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1.2.2组合1.2.2组合教学目标教学目标 1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；2.能正确认识组合与排列的联系与区别 教学重点：教学重点：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式教学目标 1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天的一项活动，其中加某天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的名同学参加上午的活动，活动，1 1名同学参加下午的活动，有多少种不名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？同的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参加名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3情境创设情境创设问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，从已知的从已知的3个个不同元素中每不同元素中每次取出次取出2个元个元素素,并成一组并成一组问题二问题二从已知的从已知的3 个不同元素个不同元素中每次取出中每次取出2个元素个元素,按照按照一定的顺序一定的顺序排成一列排成一列.问题一问题一排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题二从已知 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合.排列与组合的排列与组合的概念有什么共概念有什么共同点与不同点同点与不同点？概念讲解概念讲解组合定义组合定义:?一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组合定义组合定义:一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素的一个素的一个组合组合排列定义排列定义:一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素，个元素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从 n 个不个不同元素中取出同元素中取出 m 个元素的一个个元素的一个排列排列.共同点共同点:都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素”不同点不同点:排列排列与元素的顺序有关，与元素的顺序有关，而组合而组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关.概念讲解概念讲解组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并思考一思考一:aB与与Ba是相同的排列是相同的排列 还还是相同的组合是相同的组合?为什么为什么?思考二思考二:两个相同的排列有什么特点两个相同的排列有什么特点?两个相同两个相同的组合呢的组合呢?）元素相同；）元素相同；）元素排列顺序相同）元素排列顺序相同.元素相同元素相同概念理解概念理解 构造排列分成两步完成，先取后排；构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤而构造组合就是其中一个步骤.思考三思考三:组合与排列有联系吗组合与排列有联系吗?思考一:aB与Ba是相同的排列 还是相同的组合?为什么?判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3个元素的个元素的子集有多少个子集有多少个?(2)某铁路线上有某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票多少种车票?有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共共需握手多少次需握手多少次?组合问题组合问题组合问题组合问题组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果是选择后再排序的结果.判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A=a,1.从从 a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是有组合分别是:ab,ac,bc 2.已知已知4个元素个元素a,b,c,d,写出每次取出两个元写出每次取出两个元素的所有组合素的所有组合.ab c d b c d cd ab,ac,ad,bc,bd,cd(3(3个个)(6(6个个)概念理解概念理解1.从 a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所）个元素的所有组合的个数，叫做从有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.如如:从从 a,b,c三个不同的元素中取出两个元素三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是的所有组合个数是:如如:已知已知4个元素个元素a、b、c、d,写出每次取出写出每次取出两个元素的所有组合个数是：两个元素的所有组合个数是：概念讲解概念讲解组合数组合数注意：注意：是一个数，应该把它与是一个数，应该把它与“组合组合”区别开来区别开来 从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫1.写出从写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有四个元素中任取三个元素的所有组合组合abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd练一练练一练1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合a组合组合排列排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb（三个元素的）（三个元素的）1 1个组合，对应着个组合，对应着6 6个排列个排列你发现了你发现了什么什么?组合排列abcabdacdbcdabc bac对于对于，我们可以按照以下步骤进行，我们可以按照以下步骤进行对于，我们可以按照以下步骤进行组合数公式组合数公式 排列与组合是有区别的，但它们又有联系排列与组合是有区别的，但它们又有联系 一般地，求从一般地，求从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的排列数，可以分为以下排列数，可以分为以下2步：步：第第1 1步，先求出从这步，先求出从这n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的组合数个元素的组合数 第第2步，求每一个组合中步，求每一个组合中m个元素的全排列数个元素的全排列数 根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：因此：因此：这里这里m,n是自然数，且是自然数，且 m n，这个公式叫做，这个公式叫做组合组合组合组合数公式数公式数公式数公式 概念讲解概念讲解组合数公式 排列与组合是有区别的，但它们又有联系 组合数公式组合数公式:从从 n个不同元中取出个不同元中取出m个元素的排列数个元素的排列数组合数公式:从 n个不同元中取出m个元素的排列数例例1 1、计算：、计算：例例2.2.甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4支足球队举行单循环赛，支足球队举行单循环赛，（1 1）列出所有各场比赛的双方；）列出所有各场比赛的双方；（2 2）列出所有冠亚军的可能情况）列出所有冠亚军的可能情况.（2 2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲乙甲、丙甲丙甲、丁甲丁甲、丙乙丙乙、丁乙丁乙、丁丙丁丙（1 1）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁丁解：解：例题分析例题分析（3）已知：）已知：，求，求n的值的值 3535 (2)(2)120120例1、计算：例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环例3例31.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系.思悟小结（2）同是从）同是从n个元素中取个元素中取m个元素，但是组合个元素，但是组合一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序（1）有序与无序的区别）有序与无序的区别2.2.理解组合数的的定义与公式理解组合数的的定义与公式作业作业P P2727 习题习题1.2 21.2 2、9 9（1 1）（2 2）1.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系.思悟小结（23.103.10名学生，名学生，7 7人扫地，人扫地，3 3人推车，那么不同人推车，那么不同 的分工方的分工方法有法有 种；种；组合应用组合应用【练习练习】1.用用m、n表示表示2.2.从从8 8名乒乓球选手中选出名乒乓球选手中选出3 3名打团体赛，共名打团体赛，共 有有 种不同的选法；如果这三个选手又按照不同顺序安排，种不同的选法；如果这三个选手又按照不同顺序安排，有有 种方法种方法.3.10名学生，7人扫地，3人推车，那么不同 的分工方组合应例例1.1.在产品检验中，常从产品中抽出一部分在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查进行检查.现有现有100100件产品，其中件产品，其中3 3件次品，件次品，9797件件正品正品.要抽出要抽出5 5件件进行检查，根据下列各种要求，进行检查，根据下列各种要求，各有多少种不同的抽法？各有多少种不同的抽法？(1)无任何限制条件；无任何限制条件；(2)全是正品；全是正品；(3)只有只有2件正品；件正品；(4)至少有至少有1件次品；件次品；(5)至多有至多有2件次品；件次品；(6)次品最多次品最多.解答：解答：（1 1）（2 2）（3 3）（4 4），或，或（5 5）（6 6）例1.在产品检验中，常从产品中抽出一部分(1)无任何1.1.有有1010道试题，从中选答道试题，从中选答8 8道，共有道，共有 种选种选法、又若其中法、又若其中6 6道必答，共有道必答，共有 不同的种不同的种选法选法.2.2.某班有某班有5454位同学，正、副班长各位同学，正、副班长各1 1名，现选派名，现选派6 6名同学名同学参加某科课外小组，在下列各种情况中参加某科课外小组，在下列各种情况中 ，各有多少种，各有多少种不同的选法？不同的选法？（1 1）无任何限制条件；）无任何限制条件；（2 2）正、副班长必须入选；）正、副班长必须入选；（3 3）正、副班长只有一人入选；）正、副班长只有一人入选；（4 4）正、副班长都不入选；）正、副班长都不入选；（5 5）正、副班长至少有一人入选；）正、副班长至少有一人入选；（5 5）正、副班长至多有一人入选；）正、副班长至多有一人入选；练习：练习：小结：至多至少问题常用分类的或排除法小结：至多至少问题常用分类的或排除法.1.有10道试题，从中选答8道，共有 种选例例2 从数字从数字1,2,5,7中任选两个中任选两个 练习练习 有不同的英文书有不同的英文书5本本,不同的中文书不同的中文书7本本,从中选出两本书从中选出两本书.(1)若其中一本为中文书若其中一本为中文书,一本为英文书一本为英文书.问共有多少种选法问共有多少种选法?(1)可以得到多少个不同的和可以得到多少个不同的和?(2)可以得到多少个不同的差可以得到多少个不同的差?(2)若不限条件若不限条件,问共有多少种选法问共有多少种选法?6个12个35种66种例2 从数字1,2,5,7中任选两个 例例4 4 有有1212名划船运动员名划船运动员,其中其中3 3人只会划左舷人只会划左舷,4 4人只会划右舷人只会划右舷,其它其它5 5人既会划左舷人既会划左舷,又会划又会划右舷右舷,现要从这现要从这1212名运动员中选出名运动员中选出6 6人平均分人平均分在左右舷参加划船比赛在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法有多少种不同的选法?例例3 在在MON的边的边OM上有上有5个异于个异于O点的点点的点,ON上有上有4个异于个异于O点的点点的点,以这十个点以这十个点(含含O)为为顶点顶点,可以得到多少个三角形可以得到多少个三角形?NOMABCDEFG HI例4 有12名划船运动员,其中3人只会划左舷,例3 在练习练习 如图如图,在以在以AB为直径的半圆周上有异于为直径的半圆周上有异于A,B的六个点的六个点C1,C2,C3,C4,C5 ,C6 ,AB上有异上有异于于A,B的四个点的四个点D1,D2 ,D3 ,D4,问问 (1)以这以这10个点中的个点中的3个点为顶点可作多少个点为顶点可作多少个三角形个三角形?(2)以图中以图中12个点个点(包括包括A,B)中的四个为顶中的四个为顶点点,可作多少个四边形可作多少个四边形?ABD1D2D3D4C1C2C3C4C5C6练习 如图,在以AB为直径的半圆周上有异于A,B的六个点练习（练习（1 1）求）求 的值的值 组合数的性质组合数的性质（1 1）（2 2）（2 2）求满足）求满足 的的x值值（3 3）求证：）求证：（4 4）求）求 的值的值1617005或2511练习（1）求 1.排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合中常见的问题有：选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步.2.理解组合数的性质3.解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.思悟小结P27 习题习题1.2 10、111.排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合中常见的问题有：习题课组合与组合数组合与组合数 通过前面的学习，我们已经知道了组合的组合的定义，组合数及其一些性质和组合与排列的关系。定义，组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我们将在此基础上，继续学习它们的一些应用今天我们将在此基础上，继续学习它们的一些应用（一）组合数的（一）组合数的公式及其性质：公式及其性质：组合数性质组合数性质1 1：2 2：特别地：特别地：组合与组合数 通过前面的学习，我们已经知道了组701,或或5练习一练习一（5 5）求）求 的值的值（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）511701,或5练习一（5）求 求证：求证：例题解读例题解读 证明：证明：因为因为左边左边=注意阶乘的变形形式：注意阶乘的变形形式：=左边，左边，评注：评注：所以等式成立所以等式成立求证：例题解读 证明：因为左边=注意阶乘的变形形式：=左边，练习精选：练习精选：证明下列等式证明下列等式 ：（1 1）（2 2）练习精选：证明下列等式：（1）（2）例例1 16 6本不同的书，按下列要求各有多少种本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：不同的选法：（1 1）分给甲、乙、丙三人，每人）分给甲、乙、丙三人，每人2 2本；本；例题解读：例题解读：解：解：（1 1）根据分步计数原理得到：）根据分步计数原理得到：种种例16本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：例题解读例例16本不同的书，按下列要求各有多少种本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：不同的选法：(2)分为三份，每份分为三份，每份2本；本；解析：解析：解析：解析：(2)(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有分给甲、乙、丙三人，每人两本有分给甲、乙、丙三人，每人两本有分给甲、乙、丙三人，每人两本有 种种种种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有份两本，设有份两本，设有份两本，设有x x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有丙三名同学有丙三名同学有丙三名同学有 种方法根据分步计数原理种方法根据分步计数原理种方法根据分步计数原理种方法根据分步计数原理所以所以 可得：可得：可得：可得：例題解读：例題解读：因此，分为三份，每份两本一共有因此，分为三份，每份两本一共有因此，分为三份，每份两本一共有因此，分为三份，每份两本一共有1515种方法种方法种方法种方法所以所以例16本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(2)分点评：点评：本题是分组中的本题是分组中的“均匀分组均匀分组”问题问题 一般地：将一般地：将mn个元素均匀分成个元素均匀分成n组（每组组（每组m个元素）个元素）,共有共有 种方法种方法点评：本题是分组中的“均匀分组”问题 一般地：将mn个元素例例1 16 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：的选法：（3 3）分为三份，一份）分为三份，一份1 1本，一份本，一份2 2本，一份本，一份3 3本；本；（4 4）分给甲、乙、丙三人，一人）分给甲、乙、丙三人，一人1 1本，一人本，一人2 2本，本，一人一人3 3本；本；解：解：（3 3）这是）这是“不均匀分组不均匀分组”问题，一共有问题，一共有 种方法种方法（4 4）在（）在（3 3）的基础上再进行全排列，所以一共有）的基础上再进行全排列，所以一共有 种方法种方法例题解读：例题解读：例16本不同的书，按下列要求各有多少种不同（3）分为三份，例例1 16 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：的选法：（5 5）分给甲、乙、丙三人，每人至少）分给甲、乙、丙三人，每人至少1 1本本 解：解：（5 5）可以分为三类情况：）可以分为三类情况：“2 2、2 2、2 2型型”的分配情况，有的分配情况，有 种方法；种方法；“1 1、2 2、3 3型型”的分配情况，有的分配情况，有 种方法；种方法；“1 1、1 1、4 4型型”，有，有 种方法，种方法，所以，一共有所以，一共有90+360+9090+360+90540540种方法种方法例题解读：例题解读：例16本不同的书，按下列要求各有多少种不同解：（5）可以分元素相同问题隔板策略元素相同问题隔板策略例例.有有1010个运动员名额，再分给个运动员名额，再分给7 7个班，每个班，每班至少一个班至少一个,有多少种分配方案？有多少种分配方案？解：因为解：因为1010个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班将将n n个相同的元素分成个相同的元素分成m m份（份（n n，m m为正整数）为正整数）,每份每份至少一个元素至少一个元素,可以用可以用m-1m-1块隔板，插入块隔板，插入n n个元素排个元素排成一排的成一排的n-1n-1个空隙中，所有分法数为个空隙中，所有分法数为元素相同问题隔板策略例.有10个运动员名额，再分给7个班，每例例例例2 2 2 2、（1 1 1 1）10101010个优秀指标分配给个优秀指标分配给个优秀指标分配给个优秀指标分配给6 6 6 6个班级，每个班级至少个班级，每个班级至少个班级，每个班级至少个班级，每个班级至少一个，共有多少种不同的分配方法？一个，共有多少种不同的分配方法？一个，共有多少种不同的分配方法？一个，共有多少种不同的分配方法？（2 2 2 2）10101010个优秀指标分配到个优秀指标分配到个优秀指标分配到个优秀指标分配到1 1 1 1、2 2 2 2、3 3 3 3三个班，若名三个班，若名三个班，若名三个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？分析分析分析分析：（1 1 1 1）这是同种元素的）这是同种元素的）这是同种元素的）这是同种元素的“不平均分组不平均分组不平均分组不平均分组”问题问题问题问题.本小题可本小题可本小题可本小题可构造数学模型构造数学模型构造数学模型构造数学模型 ，用，用，用，用5 5 5 5个隔板插入个隔板插入个隔板插入个隔板插入10101010个指标中的个指标中的个指标中的个指标中的9 9 9 9个空隙，个空隙，个空隙，个空隙，既有既有既有既有 种方法。按照第一个隔板前的指标数为种方法。按照第一个隔板前的指标数为种方法。按照第一个隔板前的指标数为种方法。按照第一个隔板前的指标数为1 1 1 1班的班的班的班的指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2 2 2 2班的指班的指班的指班的指标，以此类推，因此共有标，以此类推，因此共有标，以此类推，因此共有标，以此类推，因此共有 种分法种分法种分法种分法.例题解读：例题解读：例题解读：例题解读：例2、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少分析：（2 2）先拿）先拿3 3个指标分给二班个指标分给二班1 1个，三班个，三班2 2个，个，然后，问题转化为然后，问题转化为7 7个优秀指标分给三个班，个优秀指标分给三个班，每班至少一个每班至少一个.由（由（1 1）可知共有）可知共有 种分法种分法注：第一小题也可以先给每个班一个指标，注：第一小题也可以先给每个班一个指标，然后，将剩余的然后，将剩余的4 4个指标按分给一个班、两个指标按分给一个班、两个班、三个班、四个班进行分类，共有个班、三个班、四个班进行分类，共有 种分法种分法.例题解读：例题解读：（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个，注：第一小题也可以例例例例3 3 3 3（1 1 1 1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？有多少种不同的放法？有多少种不同的放法？有多少种不同的放法？（2 2 2 2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？盒的放法有多少种？盒的放法有多少种？盒的放法有多少种？解：解：解：解：（1 1 1 1）根据分步计数原理：一共有）根据分步计数原理：一共有）根据分步计数原理：一共有）根据分步计数原理：一共有 种方法；种方法；种方法；种方法；（2 2 2 2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个“捆绑捆绑捆绑捆绑”在一起看成一个元素有在一起看成一个元素有在一起看成一个元素有在一起看成一个元素有 种方法；第二步：从种方法；第二步：从种方法；第二步：从种方法；第二步：从四个不同的盒中任取三个将球放入有四个不同的盒中任取三个将球放入有四个不同的盒中任取三个将球放入有四个不同的盒中任取三个将球放入有 种方法，所以，种方法，所以，种方法，所以，种方法，所以，一共有一共有一共有一共有 144144144144种方法种方法种方法种方法 例题解读例题解读例题解读例题解读例3（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共解：（1）例例4 4马路上有编号为马路上有编号为1 1，2 2，3 3，1010的十盏路的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3 3盏灯盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？关灯方法？解：解：（插空法）本题等价于在（插空法）本题等价于在7 7只亮着的路灯之间只亮着的路灯之间的的6 6个空档中插入个空档中插入3 3只熄掉的灯，故所求方法总数只熄掉的灯，故所求方法总数为为 种方法种方法例题解读：例题解读：例4马路上有编号为1，2，3，10的十盏路解：（插空法例例5 一生产过程有一生产过程有4道工序，每道工序需道工序，每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等要安排一人照看现从甲、乙、丙等6名名工人中安排工人中安排4人分别照看一道工序，第一人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（人，则不同的安排方案共有（）A24种种 B36种种 C48 D72种种 B 例题解读：例题解读：例5 一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看现从例例6甲、乙、丙甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至位志愿者安排在周一至周五的周五的5天中参加某项志愿者活动，要求天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（法共有（）A.20种种 B.30种种 C.40种种 D.60种种 A例6甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志例例7某人有某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（灯泡足够多），要在如题（16）图所示的）图所示的6个点个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有法共有 种（用数字作答）种（用数字作答）.216例7某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题1 1 1 15 5 5 5个人分个人分个人分个人分4 4 4 4张同样的足球票，每人至多分一张，而且张同样的足球票，每人至多分一张，而且张同样的足球票，每人至多分一张，而且张同样的足球票，每人至多分一张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是票必须分完，那么不同的分法种数是票必须分完，那么不同的分法种数是票必须分完，那么不同的分法种数是 2 2 2 2某学生要邀请某学生要邀请某学生要邀请某学生要邀请10101010位同学中的位同学中的位同学中的位同学中的6 6 6 6位参加一项活动，其中位参加一项活动，其中位参加一项活动，其中位参加一项活动，其中有有有有2 2 2 2位同学要么都请，要么都不请，共有位同学要么都请，要么都不请，共有位同学要么都请，要么都不请，共有位同学要么都请，要么都不请，共有 种邀请方法种邀请方法种邀请方法种邀请方法.3.3.3.3.一个集合有一个集合有一个集合有一个集合有5 5 5 5个元素，则该集合的非空真子集共有个元素，则该集合的非空真子集共有个元素，则该集合的非空真子集共有个元素，则该集合的非空真子集共有 个个个个.4.4.4.4.平面内有两组平行线，一组有平面内有两组平行线，一组有平面内有两组平行线，一组有平面内有两组平行线，一组有m m m m条，另一组有条，另一组有条，另一组有条，另一组有n n n n条，这条，这条，这条，这两组平行线相交，可以构成两组平行线相交，可以构成两组平行线相交，可以构成两组平行线相交，可以构成 个平行四边形个平行四边形个平行四边形个平行四边形 .5 5 5 5空间有三组平行平面，第一组有空间有三组平行平面，第一组有空间有三组平行平面，第一组有空间有三组平行平面，第一组有m m m m个，第二组有个，第二组有个，第二组有个，第二组有n n n n个，个，个，个，第三组有第三组有第三组有第三组有t t t t个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可构成可构成可构成可构成 个平行六面体个平行六面体个平行六面体个平行六面体9898989830303030课堂练习：课堂练习：课堂练习：课堂练习：15个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且2某学生6.6.6.6.高二某班第一小组共有高二某班第一小组共有高二某班第一小组共有高二某班第一小组共有12121212位同学，现在要调换座位，位同学，现在要调换座位，位同学，现在要调换座位，位同学，现在要调换座位，使其中有使其中有使其中有使其中有3 3 3 3个人都不坐自己原来的座位，其他个人都不坐自己原来的座位，其他个人都不坐自己原来的座位，其他个人都不坐自己原来的座位，其他9 9 9 9人的座位人的座位人的座位人的座位不变，共有不变，共有不变，共有不变，共有 种不同的调换方法种不同的调换方法种不同的调换方法种不同的调换方法7.7.7.7.某兴趣小组有某兴趣小组有某兴趣小组有某兴趣小组有4 4 4 4名男生，名男生，名男生，名男生，5 5 5 5名女生：名女生：名女生：名女生：（1 1 1 1）从中选派）从中选派）从中选派）从中选派5 5 5 5名学生参加一次活动，要求必须有名学生参加一次活动，要求必须有名学生参加一次活动，要求必须有名学生参加一次活动，要求必须有2 2 2 2名男名男名男名男生，生，生，生，3 3 3 3名女生，且女生甲必须在内，有名女生，且女生甲必须在内，有名女生，且女生甲必须在内，有名女生，且女生甲必须在内，有 种选派方法；种选派方法；种选派方法；种选派方法；（2 2 2 2）从中选派）从中选派）从中选派）从中选派5 5 5 5名学生参加一次活动，名学生参加一次活动，名学生参加一次活动，名学生参加一次活动，要求有女生但人要求有女生但人要求有女生但人要求有女生但人数必须少于男生，有数必须少于男生，有数必须少于男生，有数必须少于男生，有_种选派方法；种选派方法；种选派方法；种选派方法；（3 3 3 3）分成三组，每组）分成三组，每组）分成三组，每组）分成三组，每组3 3 3 3人，有人，有人，有人，有_种不同分法种不同分法种不同分法种不同分法.3636363645454545280280280280课堂练习：课堂练习：6.高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位，7.某兴8.8.8.8.九张卡片分别写着数字九张卡片分别写着数字九张卡片分别写着数字九张卡片分别写着数字0 0 0 0，1 1 1 1，2 2 2 2，8 8 8 8，从中取出三，从中取出三，从中取出三，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果张排成一排组成一个三位数，如果张排成一排组成一个三位数，如果张排成一排组成一个三位数，如果6 6 6 6可以当作可以当作可以当作可以当作9 9 9 9使用，问使用，问使用，问使用，问可以组成多少个三位数？可以组成多少个三位数？可以组成多少个三位数？可以组成多少个三位数？解：解：解：解：可以分为两类情况：可以分为两类情况：可以分为两类情况：可以分为两类情况：若取出若取出若取出若取出6 6 6 6，则有，则有，则有，则有 种方法；种方法；种方法；种方法；若不取若不取若不取若不取6 6 6 6，则有，则有，则有，则有 种方法，种方法，种方法，种方法，根据分类计数原理，一共有根据分类计数原理，一共有根据分类计数原理，一共有根据分类计数原理，一共有 +602602602602种方法种方法种方法种方法 课堂练习：课堂练习：8.九张卡片分别写着数字0，1，2，8，从中取出三解：可9.9.某某餐餐厅厅供供应应盒盒饭饭，每每位位顾顾客客可可以以在在餐餐厅厅提提供供的的菜菜肴肴中中任任选选2 2荤荤2 2素素共共4 4种种不不同同的的品品种种.现现在在餐餐厅厅准准备备了了5 5种种不不同同的的荤荤菜菜，若若要要保保证证每每位位顾顾客客有有200200种种以以上上的的不不同同选选择择，则则餐餐厅厅至至少少还还需需准准备备不不同同的的素素菜菜_种种.(.(结果用数值表示结果用数值表示)7 7【解解题题回回顾顾】由由于于化化为为一一元元二二次次不不等等式式n2n400求求解解较较繁繁，考考虑虑到到n为为正正整整数数，故故解解有有关关排排列列、组组合合的的不不等式时，常用估算法等式时，常用估算法.9.某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤10.某某电电视视台台邀邀请请了了6位位同同学学的的父父母母共共12人人，请请这这12位位家家长长中中的的4位位介介绍绍对对子子女女的的教教育育情情况况，如如果果这这4位位中中恰恰有一有一对对是夫妻，那么不同是夫妻，那么不同选择选择方法的种数是方法的种数是()(A)60 (B)120 (C)240 (D)270C11.某某次次数数学学测测验验中中，学学号号是是i(i=1、2、3、4)的的四四位位同学的考试成绩同学的考试成绩 f(i)86,87,88,89,90，且满足，且满足f(1)f(2)f(3)f(4)，则四位同学的成绩可能情况有，则四位同学的成绩可能情况有()(A)5种种 (B)12种种 (C)15种种(D)10种种C10.某电视台邀请了6位同学的父母共12人，请这12位家长B12.表达式表达式 可以作可以作为为下列哪一下列哪一问题问题的答案的答案 ()(A)n个个不不同同的的球球放放入入不不同同编编号号的的n个个盒盒子子中中，只只有有一一个个盒盒子子放两个球的方法数放两个球的方法数(B)n个个不不同同的的球球放放入入不不同同编编号号的的n个个盒盒子子中中，只只有有一一个个盒盒子子空着的方法数空着的方法数(C)n个个不不同同的的球球放放入入不不同同编编号号的的n个个盒盒子子中中，只只有有两两个个盒盒子子放两个球的方法数放两个球的方法数(D)n个个不不同同的的球球放放入入不不同同编编号号的的n个个盒盒子子中中，只只有有两两个个盒盒子子空着的方法数空着的方法数B12.表达式 可以作1 1 1 1按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法；分步，是处理组合应用题的基本思想方法；分步，是处理组合应用题的基本思想方法；分步，是处理组合应用题的基本思想方法；2 2 2 2对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、特殊位置；特殊位置；特殊位置；特殊位置；3 3 3 3对于含对于含对于含对于含“至多至多至多至多”、“至少至少至少至少”的问题，宜用排除法的问题，宜用排除法的问题，宜用排除法的问题，宜用排除法或分类解决；或分类解决；或分类解决；或分类解决；4 4 4 4按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题.课堂小结课堂小结1按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组5.5.5.5.需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题不是简单的组合问题，如：将不是简单的组合问题，如：将不是简单的组合问题，如：将不是简单的组合问题，如：将3 3 3 3个人分成个人分成个人分成个人分成3 3 3 3组，每组组，每组组，每组组，每组一个人，显然只有一个人，显然只有一个人，显然只有一个人，显然只有1 1 1 1种分法，而不是种分法，而不是种分法，而不是种分法，而不是 种种种种,一般地，将一般地，将一般地，将一般地，将m m m m、n n n n个不同元素均匀分成个不同元素均匀分成个不同元素均匀分成个不同元素均匀分成n n n n组，有组，有组，有组，有 种分法；种分法；种分法；种分法；5.需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题不是简单的组合再见
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