第四章线性方程组的理论解析课件

第四章第四章 线性方程组的理论线性方程组的理论 u线性方程组有解的条件u线性相关性的理论u线性方程组解的结构A为系数矩阵 为增广矩阵，则定理1 线性方程组有解的充分必要条件为R(A)=R(B),当R(A)=R(B)=n,有唯一解；当R(A)=R(B)=rn，有无穷多个解。1-线性方程组有解的条件由于初等变换不改变秩，所以定理定理2 2 元齐次线性方程组只有唯一零解的充要条件为有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩推论1 齐次线性方程组推论2()当 时，齐次线性方程组(2)当 时，齐次线性方程组必有非零解；有非零解的充分必要条件是对于齐次线性方程组 ，先把它的系数矩阵 化成行阶梯形若发现 ，则方程组只有零解；若 ，则继续将 化成行最简形，便可直接写出它的通解 小结：对于非齐次线性方程组 先把它的增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据定理2判断它是否有解；在有解时，再把增广矩阵化成行最简形，根据 或的情形分别写出它的唯一解或通解例例 1 设有线性方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解 问 为何值时，此线性方程组解解 因为方程的个数与未知量的个数相同，故可从系数矩阵的行列式入手讨论因为故由克拉默法则知，当 ，时,当 时，写出对应方程组的增广矩阵 ，方程组有唯一解并把它化成行阶梯形矩阵所以方程组无解 当 时，所以方程组无解 当 时，所以方程组有无穷多个解取 为自由未知量，得原方程组的同解方程组为 即令 为任意常数，则得方程组的通解为 例3 取何值方程无解定理3 矩阵方程AX=B,有解的充要条件是R(A)=R(A,B)二 n 维向量及其线性运算解析几何 ：原点为起点，点 为一一对应终点的有向线段所表示的向量为代数代数：把向量表示中的花括弧换成圆括弧表示成 或定义1 称 矩阵 为一个 维维列向量列向量为一个 维维行向量行向量（即 矩阵）.分量称列向量的转置说明：若不加特别说明，所涉及的向量均为 维列向量，且为了书写方便，有时以行向量的转置表示列向量 列向量用黑体小写字母 等表示行向量则用 等表示向量相等：若 维向量与零向量：分量全为零的向量，记作0 0，即 负向量：的负向量是称 与 相等，记作记作即 时，中各个对应的分量相等则向量叫作向量 与 的和，记作向量的差：定义2 设都是 维向量，数 与向量 的乘积，记作 或向量的线性运算的运算性质设 为 维向量，为实数，则：定义3 设 ，为实数那么向量 叫做（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）第二天为则两天各产品的产量和为 例例1 某工厂两天生产的产量（单位：吨）按产品顺序用向量表示第一天为三 向量组的线性相关性1.向量组的线性组合向量组:若干个同维的列向量（或同维的行向量）所组成的集合 称为矩阵 的列向量组向量组它的 个 维行向量组成的向量组对于一个 矩阵它的 个 维列向量组成的向量组称为矩阵 的行向量组向量组；一一对应方程组也可写成向量形式：由线性方程组的向量形式可知线性方程组是否有解就相当于是否存在一组数成立 使关系式定义1 对于给定的一组 个 维向量组成称为向量组 的一个线性组合线性组合的向量组对任何一组实数向量称为这个线性组合的系数给定向量组 ：和向量 ，如果存在一组数 ，使得或称向量向量 可以由向量组可以由向量组 线性表示线性表示则称向量 是是向量组 的线性组合线性组合由定义1，向量 能由向量组 线性表示，有解.也就是线性方程组定理1 向量 能由向量组 线性表示的例例1 1 证明向量 能由向量组 线性表示，且写出它的一种表示方式 充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵的秩证证故向量 能由向量组 线性表示取 ，得一解 故又,以B为增广矩阵的非齐次线性方程组的同解方程组为：是系数矩阵 的 个 维列向量 2.向量组的线性相关与线性无关 将齐次线性方程组 写成向量形式 若方程组只有零解，若方程组有非零解，即仅当 时，(1)式成立即存在一组不全为零的数使定义定义2 设有 维向量组 因此我们给出如下定义：则称向量组 线性相关线性相关；如果存在一组不全为零的数使当且仅当 时，称向量组 线性无关线性无关 例例2 对 维单位坐标向量组讨论它的线性相关性 解解 设 即于是必有 即只有当 全为零时，(1)式才成立所以向量组 线性无关v当 时，即向量组只含有一个向量对只含有一个向量 的向量组，由定义2可知v对含有两个向量 的向量组，由定义2知 它线性相关的充分要条件是它线性相关的充分必要条件是即 中至少有一个可由另一个向量线性表示也就是 对应的分量成比例或者例6，向量组 线性无关，证明 线性无关定理2 向量组 ()线性相关可由其余 个向量线性表示 的充要条件是其中至少有一个向量推论 含有零向量的向量组必然线性相关 定理3 设向量组 ：构成矩阵则向量组 线性相关的充要条件是矩阵 的秩小于向量个数即向量组线性无关的充要条件是 利用线性方程组的解的条件证明推论1 当向量的个数等于向量的维数时，向量组线性相关的充要条件是而向量组线性无关的充要条件是该向量组构成的矩阵 的行列式 推论2 个 维列向量组成的向量组，当 时一定线性相关 例7，P114定理4而向量组 ：线性相关，（1）设向量组 ：线性无关，则向量 必能由向量组 线性表示，且表示法是唯一的则向量组反之，若 线性无关，则 也线性无关（2）若向量组 线性相关，必线性相关；同时去掉其第 个分量（）得到的个 维向量也线性相关；（3）若 个 维向量 线性相关，反之，若 个 维向量线性无关，同时增加其第 个分量得到的个 维向量也线性无关例例8 判别下列向量组的线性相关性（1）（2）（3）解解（2）因为故 线性相关，（3）4个3维向量一定线性相关，故线性无关（1）因为线性无关，由定理4的(3)知从而由定理4 的(2)可知线性相关.线性相关四 向量组的秩1.向量组的等价 定义1 设有向量组 性表示如果向量组 和向量组 能互相线性表示,则称这两个向量组等价 若向量组 中的每一个向量都能由向量组则称向量组 能由向量组 线线性表示，设向量组 能由向量组 线性表示，记则（1）式可写成 即存在着数使从而其中 称为向量组 由向量组 线性表示的系数矩阵矩阵方程 有解命题2 若矩阵 经过初等行（列）变换变成命题1 若 为有限个列向量组成的向量组，则组 能由组 线性表示的充分必要条件是其中，矩阵 由 来确定 矩阵 ，则矩阵 的行（列）向量组与矩阵的行（列）向量组等价定理1 设向量组均为列向量组成的向量组,则向量组 能由向量组 线性表示的充分必要条件为等价的充分必要条件是推论推论 向量组和向量中能选出 个向量 满足2.向量组的秩定义2 若向量组 (有限个或无限多个向量)向量组 ：线性无关；则称 ：为 的一个最大线性（1）（2）中的任意向量均可由向量组线性表示；无关向量组（简称最大无关组）例如，向量组 线性无关，线性无关，故都是的最大无关组.显然，这些最大无关组所含向量的个数相同 线性无关，向量组 线性表示，则定理2 设有向量组若向量组 B 线性无关，且向量组 能由即 若向量组 可由向量组 线性表示，且 ，则向量组 线性相关推论1 两个线性无关的向量组若是等价的，推论2 两个等价的向量组的最大无关组则它们必含有相同个数的向量含有相同个数的向量 推论3 一个向量组的任意两个最大无关组所含向量个数相等是 的一个最大无关组，的秩为 则 维单位坐标向量定义3 向量组的最大无关组所含向量的个数称 为该向量组的秩向量组的秩 例例1 1 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为零 例例2 维向量的全体组成的集合记作则向量组 的秩不大于向量组 的秩 定理2 若向量组 能由向量组 线性表示，（1）向量组 ：线性无关；一个最大无关组，称数 为向量组 的秩（2）向量组 中的任意 个向量均线性相关，则称向量组 ：是向量组 的定义定义4 4 如果向量组 中能选出r r个向量满足：3.矩阵的秩与向量组的秩的关系 即矩阵 的秩等于它的行向量组的秩定理3 设矩阵 ，则 由该定理可知，用初等变换可以求由有限个向量组成的向量组的秩 也等于它的列向量组的秩。例例3 设有向量组 ：（1）求向量组 的秩并判定 的线性相关性；（3）将 中的其余向量用所求出的最大无关组（2）求向量组 的一个最大无关组；线性表示用初等行变换将矩阵 化为行阶梯形解解（1）以 为列向量作矩阵 ，于是的列秩故，向量组 的秩为3，且向量组 线性相关.故 为向量组 的一个最大无关组行变换（2）由于行阶梯形 的三个非零行的非零首元在1，2，4三列，这是因为所以故 线性无关.（3）对 继续作初等行变换，化成行最简形 构成 的列向量组的最大线性无关组为 的列向量组，由 可知记且显然 的其余向量可由 线性表出即而对矩阵的初等行变换并不改变矩阵的列向量组之间的线性关系，因此，对应地有 性质性质1 性质性质2 2设 是 矩阵，分别是 阶，性质性质3 3阶可逆矩阵，则 则设则 也是 的解五 线性方程组解的结构1.齐次线性方程组解的结构 对于齐次线性方程组性质1 若向量 是 的解，则 也是 的解性质2 若向量 为 的解，为实数，先讨论解的性质 则称 是方程组 的基础解系定义1 设齐次线性方程组 有非零解，如果它的 个解向量 满足：（1）线性无关；（2）的任一个解 都可由且当 为任意常数时，称为 的通解.线性表示，即矩阵 的秩 （未知量的个数），显然，方程组 的基础解系就是它的解的全体组成的向量组 的最大无关组 定理1 若 元齐次线性方程组 的系数则 的基础解系存在且恰含有 个线性无关的解向量此时方程组的基础解系由 个解向量2)当 时,上述方程组有无穷多解对 元齐次线性方程组 有：其中 为任意常数.1)当 时，上述方程组只有零解，无基础解系；其通解可以表示成组成，例例1 1 求齐次线性方程组 的一个基础解系，并给出通解 解解 对系数矩阵施行初等行变换，化为行最简形矩阵，有 便得同解方程组其中为任意常数.令及则对应地有及从而得基础解系 故原方程的通解为 另外，由同解方程组，如果取 及其中 是任意常数.则得 及即可得不同的基础解系 从而得通解 其中 是任意常数.显然，向量组 与向量组 等价，两个通解形式虽不一样,但都含有两个任意常数,都表示了方程组的任一解例2 设A,B分（别为矩阵，且AB=0，证明：2.非齐次线性方程组解的结构 对于 元非齐次线性方程组 其解具有如下性质：性质3 设 及 都是（*）的解，的解.则 为对应的齐次线性方程组则 仍是方程组（*）的解 性质4 设 是方程组（*）的解，定理2 设 是非齐次线性方程组(*)的一个解，其中 为任意实数.是对应齐次方程组的解，是对应的齐次线性方程组的基础解系，则（*）的通解为例3 解方程组例例4 设 为4阶方阵，已知是非齐次线性方程组的三个解，且求 的通解.解解 因为 所以 的基础解由于故因此系中含有一个解向量是 的解，也构成它的基础解系.又 是 的一个解，故 的通解为