第二章-个别保单的理赔额与理赔次数模型课件

第二章 个别保单的理赔额与理赔次数模型第一节第一节 理赔额的分布理赔额的分布 一、常用名词 投保人（insurer）承保人,保险公司（insurance）损失事件,理赔（loss event or claim）注意：事故不等于损失事件损失额（loss）理赔事件（payment event）赔付额，理赔额（amount paid）注意：损失事件不等于理赔事件，理赔额不等于损失额 保保险公司的理公司的理赔过程程（1）发生保生保险事故，造成事故，造成财产损失或人身失或人身伤亡；亡；（2）被保）被保险人提出索人提出索赔，保，保险公司根据保公司根据保险事故的事故的实际发生情况生情况进行理行理赔。但并不是所有的保。但并不是所有的保险事故都必然引起事故都必然引起索索赔，而且保，而且保险公司的理公司的理赔额也并不也并不总是等于是等于实际的的损失失额。记号：号：X表示投保人表示投保人实际损失失额（ground-up loss）。）。I(X)表表示示投投保保人人每每次次损损失失事事件件中中获获得得的的实实际际索索赔额赔额(amount paid per loss)。YP表表示示保保险人人每每次次理理赔事事件件的的赔付付额(amount paid per payment)，简称理称理赔额;2.1.1 保单限额（保单限额（Policy limit）含含义义：每每次次保保险险事事故故中中按按保保险险单单所所约约定定的的最最高高赔赔偿金额。偿金额。若规定保单限额为若规定保单限额为L数学形式：数学形式：,二、常见的部分赔偿形式有限期望函数 性质1.2.对于非负随机变量X,3、对非负随机变量X,证明：例例1 1：设某险种的损失额X具有密度函数假定最高理赔额为L=4万元,求理赔额的期望是多少?解解：设理赔额为Y，则由知 2.1.2、免、免赔额（deductible）含含义：当当损失失额低低于于某某一一限限额时不不做做赔偿，这一一限限额称称为免免赔额（或或自自付付额），当当损失失额高高于于免免赔额，只只赔偿高高出出的的部部分分。如如果果同同时规定定了了最最高高保保单限限额L和和免免赔额d，则投保人投保人实际能得到的最高能得到的最高赔偿金金额为L-d.X为一次保险事故造成的实际损失，假设保单规定免赔额为d，每次损失事件中被保险人获得的实际赔付额为：Id(X),则投保人自留的风险为：当索赔额Xd时，被保险人不会提出索赔要求，保险人无需进行理赔，理赔额也就不存在。只有当Xd时，才进行理赔，理赔额为X-d。Yp的分布是在Xd的条件下，Xd的条件分布。记Yp的分布函数记为 ，当y0时为，当y0时，Yp的分布密度函数可以写为例例1：已知某风险标的的原始损失额如下：012340.40.20.20.150.5假设免赔额为1，求每次理赔事件的赔付额Y和每次损失事件的赔付额的分布。012340.40.20.20.150.0500123123000.50.3750.125注意：如果同时规定最高保单限额为L，免赔额为d，则投保人所能得到的最高赔偿金额为Ld。则每次损失事件的实际赔付额I(X)可表示为：每次理赔事件的理赔额表示为：YP的分布容易计算，理赔额的期望 由于显然，理赔额的期望：实际赔付额的期望为：2.1.3.相对免赔额：当损失满足一定条件，保险公司才给予赔偿，并且补偿索赔损失的全部。这种相对免赔额条款通常存在于残疾保险中。假设保单规定相对免赔额为d，每次损失事件中被保险人获得的实际赔付额为Id(X),则当损失额Xd时，被保险人没有获得赔付，保险人无需进行理赔，理赔额也就不存在。只有当Xd时，保险人对损失事件进行全额赔付，理赔额为YP：分布为2.1.4、比例分担含义：在保险单中约定一个比例常数，当损失事故中的实际损失额为X时，保险公司只赔付aX，例如，a0.8当免赔额、保单限额和比例分担三者同时存在时例例:设某医疗保险单上规定了免赔额为100,保单限额为5,000，有三个投保人看病花费分别为50,4000,和5500,问他们获得的赔付额各是多少?解解：设Xi表示第i个投保人的损失额,Yi表示他所获得的赔付,则所以，由X1=50,X2=4000,X3=5500,得Y1=0,Y2=4000-100=3900,Y3=5000-100=4900例例3：假设某险种的保单规定免赔额为100元，保单限额为1,000元。假设损失服从Weibull分布，求理赔额Y的分布。解解：设X表示实际损失额，Y表示理赔额，则Y的分布函数和分布密度分别为当y900时，2.1.5 通货膨胀效应1、通货膨胀率已知为r对损失额的影响设X表示过去时期内损失额,Z表示现在或未来时期内的损失额,则两者的关系为Z=(1+r)X。容易计算得到对理赔额的影响：定定理理：设X表示实际损失额,免赔额为d,最高保单限额为L和比例分担额a,通货膨胀率为r,则明年每次损失赔付额为每次理赔的理赔额为例例:假设某险种在2003年的实际损失额服从离散分布，。保单上规定每次损失的免赔额为1500元。假设从2003年到2004年的通货膨胀额为5，2004年的免赔额保持不变，求2004年的每次损失赔付额的期望是多少。比今年相比，增长率是多少？解解今年每次损失的索赔额为明年每次损失的索赔额为增长率为82、通货膨胀率是随机的考虑模型Y=CX,随机变量C和X是独立的,C1，C表示随机通货膨胀,一般是主观预测得来，设其分布函数为FC(c),密度为fC(c)。若X的分布函数为满足 ，则容易计算出，明年的损失额的期望和方差为这是因为例例：预测明年的通货膨胀率在2%到6%之间，而且低通货膨胀率的可能性更大。设损失X服从均值为10的指数分布，求明年损失额的期望。解解：不妨考虑这样一个密度函数其中这个密度函数满足低通货膨胀率的可能性更大这个条件。经计算得到C的期望和方差为于是由公式计算得到第二节 理赔次数的分布2.2.1（a,b,0）分布族定义2.2 设随机变量N的分布列 满足：2.2.2（a,b,1）分布族在保险实践中，有时(a,b,0)分布不能充分反映经验数据的特征，特别是在0点的特征。理赔事件在0点的概率表示保单在观察期内没有发生索赔的概率，由于保险事故发生的比率一般都很低，所以理赔次数在0点的概率很大。但有时也可能出现在0点的概率低于预期或为0的情况。为了更准确的拟合零点的概率值，要对(a,b,0)分布在0点的值做调整。2.2.3理赔次数分布的混合模型设每张保单的理赔次数的分布属于同一类型，但参数不同，参数可以分为离散和连续两类。2.2.4 免赔额对理赔次数的分布的影响运用此类方法可以分析当免赔额发生变化时，理赔次数发生的变化。设原来的免赔额为d,现在免赔额调整为d*,分析调整后的理赔次数发生了什么变化。