第二章--流体静力学课件

第二章第二章 流体静力学流体静力学 流体静力学研究平衡流体的力学规律及其流体静力学研究平衡流体的力学规律及其应用。应用。平衡包括两种：平衡包括两种：一种是流体对地球无相对一种是流体对地球无相对运动，一种是流体对运动容器无相对运动。运动，一种是流体对运动容器无相对运动。前前者称为重力场中的流体平衡，后者称为流体的者称为重力场中的流体平衡，后者称为流体的相对平衡。其实这只是按习惯认为地球是固定相对平衡。其实这只是按习惯认为地球是固定而划分的，如果将地球也视为运动容器，则一而划分的，如果将地球也视为运动容器，则一切平衡都是相对于坐标系的相对平衡。切平衡都是相对于坐标系的相对平衡。平衡流体互相之间没有相对运动，因平衡流体互相之间没有相对运动，因而流体粘性在平衡状态下无从显示，流体而流体粘性在平衡状态下无从显示，流体静力学中的一切原理都适用于实际流体。静力学中的一切原理都适用于实际流体。分析与实验结果完全一致。流体静力学是分析与实验结果完全一致。流体静力学是工程流体力学中独立完整而又严密符合实工程流体力学中独立完整而又严密符合实际的一部分内容，这里的理论不需要实验际的一部分内容，这里的理论不需要实验修正。修正。2-1 平衡流体上的作用力 从平衡流体中取体积为从平衡流体中取体积为V的任意微团的任意微团(如图如图2-1）作为分离体。作用在流体微团上的力可以分为两种：作为分离体。作用在流体微团上的力可以分为两种：一、质量力一、质量力 与流体微团质量大小有关并且集中作用在微团质与流体微团质量大小有关并且集中作用在微团质量中心上的力称为质量力。量中心上的力称为质量力。考虑到相对平衡的各种实际情况，质量力主要有考虑到相对平衡的各种实际情况，质量力主要有重力重力W=mg、直线运动惯性力直线运动惯性力Fi m a、离心离心惯性力惯性力FR m r2 等等。这些力的矢量和用等等。这些力的矢量和用Fm表示，则表示，则 Fm m am=m(fxi+fyj+fzk)等于单位质量力，即单位质量的质量等于单位质量力，即单位质量的质量力；力；、为单位质量力在为单位质量力在x、y、z轴上的轴上的投影，或简称为单位质量分力。投影，或简称为单位质量分力。如果微团极限缩为一点，有限增量符号如果微团极限缩为一点，有限增量符号改写改写成微分符号成微分符号d，则则二、表面力二、表面力 流体微团在流体内部不是孤立存在的，它流体微团在流体内部不是孤立存在的，它与相邻微团在相互之间的接触表面上应该有力与相邻微团在相互之间的接触表面上应该有力的相互作用。这种力起源于微团内部的分子运的相互作用。这种力起源于微团内部的分子运动，定义流体质点或微团时虽然不考虑其中的动，定义流体质点或微团时虽然不考虑其中的个别分子，但分子总体的平均统计作用是不能个别分子，但分子总体的平均统计作用是不能忽略的，这样我们取出图忽略的，这样我们取出图2-l所示的流体微团作所示的流体微团作为分离体时，必须相应地将周围流体或固体对为分离体时，必须相应地将周围流体或固体对它的作用以力的形式加于分离体微团表面上，它的作用以力的形式加于分离体微团表面上，这样才能维持微团原来的平衡状态。这样才能维持微团原来的平衡状态。这种这种大小与表面面积有关而且分布作用大小与表面面积有关而且分布作用在流体表面上的力称为表面力在流体表面上的力称为表面力。表面力按其作用方向可以分为两种：一表面力按其作用方向可以分为两种：一种是沿表面内法线方向的压力，一种是沿表种是沿表面内法线方向的压力，一种是沿表面切向的摩擦力，因为流体不能抵抗拉力，面切向的摩擦力，因为流体不能抵抗拉力，所以除液体自由表面处的微弱表面张力外，所以除液体自由表面处的微弱表面张力外，在流体内部是不存在拉力或张力的。在流体内部是不存在拉力或张力的。作用在平衡流体上的表面力只有沿受压作用在平衡流体上的表面力只有沿受压表面内法线方向的所谓流体静压力。表面内法线方向的所谓流体静压力。流体静压力是一个有大小、方向、流体静压力是一个有大小、方向、合力合力作用点的矢量，它的大小和方向都与其受压作用点的矢量，它的大小和方向都与其受压面密切相关。面密切相关。如图如图2-1所示，在流体微团上取微元面积所示，在流体微团上取微元面积A，设作用在设作用在A表面上的总压力大小为表面上的总压力大小为F。一般一般说来受压表面上各点流体静压力的强度不一定说来受压表面上各点流体静压力的强度不一定相等，相等，代表受压面上的平均流体静压强，而代表受压面上的平均流体静压强，而当当A 0时、流体微团极限成为某一个坐标时、流体微团极限成为某一个坐标(x,y,z)点上的流体质点，则平均流体静压强点上的流体质点，则平均流体静压强的极限的极限称为一点的流体静压强。称为一点的流体静压强。微元表面上的流体静压力矢量的表达式为微元表面上的流体静压力矢量的表达式为因而作用在某个有限表面因而作用在某个有限表面A上的流体静压力矢上的流体静压力矢量为量为2-2 流体平衡的微分方程式流体平衡的微分方程式一、欧拉平衡方程式一、欧拉平衡方程式 如图2-3，在平衡流体中任取一个微元六面体ABCDE，设ABdx、ACdy、ADdz均为无穷小量，A点密度为、压强为p由由(2-1)式可得流体的质量力为式可得流体的质量力为流体的表面力，可以根据流体的表面力，可以根据(2-4)(2-4)及及(2-7)(2-7)式写出式写出为为式中式中 是是DCDC、BDBD、BCBC面上一点的压强，面上一点的压强，、分别是分别是DEDE、CECE、DEDE面上一点的压强。面上一点的压强。方程式的推导过程说明：方程式的推导过程说明：微元平衡流体微元平衡流体的质量力与表面力无论在任何方向上都应该的质量力与表面力无论在任何方向上都应该保持平衡，即质量力与该方向上表面力的合保持平衡，即质量力与该方向上表面力的合力应该等值反向。力应该等值反向。此外从方程式还可看到：此外从方程式还可看到：平衡流体受哪个方向的质量分力，则流体静平衡流体受哪个方向的质量分力，则流体静压强沿该方向必然发生变化；反之，如果哪压强沿该方向必然发生变化；反之，如果哪个方向没有质量分力，则流体静压强在该方个方向没有质量分力，则流体静压强在该方向上必然保持不变。假如可以忽略流体的质向上必然保持不变。假如可以忽略流体的质量力，则这种流体中的流体静压强必然处处量力，则这种流体中的流体静压强必然处处相等这正是在简化处理机械或仪器中的气相等这正是在简化处理机械或仪器中的气体平衡问题时所常常遇到的情况。体平衡问题时所常常遇到的情况。三、等压面微分方程式三、等压面微分方程式 流体中压强相等各点所组成的平面或曲面叫作流体中压强相等各点所组成的平面或曲面叫作等压面，等压面上等压面，等压面上pCdp0由由(2-13)式可见等压面的微分方程式是式可见等压面的微分方程式是等压面有三个性质：等压面有三个性质：1等压面也是等势面。等压面也是等势面。由由(2-15)式可见式可见dp0时时dw=0W=0 质量力势函数等于常数的面叫作等势面，所以等质量力势函数等于常数的面叫作等势面，所以等压面也就是等势面。压面也就是等势面。在重力场中，在重力场中，Wgz，所以当所以当W=C时，其等势时，其等势面或等压面必然是由面或等压面必然是由 z=C (2-19)所代表的水平面族。与大气接触的自由表面当然也所代表的水平面族。与大气接触的自由表面当然也是等压面，这正是是等压面，这正是“水平面水平面”一词的来由。不过应一词的来由。不过应当注意，自由表面虽然始终是等压面，但在流体受当注意，自由表面虽然始终是等压面，但在流体受其他质量力作用时其自由表面却不一定是水平的。其他质量力作用时其自由表面却不一定是水平的。2等压面与单位质量力矢量垂直。等压面与单位质量力矢量垂直。这一性质可用等压面方程式这一性质可用等压面方程式(2-18)证明。证明。因为因为 、是单位质量力是单位质量力 的三个投影，的三个投影，dx、dy、dz是等压面上任意微元线段是等压面上任意微元线段ds的三的三个投影，于是个投影，于是(2-18)式可写成式可写成 两矢量点积为零，说明两矢量相互垂直。两矢量点积为零，说明两矢量相互垂直。ds是等压面上的任意线段，因而等压面与单是等压面上的任意线段，因而等压面与单位质量力相互垂直。位质量力相互垂直。3两种不相混合平衡液体的交界面必两种不相混合平衡液体的交界面必然是等压面。然是等压面。如图如图2-5，假定密闭容器与地球有某种相，假定密闭容器与地球有某种相对运动，而其中密度为对运动，而其中密度为1及及2的两种不相混的两种不相混 合液体在容器中处于平衡状态。合液体在容器中处于平衡状态。2-3 重力场中的平衡流体重力场中的平衡流体 重力场中的平衡流体是流体静力学的重力场中的平衡流体是流体静力学的主要研究对象。重力场中的欧拉平衡方程主要研究对象。重力场中的欧拉平衡方程式可以写成式可以写成 根据流体的压缩性，下面分成两种情根据流体的压缩性，下面分成两种情况来讨论它的积分并进而求解重力场中平况来讨论它的积分并进而求解重力场中平衡流体的静压强分布规律衡流体的静压强分布规律。对于连续、均质的不可压缩流体来说，其密对于连续、均质的不可压缩流体来说，其密度是恒定的常量，因而度是恒定的常量，因而(2-21)式变成式变成 或或在流体连续区域内积分，则在流体连续区域内积分，则 这就是重力场中连续、均质、不可压缩流体这就是重力场中连续、均质、不可压缩流体的静压强基本公式。式中左端的的静压强基本公式。式中左端的z和和p代表平衡流代表平衡流体中任何一点的铅直坐标及静压强，右端是可以体中任何一点的铅直坐标及静压强，右端是可以由边界条件确定的积分常数。由此，同样可以看由边界条件确定的积分常数。由此，同样可以看出压强等于常量的等压面是铅直坐标恒定的水平出压强等于常量的等压面是铅直坐标恒定的水平面。面。1静压强基本公式的物理意义静压强基本公式的物理意义2静压强分布规律静压强分布规律静压强基本公式中的积分常数静压强基本公式中的积分常数C可以用平衡液可以用平衡液体自由表面上的边界条件：体自由表面上的边界条件：来确定。来确定。于是于是移项得移项得 这就是不可压缩流体的静压强分布规律。这就是不可压缩流体的静压强分布规律。公式说明一点上的流体静压强公式说明一点上的流体静压强p p是由两个独是由两个独立部分组成的。一部分是自由液面上的压强立部分组成的。一部分是自由液面上的压强 ，一部分是单位截面上的液柱重力，一部分是单位截面上的液柱重力 。静压强分布规律也可以用静压强分布图静压强分布规律也可以用静压强分布图表示。如图表示。如图2-82-8 2-4 2-4 静压强的计算与测量静压强的计算与测量 一、静压强的计算标准一、静压强的计算标准 不可压缩平衡液体的自由液面如果与大气连通，则不可压缩平衡液体的自由液面如果与大气连通，则公式公式(2-25)(2-25)中的中的 等于大气压强等于大气压强 ，于是，于是这样表示的压强显然包括大气压在内以绝对真空为计这样表示的压强显然包括大气压在内以绝对真空为计算标准。如图算标准。如图2-92-9所示，所示，以绝对真空为起点计算压强以绝对真空为起点计算压强大小，称为绝对压强大小，称为绝对压强；工程上的测压仪表在当地大气压下的读数为零，仪表工程上的测压仪表在当地大气压下的读数为零，仪表上的读数只表示流体压强比当地大气压大多少或者小上的读数只表示流体压强比当地大气压大多少或者小多少，因此测压表是以当地大气压为计算标准、如图多少，因此测压表是以当地大气压为计算标准、如图2-92-9所示，所示，比当地大气压大多少的压强叫作计示压强比当地大气压大多少的压强叫作计示压强或表压强或表压强，比当地大气压小多少的压强叫作真空度比当地大气压小多少的压强叫作真空度。二、静压强的计量单位二、静压强的计量单位静压强计量单位有三种。静压强计量单位有三种。1应力单位应力单位 Pa 2液柱高单位液柱高单位 mmH2O ,mmHg 3大气压单位大气压单位 atm 三、静压强的测量三、静压强的测量 流体静压强的测量仪表主要有三种：金属流体静压强的测量仪表主要有三种：金属式、电测式和液柱式。金属式中使待测压强与式、电测式和液柱式。金属式中使待测压强与金属弹性元件的变形成比例，可测计示压强的金属弹性元件的变形成比例，可测计示压强的叫压强表可测真空度的叫真空表，金属式量叫压强表可测真空度的叫真空表，金属式量程较大，多用于液压传动中。电测式将弹性元程较大，多用于液压传动中。电测式将弹性元件的机械变形转化成电阻、电容、电感等电量，件的机械变形转化成电阻、电容、电感等电量，便于远距离测量及动态测量。液柱式仪表测量便于远距离测量及动态测量。液柱式仪表测量精度高，但量程较小，一般用于低压实验场所。精度高，但量程较小，一般用于低压实验场所。常见的液柱式仪表有下述几种：常见的液柱式仪表有下述几种：2-5 2-5 平衡流体对壁面的作用力平衡流体对壁面的作用力 工程上常常遇到计算油箱、水箱、密封工程上常常遇到计算油箱、水箱、密封容器、管道、锅炉、水池及堤坝等结构物的容器、管道、锅炉、水池及堤坝等结构物的强度，计算液体中潜浮物体的受力，以及液强度，计算液体中潜浮物体的受力，以及液压油缸、活塞及各种形状阀门的受力等等问压油缸、活塞及各种形状阀门的受力等等问题，这种平衡流体作用在壁面上的力就是流题，这种平衡流体作用在壁面上的力就是流体静压力。流体静压力的大小、方向、作用体静压力。流体静压力的大小、方向、作用点当然都与受压面的形状及受压面上流体静点当然都与受压面的形状及受压面上流体静压强的分布有关。如果受压面积上的静压强压强的分布有关。如果受压面积上的静压强相同，则相同，则 ，这种简单情况无需讨论。，这种简单情况无需讨论。下面主要介绍受压面上各点静压强不同时，下面主要介绍受压面上各点静压强不同时，如何计算壁面上的流体静压力的问题。如何计算壁面上的流体静压力的问题。一、任意空间壁面上的流体静压力一、任意空间壁面上的流体静压力 如图如图2-16所示，在与平衡液体相接触的空间所示，在与平衡液体相接触的空间壁面壁面A上任取一个微元面积上任取一个微元面积A，它的矢量式为它的矢量式为AnA，或取极限时或取极限时dA nd dA，假定它的假定它的淹没深度是淹没深度是h，则其计示压强则其计示压强 ，于是，于是微元面积上的流体静压力为微元面积上的流体静压力为整个受压面积整个受压面积A上的流体静压力为上的流体静压力为 计算壁面上的流体静压力时，式中计算壁面上的流体静压力时，式中的静压强产一般只用计示压强即可，因的静压强产一般只用计示压强即可，因为壁面无论是全部或部分与液体接触，为壁面无论是全部或部分与液体接触，它四面八方所受大气压的作用都是互相它四面八方所受大气压的作用都是互相平衡的。以大气压为零的计示压强计算，平衡的。以大气压为零的计示压强计算，则无需考虑未与液体接触的部分壁面上则无需考虑未与液体接触的部分壁面上的大气压作用，这样要简单得多。的大气压作用，这样要简单得多。对空间壁面来说，对空间壁面来说，(2-49)式所表示的流体式所表示的流体静压力实际是一个空间非平行力系的矢量和，静压力实际是一个空间非平行力系的矢量和，为了积分方便，通常将微元面积上的流体静为了积分方便，通常将微元面积上的流体静压力压力dF投影在投影在x、y、z三个坐标轴上，可得三个坐标轴上，可得 沿每个坐标方向即可得到一组平行力系，沿每个坐标方向即可得到一组平行力系，对平行力系求和即可得出作用在空间壁面上流对平行力系求和即可得出作用在空间壁面上流体静压力的三个分量为体静压力的三个分量为式中前两个积分式中，由于式中前两个积分式中，由于A与微元面积与微元面积dAx 或或dAy平行，积分结果为对水平轴的面积矩，平行，积分结果为对水平轴的面积矩，ghc为投影面积为投影面积Ax 或或Ay的的形心处的计示压强。形心处的计示压强。(2-50)式的最末一个积分式中，水深式的最末一个积分式中，水深h与与微元面积微元面积dAz是是垂直关系，因而积分式是一个垂直关系，因而积分式是一个纯几何体积，这个体积由曲面纯几何体积，这个体积由曲面A、经曲面外缘经曲面外缘所作的铅直投影面及液面所作的铅直投影面及液面(或液面延伸面或液面延伸面)所围所围成，这体积用成，这体积用VF表示称为压力体体积。表示称为压力体体积。gVF称为压力体液重。即称为压力体液重。即(2-50)的最未一式说明的最未一式说明：作用在劈面上流体静压力的铅直分力：作用在劈面上流体静压力的铅直分力Fz等于等于曲面上方压力体体积的液重。曲面上方压力体体积的液重。这里需要注意的是，压力体体积是个纯几这里需要注意的是，压力体体积是个纯几何体积，压力体液重何体积，压力体液重gVF才具有力的量纲。才具有力的量纲。作用在曲面作用在曲面A上的静压力的大小为上的静压力的大小为静压力的方向可由下列三个方向余弦确定：静压力的方向可由下列三个方向余弦确定：静压力的矢量作用线与曲面静压力的矢量作用线与曲面A的交点称为压力的交点称为压力中心中心D。二、平面、柱面、封闭曲面上的流体静压力二、平面、柱面、封闭曲面上的流体静压力 特例特例1 1 平面上的流体静压力平面上的流体静压力如图如图2-17所示，平面所示，平面A与液面倾斜成与液面倾斜成角。角。假定平面有一个对称袖假定平面有一个对称袖LL，面积的形心面积的形心C及压力中心及压力中心D都在对称轴上。都在对称轴上。取微元面积取微元面积dA，则微元面积上的流体静压则微元面积上的流体静压力大小为力大小为对平行力系求和，则可得平面对平行力系求和，则可得平面A上的静压力为上的静压力为为了求出压力中心为了求出压力中心D在在 方向上的坐标方向上的坐标 ，可将可将平行力系对平行力系对Om轴取矩，得轴取矩，得 特例特例2 2 柱面上的流体静压力柱面上的流体静压力 如图如图2-18所示，柱面在坐标面所示，柱面在坐标面Oyz上投影为上投影为一条一条ab曲线，因而沿曲线，因而沿x方向没有作用力，从方向没有作用力，从(2-50)式可以直接得出式可以直接得出于是合力大小为于是合力大小为 合力方向为合力方向为 特例特例3 3 封闭曲面上的流体静压力封闭曲面上的流体静压力体积为体积为V的固体完全沉没在静止液体中，则成的固体完全沉没在静止液体中，则成为有封闭曲面的潜体，如图为有封闭曲面的潜体，如图2-20所示。所示。水平母线与物面接水平母线与物面接触点的连线将物面分触点的连线将物面分割成左、右两个部分，割成左、右两个部分，左半部曲面左半部曲面cad与右半与右半部曲面部曲面cbd上上所受到的所受到的水平分压力水平分压力 与与 大小大小相等方向相反而且作相等方向相反而且作用在同一条直线上，用在同一条直线上，因而整个液体水平方因而整个液体水平方向的流体静压力为零。向的流体静压力为零。铅直母线与物面接触点的连线将物面分割成铅直母线与物面接触点的连线将物面分割成上、下两个部分，上半部曲面上、下两个部分，上半部曲面acb上的铅直分上的铅直分压力方向向下，大小等于压力体压力方向向下，大小等于压力体acbef的液重，的液重，而下半部曲面而下半部曲面adb上的铅直分压力方向向上，上的铅直分压力方向向上，大小等于压力体大小等于压力体adbef的液重，因而整个潜体的液重，因而整个潜体铅直方向的流体静压力大小为铅直方向的流体静压力大小为方向向上，压力中心也就是潜体的形心。方向向上，压力中心也就是潜体的形心。不难证明，对于部分沉没在液体中，部分露不难证明，对于部分沉没在液体中，部分露在液面上的所谓浮体，上述结论也是同样适在液面上的所谓浮体，上述结论也是同样适用的，只不过此时压力体不是物体全部而用的，只不过此时压力体不是物体全部而是沉没在液体中的那部分体积。是沉没在液体中的那部分体积。三、压力体三、压力体压力体是由积分式压力体是由积分式 所确定的纯几何体积，所确定的纯几何体积，它与这块体积中究竟有无液体却又没有关系，它与这块体积中究竟有无液体却又没有关系，例如图例如图2-21所示的四个柱面所示的四个柱面ab，假如它们本身假如它们本身尺寸完全相同，而且柱面在液面下的距离也完尺寸完全相同，而且柱面在液面下的距离也完全相同，则根据积分所得的压力体体积全相同，则根据积分所得的压力体体积 也是完全相同的。也是完全相同的。由此可见所谓的压力体液重并不是压力由此可见所谓的压力体液重并不是压力体内实有的液体重力。上面四个柱面的压力体内实有的液体重力。上面四个柱面的压力体中有的充满液体，有的部分充有液体，有体中有的充满液体，有的部分充有液体，有的则完全没有液体，但这四个柱面上的压力的则完全没有液体，但这四个柱面上的压力体积既然相同，则乘以液体体积既然相同，则乘以液体 后所得的压力后所得的压力体液重，亦即四个柱面上的铅直分压力的大体液重，亦即四个柱面上的铅直分压力的大小，也是完全相等的小，也是完全相等的(当然，铅直分压力的方当然，铅直分压力的方向则需要根据液体在壁面之上还是在壁面之向则需要根据液体在壁面之上还是在壁面之下来确定下来确定)。这说明这说明压力体液重并不一定就是压力体压力体液重并不一定就是压力体内实际具有的液体重力，它只是为计算铅直内实际具有的液体重力，它只是为计算铅直分压力大小而引入的一个虚构概念分压力大小而引入的一个虚构概念。2-2-7 7液体的相对平衡液体的相对平衡 除了重力场中的流体平衡问题以外，还除了重力场中的流体平衡问题以外，还有一种在工程上常见的所谓液体相对平衡问有一种在工程上常见的所谓液体相对平衡问题：液体质点彼此之间固然没有相对运动，题：液体质点彼此之间固然没有相对运动，但盛液体的容器或机件却对地面上的固定坐但盛液体的容器或机件却对地面上的固定坐标系有相对运动。如果我们把运动坐标取在标系有相对运动。如果我们把运动坐标取在容器或机件上，则对于这种所谓的非惯性坐容器或机件上，则对于这种所谓的非惯性坐标系来说，液体就成为相对平衡了。标系来说，液体就成为相对平衡了。容器或机件如果只有匀速直线运动，则流容器或机件如果只有匀速直线运动，则流体质点的质量力仍与重力场中的情况完全一体质点的质量力仍与重力场中的情况完全一样，因此无需讨论。工程上比较常见的相对样，因此无需讨论。工程上比较常见的相对平衡有下面两种。平衡有下面两种。一、容器作匀加速直线运动一、容器作匀加速直线运动如图如图2-30，盛有液体的容器沿着与水平基面成，盛有液体的容器沿着与水平基面成角的斜角的斜面向下以匀加速度面向下以匀加速度a作直线运动。作直线运动。将运动坐标系取在将运动坐标系取在容器上，并使坐标原点容器上，并使坐标原点在自由液面上，在自由液面上，x轴垂直轴垂直纸纸 面。按动静法，成相面。按动静法，成相对平衡的液体的每个质对平衡的液体的每个质点均受有两种质量力，一点均受有两种质量力，一种是与运动方向相反的虚种是与运动方向相反的虚构惯性力构惯性力I=maI=ma，一种一种是重力是重力W=mgW=mg，于是单位质量力于是单位质量力由图由图2-30可得单位质量分力为可得单位质量分力为1等压面等压面将上式代入等压面微分方程式将上式代入等压面微分方程式(2-18)中即得中即得2静压强分布规律静压强分布规律将将(2-66)式代入压强微分公式式代入压强微分公式(2-13)中，即得中，即得积分积分当当y=0，z=0时，自由表面上的压强时，自由表面上的压强 ，可得积分，可得积分常数常数 于是于是这就是流体静压强在不同点这就是流体静压强在不同点(y，z)上的分布现律。上的分布现律。特例特例1=0，即容器沿水平基面向左作匀加即容器沿水平基面向左作匀加 速运动速运动如图如图2-31(1)，由，由(2-67)式可得其等压面方程为式可得其等压面方程为由由(2-68)式对得其静压强分布规律为式对得其静压强分布规律为括号括号 的含义可以通过对液体中的含义可以通过对液体中的任何两点的任何两点 与的计算看出。的计算看出。对对m点来说点来说 对对m点来说点来说由此可见由此可见 代表任何一点在倾斜自代表任何一点在倾斜自由液面下的铅直淹没深度，统以由液面下的铅直淹没深度，统以H表示，则表示，则(2-70)式可写为式可写为这与重力场中静压强分布规律这与重力场中静压强分布规律(2-25)式的形式式的形式是一样的，差别只是是一样的，差别只是H代表任意点在倾斜液面代表任意点在倾斜液面下的深度，这种深度不仅与点的坐标下的深度，这种深度不仅与点的坐标(y,z)有关，有关，而且也与加速度的大小和方向有关。而且也与加速度的大小和方向有关。如果容器向右运动，等压面与水平基面的夹角如果容器向右运动，等压面与水平基面的夹角成钝角，自由液面与图成钝角，自由液面与图2-31(1)所示的倾斜方向所示的倾斜方向相反，其压强分布规律也仍然是相反，其压强分布规律也仍然是特例特例2 ，即容器沿铅直方向向下，即容器沿铅直方向向下作匀加速运动作匀加速运动如图如图2-31(2)，由，由(2-67)式可得其等压面方程为式可得其等压面方程为即等压面仍为水平面。由即等压面仍为水平面。由(2-68)式可得其静压强分布式可得其静压强分布规律为规律为 公式说明：当容器向下加速运动时，公式说明：当容器向下加速运动时，铅直向下的单位质量力小于重力，液体处于失铅直向下的单位质量力小于重力，液体处于失重状态。此时尽管液面不变，但一定高度重状态。此时尽管液面不变，但一定高度A上的单位截面液柱重力却从上的单位截面液柱重力却从 降低为降低为 ，因而液体中任一点的静压强均因液柱失重，因而液体中任一点的静压强均因液柱失重而有所降低。而有所降低。令令 ，称为失重系数，则，称为失重系数，则 相反相反,如果容器向上作匀加速运动如果容器向上作匀加速运动,则则 ,铅直向下的单位质量力大于重力，液体处于铅直向下的单位质量力大于重力，液体处于超重状态。每一点的静压强均因液柱超重而增超重状态。每一点的静压强均因液柱超重而增大，于是大，于是式中式中 ，称为超重系数。，称为超重系数。二、容器作等角速回转运动二、容器作等角速回转运动 此时作用在液体上的质量力有两种：一种是此时作用在液体上的质量力有两种：一种是重力重力 ，一种是虚构的离心惯性力一种是虚构的离心惯性力 (其方向与向心加速度的方向相其方向与向心加速度的方向相反反)，因此单位质量力，因此单位质量力 ，单位质量分力为单位质量分力为1、等压面、等压面将将(2-76)式代入等压面微分方程式式代入等压面微分方程式(2-18)中，即中，即得得作不定积分得作不定积分得即即这说明等压面是绕这说明等压面是绕z轴的一族回转抛物面。轴的一族回转抛物面。当当r=0r=0时，时，z=0z=0，可得自由表面上的积分常数可得自由表面上的积分常数C=0C=0，故自由表面的方程式为故自由表面的方程式为 或 在在oxy坐标平面以上的回转抛物体内的液体体坐标平面以上的回转抛物体内的液体体积为积为2静压强分布规律静压强分布规律将将(2-76)式代入压强微分公式式代入压强微分公式(2-13)中，得中，得(1)密封容器，液面上的压强为密封容器，液面上的压强为 。(如图如图2-33)此时回转抛物面顶点此时回转抛物面顶点(r=0，z=0)处的压强处的压强p=po，于是可得于是可得Cpo，代回代回(2-82)式式我们在液体中任取两点我们在液体中任取两点m(r,z=h)，m(r,z=-=-h)，分析一下分析一下(h-z)的含义。对的含义。对m m点来说点来说 对对mm点来说点来说 可见可见(2-83)式中的式中的(h-z)表示任何一点在表示任何一点在回转自由液面下的铅直淹没深度，统用回转自由液面下的铅直淹没深度，统用H表表示，则示，则 这仍然与重力场中静压强分布规律形式相这仍然与重力场中静压强分布规律形式相同，差别只是现在自由液面不是水平而是同，差别只是现在自由液面不是水平而是回转抛物面，回转抛物面，H是一点在回转抛物面下的淹是一点在回转抛物面下的淹没深度。没深度。(2)(2)容器盛满液体，顶盖中心接触大气容器盛满液体，顶盖中心接触大气(如如图图234)234)由于顶盖限制，液体不可能形成自由回转抛物由于顶盖限制，液体不可能形成自由回转抛物面，但液体中各点的压强分布规律却仍然与上面，但液体中各点的压强分布规律却仍然与上述情况是一样的。如果只讨论顶盖述情况是一样的。如果只讨论顶盖(z0)各处的各处的计示压强，则计示压强，则 此时此时r=0r=0,z=0z=0处处 p=pp=pa a,于是于是C=pC=pa a,代回代回(2-82)(2-82)式可得式可得这说明顶盖上的计示压强与半径这说明顶盖上的计示压强与半径r仍然成仍然成二次抛物线规律二次抛物线规律(如图中箭头所示如图中箭头所示)。流体作用在顶盖上的静压力可以通过积流体作用在顶盖上的静压力可以通过积分求得分求得(3)容器盛满液体，顶盖边缘接触大气容器盛满液体，顶盖边缘接触大气(如图如图2-35)此时此时r=Rr=R,z=0z=0处处p=pp=pa a,于是于是由由(2-82)(2-82)式得积分常数式得积分常数代回代回(2-82)(2-82)式得式得如果只讨论顶盖各处的计示压强，则如果只讨论顶盖各处的计示压强，则“-”号说明顶盖处各点存在着真空度。图号说明顶盖处各点存在着真空度。图2-35中向下的箭头表示真空度的分布情况。中向下的箭头表示真空度的分布情况。流体作用在顶盖上的静压力也可以通过积流体作用在顶盖上的静压力也可以通过积分计算分计算“-”号说明顶盖内作用着向下的吸力。号说明顶盖内作用着向下的吸力。等角速回转的相对平衡原理在工程上有很等角速回转的相对平衡原理在工程上有很多应用，如离心式水泵、风机、旋风分离器、多应用，如离心式水泵、风机、旋风分离器、除尘器、离心铸造等等。除尘器、离心铸造等等。