第五章-静力试验数据处理课件

第五章第五章试验数据处理试验数据处理工程质量的评价是以试验检测数据为依据的工程质量的评价是以试验检测数据为依据的。试。试验检测采集得到的原始数据类多量大，有时杂乱无验检测采集得到的原始数据类多量大，有时杂乱无章，甚至还有错误，因此，必须对原始数据进行分章，甚至还有错误，因此，必须对原始数据进行分析处理才能得到可靠的试验结果。析处理才能得到可靠的试验结果。1、定义、定义原始数据原始数据：直接测得的数据称为原始数据。：直接测得的数据称为原始数据。数据处理数据处理：对原始数据进行分析，找出试验中各参：对原始数据进行分析，找出试验中各参量的相互关系和变化规律的过程，就是数据处理。量的相互关系和变化规律的过程，就是数据处理。2、试验测量对象的分类、试验测量对象的分类对于不同的测量对象，试验数据处理的目的，对于不同的测量对象，试验数据处理的目的，要求要求,方法方法,测量对象可以完全不同。根据数学特性，测量对象可以完全不同。根据数学特性，试验测量的对象可以分为三类：试验测量的对象可以分为三类：1）常量常量量测对象的客观真值是确定不变的量。实际试量测对象的客观真值是确定不变的量。实际试验中，真值一般无法测试，常用平均值来代表。验中，真值一般无法测试，常用平均值来代表。解决问题：主要是误差分析，然后进行必要的解决问题：主要是误差分析，然后进行必要的修正和推算。修正和推算。2）随机变量随机变量量测对象在客观上的取值具有随机性。量测对象在客观上的取值具有随机性。特点：特点：（1）分散性和不确定性；（）分散性和不确定性；（2）（统计）（统计）规律性。规律性。解决问题：对测量数据进行推算和必需的修正，解决问题：对测量数据进行推算和必需的修正，推断该随机变量的概率分布，估计其特征值及置信推断该随机变量的概率分布，估计其特征值及置信区间。区间。随机变量和概率分布随机变量和概率分布可以设想，当误差个数可以设想，当误差个数n，同时又无限缩小误差区间同时又无限缩小误差区间d，图图5-1中各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线，如图中各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线，如图5-2所示。该所示。该曲线称为曲线称为误差分布曲线误差分布曲线。其函数式为：其函数式为：即正态分布曲线上任即正态分布曲线上任一点的纵坐标一点的纵坐标y均为横坐均为横坐标标的函数。的函数。均方差均方差（标标准差）准差）大小反映观测精度大小反映观测精度的高低，定义为：的高低，定义为：正态分布密度函数正态分布密度函数f(x)可以写为可以写为n（x；m，）,正态分布函数正态分布函数F(x)可以写为可以写为N（x；m，），），当当m0；1时的正态分布称为标准正态分布：时的正态分布称为标准正态分布：对于非标准的正态分布可以转化为标准的正态分布对于非标准的正态分布可以转化为标准的正态分布分布参数的估计分布参数的估计母体母体：研究对象的全体。：研究对象的全体。子样子样：母体中的一部分叫做子样。：母体中的一部分叫做子样。统计处理的目的统计处理的目的：从子样去推断母体并对这种推断：从子样去推断母体并对这种推断的精确度作出估计。的精确度作出估计。随机变量随机变量主要的数学特征参数主要的数学特征参数：数学期望：数学期望m和标准和标准误差误差。参数估计的内容：参数估计的内容：1、点估计点估计：根据子样观测值计算子样特征值并根：根据子样观测值计算子样特征值并根据子样特征值对母体特征值进行估计。据子样特征值对母体特征值进行估计。2、区间估计区间估计：估计子样取值和母体参数之间的随：估计子样取值和母体参数之间的随机偏差，即估计出母体参数可能在怎样的区间内取机偏差，即估计出母体参数可能在怎样的区间内取值。值。3）随机过程随机过程量测对象是以时间为参数的随机变量，各时刻的量测对象是以时间为参数的随机变量，各时刻的随机变量之间又有密切的相关关系。随机变量之间又有密切的相关关系。解决问题：过程的数字化处理和统计特值的计算。解决问题：过程的数字化处理和统计特值的计算。小结：小结：（1）主要出现在静力测量中；（）主要出现在静力测量中；（2）（）（3）主要出现在动力试验中，如地震力，疲劳试验主要出现在动力试验中，如地震力，疲劳试验。参数估计的方法：参数估计的方法：1、用正态分布进行区间估计用正态分布进行区间估计置信区间置信区间2、用用t进行区间估计进行区间估计科萨特（科萨特（Gosset）提出）提出第七章第七章静力试验数据处理静力试验数据处理静力试验数据处理：把试验得到的数据进行静力试验数据处理：把试验得到的数据进行整理换算、统计分析和归纳演绎，以得到代表结整理换算、统计分析和归纳演绎，以得到代表结构性能的公式、图像、表格、数学模型和数值等构性能的公式、图像、表格、数学模型和数值等的过程。的过程。采集得到的数据是数据处理过程的原始数据。采集得到的数据是数据处理过程的原始数据。例如：由测得的位移计算挠度；例如：由测得的位移计算挠度；把应变片测得的应变换算成应力等。把应变片测得的应变换算成应力等。其数据处理的内容：其数据处理的内容：（1）间接值的推算；）间接值的推算；（2）试验误差分析；）试验误差分析；（3）试验结果的表达）试验结果的表达。5-1间接测定值的推算间接测定值的推算间接测定值间接测定值：表达最终试验结果的数据是由直接：表达最终试验结果的数据是由直接测定值经过推算得到的。测定值经过推算得到的。特点：特点：推算工作量多，其内容根据测量内容、测量方推算工作量多，其内容根据测量内容、测量方法和试验目的的不同而定。法和试验目的的不同而定。举例：举例：1、受弯构件曲率、受弯构件曲率式中：式中：上下表面的应变值；上下表面的应变值；2、集中荷载代替均布荷载、集中荷载代替均布荷载h为截面高度。为截面高度。K为换算系数为换算系数5-2试验误差的分析试验误差的分析测量值与真值之间的差叫做测量值与真值之间的差叫做测量误差测量误差，它是由使用仪，它是由使用仪器、测量方法、周围环境、人的技术熟练程度和人的感官器、测量方法、周围环境、人的技术熟练程度和人的感官条件等的技术水平和客观条件的限制所引的，在测量过程条件等的技术水平和客观条件的限制所引的，在测量过程中它中它是不可能完全消除的是不可能完全消除的，但可通过分析误差的来源、研，但可通过分析误差的来源、研究误差的规律来减小误差，提高精度。并用科学的方法处究误差的规律来减小误差，提高精度。并用科学的方法处理实验数据，以达到更接近于真值的最佳效果。理实验数据，以达到更接近于真值的最佳效果。一、量测误差分析一、量测误差分析进行误差分析的进行误差分析的作用和意义作用和意义：（1）只有了解了试验误差的范围，才有可能正确估计试）只有了解了试验误差的范围，才有可能正确估计试验所得到的结果。验所得到的结果。（2）对试验误差进行分析将有助于在试验中控制和减少）对试验误差进行分析将有助于在试验中控制和减少误差的产生。误差的产生。误差表示：误差表示：1）绝对误差绝对误差：测量值：测量值：真值：真值只表示大小，不能表示精度只表示大小，不能表示精度2）相对误差）相对误差为无量纲为无量纲 根据误差产生的原因和性质：根据误差产生的原因和性质：系统误差、过失误差、系统误差、过失误差、偶然误差。偶然误差。1、系统误差、系统误差系统误差是由于测量原理的方法本身的缺陷、测系统误差是由于测量原理的方法本身的缺陷、测试系统的性能、外界环境（如温度、湿度、压力等）试系统的性能、外界环境（如温度、湿度、压力等）的改变、个人习惯偏向等因素所引起的误差。的改变、个人习惯偏向等因素所引起的误差。有些系统误差是可以消除的，其方法是改进仪器有些系统误差是可以消除的，其方法是改进仪器性能、标定仪器常数、改善观测条件和操作方法以及性能、标定仪器常数、改善观测条件和操作方法以及测定值进行合理修正等。测定值进行合理修正等。1）测量系统由于）测量系统由于客观因素客观因素所造成的误差。（测定方所造成的误差。（测定方法，测量仪表，测量条件）法，测量仪表，测量条件）系统误差有一定规律：系统误差有一定规律：(1)固定系统误差（数据偏差为常数）固定系统误差（数据偏差为常数）(2)变化系统误差（数据偏差变化）变化系统误差（数据偏差变化）2）防止系统误差措施防止系统误差措施：预先对整个测量系统标定，：预先对整个测量系统标定，以确定系统误差出现的规律及其量值。以确定系统误差出现的规律及其量值。实际应变实际应变应变仪读数应变仪读数实际灵敏系数实际灵敏系数应变仪上的灵敏系数应变仪上的灵敏系数跨中位移测量值；跨中位移测量值；两个支座位移测量值。两个支座位移测量值。3）对引起的误差进行修正的项目：）对引起的误差进行修正的项目：a）根据仪表传感器的率定曲线对测定值修正。根据仪表传感器的率定曲线对测定值修正。b）对挠度数据作支座沉降的修正。对挠度数据作支座沉降的修正。梁的跨中挠度计算公式：梁的跨中挠度计算公式：式中：式中：c）自重的修正自重的修正仪表在构件吊装就位后才安装。仪表在构件吊装就位后才安装。d）电阻应变片灵敏系数的修正电阻应变片灵敏系数的修正-试验材料的波松系数试验材料的波松系数-标定钢梁的波松系数，约为标定钢梁的波松系数，约为0.285e）电测长导线的修正电测长导线的修正当寻线长度当寻线长度10m时，时，不能忽略。不能忽略。修正方法：修正方法：1）灵敏系数修正）灵敏系数修正2）读数修正）读数修正f)波松系数修正波松系数修正由于电阻应变片在测量时，存在横向效应，对由于电阻应变片在测量时，存在横向效应，对K值有值有影响。影响。修正公式：修正公式：式中式中(g)尺寸修正尺寸修正2、过失误差、过失误差1)原因：又称粗差，它是由于设计错误或接线错误、原因：又称粗差，它是由于设计错误或接线错误、或操作者粗心大意看错、读错、记错等原因造成的误或操作者粗心大意看错、读错、记错等原因造成的误差，在测量过程中应尽量避免。差，在测量过程中应尽量避免。2）消除误差的鉴别：）消除误差的鉴别：（a）3法，法，（标准误差）当测定值的偏差标准误差）当测定值的偏差3时，时，属于偶然误差，侍留要求的次数多，当测定值的偏差属于偶然误差，侍留要求的次数多，当测定值的偏差3时时,剔除。剔除。（b）格拉布斯（格拉布斯（Grubbs）方法。方法。对于过失误差最重要的是加强试验人员的工作责任对于过失误差最重要的是加强试验人员的工作责任心和进行严格的技术培训，避免过失误差的发生。心和进行严格的技术培训，避免过失误差的发生。3、偶然误差（随机误差）、偶然误差（随机误差）随机误差的发生是随机的，其数值变化规律符合随机误差的发生是随机的，其数值变化规律符合一定统计规律，通常为正态分布规律。因此，随机误一定统计规律，通常为正态分布规律。因此，随机误差的度量是用标准偏差，随着对同一量的测量次数的差的度量是用标准偏差，随着对同一量的测量次数的增加，标准偏差的值变得更小，从而该物理量的值更增加，标准偏差的值变得更小，从而该物理量的值更加可靠。随机误差通常是由于加可靠。随机误差通常是由于环境条件的波动以及观环境条件的波动以及观察者的精神状态察者的精神状态的等测量条件引起的。的等测量条件引起的。一般参数及其误差都服从正态分布：一般参数及其误差都服从正态分布：1误差表示法：误差表示法：（a）标准误差标准误差-越小，说明较小误差占优势，精度高，反之精度低。越小，说明较小误差占优势，精度高，反之精度低。（b）平均误差平均误差(c）或然误差或然误差指置信程度为指置信程度为50%的置信区间。的置信区间。(d）极限误差极限误差3（权限误差，最大误差）权限误差，最大误差）一般说来误差在一般说来误差在与与之间的概率为之间的概率为68%；误差在误差在2与与2之间的概率为之间的概率为95%；误差在误差在3与与3之间的概率为之间的概率为99.5%；在一般情况下，在一般情况下，99.5%可以认为代表测量的全体，所以把可以认为代表测量的全体，所以把3叫做权限误差，对于任何一次测量值不应该超出该范围。叫做权限误差，对于任何一次测量值不应该超出该范围。（e）范围误差范围误差指指一一组组测测定定值值中中最最大大值值与与最最小小值值之之差差，不不能能反反映映测测定定值值的的精度，不常用。精度，不常用。为了方便，常常采用相对误差来表示。为了方便，常常采用相对误差来表示。2、间接测定值的误差分析、间接测定值的误差分析间间接接测测定定值值可可以以看看作作各各有有关关直直接接测测定定值值的的函函数数，利利用用误差传递公式，由自由变量的误差，算出函数的误差。误差传递公式，由自由变量的误差，算出函数的误差。例例题题：测测定定钢钢筋筋的的弹弹性性模模量量E，用用绝绝对对误误差差为为0.1mm的的游游标标卡卡尺尺测测得得钢钢筋筋的的平平均均直直径径d12.0mm，加加载载试试验验机机在在5000N范范围围内内误误差差为为1%，应应变变的的总总误误差差为为2.25%，当当p5000N，220 x106时，求时，求E，并分析测量误差。并分析测量误差。解：解：按误差传播规律可知按误差传播规律可知E的绝对误差为：的绝对误差为：上上面面情情况况已已知知各各直直接接测测量量值值的的误误差差，求求间间接接测测量量值值的的误差。误差。第第二二种种情情况况：先先规规定定间间接接测测量量值值的的误误差差，来来规规定定直直接接测量值的误差。测量值的误差。例如：内容与上题相似，要求例如：内容与上题相似，要求E的相对误差为的相对误差为2%，求，求的允许误差。的允许误差。则则相对误差为相对误差为解解：由由于于p的的允允许许误误差差在在实实际际测测量量中中已已经经很很小小，的的影影响响很很小，只能对小，只能对d，两项测量精度进行改进。两项测量精度进行改进。若把游标卡尺的精度改为若把游标卡尺的精度改为0.01mm，则，则d引起的误差为：引起的误差为：则则项的允许误差项的允许误差故需选用刻度值为故需选用刻度值为1的应变仪，其相对误差为的应变仪，其相对误差为3、产生试验误差的因素、产生试验误差的因素（1）准备阶段的误差）准备阶段的误差试试件件制制作作几几何何尺尺寸寸的的误误差差；材材料料误误差差；试试件件安安装装就就位位时时的的支支撑撑点点，加加载载点点的的误误差差；试试件件安安装装时时的的水水平平度度、垂垂直直度的误差；制作初应力引起的误差等。度的误差；制作初应力引起的误差等。（2）加载试验阶段误差）加载试验阶段误差荷荷载载示示值值误误差差，加加载载点点及及支支撑撑点点摩摩擦擦力力的的误误差差；加加载载史的误差；仪表安装位置的误差；测量系统的各种误差。史的误差；仪表安装位置的误差；测量系统的各种误差。（3）数据处理阶段的误差）数据处理阶段的误差运算及处理方法的误差。运算及处理方法的误差。5-3试验结果的表达试验结果的表达一、试验结果的表达的要求一、试验结果的表达的要求试验结果应包含的内容需视试验目的而定。试验结果应包含的内容需视试验目的而定。1、鉴定性试验、鉴定性试验需需要要给给出出试试验验结结构构的的强强度度、刚刚度度等等方方面面的的结结果果，对对于于混混凝土结构还应给出有关裂缝的分布，发展等方面的结果。凝土结构还应给出有关裂缝的分布，发展等方面的结果。2、研究性试验、研究性试验除鉴定性试验要求的内容以外，一般还要给出所研究除鉴定性试验要求的内容以外，一般还要给出所研究的各种变动因素和结构力学性能之间的关系，从中找出规的各种变动因素和结构力学性能之间的关系，从中找出规律。律。二、试验结果的表达形式二、试验结果的表达形式试验数据表达方式：试验数据表达方式：表格、图像（曲线）和函数（经验公表格、图像（曲线）和函数（经验公式）式）1、表格方式、表格方式分类：分类：汇总表格、关系表格汇总表格、关系表格汇汇总总表表格格：把把试试验验结结果果中中的的主主要要内内容容或或试试验验中中的的某某些些重重要要数数据据汇汇集集在在一一个个表表格格中中，起起着着类类似似于于摘摘要要和和结结论论的的作作用，表中的行与行、列与列之间一般没有必然的关系。用，表中的行与行、列与列之间一般没有必然的关系。关关系系表表格格：把把相相互互有有关关的的数数据据按按一一定定的的格格式式列列于于表表中中，表表中中列列与与列列、行行与与行行之之间间都都有有一一定定的的关关系系，它它的的作作用用是是使使有有一一定定关关系系的的若若干干个个变变量量的的数数据据更更加加清清楚楚地地表表示示出出变变量量之之间的关系和规律。间的关系和规律。特点：数据具体，简易醒目，但是不便于看出规律特点：数据具体，简易醒目，但是不便于看出规律。2、图像方式、图像方式图图像像表表达达方方式式有有：曲曲线线图图、直直方方图图、形形态态图图和和馅馅饼饼图图等，其中最常用的是曲线图和形态图。等，其中最常用的是曲线图和形态图。1）曲线图）曲线图作用：作用：（1）曲曲线线可可以以清清楚楚、直直观观地地显显示示两两个个或或两两个个以以上上的的变变量量之之间间关关系系的的变变化化过过程程，或或显显示示若若干干个个变变量量数数据据沿沿某某一一区区域的分布；域的分布；（2）曲曲线线可可以以显显示示变变化化过过程程或或分分布布范范围围中中的的转转折折点点、最高点、最低点及周期变化的规律；最高点、最低点及周期变化的规律；（3）对对于于定定性性分分析析和和整整体体分分析析来来说说，曲曲线线图图是是最最合合适适的方法。的方法。2）形态图）形态图把结构在试验时的各种难以用数值表示的形态，用把结构在试验时的各种难以用数值表示的形态，用图像表示，这类的形态如混凝土结构的裂缝情况、结构的图像表示，这类的形态如混凝土结构的裂缝情况、结构的变形状态、结构的破坏状态等等，这种图像就是形态图。变形状态、结构的破坏状态等等，这种图像就是形态图。形态图有：照片、手工画图形态图有：照片、手工画图（1）照照片片形形式式的的形形态态图图可可以以真真实实地地反反映映实实际际情情况况，但但有时却把一些不需要的细节也包括在内；有时却把一些不需要的细节也包括在内；（2）手手工工画画的的形形态态图图可可以以对对实实际际情情况况进进行行概概括括和和抽抽象象，突出重点，更好地反映本质情况。突出重点，更好地反映本质情况。形态图用来表示结构的损伤情况、破坏形态等，是形态图用来表示结构的损伤情况、破坏形态等，是其他表达方法不能代替的。其他表达方法不能代替的。3）直方图和馅饼图）直方图和馅饼图直方图作用：直方图作用：（1）统计分析）统计分析通通过过绘绘制制某某个个变变量量的的频频率率直直方方图图和和累累计计频频率率直直方方图图来判断其随机分布规律。来判断其随机分布规律。（2）数值比较）数值比较把把大大小小不不同同的的数数据据用用不不同同长长度度的的矩矩形形来来代代表表，可可以以得到一个更加直观的比较。得到一个更加直观的比较。馅馅饼饼图图中中，用用大大小小不不同同的的扇扇形形面面积积来来代代表表不不同同的的数数据，得到一个更加直观的比较。据，得到一个更加直观的比较。特点特点：表达直观，便于展示整个试验过程中的转折表达直观，便于展示整个试验过程中的转折点、最高点、最低点以及周期性的变化规律。点、最高点、最低点以及周期性的变化规律。3、函数方式、函数方式把把试试验验数数据据之之间间存存在在的的关关系系用用函函数数的的形形式式表表示示即即为为函函数数方方式式。这这种种表表示示更更精精确确、更更完完善善。试试验验数数据据之之间间的的关关系建立一个函数，包括两个工作：系建立一个函数，包括两个工作：（1）确定函数形式确定函数形式函函数数形形式式可可以以从从试试验验数数据据的的分分布布规规律律中中得得到到，通通常常是是把把试试验验数数据据作作为为函函数数坐坐标标点点画画在在坐坐标标纸纸上上，根根据据这这些些函函数数点点的的分分布布规规律律或或由由这这些些点点连连成成的的曲曲线线的的趋趋向向，确确定定一一种种函函数形式。数形式。（2）求函数表达式的系数求函数表达式的系数对对某某一一试试验验结结果果，确确定定了了函函数数形形式式后后，应应通通过过数数学学方方法法求求其其系系数数，所所求求得得的的系系数数使使得得这这一一函函数数与与试试验验结结果果尽尽可可能相符。常用的数学方法有回归分析和系统识别。能相符。常用的数学方法有回归分析和系统识别。特点：具有明确的数学表达式，形式紧凑，自变量与特点：具有明确的数学表达式，形式紧凑，自变量与因变量的关系明确，便于分析应用。但是难于得到。因变量的关系明确，便于分析应用。但是难于得到。5-4回归分析回归分析一、一、回归分析原理回归分析原理回归（回归（regression）这一术语是）这一术语是1886年高尔顿年高尔顿（Galton）研究遗传现象时引进的，如今，人们将回归）研究遗传现象时引进的，如今，人们将回归分析理解为研究变量间统计依赖关系的方法分析理解为研究变量间统计依赖关系的方法,成为统计成为统计中最常用的概念之一中最常用的概念之一定义：回归分析是处理大量的试验数据，寻找不完全定义：回归分析是处理大量的试验数据，寻找不完全确定变量关系的一种数理统计方法。确定变量关系的一种数理统计方法。最简单的情况是对于两个或多个存在着统计相关最简单的情况是对于两个或多个存在着统计相关的随机变量，根据大量有关的测量数据来确定它们之间的随机变量，根据大量有关的测量数据来确定它们之间的回归方程（经验公式）。这种数学处理过程也称为的回归方程（经验公式）。这种数学处理过程也称为拟拟合过程合过程。回归分析解决的问题回归分析解决的问题u从一组数据出发，确定其中的变量之间是否存在相关从一组数据出发，确定其中的变量之间是否存在相关关系，如果存在，确定这些变量间的定量关系。关系，如果存在，确定这些变量间的定量关系。u对关系式的可信程度进行统计检验。对关系式的可信程度进行统计检验。u从影响着某一个量的许多因素中，进行因素分析，判从影响着某一个量的许多因素中，进行因素分析，判断哪些变量的影响是显著的，哪些是不显著的。断哪些变量的影响是显著的，哪些是不显著的。u利用所求得的关系进行预报与控制。利用所求得的关系进行预报与控制。u根据预报和控制提出的要求，选择试验点，对试验进根据预报和控制提出的要求，选择试验点，对试验进行某种设计。行某种设计。u寻求点数较少且具有较好统计性质的回归设计方法。寻求点数较少且具有较好统计性质的回归设计方法。这里主要介绍前两项的实际应用方法。这里主要介绍前两项的实际应用方法。1、一元线性回归分析、一元线性回归分析设设X,Y是反映总体的两个特征的指标。对是反映总体的两个特征的指标。对(X,Y)进进行行n次观察，获得观察值（次观察，获得观察值（xi,yi）,i=1,2,，n。从。从而得到平面上的而得到平面上的n个点，如图。在个点，如图。在n较大的情况下（较大的情况下（n较小不考虑），如果有一条曲线基本上通过这些点，较小不考虑），如果有一条曲线基本上通过这些点，或使这些点的大部分偏离曲线不远，则称这条曲线为或使这些点的大部分偏离曲线不远，则称这条曲线为观察值的拟合（曲线），亦称此曲线为观察值的拟合（曲线），亦称此曲线为y对对x的回归曲的回归曲线线。如果这条曲线的方程能表示成。如果这条曲线的方程能表示成y=f(x)，则称方程，则称方程y=f(x)为为y对对x的的回归方程回归方程。当此曲线是直线时，就称。当此曲线是直线时，就称之为之为直线回归直线回归。设经回归分析之后得出的设经回归分析之后得出的x，y两个变量的关系式为两个变量的关系式为上式称为回归方程，其中上式称为回归方程，其中a、b称为称为回归系数回归系数，表示表示由回归方程得出的由回归方程得出的y值称为值称为回归值回归值。由回归方程绘出的图。由回归方程绘出的图像称为像称为回归直线回归直线。可知，回归值可知，回归值和试验值和试验值yi之差表明了回归直线与试之差表明了回归直线与试验数据偏离的程度。用验数据偏离的程度。用误差平方和误差平方和Q表示，则表示，则为了使为了使Q值最小，应使值最小，应使此方程组称为正则方程组，可以表达成以下形式：此方程组称为正则方程组，可以表达成以下形式：解之得：解之得：其中，其中，可见回归直线通过，可见回归直线通过点。点。上述求回归系数的方法称为上述求回归系数的方法称为最小二乘法最小二乘法。2、回归直线方程的显著性检验、回归直线方程的显著性检验1）定义：）定义：建立回归方程前对变量建立回归方程前对变量x，y之间是否存在之间是否存在线性关系的检验线性关系的检验。2）测定值之间差异的原因）测定值之间差异的原因（1）自变量）自变量x取值的不同。取值的不同。（2）其它因素（试验误差等）的影响。）其它因素（试验误差等）的影响。当（当（1）影响为主时，回归方程存在线性关系）影响为主时，回归方程存在线性关系（也就是说回归方程是显著的，反之不显著）。当（也就是说回归方程是显著的，反之不显著）。当（2）影响为主时，回归方程不存在线性关系，说明试）影响为主时，回归方程不存在线性关系，说明试验数据是错误的。验数据是错误的。n个观测值之间的差异可用观测值个观测值之间的差异可用观测值yi和其算术平均值和其算术平均值的偏差平方和来表示，称为的偏差平方和来表示，称为总偏差平方和总偏差平方和：其中：其中：S剩剩称为剩余平方和称为剩余平方和，它是由试验误差和其，它是由试验误差和其它未加控制的偶然因素引起的，其大小反映了试验误差它未加控制的偶然因素引起的，其大小反映了试验误差及其它因素对试验结果的影响；及其它因素对试验结果的影响；S回回称为回归平方和称为回归平方和，它是由自变量的变化引起，它是由自变量的变化引起的，其大小反映了自变量的重要性。的，其大小反映了自变量的重要性。回归效果的显著与否取决于回归效果的显著与否取决于比值的大小，比值的大小，定义定义，称，称r为为相关系数相关系数（r1）。）。讨论：（讨论：（1）当）当r0时，时，x与与y不相关，此时不相关，此时b0，x，y之间无线性关系。之间无线性关系。（2）r越小说明散点越分散，线性关系越差。越小说明散点越分散，线性关系越差。（3）r值足够大接近于值足够大接近于1时，才可用回归直线来表示时，才可用回归直线来表示x，y之间的关系。之间的关系。3、回归直线的精度、回归直线的精度S剩剩反映在排除自变量反映在排除自变量x对因变量对因变量y的线性影响后，的线性影响后，y随机波动的大小，在统计学中以剩余标准差随机波动的大小，在统计学中以剩余标准差SQ来衡量来衡量所有随机因素对所有随机因素对y的一次观测值（即对应于一个固定的的一次观测值（即对应于一个固定的x值）的影响值）的影响。注：（注：（1）SQ与与S剩剩和试验次数和试验次数n有关；有关；（2）S剩剩愈小愈小n愈大，则愈大，则SQ愈小，精度愈高。愈小，精度愈高。