1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性由由定理定理2 可知可知定理定理3 设设n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax=0，R(A)=n 方程组方程组Ax=0有惟一解，有惟一解，即即方程组方程组Ax=0只只有零解有零解 A为方阵时，为方阵时，A 00 R(A)n 方程组方程组Ax=0有有无穷多组解，无穷多组解，即即方程组方程组Ax=0有非零解有非零解 A为方阵时，为方阵时，A=0=0注注：定理：定理1.3及推论及推论1.2自行阅读。自行阅读。1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性例例1.3 判断下列线性方程组是否有解判断下列线性方程组是否有解解解1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性例例1.4 问问 取何值，取何值，下列方程组有非零解下列方程组有非零解解解当当=1=1或或=-2=-2时，时，A=0,=0,即即方程组有非零解。方程组有非零解。1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性本节学习要求本节学习要求1.1.理解理解线性方程组有关的概念；线性方程组有关的概念；2.2.掌握消元法、熟悉掌握消元法、熟悉克莱姆法则及克莱姆法则及线性方程组解线性方程组解有关的定理。有关的定理。作业作业：习题：习题4.1(A)第第2,32,3题题2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 本节教学内容本节教学内容1.1.线性组合、线性表示和等价关系线性组合、线性表示和等价关系2.2.向量组的线性相关性向量组的线性相关性3.3.线性相关性与线性表示法线性相关性与线性表示法4.4.维数、向量个数与线性相关性维数、向量个数与线性相关性2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性1.1.线性组合、线性表示和等价关系线性组合、线性表示和等价关系定义定义1 若干同维数的列向量若干同维数的列向量(或同维数的行向量或同维数的行向量)：1,2,s叫做一个叫做一个向量组向量组.定义定义2 若矩阵若矩阵A按列分块为按列分块为A=(1,2,n)，则则 1,2,n叫做叫做矩阵矩阵A的的列向量组列向量组.若矩阵若矩阵A按行分块为按行分块为则则 1,2,m叫做叫做矩阵矩阵A的的行向量组行向量组.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例 矩阵矩阵则则 1=(1,1,1)，2=(0,1,2)，3=(0,0,0)，是是A的行向量组的行向量组;是是A的列向量组的列向量组.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义定义2.1 设设 1,2,s为为n维维向量组，向量组，k1,k2,ks为一组数，为一组数，则则 k1 1+k2 2+ks s叫做叫做 1,2,s的一个的一个线性组合线性组合，k1,k2,ks 称称为这个线性组合的系数。为这个线性组合的系数。若若 =k1 1+k2 2+ks s则称则称 是是 1,2,s的的线性组合线性组合，也称也称 可由可由 1,2,s线性表示线性表示(或或线性表出线性表出).注注：可由可由 1,2,s线性表示线性表示 线性方程线性方程 x1 1+x2 2+xs s=有解有解2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例 n维基本列向量维基本列向量任意任意n维列向量维列向量 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义定义2.2 若若向量组向量组 1,2,s中的每一个向量都中的每一个向量都可由向量组可由向量组 1,2,t 线性表示，则线性表示，则称向量组称向量组 1,2,s可由向量组可由向量组 1,2,t 线性表示线性表示；若两个；若两个向量组可相互线性表示，向量组可相互线性表示，则称这则称这两个向量组两个向量组等价等价。性质性质1若若向量组向量组 1,2,s可由向量组可由向量组 1,2,t 线性表示，向量组线性表示，向量组 1,2,t 可由向量组可由向量组 1,2,p线性表示，则向量组线性表示，则向量组 1,2,s可由向量组可由向量组 1,2,p线性表示。（线性表示。（传递性传递性）2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性性质性质2向量组向量组 1,2,s与向量组与向量组 1,2,s等价；等价；若向量组若向量组 1,2,s与向量组与向量组 1,2,t 等价，等价，则向量组则向量组 1,2,t 与向量组与向量组 1,2,s等价；等价；若向量组若向量组 1,2,s与向量组与向量组 1,2,t 等价，等价，向量组向量组 1,2,t 与向量组与向量组 1,2,p等价，等价，则则向量组向量组 1,2,s与向量组与向量组 1,2,p等价。等价。(证略证略)2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性2.2.向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义定义2.3 设设向量组向量组 1,2,s，若存在，若存在不全为零不全为零的数的数 1,2,s，使得，使得 1 1+2 2+s s=0,则称向量组则称向量组 1,2,s线性相关线性相关；否则，称向量组；否则，称向量组 1,2,s线性无关线性无关。注注：若对任意不全为零的数：若对任意不全为零的数 1,2,s，都有，都有 1 1+2 2+s s0,则向量组则向量组 1,2,s线性无关。线性无关。2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例2.1 证明三维基本列向量组证明三维基本列向量组证证：因：因对任意不全为零的数对任意不全为零的数 1,2,s，都有，都有 线性无关。线性无关。2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性由定义易得由定义易得基本结论基本结论：单个向量单个向量 线性相关线性相关 向量向量=0；单个向量单个向量 线性无关线性无关 向量向量 0.向量向量,线性相关线性相关 向量向量=k 或或=k ；与与 对应分量成比例对应分量成比例向量向量,线性无关线性无关 向量向量 与与 对应分量不成比例对应分量不成比例.向量组向量组 1,2,s线性相关线性相关 向量组向量组 1,2,s,s+1,m线性相关线性相关.向量组向量组 1,2,s,s+1,m线性无关线性无关 向量组向量组 1,2,s线性无关线性无关.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性定理定理2.1向量组向量组 1,2,s线性相关线性相关 齐次线性方程齐次线性方程 x1 1+x2 2+xs s=0 有非零解有非零解.向量组向量组 1,2,s线性无关线性无关 齐次线性方程齐次线性方程 x1 1+x2 2+xs s=0 只有零解只有零解.(由定义显然成立由定义显然成立)推论推论2.1 n维维列向量组列向量组 1,2,s线性相关线性相关 A=(1,2,s),R(A)n时时,n维维向量组向量组 1,2,s线性相关线性相关.证证：若：若 1,2,s为为n维维列向量组，则列向量组，则 A=(1,2,s),R(A)ns,故故 1,2,s线性相关线性相关.若若 1,2,s为为n维维行向量组，同理可证行向量组，同理可证 1,2,s线性相关线性相关.#2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例2.2 已知已知向量组向量组 1,2,3线性无关，线性无关，1=1+2，2=2+3，3=3+1，试证试证 1,2,3线性无关线性无关.证证：设：设 x1 1+x2 2+x3 3=0 即即 x1(1+2)+x2(2+3)+x3(3+1)=0,得得 (x1+x3)1+(x1+x2)2+(x2+x3)3=0，向量组向量组 1,2,3线性无关，得线性无关，得故故 1,2,3线性无关线性无关.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例 讨论向量组讨论向量组的线性相关性。的线性相关性。解解2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例 讨论向量组讨论向量组的线性相关性。的线性相关性。又解又解2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例 讨论向量组讨论向量组的线性相关性。的线性相关性。解解2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性3.线性相关性与线性表示法线性相关性与线性表示法定理定理2.2 向量组向量组 1,2,s(s2)线性相关线性相关 1,2,s中至少有一个向量可由其余中至少有一个向量可由其余s-1个向量个向量线性表示。线性表示。证证：)设设 1,2,s线性相关线性相关，则存在不全为，则存在不全为零的数零的数 1,2,s，使得，使得 1 1+2 2+s s=0,不妨设不妨设 10，则有，则有即即 1可由可由 2,3,s线性表示。线性表示。2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性定理定理2.3 若向量组若向量组 1,2,s线性无关，向量线性无关，向量 可可由由 1,2,s线性表示，则表示法是惟一的。线性表示，则表示法是惟一的。证证：设：设 =k1 1+k2 2+ks s且且 =1 1+2 2+s s则则 (k1-1)1+(k2-2)2+(ks-s)s=0 由由 1,2,s线性无关，得线性无关，得 k1-1=k2-2=ks-s=0 即即 k1=1,k2=2,ks=s,故表示法是惟一的。故表示法是惟一的。#2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性)设设 1,2,s中至少有一个向量可由其余中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示，不妨设个向量线性表示，不妨设 1可由可由 2,3,s线线性表示，即性表示，即 1=k2 2+k3 3+ks s则则 -1+k2 2+k3 3+ks s=0故向量组故向量组 1,2,s线性相关线性相关.#2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性定理定理2.4 若向量组若向量组 1,2,s线性无关，向量组线性无关，向量组,1,2,s线性相关，则线性相关，则 可由可由 1,2,s惟一线惟一线性表示。性表示。证证：向量组：向量组,1,2,s线性相关，存在不全为线性相关，存在不全为零的数零的数k,k1,k2,ks，使得，使得 k+k1 1+k2 2+ks s=0若若k=0,则则 k1 1+k2 2+ks s=0，由由 1,2,s线性无关，得线性无关，得k1=k2=ks=0，矛盾，矛盾.故故k 0,由定理由定理2.3知表示法是惟一的。知表示法是惟一的。#2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性4.向量个数与线性相关性向量个数与线性相关性定理定理2.5 设设r维向量组维向量组线性相关，那么去掉每个向量的最后一个分量，所线性相关，那么去掉每个向量的最后一个分量，所得到的得到的r-1维向量组维向量组仍是线性相关的。仍是线性相关的。证证：设：设A=(1,2,s),B=(1,2,s)，则则 R(B)R(A)t，则，则 1,2,s线性相关线性相关.证证：设设 i=ki1 1+ki2 2+kit t，i=1,2,s.考察考察 x1 1+x2 2+xs s=0 即即有有令令故故 1,2,s线性相关线性相关.#因因st，它有非零解。，它有非零解。2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性推论推论2.5 若若向量组向量组 1,2,s可由可由 1,2,t 线线性性表示，表示，1,2,s线性无关，则有线性无关，则有 s t.推论推论2.6 若若向量组向量组 1,2,s与与 1,2,t 等价，等价，且都线性无关，则有且都线性无关，则有 s=t.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性本节学习要求本节学习要求1.1.理解向量组的理解向量组的线性组合、线性表示、等价关线性组合、线性表示、等价关系、线性相关与线性无关系、线性相关与线性无关的概念；的概念；2.2.熟悉熟悉向量组线性相关的有关定理，会判断、证向量组线性相关的有关定理，会判断、证明向量组的线性无关明向量组的线性无关(或线性相关或线性相关)。作业作业：习题：习题4.2(A)第第2,4,92,4,9题题3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩 本节教学内容本节教学内容1.1.向量组的秩向量组的秩2.2.矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩1.1.向量组的秩向量组的秩定义定义3.1 若向量组若向量组 1,2,s的部分的部分向量组向量组的个数的个数r称为向量组称为向量组 1,2,s的的秩秩，记作，记作 R(1,2,s).极大线极大线性无关组性无关组，简称简称极大无关组极大无关组；极大无关组所含向量极大无关组所含向量3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩注注 只含零向量的向量组没有极大无关组，规只含零向量的向量组没有极大无关组，规定它的秩为定它的秩为0；定义定义3.1 中的条件中的条件(2)1,2,s的任意的任意r+1个向量线性相关个向量线性相关;1,2,s线性无关线性无关 R(1,2,s)=s;1,2,s线性相关线性相关 R(1,2,s)0)向量组的极大无关组未必惟一向量组的极大无关组未必惟一.3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩定理定理3.1 向量组与它的任一极大无关组等价向量组与它的任一极大无关组等价.证证:推论推论3.1 一向量组的任两个极大无关组等价一向量组的任两个极大无关组等价.推论推论3.2 一向量组的秩是惟一确定的一向量组的秩是惟一确定的.3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩定理定理3.2 若若向量组向量组 1,2,s可由向量组可由向量组 1,2,t 线性表示，则线性表示，则R(1,2,s)R(1,2,t).证证：3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩定理定理3.3 等价的等价的向量组有相同的秩。向量组有相同的秩。证证：设：设 1,2,s)与与 1,2,t 等价，等价，则则 1,2,s可由可由 1,2,t线性表示，线性表示，且且 1,2,t可由可由 1,2,s线性表示，线性表示，所以所以R(1,2,s)R(1,2,t)，且且 R(1,2,t)R(1,2,s)，故故 R(1,2,s)=R(1,2,t).#3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩例例3.1 设设向量组向量组 1,2,s可由向量组可由向量组 1,2,t线性表示，且线性表示，且R(1,2,s)=R(1,2,t)=r，试证：试证：1,2,s与与 1,2,t 等价等价.证证：3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩#3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩2.2.矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩定义定义 矩阵矩阵A的行向量组的秩称为的行向量组的秩称为A的的行秩行秩，矩阵，矩阵A的列向量组的秩称为的列向量组的秩称为A的的列秩列秩。例例3.2 设矩阵设矩阵A的行向量组的行向量组 1=(1,1,1)，2=(0,1,2)，3=(0,0,0)，显然显然 1,2线性无关，线性无关，1,2,3是线性相关，是线性相关，即即 1,2是是 1,2,3是的极大无关组，是的极大无关组，故故称为称为A的行秩为的行秩为2；3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩例例3.2 设矩阵设矩阵A的列向量组的列向量组 1,2线性无关，线性无关，3=2 2-1,即即 1,2是是 1,2,3是的极大无关组，是的极大无关组，故故称为称为A的列秩为的列秩为2。这里这里A的行秩的行秩=A的列秩的列秩=R(A)=2,3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩定理定理3.4 矩阵矩阵A的行秩的行秩=A的列秩的列秩=R(A).证证：设：设R(A)=r，则，则A有有r阶子式阶子式Dr 0，A中中Dr所在所在的的r个列向量线性无关；而个列向量线性无关；而A的任意的任意r+1阶子式阶子式Dr+1=0，则，则A中任意中任意r+1个列向量线性相关，所以个列向量线性相关，所以A的列的列秩秩=r.R(AT)=R(A)=r，则，则AT的列秩的列秩=r，即，即A的行秩的行秩=r.注注：由此定理知，可用初等变换求向量组的秩：由此定理知，可用初等变换求向量组的秩及极大无关组。及极大无关组。由定理由定理3.4及第三章定理及第三章定理3.1可推知可推知3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩 设列设列 向量组向量组 1,2,n,则则(证明自行完成证明自行完成)3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩若若B为行阶梯形矩阵，则为行阶梯形矩阵，则 3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩例例3.3 设矩阵设矩阵求求A的秩和的秩和A的列向量组的列向量组 1,2,3,4,5的极大无的极大无关关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。组线性表示。解解3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩可知可知R(A)=3,1,2,4是是A的列向量组的列向量组的极大无关组，的极大无关组，3=-1-2，5=4 1+3 2-3 4.3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩例例4 设矩阵设矩阵求求A的行秩和的行秩和A的行向量组的行向量组的极大无关组，并把不的极大无关组，并把不属于极大无关组的行向量用极大无关组线性表示属于极大无关组的行向量用极大无关组线性表示.解解 3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩所以所以A的行向量组的行向量组 1,2,3的秩的秩=2，1,2是是A的行向量组的行向量组 1,2,3的极大无关组，的极大无关组，3=1-2-2 2.3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩定理定理3.5 设设A,B均为均为mn矩阵，则矩阵，则 R(A+B)R(A)+R(B)证证 3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩定理定理3.6 设设A为为mn矩阵，矩阵，B为为np矩阵，则矩阵，则 R(AB)minR(A),R(B)证证 3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩#3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩本节学习要求本节学习要求1.1.理解向量组的极大线性无关组的概念理解向量组的极大线性无关组的概念、向量组向量组的秩的的概念的秩的的概念、矩阵的行秩与列秩的概念，熟悉、矩阵的行秩与列秩的概念，熟悉相关的定理。相关的定理。2.2.会求会求向量组向量组的极大线性无关组与向量组的秩，的极大线性无关组与向量组的秩，会用极大线性无关组线性表示会用极大线性无关组线性表示向量组向量组的其它向量，的其它向量，会讨论证明向量组的秩的问题。会讨论证明向量组的秩的问题。作业作业：习题：习题4.3(A)第第2(2),3(1),42(2),3(1),4题。题。选做选做：习题：习题4.3(A)第第5,85,8题。题。习题习题4.3(B)第第1,2,31,2,3题。题。4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构 本节教学内容本节教学内容1.1.齐次齐次线性方程组解的结构线性方程组解的结构2.2.非齐次非齐次线性方程组解的结构线性方程组解的结构4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构1.1.齐次齐次线性方程组解的结构线性方程组解的结构性质性质1证证 4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构性质性质2证证4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构定义定义4.1注注 只有零解的齐次线性方程组无基础解系；只有零解的齐次线性方程组无基础解系；Ax=0的基础解系是的基础解系是Ax=0的解向量组的一个极大的解向量组的一个极大线性无关组。线性无关组。基础解系基础解系。亦称亦称结构解结构解4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构定理定理4.1 n元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax=0的基础解系所的基础解系所含向量的个数含向量的个数s=n-R(A)，且，且Ax=0的任意的任意s个线性无个线性无关的解向量都是它的一个基础解系。关的解向量都是它的一个基础解系。(证明证明P102P104，课外阅读，课外阅读)4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构例例4.1 求下列方程组的基础解系求下列方程组的基础解系解解 4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构原方程组可化为原方程组可化为 4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构原方程组可化为原方程组可化为或或 可见答案不惟一可见答案不惟一。4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构例例4.2 证明对任意实矩阵证明对任意实矩阵A，R(ATA)=R(A).证证 4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构2.2.非齐次非齐次线性方程组解的结构线性方程组解的结构性质性质3证证 4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构性质性质4证证 4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构定理定理4.2证证 由性质由性质1,2,4知知 亦称亦称结构解结构解4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构#4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构例例4.3 求解方程组求解方程组解解 4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构原方程组可化为原方程组可化为注注 通解的表达式不惟一。用向量表示的通解亦通解的表达式不惟一。用向量表示的通解亦称称结构解结构解.4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构例例4.4 设设 1,2,3是是4元线性方程组元线性方程组Ax=b的解的解,且且解解 方程组方程组Ax=0的基础解系含的基础解系含4-R(A)=1个向量，个向量，由性质由性质1,3知知Ax=0有解向量有解向量4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构即即4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构例例4.5 设设4阶方阵阶方阵A=(1,2,3,4),其中其中 2,3,4线线性无关，性无关，1=2 2-4 4，如果，如果=1+2 2+3 3+4 4，求线性方程组求线性方程组Ax=的通解的通解.解解 由由 2,3,4线性无关，线性无关，1=2 2-4 4知知R(A)=3,方程组方程组Ax=0的基础解系含的基础解系含4-R(A)=1个向量，个向量，由由 1-2 2+4 4=0,得得4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构则则 是方程组是方程组Ax=0的基础解系，的基础解系，由由=1+2 2+3 3+4 4，得，得则则 0是方程组是方程组Ax=的解，的解，所以所以Ax=的通解为的通解为x=k+0,(k为任意常数为任意常数),4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构即即4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构本节学习要求本节学习要求1.1.熟悉线性方程组的解的性质及结构定理熟悉线性方程组的解的性质及结构定理,2.2.会求齐次线性方程组的基础解系会求齐次线性方程组的基础解系,会求线性方程会求线性方程组的结构解；会用线性方程组的解的性质及结构组的结构解；会用线性方程组的解的性质及结构定理解决有关定理解决有关的问题。的问题。作业作业：习题：习题4.4(A)第第1(1),5,61(1),5,6题。题。xiexie!xiexie!谢谢！谢谢！xiexie!xiexie!谢谢！谢谢！