第01讲-简谐振动1课件

80后王莉美后王莉美“第五代江姐第五代江姐”汽油压缩机汽油压缩机1第第1414章章 振动振动振动的一般概念振动的一般概念 机械振动：物体在机械振动：物体在某一位置某一位置附近来回附近来回往复往复的变化的变化 广广义义振振动动：一一个个物物理理量量在在某某一一定定值值附附近近往往复复变变化化,该物理量的运动形式称振动该物理量的运动形式称振动.平衡位置平衡位置周期性周期性2合振动合振动分振动分振动1 1分振动分振动2 2位位移移 xt to oT T2T2TT振动可以用周期函数来描述！振动可以用周期函数来描述！简谐振动：简谐振动：物理量相对于平衡位置的位移是时间的物理量相对于平衡位置的位移是时间的余余弦函数弦函数。是一种最简单、最基本的振动，。是一种最简单、最基本的振动，一切复杂一切复杂的振动都可以看作是若干简谐振动的合成的结果。的振动都可以看作是若干简谐振动的合成的结果。3第第1讲讲 简谐振动简谐振动第第2讲讲 简谐振动的合成简谐振动的合成4本讲主要内容：本讲主要内容：一、简谐振动的描述一、简谐振动的描述二、简谐振动特征量二、简谐振动特征量三、简谐振动表示法三、简谐振动表示法(曲线及旋转矢量法曲线及旋转矢量法)四、几种常见的简谐振动四、几种常见的简谐振动五、简谐振动能量五、简谐振动能量六、阻尼振动六、阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振5理想化实物模型一：理想化实物模型一：弹簧弹簧振子振子ooV=0oxvF=0，x=0vF=0，x=0FV=0一、简谐振动的描述一、简谐振动的描述&简谐振动方程简谐振动方程受力分析：受力分析：动力学微分方程：动力学微分方程：其中：其中：运动学方程（振动方程）：运动学方程（振动方程）：6理想化实物模型二：单摆理想化实物模型二：单摆(小角度小角度)mT受力分析：受力分析：动力学微分方程：动力学微分方程：其中：其中：运动学方程（振动方程）：运动学方程（振动方程）：7(1)物体只在弹性力或准弹性物体只在弹性力或准弹性（线性回复力）（线性回复力）作用下发生的运动称为作用下发生的运动称为简谐振动。简谐振动。(2)满足满足动力学方程的运动为简谐振动动力学方程的运动为简谐振动(3)在在无外来强迫力无外来强迫力作用下作用下,质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移是时间的正弦函数或余弦函数的直线运动是简谐振动。是时间的正弦函数或余弦函数的直线运动是简谐振动。判断一振动是否是简谐振动用三种定义中任何一种皆可。判断一振动是否是简谐振动用三种定义中任何一种皆可。总结总结上述分析上述分析给给简谐振动下定义简谐振动下定义:8AR R R RL L L LC活塞的往复运动不是谐振动。仅当活塞的往复运动不是谐振动。仅当 RL时才近时才近似为谐振动。同学可试行证明之。似为谐振动。同学可试行证明之。木块在静水中上下运动在木块在静水中上下运动在不计阻力情况下为谐振动。不计阻力情况下为谐振动。广义来说：某个物理量随时间的变化是正弦或广义来说：某个物理量随时间的变化是正弦或余弦，则可称该物理量做简谐振动。余弦，则可称该物理量做简谐振动。9任何一个稍微偏离平衡状态的稳定系统，都可看成任何一个稍微偏离平衡状态的稳定系统，都可看成简谐振子。对于物理学中的许多问题，谐振子都可简谐振子。对于物理学中的许多问题，谐振子都可以作为一个近似的或相当精确的模型。以作为一个近似的或相当精确的模型。晶格点阵晶格点阵10&简谐振动的速度和加速度简谐振动的速度和加速度其中其中t to oT T2T2T速速度度v加加速速度度at to oT T2 2T T称为速度幅值和加速度幅值。称为速度幅值和加速度幅值。总是和总是和方向相反方向相反A111.振幅振幅2.周期周期T,频率频率,角频率角频率 称为振动的称为振动的角频率角频率或圆频率。或圆频率。二二.描述描述简谐振动的特征量简谐振动的特征量位位移移xtoTA 称为振动的称为振动的初始条件初始条件123.相位和初相相位和初相 称为振动的称为振动的相位相位。是是t=0t=0时的相位称为时的相位称为初相位初相位。T,T,也称为也称为固有周期和固有频率固有周期和固有频率。对于弹簧对于弹簧振子振子对于一个简谐振动，有了对于一个简谐振动，有了A,和和0就可以全部掌握简谐就可以全部掌握简谐运动的特征，这三个量为描述简谐运动的运动的特征，这三个量为描述简谐运动的特征量。特征量。13 两个振动两个振动同相同相 两个振动两个振动反相反相任意时刻它们的任意时刻它们的相位差相位差为为位位移移x xt to oT2Tx2x1位位移移xtoT2Tx2x1相位的物理意义？相位的物理意义？系统振动状态系统振动状态;运动状态变化趋势运动状态变化趋势;描述振动步调描述振动步调 14称振动称振动2超前超前振动振动1 或者说振动或者说振动1落后落后2 当当时时toT2Tx2x1相位的概念：相位的概念：描述运动状态描述运动状态 ，比较两个振动在比较两个振动在步调步调上的差异。上的差异。151.振动曲线表示法振动曲线表示法x-t 曲线曲线 v-x 曲线曲线三、简谐振动表示法位位移移xtoTA直观描述振动状态直观描述振动状态位位移移xto oT2Tx2x1toTx2x1比较两个振动的差异比较两个振动的差异位位移移xto oT2Tx2x1162.复数表示法复数表示法3.旋转矢量表示法（重点）旋转矢量表示法（重点）旋转矢量表示法具有直观形象简便等特点。旋转矢量表示法具有直观形象简便等特点。也是研究振动叠加的简便方法。也是研究振动叠加的简便方法。17txoxA t+两种表示法的对照两种表示法的对照-作匀速转动矢量作匀速转动矢量 ，其端点，其端点M在在x轴上的轴上的投影点投影点 P的运动的运动是简谐振动。是简谐振动。如图为旋转矢量如图为旋转矢量AM t P注意注意x方向与方向与v方向方向M0Ox18V=0ovxvF=0，x=0ov=0初态一初态一初态二初态二初态三初态三初态四初态四XO旋转矢量表示法具有直观形象简便特点，在旋转矢量表示法具有直观形象简便特点，在求初相位上可窥见一斑。求初相位上可窥见一斑。19求相位或相位差的方法：求相位或相位差的方法：用旋转矢量法用旋转矢量法第一步：由质点此刻位移第一步：由质点此刻位移x的值在旋转的值在旋转矢量图上画出一点矢量图上画出一点 0 0 X XO O第二步：这点对应在矢量参考圆上有第二步：这点对应在矢量参考圆上有两点。两点。第三步：由质点此刻振动速度的方向第三步：由质点此刻振动速度的方向确定旋转矢量的位置。由此定出此刻确定旋转矢量的位置。由此定出此刻的相位。的相位。若求相位差，只需画出两个时刻的旋若求相位差，只需画出两个时刻的旋转矢量计算它们的夹角即可。转矢量计算它们的夹角即可。20 XO例题例题 一质量为一质量为10g的物体沿的物体沿X作作谐振动谐振动振幅振幅A=20cm,周期周期T=4s,t=0时物体的位移为时物体的位移为-10cm且向且向 X轴负向运动。轴负向运动。求：（求：（1）t=1s 时物体的位移；时物体的位移；（2）何时物体第一次运动到）何时物体第一次运动到x=10cm处；处；（3）在经多少时间物体第二）在经多少时间物体第二次运动到次运动到x=10cm处；处；0 0解：解：作旋转矢量图，作旋转矢量图，21 XO 0 0或由图，或由图，t=1s 时相位：时相位：（1）t=1s 时物体的位移：时物体的位移：解：解：22 X（2）何时物体第一次运动到）何时物体第一次运动到x=10cm处：处：（3）在经多少时间物体第二次运动到）在经多少时间物体第二次运动到x=10cm处；处；或由图，或由图，t=1s 时相位：时相位：（1）t=1s 时物体的位移：时物体的位移：解：解：23试用旋试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差。转矢量法求这两个谐振动的初相差。以及两个质点第一次通过平衡位置的时刻。以及两个质点第一次通过平衡位置的时刻。解：解：设两质点的设两质点的谐振动方程分别为谐振动方程分别为例例 两质点沿两质点沿X轴作同方向轴作同方向,同振幅同振幅A振动振动.其周期为其周期为5s,当当t=0时时,质点质点1 在在 处向处向X 轴负方向运动轴负方向运动,而而质点质点2在在-A处，处，X 10 2024质点质点1 1第一次经过平衡位置的时刻第一次经过平衡位置的时刻质点质点2第一次经过平衡位置的时刻第一次经过平衡位置的时刻X 10 20请总结用旋转矢量法计算初相位、请总结用旋转矢量法计算初相位、相位差，运动时间间隔的方法！相位差，运动时间间隔的方法！25偏离平衡位置沿逆时针方向转过的角位移为正偏离平衡位置沿逆时针方向转过的角位移为正。当摆角很小时当摆角很小时则则o lCG根据转动定律根据转动定律当摆角很小时复摆在其平衡位置附近作当摆角很小时复摆在其平衡位置附近作简谐振动简谐振动.例例:复摆复摆 也称也称物理摆物理摆。四、几种常见简谐振动四、几种常见简谐振动26 物体所受的回复力与物体所受的回复力与sin 成正比，物体不再作简谐振动。成正比，物体不再作简谐振动。A=178A=1780 0当当 角不是很小时，角不是很小时，A=45A=450 0t 180090027仍以仍以弹簧弹簧振子为例振子为例振动物体的动能为振动物体的动能为振动物体势能为振动物体势能为考虑到考虑到则总能量则总能量这一结论对于任何简谐系统都成立。这一结论对于任何简谐系统都成立。系统的总能量系统的总能量是恒量是恒量振动过程中机械能守恒。振动过程中机械能守恒。五、五、简谐振动的能量简谐振动的能量28振动曲线振动曲线从图可见，从图可见，动能和势能的变化频率是位移变化频动能和势能的变化频率是位移变化频率的率的2 2倍，总能量并不改变。倍，总能量并不改变。曲线曲线t tT TE Ep pE Ek kt to oT T29例例:一劲度系数为一劲度系数为k的轻弹簧，上端固定，下端悬挂一的轻弹簧，上端固定，下端悬挂一质量为质量为m的物体。平衡时弹簧伸长一段距离的物体。平衡时弹簧伸长一段距离l0,l0称为称为静止变形，如果再用手拉物体下静止变形，如果再用手拉物体下l，然后无初速度地释然后无初速度地释放，试写出它的运动规律和能量。放，试写出它的运动规律和能量。l0 xxOPf.当物体处于平衡时当物体处于平衡时解解:当物体的坐标为当物体的坐标为x 时，时，物体所受的合力物体所受的合力F取平衡位置取平衡位置为坐标原点为坐标原点30合力相当于一个线形合力相当于一个线形的弹性回复力，指向的弹性回复力，指向平衡位置平衡位置O。令令则则 l0 xxOPf.取平衡位置取平衡位置为坐标原点为坐标原点由初始条件：由初始条件：31振动物体的动能为振动物体的动能为振动物体势能为振动物体势能为取平衡位置为坐标原点，使得水平弹簧振子和垂直取平衡位置为坐标原点，使得水平弹簧振子和垂直弹簧振子的表达式相同！弹簧振子的表达式相同！能量方法能量方法常用来求振动系统的固有频率，这在工程常用来求振动系统的固有频率，这在工程中有着广泛的应用。中有着广泛的应用。由振动过程中机械能守恒：由振动过程中机械能守恒：两边求导：两边求导：学会能量方法学会能量方法32k k2 2k k1 1解：解：对于串联情况，两段弹簧的静止形变分别为对于串联情况，两段弹簧的静止形变分别为例例:一一 重为重为P的物体用的物体用弹簧竖直悬挂，试求图示两种弹簧竖直悬挂，试求图示两种情况下，系统沿竖直方向情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率。振动的固有频率。利用上题结果利用上题结果则有则有即串联弹簧的等效劲度系数为即串联弹簧的等效劲度系数为33kk对于并联情况，对于并联情况，即并联弹簧的等效劲度系数为即并联弹簧的等效劲度系数为质量为质量为m物体挂在一弹簧下，现将这根劲度系数为物体挂在一弹簧下，现将这根劲度系数为k的弹簧分成相同的两半，再并联这两根弹簧，问变的弹簧分成相同的两半，再并联这两根弹簧，问变动后振动频率将动后振动频率将 是原来的几倍或几分之一？是原来的几倍或几分之一？34式中式中称为阻尼振动振幅。称为阻尼振动振幅。Otx在阻尼较小时，在阻尼较小时，0，由由牛顿第二定律牛顿第二定律令令代入上式（代入上式（称为阻尼因子）称为阻尼因子）（称为阻尼系数）称为阻尼系数）对于摩擦阻尼，对于摩擦阻尼，当当 不太大时不太大时&阻尼振动（摩擦阻尼，辐射阻尼）阻尼振动（摩擦阻尼，辐射阻尼）六六 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动略讲自学略讲自学35曲线曲线,为为过阻尼过阻尼振动振动曲线为曲线为临界阻尼临界阻尼在生产实际中根据不同在生产实际中根据不同要求控制阻尼大小。要求控制阻尼大小。图中曲线图中曲线1,2为为阻尼振动阻尼振动设设 为物体相继两次通过极大为物体相继两次通过极大(或极小或极小)位置所经时间位置所经时间34512xt36&受迫振动受迫振动驱动力驱动力运动方程运动方程稳态振动稳态振动后，后，方程的解为方程的解为对于一定的对于一定的振动系统，当一定时，位移振幅振动系统，当一定时，位移振幅A随频率随频率而改变。而改变。注意注意:稳态时的稳态时的受迫振动与无阻尼自由振动实质受迫振动与无阻尼自由振动实质有所不同有所不同。令令37&共振共振共振现象极为普遍，有其有共振现象极为普遍，有其有利的一面，也利的一面，也 可引起损害可引起损害.（2）速度共振速度共振（图（图2）（1）位移共振位移共振（图（图1）vm 0A 038思考：思考：1985年年9月月19日，震源位于墨西哥海岸的一场日，震源位于墨西哥海岸的一场地震的地震波给距离震中地震的地震波给距离震中400km以外的墨西哥城造以外的墨西哥城造成可怕且分布广泛的破坏。为什么地震波能在墨西成可怕且分布广泛的破坏。为什么地震波能在墨西哥城造成如此广泛的破坏，而在地震波经过的路途哥城造成如此广泛的破坏，而在地震波经过的路途上破坏却相对较小呢？上破坏却相对较小呢？39A A由初始条件由初始条件决定决定由振动系统的由振动系统的动力学性质决定动力学性质决定0由初始条件由初始条件决定决定,用旋转矢用旋转矢量表示法量表示法简谐振动表示法简谐振动表示法简谐振动表示法简谐振动表示法是重点，学会旋转矢量法！是重点，学会旋转矢量法！是重点，学会旋转矢量法！是重点，学会旋转矢量法！简谐振动的能量简谐振动的能量简谐振动的能量简谐振动的能量总结：总结：40附录：附录：41