第2章-数值微分和数值积分概论课件

第2章 数值微分与数值积分2.1 数值微分数值微分2.2 数值积分数值积分2.3 复化数值积分复化数值积分2.4 重积分计算重积分计算2.5 高斯型积分介绍高斯型积分介绍（选学）（选学）本章小结本章小结 思考题思考题2.1 2.1 数值微分数值微分2.1.1 差商差商与数值微分与数值微分2.1.2 插值型数值微分插值型数值微分 2.1.3 样条插值数值微分样条插值数值微分返回本章返回本章2.1.1 差商与数值微分差商与数值微分导数导数的三种定义形式：的三种定义形式：F考虑考虑1：插值解决了函数的近似问题；导数是由函数定义的，研究导数的：插值解决了函数的近似问题；导数是由函数定义的，研究导数的近似方法是否与插值有关？近似方法是否与插值有关？F考虑考虑2：导数的定义是什么？几何意义？在这里有什么直接意义？：导数的定义是什么？几何意义？在这里有什么直接意义？F回答：数值微分有几种形式？每一种方法是如何讨论的？回答：数值微分有几种形式？每一种方法是如何讨论的？看书，回答上述问题。看书，回答上述问题。本节内容可以主要由学生讨论完成。本节内容可以主要由学生讨论完成。向前差商向前差商中心差商中心差商向后差商向后差商向前差商的截断误差向前差商的截断误差：由泰勒展开由泰勒展开向后差商公式的误差相同向后差商公式的误差相同。考察中心差商的误差为：考察中心差商的误差为：差商的几何差商的几何意义（略意义（略）。）。例：给出下列数据：例：给出下列数据：计算计算解解：F考虑：由近似公式看到，近似程度的高低与步长有关，有怎样的关系呢考虑：由近似公式看到，近似程度的高低与步长有关，有怎样的关系呢？设定设定最佳最佳步长步长：实际上计算实际上计算导数，它的误差是由截断误差与舍导数，它的误差是由截断误差与舍入误差组成；从计算公式看出，步长越小，误差也越小；另一方面，计入误差组成；从计算公式看出，步长越小，误差也越小；另一方面，计算公式是除式，分母越小，舍入误差越大；算公式是除式，分母越小，舍入误差越大；如何选择最佳步长，使两种误差的和达到最小呢？以中心差商为例，如何选择最佳步长，使两种误差的和达到最小呢？以中心差商为例，截断误差截断误差为可以证明舍入误差可以用可以证明舍入误差可以用 表示表示，其中其中 是是函数值函数值y的绝对误差限的绝对误差限总总误差为误差为上式可看成是关于步长的函数式，问当步长为多少时，函数值有最小值？上式可看成是关于步长的函数式，问当步长为多少时，函数值有最小值？但是，误差的表达式中还有高阶导数，用此公式确定步长，难度较大。但是，误差的表达式中还有高阶导数，用此公式确定步长，难度较大。实际使用中可使用事后估计法。实际使用中可使用事后估计法。通常通常用用 ，表示步长表示步长为为 ，时的时的差商差商计算公式计算公式，F注意：所谓的注意：所谓的“事后估计法事后估计法”，是近似计算常用的估计误差方法。，是近似计算常用的估计误差方法。返回本节返回本节为合适的步长。为合适的步长。给定误差界给定误差界 ，当，当 2.1.2 插值型数值微分插值型数值微分 由拉格朗日插值多项式与牛顿插值多项式知，给出一个函数由拉格朗日插值多项式与牛顿插值多项式知，给出一个函数f(x)可可以用多项式函数来近似，而多项式函数的导数是很容易得到的，因此启以用多项式函数来近似，而多项式函数的导数是很容易得到的，因此启示我们用多项式函数的导数近似函数示我们用多项式函数的导数近似函数f(x)的导数的导数。若若函数函数 f(x)在节点在节点 xi(i=0,1,n)处的函数值以知，处的函数值以知，作作 f(x)的的n次次插值多项式插值多项式 P(x)，并用近似并用近似代替代替 f(x)，即，即 且且有有（*）称为插值型微分公式。）称为插值型微分公式。注意：即使注意：即使 与与 近似程度非常高，但导数近似程度非常高，但导数 与与 某某些个点上的差别依然很大。因此也要注意对误差的分析些个点上的差别依然很大。因此也要注意对误差的分析。由插值公式的余项由插值公式的余项 知知因为因为 是是 的未知函数，当的未知函数，当 时，时，无法计算第二项的导数。无法计算第二项的导数。但但如果如果 限定在某个限定在某个节点节点 处的导数值，则上式右端第二项为处的导数值，则上式右端第二项为0（）此时，上式化为）此时，上式化为导数的导数的误差误差注意：公式只给出了计算在给定点导数的近似值。注意：公式只给出了计算在给定点导数的近似值。想一想想一想：如何推导以下公式？：如何推导以下公式？当当n=1n=1时，插值节点为时，插值节点为x x0 0,x,x1 1，若，若 h=xh=x1 1-x-x0 0记，则由上式可得带余项的记，则由上式可得带余项的两点公式两点公式 当当 n=2 n=2 时，插值节点为时，插值节点为x x0 0,x,x1 1,x,x2 2，同理可得带余项的三点公式，同理可得带余项的三点公式 即即得得两点两点公式公式 得得三点三点公式公式 下面我们给出带下面我们给出带余项的余项的二阶三点二阶三点公式公式:返回本节返回本节 注意：有兴趣的同学可以推一推上面的公式先对多项式函数求二阶注意：有兴趣的同学可以推一推上面的公式先对多项式函数求二阶导，再求函数值。导，再求函数值。上面的公式我们是基于拉格朗日插值公式推导得到的，当然我们也可上面的公式我们是基于拉格朗日插值公式推导得到的，当然我们也可利用三次样条插值函数来计算。利用三次样条插值函数来计算。对于给定的函数对于给定的函数表表 （a=x0 x1xn=b)x x0 x1 xn y=f(x)y0 y1 yn2.1.3 样条插值数值微分样条插值数值微分及适当的边界条件，我们可以写出三次样条插值函数及适当的边界条件，我们可以写出三次样条插值函数S(x)，并用，并用S(x)近似代替近似代替f(x)，即，即 由于由于S(x)S(x)是一个分段三次多项式，在各自区间是一个分段三次多项式，在各自区间 上容易求出导数，所以上容易求出导数，所以可推可推得数值微分公式得数值微分公式：返回本节返回本节2.2 2.2 数值积分数值积分2.2.1 问题引入问题引入2.2.2 插值型数值积分插值型数值积分2.2.3 牛顿牛顿-科特斯科特斯积分积分返回本章返回本章 关于积分，在高等数学中我们通过牛顿关于积分，在高等数学中我们通过牛顿-莱布尼兹公式进行计算，但莱布尼兹公式进行计算，但是要求被积函数的原函数不仅存在，而且能够算出；但在工程计算及是要求被积函数的原函数不仅存在，而且能够算出；但在工程计算及科学研究中往往会遇到诸如：科学研究中往往会遇到诸如：1、f(x)的结构复杂，求原函数困难。的结构复杂，求原函数困难。2、f(x)的原函数不能用初等函数表达。的原函数不能用初等函数表达。3、f(x)的精确表达式不知道，只给出实验数据表。的精确表达式不知道，只给出实验数据表。对于以上情况，要计算函数的积分是非常困难的，这就要求用近似对于以上情况，要计算函数的积分是非常困难的，这就要求用近似的方法解决的方法解决。2.2.1 问题的引入问题的引入F考虑：通过对数值微分讨论的学习，对数值积分方法有什么想法？考虑：通过对数值微分讨论的学习，对数值积分方法有什么想法？F看本节内容，回答：看本节内容，回答：1、数值积分的原因；、数值积分的原因；2、数值积分一般公式？如何得出？公式的本质？、数值积分一般公式？如何得出？公式的本质？3、插值型数值积分公式？、插值型数值积分公式？共同讨论：共同讨论：下面我们讨论近似公式的近似程度下面我们讨论近似公式的近似程度问题问题.代数精度代数精度问题问题即即即即由由得得数值积分的本质是数值积分的本质是（略）。（略）。所谓求积公式比较好，就应该是对更多的函数来说，公式能准确成立。所谓求积公式比较好，就应该是对更多的函数来说，公式能准确成立。即即而非一般的而非一般的 故我们故我们给给出如下定义出如下定义：定义定义1 若求积公式若求积公式对对任任意意不不高高于于m次次的的代代数数多多项项式式都都能能准准确确成成立立，而而对对于于m+1却却不不能能准准确确成立，则称该求积公式的代数精度为成立，则称该求积公式的代数精度为m。例如例如 梯形公式梯形公式我们来验证它的代数精度为我们来验证它的代数精度为1：事实上，由定义，要想证明公式的精度为事实上，由定义，要想证明公式的精度为1，也即对于不高于，也即对于不高于1次的多次的多项式公式都能准确成立，而对高于项式公式都能准确成立，而对高于1次的多项式都不成立。所以有次的多项式都不成立。所以有右端右端=当当 f(x)=1，左端，左端=当当f(x)=x，左端左端=右端右端=左端左端=右端，表明公式对右端，表明公式对f(x)=x是成立的是成立的 可以证明求积公式对可以证明求积公式对1和和x的任一线性组合都能准确成立，故公式的的任一线性组合都能准确成立，故公式的代数精度至少是代数精度至少是1；而右端而右端=左端左端右端右端 左端左端=由定义知，公式的代数精度为由定义知，公式的代数精度为1。当当f(x)=x2，有，有很显然，一个求积公式的代数精度越高它就可以对更多的多项式函数准确很显然，一个求积公式的代数精度越高它就可以对更多的多项式函数准确成立，也即可以对更多的函数准确成立。从而具有更好的实际意义成立，也即可以对更多的函数准确成立。从而具有更好的实际意义。返回本节返回本节2.2.2 插值型数值积分插值型数值积分 在积分区间在积分区间a,b上取一组点上取一组点 作作f(x)的的n次插值多项式次插值多项式 其中其中，为为n次插值基函数次插值基函数则有则有其中其中 大家知道，数值求积公式是一个近似公式，也即被积函数是由插值大家知道，数值求积公式是一个近似公式，也即被积函数是由插值多项式近似的，因此是有误差的，下面我们讨论插值型求积公式的余项问题。多项式近似的，因此是有误差的，下面我们讨论插值型求积公式的余项问题。其中其中 由公式看出，对于由公式看出，对于 来说，近似公式对它们是准确成立的来说，近似公式对它们是准确成立的，即，即 定理定理1 含有含有n+1个节点的插值型求积公式的代数精度至少为个节点的插值型求积公式的代数精度至少为n（当（当n为奇数时，精度为为奇数时，精度为n,当当n为偶数时，精度为为偶数时，精度为n+1）。）。例：建立例：建立 0,2 上上给定定节点点 的的 数数值积分公式。分公式。解：由解：由得得因此有因此有返回本节返回本节所以有所以有 思考题：如何对给定数值积分公式判断代数精确度？思考题：如何对给定数值积分公式判断代数精确度？如何建立给定节点的数值积分公式？如何建立给定节点的数值积分公式？问题的导入：问题的导入：上一节我们讨论了利用插值多项式近似代替已知函数上一节我们讨论了利用插值多项式近似代替已知函数求函数的定积分，插值节点是任意的，在实际问题中考虑计算上的方便，求函数的定积分，插值节点是任意的，在实际问题中考虑计算上的方便，常将积分区间等份，这样构造出的插值求积公式是牛顿常将积分区间等份，这样构造出的插值求积公式是牛顿-柯特斯公式。柯特斯公式。将区间将区间a,bn等分，取分点等分，取分点为求积节点，且有求积系数为求积节点，且有求积系数2.2.2 牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式作变量作变量替换替换 则上式化为则上式化为 则则相应的插值型求积公式（牛顿相应的插值型求积公式（牛顿-柯特斯公式）为柯特斯公式）为（为柯特斯系数）为柯特斯系数）所以所以注意；上式中的各项参数及数字的意义注意；上式中的各项参数及数字的意义。例如例如，当n=1 对应的两点公式（对应的两点公式（梯形公式梯形公式）为 当当n=2，对应的三点公式（对应的三点公式（辛普生辛普生）为）为 当当n=4，有五点公式（有五点公式（柯特斯公式柯特斯公式）问题：解决了积分的近似计算后，自然地该讨论求积公式的余项问题：解决了积分的近似计算后，自然地该讨论求积公式的余项(误差误差)的问题了。的问题了。定理定理2 若函数在若函数在a,b上上连续，则梯形公式的余项为连续，则梯形公式的余项为则辛普生公式的余项为则辛普生公式的余项为则柯特斯公式的余项为则柯特斯公式的余项为 下面我们下面我们来看来看 的的推导：推导：即即梯形公式梯形公式：辛普森公式辛普森公式：代数精度为代数精度为1代数精度为代数精度为3大家自己验证大家自己验证:只需依次令函数为只需依次令函数为考察方程考察方程是否左右是否左右相等相等 我们知道插值多项式当n较大时，误差可能会更大；一般是通过分段作低次插值来降低误差。而牛顿-柯特斯公式是基于插值多项式的积分得到的，是否也存在这个问题，如何修正呢？返回本节返回本节2.3 复化数值积分2.3.1 复化梯形积分复化梯形积分2.3.2 复化辛普森积分复化辛普森积分2.3.3 复化积分的自动控制和误差计算复化积分的自动控制和误差计算2.3.4 龙贝格积分龙贝格积分返回本章返回本章 所谓复合求积，就是将积分区间分成几个小区间，并在每个小区间上所谓复合求积，就是将积分区间分成几个小区间，并在每个小区间上用低阶牛顿用低阶牛顿-柯特斯公式来计算积分的近似值，然后对这些近似值求和，柯特斯公式来计算积分的近似值，然后对这些近似值求和，从而得到所求积分的近似从而得到所求积分的近似值。2.3.1 复化梯形积分复化梯形积分 将区间将区间a,bn等分，记分点为等分，记分点为 在每个小区间上应用梯形公式，即在每个小区间上应用梯形公式，即 看书：看书：为什么提出复化数值积分？如何来实现？为什么提出复化数值积分？如何来实现？然后将它们相加，即得然后将它们相加，即得复习复习将所得积分记为将所得积分记为Tn，则上式为，则上式为误差为误差为当当 时，存在时，存在 故由均值定理有故由均值定理有所以复化梯形个公式的误差是所以复化梯形个公式的误差是 公式说明什么（公式说明什么（误差的大小与什么有关）？误差的大小与什么有关）？返回本节返回本节可以看到，复化梯形公式的截断误差按照可以看到，复化梯形公式的截断误差按照 或者或者 的速度下降。的速度下降。可以证明只要可以证明只要 在在 上有界并黎曼可积，当分点无限增多上有界并黎曼可积，当分点无限增多时，复化梯形公式收敛到积分时，复化梯形公式收敛到积分 在实际操作中，对于给定的精度控制量在实际操作中，对于给定的精度控制量 ，如何确定区间等分数呢？，如何确定区间等分数呢？小结：复化梯形公式及误差公式的推导过程？小结：复化梯形公式及误差公式的推导过程？看书有关复化辛普森积分问题。注意公式的规律。看书有关复化辛普森积分问题。注意公式的规律。你认为两种公式的误差在相同条件下哪个比较小？为什么？你认为两种公式的误差在相同条件下哪个比较小？为什么？2.3.2 复合辛普生公式复合辛普生公式 把把积分积分区间区间 a,b 分成分成偶数偶数 2m 等分，记等分，记n=2m，在每个区间，在每个区间 上上应用应用辛普生辛普生公式公式,然后然后将它们相加，即将它们相加，即复习：三复习：三点公式（辛普生）为点公式（辛普生）为 结果是什么？结果是什么？x0 x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 x11 x12 x134倍函数值倍函数值出现出现2次次2倍函数倍函数值值n=12,m=6所以有所以有类似的类似的与复化梯形公式类似，公式的截断误差按照与复化梯形公式类似，公式的截断误差按照 或或 的速度下降。的速度下降。且收敛情况与复化梯形类似结论。且收敛情况与复化梯形类似结论。误差在相同条件下，复化辛普森公式比复化梯形公式小。误差在相同条件下，复化辛普森公式比复化梯形公式小。返回本节返回本节计算中要求有计算中要求有5位有效数字。用复化梯形和复化辛普森公式计算时，等分位有效数字。用复化梯形和复化辛普森公式计算时，等分点应各取多少点应各取多少2.3.3 复化积分的自动控制误差算法复化积分的自动控制误差算法问题问题的提出的提出 对于一个复化数值积分计算问题，一般事先给定误差，确定区间等对于一个复化数值积分计算问题，一般事先给定误差，确定区间等分数，用复化公式近似计算即可。分数，用复化公式近似计算即可。问题问题1、如何根据需要确定区间等分数、如何根据需要确定区间等分数n？可以事先利用误差公式估计，如前面的例子。可以事先利用误差公式估计，如前面的例子。问题问题2、实际上，利用误差估计很困难，因为误差公式中的高价导数、实际上，利用误差估计很困难，因为误差公式中的高价导数 界的估计一般难以实现，也就无法确定分点数界的估计一般难以实现，也就无法确定分点数n，如何解决？，如何解决？考察复化梯形公式的余项公式：考察复化梯形公式的余项公式：2N等分等分N等分等分所以事后估计法：所以事后估计法：有有有有启发：对于事先给定的误差启发：对于事先给定的误差所以在区间逐次分半进行计算的过程中，可以用前后两次计算的结果所以在区间逐次分半进行计算的过程中，可以用前后两次计算的结果来估计误差与确定步长。具体做法是：来估计误差与确定步长。具体做法是：1 1、计算、计算 2 2、估计、估计 3、若上式满足，则计算停止，、若上式满足，则计算停止，作为积分的近似值；否则，作为积分的近似值；否则，将区间再次分半并进行新近似值将区间再次分半并进行新近似值 ，再进行第，再进行第2 2步的验证：步的验证：，直至满足精度为止。直至满足精度为止。复化梯形公式的递推算式复化梯形公式的递推算式问题问题：在计算前后两次的近似值在计算前后两次的近似值Tn,T2n时发现，其中有很多节点是重复计时发现，其中有很多节点是重复计算的，如何避免这种重复计算算的，如何避免这种重复计算呢？N等分等分x0 x1x2x32N2N等分等分x0 x1x2x3x4x5x6x8n+1个分点个分点 2n+12n+1分点分点其中其中n+1n+1个分点在个分点在TnTn已经算过。即已经算过。即偶数点偶数点是是n n分点，而分点，而奇数点奇数点是是2n2n等分点。等分点。注意到在注意到在2n分点分点我们对公式进行我们对公式进行变形，首先变形，首先所以上式为所以上式为 当当k取偶数时是取偶数时是n分点分点，当，当k是奇数时才是是奇数时才是2n等分下的新增加的分点等分下的新增加的分点，新新增加的分点处的函数值从求和记号中分离出来，就有增加的分点处的函数值从求和记号中分离出来，就有偶数偶数奇数奇数整理：整理：由由递推公式可以看出，在已经算出递推公式可以看出，在已经算出Tn的基础上，只要计算的基础上，只要计算n个新分点个新分点上的函数值就可以算出上的函数值就可以算出T2n了，计算的工作量几乎减少了一半。了，计算的工作量几乎减少了一半。例如：例如：类似的可得辛普森求积公式的关系式：类似的可得辛普森求积公式的关系式：整理一下：我们讨论的是复化积分的误差的自动控制问题，已经知道整理一下：我们讨论的是复化积分的误差的自动控制问题，已经知道 显然，上式比复化梯形递推公式复杂的多。显然，上式比复化梯形递推公式复杂的多。同时，为了减少计算工作量同时，为了减少计算工作量新曾节点新曾节点或奇数点或奇数点分析：对于分析：对于事先给定的事先给定的精度精度 ，考察，考察复化积分的自动控制误差算法复化积分的自动控制误差算法算法描述：算法描述：1、输入误差控制精度、输入误差控制精度 ，初始分点数，初始分点数n 2、计算、计算 且且 ，3、while 4、输出出积分分值T2.例例2 利用递推公式重新计算利用递推公式重新计算的近似值，使误差不超过的近似值，使误差不超过10-6。解：（分析）我们只要依次计算解：（分析）我们只要依次计算T 1，T2，T4，并及时用并及时用|T2nTn|3.10-6来检验来检验。1、先对整个区间、先对整个区间0，1使用梯形公式，得使用梯形公式，得2、将、将0，1二等分，出现新分点二等分，出现新分点x=1/2，f(1/2)，由递推公式，得，由递推公式，得3、再将各小区间二等分，出现了两再将各小区间二等分，出现了两个新分点个新分点x=1/4,x=3/4，由递推，由递推公式，得公式，得4、继续将各小区间二等分，出现了四继续将各小区间二等分，出现了四个新分点，个新分点，x=1/8,x=3/8,x=5/8,x=7/8，由递推公式，得由递推公式，得继续下去，继续下去，故故T512即为所求即为所求。注意注意到我们实现了减少计算工作量的问题。到我们实现了减少计算工作量的问题。再例：再例：，计算中要求有，计算中要求有5位有效数字。用复位有效数字。用复化梯形或复化辛普森公式的分点应各取多少？化梯形或复化辛普森公式的分点应各取多少？返回本节返回本节解：有复化梯形及复化辛普森公式的误差公式有解：有复化梯形及复化辛普森公式的误差公式有考察考察返回本节返回本节 计算结果计算结果说明什么？对于同一计算问题，如何能够减少计算次数，说明什么？对于同一计算问题，如何能够减少计算次数，加快收敛速度，从而提高工作效率？加快收敛速度，从而提高工作效率？问题的导入问题的导入：从上节的例子中看到，对于同一个误差，复化梯形和从上节的例子中看到，对于同一个误差，复化梯形和复化辛普森的分点数相差巨大；复化辛普森的分点数相差巨大；我们在研究误差的事后估计时，有这样的式子我们在研究误差的事后估计时，有这样的式子即将即将T2n作为作为I的近似值，其误差约为的近似值，其误差约为(T2n-Tn)/3，提示，提示我们可以将我们可以将 (T2n-Tn)/3 2.3.4 龙贝格（龙贝格（Romberg）积分）积分它的近似效果怎样它的近似效果怎样？我们知道，牛顿我们知道，牛顿-克特斯方法中，梯形公式、辛普生公式、克特斯克特斯方法中，梯形公式、辛普生公式、克特斯公式，且知道它们的收敛阶分别是二、四、六；公式，且知道它们的收敛阶分别是二、四、六；我们想进一步了解它们间的联系，为近似计算提供更好的方法。我们想进一步了解它们间的联系，为近似计算提供更好的方法。作为作为T2n的一种补偿，可以期望得到一种新的近似值的一种补偿，可以期望得到一种新的近似值事实上，通过直接验证，知道事实上，通过直接验证，知道，这表明在收敛速度较慢的梯形这表明在收敛速度较慢的梯形 序列的基础上，可以产生收敛序列的基础上，可以产生收敛速度较快的辛普生序列：速度较快的辛普生序列：即即 T1，T2，T4，T8，T16 S1 ，S2 ，S4 ，S8即即类似的类似的梯形梯形加速公式加速公式 辛普生辛普生加速公式加速公式 S1，S2，S4，S8，S16 C1，C2，C4，C8这样的加速过程还可以继续下去这样的加速过程还可以继续下去 C1，C2，C4，C8，C16 R1，R2 ，R4，R8综上可知：我们可以在积分区间逐次分半的过程中利用三个公式梯形加综上可知：我们可以在积分区间逐次分半的过程中利用三个公式梯形加速公式、辛普生加速公式、龙贝格公式，将粗糙的近似公式速公式、辛普生加速公式、龙贝格公式，将粗糙的近似公式Tn逐步地逐步地“加加工成工成”收敛速度越来越快的新收敛速度越来越快的新序列序列 这种加速的方法称为这种加速的方法称为 龙贝格算法龙贝格算法。想一想：这样的加速过程还能继续吗？如何进行？有意义吗？想一想：这样的加速过程还能继续吗？如何进行？有意义吗？即即 T1，T2，T4，T8，T16，T32 S1 ，S2 ，S4 ，S8，S16C1，C2，C4，C8 R1，R2 ，R4，（按照上面的思路，还可以构造新的求积公式，且右端有两个系数分按照上面的思路，还可以构造新的求积公式，且右端有两个系数分别为（别为（）但当但当 较大时较大时，第一个数接近于，第一个数接近于1，第二个数接近于，第二个数接近于0，因此这样组，因此这样组合的新公式与前一个公式计算结果没有多大的区别，反而增加了计算合的新公式与前一个公式计算结果没有多大的区别，反而增加了计算的工作量。所以在实际中，只计算到龙贝格公式为止。的工作量。所以在实际中，只计算到龙贝格公式为止。其加工过程可用以下图示其加工过程可用以下图示C1T1T2T4T8T16S1S2S4S8C2C4R1R2注意，这是一个下三角形，也即是矩阵注意，这是一个下三角形，也即是矩阵的一半；提示我们可以按建立矩阵的方的一半；提示我们可以按建立矩阵的方法来计算。法来计算。即，先算第一行，再算第二行，即，先算第一行，再算第二行，依次类推；依次类推；第一列是梯形；第一列是梯形；第二列是辛普森；第第二列是辛普森；第三列是科特斯；三列是科特斯；除首列外，其余除首列外，其余各列公式有相似各列公式有相似之处；之处；1234567即即第第1列公式列公式第第2列公式列公式第第3列公式列公式第第4列公式列公式T1T2T4T8T16S1S2S4S8C2C4R11R21R31R41R51R22R32R42R52C43C53C1R1R2C33R44R54这这是一个递推形式，是一个递推形式，可以用循环解决。可以用循环解决。第第1列列T1T2T4T8T16S1S2S4S8C2C4R11R21R31R41R51R22R32R42R52C43C53C1R1R2C33R44R54第第2列列T1T2T4T8T16S1S2S4S8C2C4R11R21R31R41R51R22R32R42R52C43C53C1R1R2C33R44R54第第3列列T1T2T4T8T16S1S2S4S8C2C4R11R21R31R41R51R22R32R42R52C43C53C1R1R2C33R44R54第第j列列所以，龙贝格算法为所以，龙贝格算法为龙贝格龙贝格算法：（自己整理）算法：（自己整理）1、输入控制精度；输入控制精度；2、初始化：计算、初始化：计算T1；3、这是用复化这是用复化梯形公式梯形公式4、输出、输出 Rkk 回顾：龙贝格算法中用到矩阵的运算，前面我们什么地方也用到回顾：龙贝格算法中用到矩阵的运算，前面我们什么地方也用到矩阵运算？用矩阵用什么个好处？矩阵运算？用矩阵用什么个好处？返回本节返回本节 1、重新体会复化积分的自动控制算法与龙贝格算法；、重新体会复化积分的自动控制算法与龙贝格算法；2、叙述龙贝格算法的分析过程。、叙述龙贝格算法的分析过程。2.4 2.4 重积分计算重积分计算 这里我们只讨论积分区域是矩形的重积分的数值计算公式。先这里我们只讨论积分区域是矩形的重积分的数值计算公式。先看复化梯形公式看复化梯形公式分别对两个二次积分应用复化梯形公式（先内后外）分别对两个二次积分应用复化梯形公式（先内后外）然后，括号中的然后，括号中的三项依次关于三项依次关于x积分积分，做复化梯形操作，先看，做复化梯形操作，先看第一第一项项展开：展开：第二项第二项展开展开：将：将yn 看成常数看成常数第三项展开：第三项展开：cabdy0yn.x0 xm例：用复化梯形公式计算二重积分例：用复化梯形公式计算二重积分解：首先计算出被积函数在分点处的函数值。解：首先计算出被积函数在分点处的函数值。将数据代入计算公式得：将数据代入计算公式得：而准确解为而准确解为类似的，我们可以得出二重复化辛普森求积公式：类似的，我们可以得出二重复化辛普森求积公式：对区间对区间a,b,c,d分分别m等分和等分和n等分，在等分，在x,y轴上分上分别有步有步长举例说明：举例说明：返回本章返回本章例：例：计算计算 2.5 2.5 *高斯型积分公式介绍高斯型积分公式介绍问题引入问题引入 我们知道牛顿我们知道牛顿-科特斯积分公式要求节点是科特斯积分公式要求节点是等分点等分点，求积公式的代，求积公式的代数精度当节点个数为偶数时数精度当节点个数为偶数时 为为n+1，当节点个数为奇数时是，当节点个数为奇数时是n。能否。能否改变改变求积节点的位置，求积节点的位置，提高提高求积公式的代数精度呢？求积公式的代数精度呢？例如构造形如例如构造形如的两点公式时，的两点公式时，如果如果限定节点是等分点，则有限定节点是等分点，则有x0=-1,x1=1，这是这是（两点（两点牛顿牛顿-柯特斯柯特斯公式，即梯形公式公式，即梯形公式）的插值型求积公式的插值型求积公式它的代数精度为它的代数精度为1。如果如果我们不限定节点的取值，是否可以选择适当的节点，我们不限定节点的取值，是否可以选择适当的节点，使得所得公式的代数精度大于使得所得公式的代数精度大于1呢呢？事实上，要确定公式中的四个参数事实上，要确定公式中的四个参数，使得公式的精度使得公式的精度尽可能的高，不妨令尽可能的高，不妨令 对公式都能准确成立，有对公式都能准确成立，有解之得解之得 所得求积公式为所得求积公式为且代数精确度为且代数精确度为3。同理，对于一般求积公式同理，对于一般求积公式（*）只要适当只要适当选择选择 2n 个个待定参数，使它的代数精确度待定参数，使它的代数精确度达到达到 2n-1 也也是可以的。是可以的。定义定义：若形如（若形如（*）的求积公式代数精确度达到了）的求积公式代数精确度达到了2n-1，则称它为高，则称它为高斯型求积公式，并称相应的斯型求积公式，并称相应的节点节点 为为高斯点高斯点。问题是如何求高斯积分节点。一般可通过计算正交多项式的根来作问题是如何求高斯积分节点。一般可通过计算正交多项式的根来作为求积节点。为求积节点。常用施密特正交化过程求正交多项式。常用施密特正交化过程求正交多项式。第第1步：用施密特方法构造正交多项式，求出高斯点步：用施密特方法构造正交多项式，求出高斯点第第2步：用高斯点确定求积系数步：用高斯点确定求积系数第第3步：写出求积公式步：写出求积公式权函数权函数*有兴趣同学可参考其它参考书，学习施密特方法。有兴趣同学可参考其它参考书，学习施密特方法。我们仅给出当积分区间是我们仅给出当积分区间是-1，1时，权函数为时，权函数为1的两点至五点的高的两点至五点的高斯型求积公式（高斯斯型求积公式（高斯-勒让德）的节点、系数、和余项，见下表：勒让德）的节点、系数、和余项，见下表：例如：求三个节点的高斯型求积公式例如：求三个节点的高斯型求积公式（n=3）对于一般区间对于一般区间a,b上的积分，我们可以将它转变为上的积分，我们可以将它转变为-1，1上的积上的积分，从而利用表来计算。方法是令分，从而利用表来计算。方法是令所以所以记记则上式则上式 由高斯型求积公式由高斯型求积公式 其中的其中的Ak与与tk均可在表中查得，所以有均可在表中查得，所以有 例例4：利用四点高斯型求积利用四点高斯型求积公式公式 计算积分的计算积分的近似值近似值。解：解：这是一个这是一个0，1区间上的积分，我们应使用公式区间上的积分，我们应使用公式得得将它们代入上式即可将它们代入上式即可 说明说明：高高斯公式的明显的缺点是，当斯公式的明显的缺点是，当n改变大小时，系数与节点几乎都在变化；改变大小时，系数与节点几乎都在变化；由高斯表看出，余项中都包含有高阶导数，要利用它们控制精度是十分困难的；为了由高斯表看出，余项中都包含有高阶导数，要利用它们控制精度是十分困难的；为了克服这些缺点，实际中多采用复合求积的方法。即先将积分区间分成若干等分，在每克服这些缺点，实际中多采用复合求积的方法。即先将积分区间分成若干等分，在每一小区间上使用同一低阶的高斯型求积公式，然后将它们相加即得到积分的一小区间上使用同一低阶的高斯型求积公式，然后将它们相加即得到积分的近似值。近似值。返回本章返回本章本章小结本章本章 学习了数值微分、数值积分两个内容。学习了数值微分、数值积分两个内容。数值微分给出了三种方法：差商型公式、插值型公式、样条型公式。数值微分给出了三种方法：差商型公式、插值型公式、样条型公式。数值积分利用插值多项式近似被积函数导出的求积公式。从求积公式的分布情数值积分利用插值多项式近似被积函数导出的求积公式。从求积公式的分布情况看，这些公式分为两类：况看，这些公式分为两类：（1）等距节点下的求积公式：牛顿）等距节点下的求积公式：牛顿-科特斯公式（包括复化求积公式，科特斯公式（包括复化求积公式，龙贝格公式）。龙贝格公式）。（2）非等距节点下的求积公式：高斯型求积公式。）非等距节点下的求积公式：高斯型求积公式。复化梯形公式和复化辛普森公式，虽然精度较低，但是使用方便，复化梯形公式和复化辛普森公式，虽然精度较低，但是使用方便，在计算积分近似值时常常用到。在计算积分近似值时常常用到。龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对用梯形法所获得的龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对用梯形法所获得的近似值进行多次近似值进行多次“加工加工”，从而获得精确度较高的一种近似方法。，从而获得精确度较高的一种近似方法。高斯型求积公式是高精度的求积公式，在求积节点数相同，高斯型求积公式是高精度的求积公式，在求积节点数相同，利用高斯型求积公式可以获得准确度较高的积分近似值。但是当节点利用高斯型求积公式可以获得准确度较高的积分近似值。但是当节点数改变时，所有的数据多要重新查表计算，不如其它方法方便。数改变时，所有的数据多要重新查表计算，不如其它方法方便。返回本章返回本章思考题 1、数值积分是如何讨论的？、数值积分是如何讨论的？2、求积公式的代数精度有什么意义？、求积公式的代数精度有什么意义？3、试述复化积分的算法分析。、试述复化积分的算法分析。4、试述龙贝格积分算法分析。、试述龙贝格积分算法分析。返回本章返回本章