第二章-利息理论基础课件

第二章利息理论基础-利息理论要点n利息的度量n利息问题求解的原则n年金n收益率n分期偿还表与偿债基金-第一节利息的度量-第一节汉英名词对照n积累值n现实值n实质利率n单利n复利n名义利率n贴现率n利息效力nAccumulated valuenPresent valuenEffective annual ratenSimple interestnCompound interestnNominal interestnDiscount ratenForce of interest-一、利息的定义n定义：n利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。n影响利息大小的三要素：n本金n利率n时期长度-二、利息的度量累积函数总额函数贴现函数第N期利息0t1-K-1-利息度量一计息时刻不同n期末计息利率n第N期实际利率n期初计息贴现率n第N期实际贴现率-例1.1 实质利率/贴现率n某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求 分别等于多少？-例1.1答案 -利息度量二积累方式不同n线形积累n单利n单贴现n指数积累n复利n复贴现-单复利计息之间的相关关系n单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。n单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。n 时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。n 时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。-例1.2 n某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单利计息、复利计息、单贴现计息、复贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少积累值？-例1.2答案-利息的度量三利息转换频率不同n实际利率：以一年为一个利息转换期，该利率记为实际利率，记为 。n名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每一期的利率为j，记 为 这一年的名义利率，。n利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬间利率叫作利息力，记为 。n实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名义利率类似。-实质利率与实质贴现率初始值利息积累值11-名义利率n 名义利率11-名义贴现率n 名义贴现率11-例1.31、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。2、如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。-例1.3答案1、2、3、-利息效力n定义：瞬间时刻利率强度-等价公式n一般公式n恒定利息效力场合-例1.4n确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值1、2、-例1.4答案-三、变利息n什么是变利息？n常见的变利息情况n连续变化场合：函数利息力n离散变化场合：-例1.51、如果 ，试确定1在n年末的积累值。2、如果实质利率在头5年为5%，随之5年为4.5%，最后5年为4%，试确定1000元在15年末的积累值。3、假定一笔资金头3年以半年度转换年利率6%计息，随之2年以季度转换8%的年贴现率计息，若5年后积累值为1000元，问这笔资金初始投资额应该为多少？-例1.5答案-第二节利息问题求解原则-一、利息问题求解四要素n原始投资本金n投资时期长度n利率及计息方式n期初/期末计息：利率/贴现率n积累方式：单利计息、复利计息n利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效力n本金在投资期末的积累值-二、利息问题求解原则n本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题n工具：现金流图n方法：建立现金流分析方程（求值方程）n原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。0现金流时间坐标-例1.6：求本金n某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利率复利计息，问X=？-例1.6答案n以第7年末为时间参照点，有n以第8年末为时间参照点，有n以其他时刻为时间参照点（同学们自己练习）-例1.7：求利率（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元，问季度计息的名义利率等于多少？（2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率=？-例1.7答案（1）（2）-例1.8：求时间n假定 分别为12%、6%、2%，问在这三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分别需要几年？-例1.8精确答案-例1.9近似答案rule of 72-例1.10：求积累值 n某人现在投资1000元，第3年末再投资2000元，第5年末再投资2000元。其中前4年以半年度转换名义利率5%复利计息，后三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末此人可获得多少积累值？-例1.10答案-第三节年金-第三节汉英名词对照n年金n支付期n延付年金n初付年金n永久年金n变额年金n递增年金n递减年金nAnnuitynPayment periodnAnnuity-immediatenAnnuity-duenperpetuitynVarying annuitynIncreasing annuitynDecreasing annuity-一、年金的定义与分类n定义n按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。n分类n基本年金n等时间间隔付款n付款频率与利息转换频率一致n每次付款金额恒定n一般年金n不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金-二、基本年金n基本年金n等时间间隔付款n付款频率与利息转换频率一致n每次付款金额恒定n分类n付款时刻不同：初付年金/延付年金n付款期限不同：有限年金/永久年金-基本年金图示 0 1 2 3 -n n+1 n+2-1 1 1 -1 0 0-1 1 1 -1 0 0 0-1 1 1 -1 1 1-1 1 1 -1 1 1-延付永久年金初付永久年金延付年金初付年金-基本年金公式推导-例1.11n一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半年转换年利率9%，求此项年金的现时值。-例1.12 n某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？-例1.12答案（1）（2）-例1.13n假定现在起立即开始每6个月付款200直到满4年，随后再每6个月付款100直到从现在起满10年，若 求这些付款的现时值。-例1.13答案n方法一：n方法二：-例1.14n有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出5万元奖金，问在年实质利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？-例1.15永久年金nA留下一笔100000元的遗产。这笔财产头10年的利息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的利息都付给慈善机构D。若此项财产的年实质利率为7%，试确定B，C，D在此笔财产中各占多少份额？-例1.15答案-基本年金公式总结年金有限年金永久年金现时值积累值现时值延付初付-未知时间问题n年金问题四要素n年金、利率、支付时期（次数）、积累值（现时值）n关注最后一次付款问题n在最后一次正规付款之后，下一个付款期做一次较小付款（drop payment）n在最后一次正规付款的同时做一次附加付款（balloon payment）-例1.16n有一笔1000元的投资用于每年年底付100元，时间尽可能长。如果这笔基金的年实质利率为5%，试确定可以作多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小付款是：（1）在最后一次正规付款的日期支付。（2）在最后一次正规付款以后一年支付（3）按精算公式，在最后一次付款后的一年中间支付。（精算时刻）-例1.16答案-变利率年金问题n类型一：时期利率(第K个时期利率为 )-变利率年金问题n类型二：付款利率（第K次付款的年金始终以利率 计息）-例1.17:n某人每年年初存进银行1000元,前4年的年利率为6%,后6年由于通货膨胀率,年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.-例1.17答案-例1.18:n某人每年年初存进银行1000元,前4次存款的年利率为6%,后6次付款的年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.-例1.18答案-三、一般年金n一般年金n利率在支付期发生变化n付款频率与利息转换频率不一致n每次付款金额不恒定n分类n支付频率不同于计息频率的年金n支付频率小于计息频率的年金n支付频率大于计息频率的年金n变额年金-支付频率不同于计息频率年金n分类n支付频率小于利息转换频率n支付频率大于利息转换频率n方法n通过名义利率转换，求出与支付频率相同的实际利率。n年金的代数分析-支付频率小于计息频率年金0k2knk计息支付111方法一:利率转换方法二:年金转换-例1.19:n某人每年年初在银行存款2000元,假如每季度计息一次的年名义利率为12%,计算5年后该储户的存款积累值.-例1.19答案n方法一:利率转换法n方法二:年金转换法-例1.20：永久年金n有一永久年金每隔k年末付款1元，问在年实质利率为i的情况下，该永久年金的现时值。-支付频率大于利息转换频率支付频率大于0第m次每次支付第2m次每次支付第nm次每次支付计息支付12n-年金分析方法n方法一：利率转换法n年金转换法-例1.21n某购房贷款8万元,每月初还款一次,分10年还清,每次等额偿还,贷款年利率为10.98%,计算每次还款额.-例1.21答案n方法一:n方法二:-例1.22：永久年金n一笔年金为每6个月付1元，一直不断付下去，且第一笔付款为立即支付，问欲使该年金的现时值为10元，问年度实质利率应为多少？-例1.22答案-年金关系延付年金初付年金现时值积累值-一般年金代数公式年金支付频率小于计息频率支付频率大于计息频率现时值积累值现时值积累值延付初付-连续年金n定义:付款频率无穷大的年金叫连续年金.n公式:-恒定利息效力场合-例1.23n确定利息效力使-变额年金n等差年金n递增年金n递减年金n等比年金-等差年金n一般形式n现时值n积累值012nPP+QP+(n-1)Q-特殊等差年金年金递增年金递减年金P=1,Q=1P=n,Q=-1现时值积累值-例1.24n从首次付款1开始,以后每次付款递增1,只增加到M,然后保持付款额不变的N年期期末付年金,可以表示成 n计算-例1.24答案-例1.25n有一项延付年金，其付款额从1开始每年增加1直至n，然后每年减少1直至1，试求其现时值。-例1.25答案-等比年金012n11+k-例1.26:n某期末付永久年金首付款额为5000元,以后每期付款额是前一期的1.05倍,当利率为0.08时,计算该永久年金的现时值.-例1.26答案-第四节收益率-第四节中英文单词对照n贴现资金流n收益率n再投资率n时间加权利率n币值加权利率nDiscounted cash flownyield ratenReinvestment ratenTime-weighted rates of interestnDollar-weighted rates of interest-贴现资金流分析n例1.27：现金流动表n按利率 投资返回的净现时值年投入回收净现金流投入净现金流返回010000010000-10000110005000-40004000210006000-50005000312007500-63006300-不同利率水平下的净现时值利率净现时值1%4976.593%4361.875%3786.8510%2501.88-收益率的概念n使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。也称为“内返回率”n用线形插值法求得上例中收益率为22.65%n收益率投资方希望收益率越高越好，借贷方希望收益率越低越好。-收益率的唯一性n例1.28：某人立即付款100元，并在第2年末付132元，以换回第1年末返回230元，求这笔业务的收益率。n解答：-收益率的唯一性n由于收益率是高次方程的解，所以它的值很可能不是唯一的。nDescartes符号定理n收益率的最大重数小于等于资金流的符号改变次数。n收益率唯一性的判定定理二n整个投资期间未动用投资余额始终为正。-未动用投资余额-收益率唯一性判别（D氏符号判别）n例1.27n例1.28年符号转变次数0-10000一次140002500036300年符号转变次数0-100两次12302-132-再投资率n本金的再投资问题n例1.29：有两个投资方案可供我们选择nA方案：实质利率为10%，为期5年nB方案：实质利率为8%，为期10年我们应该选择哪项投资？-例1.29 资金积累过程-例1.29答案n如果A五年后的再投资率6.036%,选择A。n否则选择B。-利息的再投资问题（一）例1.30:某人一次性投资10万元进基金A。该基金每年年末按7%的年实质利率返还利息，假如利息可按5%实质利率再投资，问10年后这10万元的积累金额等于多少？-0 01 12 21010例1.30的积累过程-利息再投利息再投资帐户资帐户基金基金帐户帐户-例1.31答案-利息的再投资问题（二）n例1.32（例1.31续）n假如此人在10年期内每年年初都投资1万元进基金A，本金按7%年实质利率计息，而利息可按5%实质利率再投资，那么第10年末该这10万本金的积累金额又等于多少？-0 01 12 21010例1.32的积累过程-基金基金帐户帐户利息再投利息再投资帐户资帐户-基金收益率计算n基本符号nA=初始资金nB=期末资金nI=投资期内利息nCt=t时期的净投入（可正可负）nC=n 在b时刻投资1元，经过a时期的积累，产生的利息-币值加权方法-时间加权方法n原理时间 012-m-1m投资C1C2C3Cm-1金额B0B1B2Bm-1Bm收益率j1j2j3jm-1jm-基本公式-例1.32n某投资基金n1月1日，投资100000元n5月1日，该笔资金额增加到112000元,并再投资30000元n11月1日，该笔资金额降低为125000元，并抽回投资42000元。n次年1月1日，该资金总额为100000元。n请分别用币值加权的方法和时间加权的方法计算这一年该投资基金的年收益率。-例1.32答案-币值加权和时间加权的比较n都是计算单位时期投资收益率的方法n币值加权方法重点考察的是整个初始本金经过一个单位时期综合投资之后的实际受益率。n时间加权方法得到的是在这种市场条件下能达到的理论收益率。它可以作为考察投资正确与否的某个指标。-第五节分期支付与偿债基金-第五节中英文单词对照n分期偿还方法n分期偿还表n偿债基金n偿债基金表nAmortization methodnAmortization schedulenSinking fundnSinking fund schedule-债务偿还方式n分期偿还：n借款人在贷款期内，按一定的时间间隔，分期偿还贷款的本金和利息。n偿债基金：n借款人每期向贷款人支付贷款利息，并且按期另存一笔款项，建立一个基金，在贷款期满时这一基金恰好等于贷款本金，一次偿付给贷款者。-分期偿还n常见分期偿还类型n等额分期偿还n不等额分期偿还n递增分期偿还n递减分期偿还n分期偿还五要素n时期 n每次还款额 n每次偿还利息n每次偿还本金n未偿还贷款余额-分期偿还表（等额贷款为例）时期每次还款额每次偿还利息每次偿还本金贷款余额0-11k1n10总计n-例1.33n某借款人每月末还款一次，每次等额还款3171.52元，共分15年还清贷款。每年计息12次的年名义利率为5.04%。计算（1）第12次还款中本金部分和利息部分各为多少？（2）若此人在第18次还款后一次性偿还剩余贷款，问他需要一次性偿还多少钱？前18次共偿还了多少利息？-例1.33答案-偿债基金n常见偿债基金类型n等额偿债基金n不等额偿债基金n偿债基金六要素n时期 n每期偿还利息n每次存入偿债基金金额n每期偿债基金所得利息n偿债基金积累额n未偿还贷款余额-偿债基金表（贷款利率i，偿债基金利率j，贷款1元）时期支付贷款利息每期偿债基金储蓄每期偿债基金利息偿债基金积累值未偿还贷款余额0-1102Kn10-偿债基金利息本金分析n对偿债基金而言，第次付款的实际支付利息为：n第次付款的实际偿还本金为：-例1.34nA曾借款1万元,实质利率为10%.A积累一笔实质利率为8%的偿债基金一偿还这笔贷款.在第10年末偿债基金余额为5000元,在第11年末A支付总额为1500元,问n1500中又多少是当前支付给贷款的利息?n1500中有多少进入偿债基金?n1500中又多少应被认为是利息?n1500中有多少应被视为本金?n第11年末的偿债基金余额为多少?-例1.34答案-例1.35n(1)一位借款人向贷款人借L元贷款,在10年内以每年年末付款来偿还这一实质利率为5%的贷款,其付款方式为:第一年付款200元,第二年付190元,如此递减至第10年末付110元.求贷款金额L.n(2)假如该借款人贷款年限与付款方式与(1)相同,但采用偿债基金形式还清贷款.在还款期内该借款人向贷款人每年支付实质利率为6%的利息,并以实质利率为5%的偿债基金以偿还贷款金额,求贷款金额L.-例1.35答案-